二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定

摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法.

关键词:二重积分累次积分积分限积分次序

引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。

1．高等数学中计算二重积分的方法

在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。

(1)画出积分区域

(2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要

将积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域.

(3)用公式化二重积分为累次积分.

(4)计算累次积分的值.

在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得.

2．教学过程中总结的方法

本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3． 例题解析

例1 计算⎰⎰D

xydxdy ,其中D 是由直线x y y x ===,1,2所围成的区域.

解:作出积分区域D 的图形

在这个例题中我们既可以选择先对积分积分也可以选择先对y x .若我们选

择先对

先定下

的积分限根据积分区域后积分的变量那么根据口诀需要先把积分y x , 来.从积分区域图可以看出21最大取到最小取到y .然后我们在y 的限1=y 和 2=y 内画一条和这两条直线平行的直线,易见这条线只要画在1=y 和2=y 内,则其

左边总是和直线y x =相交,从而x 的积分下限即为y ,而右边总是和直线

2=x 相交,从而x 的积分上限为2.这样就完成了二重积分到累次积分的转化:

8

11)81()212(21422

1

221

2=-=-

==⎰⎰⎰⎰⎰y y dy y y dx x ydy xydxdy D

y

若我们选择先对y 积分也是可以的。先把后积分的变量x 的积分限根据积分区域确定下来。从积分区域图易见x 最小取到1最大取到2。然后在

1=x 和2=x 内画一条和这两条直线平行的直线，只要这条线画在1=x 和2=x 内，则其下边总是和1=y 相交，而上面总是x y =相交。从而y 这个积分变量的下限为1上限为x 。于是该二重积分也可转化为下面的二次积分来计算：

81

148

)22(2

1242

1

1

2

1

3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-==⎰⎰⎰

⎰⎰

x x dx x x ydy xdx xydxdy D

x 例2 计算⎰⎰D

xydxdy ，其中D 是由抛物线x y =2和直线2-=x y 所围成的区域。

解 首先作出积分区域图

在本题中若我们选择先对x 积分，则根据积分区域图和上面介绍的口诀可以知道该二重积分化为二次积分为：

⎰⎰⎰⎰⎰--+=-+==21522

1

2

55])2([212

dy y y y xdx ydy xydxdy D

y y

在本题中若我们选择先对y 积分，则根据积分区域图我们先把x 的上下限定下来，由图可见x 最小取到0 最大取到4 。但在0=x 和4=x 这两条直线之间画和他们平行的直线的时候发现在1=x 这条直线的左右两侧情况有所不同：在1=x 的左侧所画直线上下均与抛物线x y =2相交，而右侧所画直线下面是与直线2-=x y 相交上面是与抛物线相交。从而本题若选择先对y 后对x 积分则需要将积分区域从直线1=x 处分割成两半来处理： ⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰--+=D

x

x

x

x ydy xdx ydy xdx xydxdy 41

2

1

显然这样计算起来要比上一种方法复杂的多！故当积分区域属这种情况时一般来讲我们会选择先对x 后对y 积分。还有的情况恰与这种情

况相反，那么我们为了简便起见一般会选择先对y 后对x 积分。比如：

例3：计算⎰⎰D

xydxdy ，其中D 是由抛物线2x y =和直线2+=x y 所围成的区

域。

解 首先作出积分区域图

在本题中若我们仍然选择先对x 积分，则根据积分区域图易知：积分变量y 的最小取到0最大取到4。但是在40＝和y y =这两条直线之间画平行于它们的直线的时候会发现在直线1=y 的上下两侧所画直线与区域图的交点所在的曲线有所不同：在直线1=y 的下侧，所画直线左右两端均与抛物线相交。在直线1=y 的上侧，所画直线左端与直线相交右端与抛物线相交。于是二重积分转化为累次积分进行计算时要将积分区域沿直线1=y 分割成两块来处理： ⎰⎰

⎰⎰-+=41

0y

y

y

D

xdx ydy xdx ydy xydxdy

下面我们选择先对y 积分看是否可以起到简化计算的效果：

从积分区域图可以看到积分变量x 最小取到-1最大取到2，在直线1-=x 和2=x 之间画平行于它们的直线时易见该直线上端总是与直线

2+=x y 相交下端总是与抛物线2x y =相交，从而二重积分化为累次积

分如下：

2

1

6234215232

2

1

612344121)44(212

--+-⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-++=-++==⎰⎰⎰⎰⎰

x x x x dx x x x x ydy xdx xydxdy x x

D

8

5

5=

以上两个例题是根据积分区域选择积分次序以简化计算，积分次序的选择

有时还要根据被积函数来选择，比如下面这个例题：

例4：计算dxdy e x D

y ⎰⎰-2

2，其中D 是由直线x y y x ===及1,0所围成的区域。

解 先画出积分区域图

若我们选择先对x 积分，根据积分区域图，积分变量y 最小取到0最大取

到1，在直线10==y y 和之间画平行于他们的直线，该直线左端总是与直线0=x 相交右端总是与直线y x =相交，从而二重积分化为累次积分为：

e

dy e y dx x dy e

dxdy e

x y y

y y D

31

613122

2

1030

2

1

2

-===---⎰⎰

⎰⎰⎰

本题中若我们选择先对y 积分，则有： ⎰⎰⎰⎰--=1

10

222

2

x

y y D

dy e dx x dxdy e x

由于2

y e

-的原函数不能用初等函数表出，因此我们无法求出二重积分的

值！

综上所述，对于初学者在将二重积分转化为累次积分时，应该依积分区域

和被积函数的具体情况选择积分的先后顺序，方能达到简化计算的目的。

参考文献：【1】杜先能 孙国正。高等数学[M]。安徽大学出版社，2004

【2】华东师范大学数学系。数学分析[M]。高等教育出版社，2004

The integral limit 's ascertaining in double integral 's calculation

( zhaojuan chenhao)

(Department of Mathematics,Suzhou College,Suzhou,Anhui,234000)

Abstract:That dual accumulate points calculates ascertaining that middle accumulate points is restricted to is that a priority also is a difficult point to the beginner. The main body of this article aim at ascertaining the method simple and easy to do that accumulate points is restricted to in introducing that one kind of dual accumulate points secretly schemes against.

Key words:Double Integral;Repteat Integral ;Integral Limit;Integrate Sequence

第一节二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质 第一篇：第一节二重积分的概念与性质 第九章重积分 第一节二重积分的概念与性质 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示 ★ 曲顶柱体的体积 ★ 非均匀平面薄片的质量 ★ 二重积分的概念 ★ 二重积分的性质 ★ 例 1★ 例 4★ 内容小结 ★习题9-1 ★ 返回 ★ 二重积分的中值定理★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习 内容要点： 一、二重积分的概念 引例1 求曲顶柱体的体积；引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质 性质1—性质6 二重积分与定积分有类似的性质.性质 1 ⎰⎰[αf(x,y)±βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ±β⎰⎰g(x,y)dσ.DDD 性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则

⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ.DD1D 2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)=1,σ为D的面积, 则 ⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσ=σ.DD 这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD 特别地, 有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰|f(x,y)|dσ.DD 性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, σ为D的面积, 则 mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.D 这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲： 二重积分的性质 (x例1不作计算，估计I=⎰⎰e D2+y2)dσ的值，其中D是椭圆闭区域： x2 a2+y2b2≤1(0

二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算 一、定积分的计算 例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n n a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim a a n i n x n n i dx =a a x a +=++1111 1. 例2 求极限 ⎰ +∞→10 2 1lim x x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n n x x x ≤+≤ 2 10，于是⎰ +≤1 2 10x x n ⎰≤1 n x dx dx . 而⎰1 0n x ()∞→→+=+=+n n n x dx n 01111 01，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim x x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理 ()()x g x f b a ⎰ ()()⎰=b a x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().101111 2 1 2 ≤≤+= +⎰ ⎰ n n n n dx x dx x x ξξ 由于11102≤+≤ n ξ ，即 211n ξ +有界， ()∞→→+=⎰n n dx x n 0111 0，故⎰+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为( )22,x a x R +或() 22,a x x R -型可作相应变换. 如对积分()⎰++3 1 2 2 112x x dx ，可设t x tan =； 对积分 ()0220 2>-⎰ a dx x ax x a ，由于() 2 222a x a x a x --=-，可设 t a a x s i n =-. 对积分dx e x ⎰ --2ln 0 21，可设.sin t e x =- （2）()0,cos sin cos sin 2 ≠++=⎰d c dt t d t c t b t a I π 的积分一般方法如下：

二重积分计算中的积分限的确定1

二重积分计算中积分限的确定 赵娟刘敏宁群 (宿州学院数学系安徽宿州234000) 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学实践和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好地帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域； (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域 化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域； (3)用公式化二重积分为累次积分； (4)计算累次积分的值。 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握得很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候，对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量，我们要根据积分区域的图形，用夹住区域的平行于同一坐标轴的两条直线确定其上下限(确定的上下限应为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在这两条平行直线之间画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向穿过区域该直线与区域的边界至多有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 作者简介：赵娟(1980-),女，汉族，安徽蚌埠，宿州学院数学系，教师，助教，学士，模糊数学在经济中的应用安徽师范大学 项目：2006年省级精品课程《高等数学》（序号111） 省教育厅自然科学资助项目（2006KJ257B）

二重积分的变上限积分

二重积分的变上限积分 二重积分是微积分中的一种重要概念，常常用于计算平面上的曲线或曲面的面积、质量、重心等问题。在计算二重积分时，变上限积分是一种常用的方法，可以减少计算的步骤和复杂度。本文将介绍二重积分的概念、计算方法以及变上限积分的原理和应用。 一、二重积分的概念 二重积分是对二元函数在某个有界区域上的积分，可以看作是重叠在这个区域上的无数个微小矩形面积的总和。二重积分的表达式可以写成： ∬f(x,y)dA 其中，f(x,y)是定义在二维平面上的实函数，代表积分区域的每一个点上的函数值；dA是一个小面积元素，代表积分区域中的一个微小矩形面积。二重积分的计算可以通过对区域的面积进行划分，将面积元素逐一求和的方式来实现。 二、二重积分的计算方法

计算二重积分有多种方法，常见的包括直角坐标系下的直接积分法、极坐标系下的极坐标转化法和变上限积分法。本文重点介绍变上 限积分的方法。 变上限积分的基本思想是利用定积分的性质，将二重积分转化成 一重积分。相比直接计算二重积分，变上限积分可以简化运算的过程，并且可以避免一些复杂的代数运算。 具体地，变上限积分的计算可以通过以下步骤进行： 1.确定积分的积分区域，通常需要画出区域的示意图，以便于后 续的计算。 2.对积分区域进行参数化，即用一组参数表示区域中的每一个点。参数化的方法可以根据具体问题进行选择，常见的是直角坐标系和极 坐标系两种。 3.将二重积分转化成一重积分，这一步需要根据参数化的结果进 行变换。变上限积分的关键在于将积分的上限和下限与一维积分的积 分变量进行匹配。

4.利用一维积分的技巧求解一重积分。对于线性函数、指数函数、三角函数等常见的函数，可以使用基本积分公式来进行计算。 5.将一重积分的结果代入变换后的表达式，即可得到二重积分的 计算结果。 三、变上限积分的原理和应用 变上限积分的原理可以通过对积分的定义进行推导得到。根据定 积分的定义，可以把积分区间上的函数值看作是一个关于积分变量的 函数，即积分函数。当积分变量处于固定的积分区间上时，积分函数 的取值也是固定的，因此可以将二重积分的计算转化成一重积分。 变上限积分在实际问题中有着广泛的应用。例如，在计算平面曲 线的长度、质心和转动惯量时，常常需要对曲线或曲面进行二重积分 的计算。通过使用变上限积分的方法，可以简化计算的过程，实现问 题的快速解决。 此外，变上限积分还常常用于研究函数的性质和变化规律。通过 对函数在不同参数值上的积分进行分析，可以获得函数在整个参数范

高等数学二重积分总结

第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ⎰⎰表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言：高等数学学习过程中，二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时，对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀，发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1．高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将积分区域 化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2．教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3．例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形

二重积分的基本计算方法

二重积分的基本计算方法 二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上某个区域内的面积、质量、质心等物理量。在本文中，我们将介绍二重积分的基本计算方法。 我们来看二重积分的定义。对于二元函数f(x,y)，在平面上的一个闭区域D上，可以定义二重积分为： ∬D f(x,y) dA 其中，dA表示平面上的面积元素，可以表示为dx dy或者dy dx。二重积分的计算方法主要有两种：先对x进行积分，再对y进行积分；或者先对y进行积分，再对x进行积分。 第一种方法是先对x进行积分，再对y进行积分。具体步骤如下： 1. 将区域D在x轴上的投影为[a, b]，在y轴上的投影为[c, d]，则二重积分可以表示为： ∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dy dx 2. 针对y进行积分时，将x看作常数，即将f(x,y)中的x替换为常数，然后对y进行积分。积分的上限为d，下限为c。 3. 最后对x进行积分，将y看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于x的函数，然后对x进行积分。积分的上限为b，下限为

a。 第二种方法是先对y进行积分，再对x进行积分。具体步骤如下： 1. 将区域D在y轴上的投影为[c, d]，在x轴上的投影为[a, b]，则二重积分可以表示为： ∬D f(x,y) dA = ∫[c,d]∫[a,b] f(x,y) dx dy 2. 针对x进行积分时，将y看作常数，即将f(x,y)中的y替换为常数，然后对x进行积分。积分的上限为b，下限为a。 3. 最后对y进行积分，将x看作常数，即将上一步得到的结果作为一个关于y的函数，然后对y进行积分。积分的上限为d，下限为c。 无论采用哪种方法，最终的结果都是相同的。在实际计算中，可以根据具体情况选择合适的积分顺序，以简化计算过程。 除了基本的计算方法之外，还可以利用二重积分来计算一些特殊区域的面积、质量、质心等物理量。 例如，对于平面上的一个闭区域D，可以使用二重积分来计算该区域的面积。只需要将被积函数f(x,y)设置为1，然后进行二重积分，即可得到该区域的面积。

二重变限积分求解技巧

二重变限积分求解技巧 二重变限积分是微积分中的重要概念，用于求解平面区域上的面积、质量、质心等问题。本文将介绍二重变限积分的求解技巧，帮助读者更好地理解和应用于实际问题。 首先，我们需要明确二重变限积分的定义。对于平面上的一个闭区域D，设函数f(x, y)在D上连续，则二重变限积分的定义为： ∬Df(x, y)dA = lim (δx,δy)→(0,0) Σf(xi,yi)ΔA 其中，D可以由二重积分区域的边界曲线C围成，(xi,yi)表示D中的任意一点，ΔA表示以(xi,yi)为中心的小矩形面积，Σ表示对D中的所有小矩形面积进行求和。 接下来，我们将介绍二重变限积分的求解技巧。 1. 积分区域的确定：首先，我们需要明确积分区域D 的边界曲线C。一种常见的方法是将D表示为两条曲线的交集，即D = {(x,y) | g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}。其中，g1(x)和g2(x)是连续函数，且满足g1(x) ≤g2(x)。以确定积分区域D为基础，我们可以求解二重变限积分。 2. 坐标变换：在确定了积分区域D后，我们可以通过坐标变换将D映射到标准正方形区域。常见的坐标变换方法有极坐标变换和直角坐标变换。 - 极坐标变换：适用于具有旋转对称性的问题。通常取x = rcosθ，y = rsinθ作为坐标变换。通过这样的坐标变

换，我们可以将D映射到极坐标下的有界区域，从而简化积分计算。 - 直角坐标变换：适用于具有直角对称性的问题。常用的直角坐标变换有矩形坐标变换和椭圆坐标变换。通过这样的坐标变换，我们可以将D映射到直角坐标下的有界区域，进而进行积分计算。 3. 积分的交换：在进行二重变限积分计算时，可以根据需要交换积分的次序。这一技巧称为积分的交换。交换积分的次序可以简化计算过程，提高计算效率。需要注意的是，交换积分次序时，要满足积分区域D在新的变量下的性质不发生变化。 4. 分离变量：对于一些特殊的函数，我们可以通过分离变量的方法将二重积分变成两个单变量的积分。这样可以使积分的计算更加简单。例如，对于函数f(x, y) = g(x)h(y)，我们可以将二重积分∬Df(x, y)dA分解为两个单变量的积分，即∫g(x)dx∫h(y)dy。 5. 极坐标下的二重积分：当问题具有旋转对称性时，我们可以考虑使用极坐标下的二重积分来求解。在极坐标下，小矩形面积ΔA可以表示为dA = r dr dθ。通过考虑极坐标下的积分范围，我们可以将二重积分化简为定积分的形式。 综上所述，二重变限积分的求解技巧包括确定积分区域、坐标变换、积分的交换、分离变量和极坐标下的二重积分。这些技巧能够在实际问题中帮助我们更好地理解和

二重积分的计算方法与应用

二重积分的计算方法与应用 二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面区域上的某一函数在该区 域上的总体积量。在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法与应用。 首先，我们将讨论二重积分的基本概念和计算方法。假设有一个平面区域D， 可以用一个闭合曲线C来描述。我们将函数f(x, y)定义在区域D内的每一个点上，并且假设f(x, y)在D上连续。那么在D上的二重积分可以表示为： ∬D f(x, y) dA 其中，dA表示面积元素，其大小等于dxdy。要计算二重积分，我们可以将区 域D划分成许多小的面积元素，然后对每个面积元素上的函数值进行加权求和。 通常可以使用二重积分的累次积分形式来计算，可以按顺序进行x方向的积分，然后再进行y方向的积分。 在具体计算二重积分时，可以根据问题的特点选择不同的计算方法。下面介绍 常见的二重积分计算方法： 1. 矩形坐标系下的二重积分：在矩形坐标系下，将区域D投影到xy平面上， 可以得到一个矩形R。这时，二重积分可以转化为对两个变量的累次积分，其中外层积分表示对x的积分，内层积分表示对y的积分。通过对x和y的积分限进行适 当选择，可以将二重积分转化为两个定积分的计算。 2. 极坐标系下的二重积分：在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分计算可 以更加简洁。通过将区域D在极坐标系下的表示，可以将二重积分转化为对极坐 标下的两个变量的累次积分。在计算时，可以通过选择适当的极坐标系下的积分限来简化计算过程。

3. 对称性的利用：在某些问题中，可以利用区域D的对称性简化二重积分的计算。通过观察函数f(x, y)的对称性，可以改变积分限或者变量的顺序，从而简化计 算的过程。 接下来，我们将讨论二重积分在实际问题中的应用。 1. 面积与质量：二重积分可以用来计算平面区域的面积。将函数f(x, y)设为1，即可得到区域D的面积。此外，如果区域D上的密度函数为ρ(x, y)，那么通过计 算二重积分∬D ρ(x, y) dA，可以得到区域D的质量。 2. 转动惯量：转动惯量描述了物体对于旋转轴的惯性程度。对于平面物体，可 以通过计算二重积分来计算其转动惯量。将函数f(x, y)设为距离平方函数r^2，即 可得到物体关于旋转轴的转动惯量。 3. 几何中心与质心：对于一个平面区域D，可以利用二重积分来计算其几何中 心与质心的位置。通过计算二重积分来计算区域D的x轴和y轴方向上的矩，然 后利用这些矩的比值可以确定几何中心和质心的位置。 4. 概率密度函数：在概率论中，二重积分可以用来计算二维随机变量的联合概 率密度函数。通过计算二重积分∬D f(x, y) dA，可以得到随机变量落在区域D内的概率。 综上所述，二重积分的计算方法与应用包括了矩形坐标系下的计算、极坐标系 下的计算、利用对称性简化计算，以及面积、质量、转动惯量、几何中心与质心的计算等。二重积分在数学和工程科学中有着广泛的应用，能够帮助我们解决各种实际问题。

二重积分的概念和计算方法

二重积分的概念和计算方法 在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平 均的情况。为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。本文将 探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。 一、二重积分的概念 二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。它可以看作是将 一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数 值进行求和的过程。一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重 积分。 对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为： ∬f(x, y)dA 其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。二重积分的结果是一 个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。 二、二重积分的计算方法 1. 直角坐标系下的二重积分 在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行 求和。 对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为： ∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy

其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。 通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。 2. 极坐标系下的二重积分 在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下， 使用极坐标系可以简化计算过程。 对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为： ∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ 其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。 通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。 3. 格林公式的应用 在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。格林公式是一种与闭曲线和曲面积分相关的重要公式，它将曲面积分转化为曲 线积分的形式。 根据格林公式，对于给定的函数f(x, y)和区域D，利用曲面积分可以计算二重积分的结果，即：

二重积分的定义求极限

二重积分的定义求极限 摘要： I.引言 - 简介二重积分 - 引入二重积分的定义 II.二重积分的定义 - 定义背景和动机 - 定义的具体内容 - 解释二重积分的几何意义 III.二重积分的性质 - 线性性质 - 保号性 - 可积性 IV.二重积分的计算方法 - 累次积分法 - 替换变量法 - 分部积分法 V.二重积分的应用 - 计算立体图形的体积 - 计算曲面的面积 - 计算质心

VI.求极限 - 定义极限 - 求二重积分的极限 VII.结论 - 总结二重积分的定义和性质 - 强调二重积分的重要性 正文： I.引言 二重积分是数学中一种重要的积分形式，它可以用来计算立体图形的体积、曲面的面积以及质心等问题。本文将介绍二重积分的定义、性质、计算方法和应用，并探讨如何求解二重积分的极限。 II.二重积分的定义 二重积分定义为：设函数f(x, y)在区域D上连续，D是一个有界的平面区域，那么二重积分[f(x, y)]D表示为以下极限： lim(n→∞) Σ[f(x_i, y_j)] (i=1,2,...,n; j=1,2,...,n) 其中，(x_i, y_j) 是区域D中的一点，n趋近于无穷大时，所有点的坐标(x_i, y_j)都满足区域D的边界条件。 二重积分的几何意义是：以区域D为底，以函数f(x, y)的曲面为顶，求曲顶柱体的体积。 III.二重积分的性质 二重积分具有以下性质： 1.线性性质：若f(x, y) = a(x) + b(y)，则二重积分[f(x, y)]D = a(x)的二重

积分[D] + b(y)的二重积分[D]。 2.保号性：若f(x, y) ≥ 0，则二重积分[f(x, y)]D ≥ 0。 3.可积性：若f(x, y)在区域D上连续，则二重积分[f(x, y)]D存在。 IV.二重积分的计算方法 1.累次积分法：将二重积分转换为多个一重积分的和。 2.替换变量法：通过引入新的变量，将二重积分转化为一重积分。 3.分部积分法：将二重积分转换为两个一重积分的乘积。 V.二重积分的应用 1.计算立体图形的体积：通过二重积分，可以将立体图形的体积表示为二重积分的值。 2.计算曲面的面积：通过二重积分，可以将曲面的面积表示为二重积分的值。 3.计算质心：通过二重积分，可以求解质心坐标。 VI.求极限 极限是数学中的一个重要概念，表示当自变量趋近某个值时，函数值的变化趋势。求二重积分的极限，需要将二重积分中的自变量趋近某个值，求解函数值的变化趋势。 VII.结论 本文介绍了二重积分的定义、性质、计算方法和应用，并探讨了如何求解二重积分的极限。

二重积分在极坐标下的计算方法

二重积分在极坐标下的计算方法 二重积分是数学中的一种重要的积分形式，广泛应用于物理、工程和统计学等领域。在极坐标系下，二重积分的计算可以更加简便，特别是当积分区域是以原点为中心的圆形或者圆环形时。 在极坐标系下，二重积分的计算方法主要涉及到以下几个步骤： 1. 确定积分区域：首先需要确定积分区域在极坐标下的表示形式。若积分区域是以原点为中心的圆形，则可表示为$0leq r leq R$，$0leq theta leq 2pi$，其中$R$为圆的半径；若积分区域是以原点为中心的圆环形，则可表示为$r_1leq r leq r_2$，$0leq theta leq 2pi$，其中$r_1$和$r_2$分别为内圆和外圆的半径。 2. 确定被积函数：将被积函数表示为极坐标下的形式，即$f(x,y)$转化为$f(r,theta)$。 3. 确定积分限：将被积函数$f(r,theta)$乘以积分元素 $rmathrm{d}rmathrm{d}theta$，并在积分区域上进行累加，最终得到二重积分的值。根据积分区域的不同，积分限的确定也会有所不同。 例如，对于以原点为中心的圆形区域内的二重积分，其计算公式为：

$$iint_D f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y = int_0^{2pi}int_0^R f(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta$$ 其中，$R$为圆的半径。 对于以原点为中心的圆环形区域内的二重积分，其计算公式为： $$iint_D f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y = int_0^{2pi}int_{r_1}^{r_2} f(rcostheta,rsintheta)rmathrm{d}rmathrm{d}theta$$ 其中，$r_1$和$r_2$分别为内圆和外圆的半径。 总之，二重积分在极坐标下的计算方法相对简便，而且适用于一些特殊的积分区域，如圆形和圆环形区域。因此，在实际应用中，经常会使用这种方法进行计算。

如何确定二维随机变量函数概率密度的卷积公式中的积分限(概率统计中公式的用法)

如何确定二维随机变量函数概率密度的卷积公式中的积分限 二维随机变量函数的分布是概率论与数理统计中的重要内容，在历年考研试题中屡次出现，如何求解二维随机变量函数的概率密度也是教学中的一个难点。 处理此类问题通常有两种方法：“分布函数法”和“公式法”。分布函数法在计算(,)(,)g x y z f x y d σ≤⎰⎰时，需要根据z 不同的取值范围确定二重积分的积分区域，分情况找出分 布函数表达式，最后通过求导数得到(,)Z g X Y =的概率密度函数。该法原理容易掌握，但计算过程相对复杂；而“公式法”则是利用已经推导出来的公式去求解(,)Z g X Y =的概率密度函数。此法要求记住一般公式[1]：二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ，(,)Z g X Y =是关于X 或Y 的严格单调函数，若 z x ∂∂或z y ∂∂处处存在，则随机变量Z 的概率密度为 ()((,),)Z x f z f x y z y dy z +∞-∞∂= ∂⎰ （1） 或 ()(,(,))Z y f z f x y x z dx z +∞ -∞∂=∂⎰ （2） 如果(,)Z g X Y =关于X 是严格单调函数，我们从(,)z g x y =中解出x ，即(,)x y z ，利用公式（1）便可求Z 的概率密度；如果(,)Z g X Y =关于Y 是严格单调函数，我们从(,)z g x y =中解出y ，即(,)y x z ，利用公式（2）便可求Z 的概率密度。 实践表明，“公式法”过程相对简洁，但大部分学生对公式中积分限的确定模糊不清，甚至不知所措。很多文献对公式的推导与记忆做了研究，但是公式记好了，如何计算积分是一个被忽略的问题。所以如何确定公式中积分上下限是研究的核心问题。 下面以公式（2）为例来说明公式中积分上下限的确定。 第一步：由已知找到满足(,)0f x y ≠的区域{}00:(,)(,)D x y x y D ∈； 第二步：由于(,)y y x z =，可画出区域{} 10(,)(,(,))D x z x y x z D =∈；

二重积分的求法

二重积分的求法 二重积分是微积分中的一个重要的内容，其涉及到庞大的数学知识体系，包括多元微积分、数学分析等。在实际应用中，二重积分的求法非常重要，本文将详细介绍二重积分的求法与相关的注意事项，以及应用场景等内容。文章分为以下几个部分： 一、基本概念与定义 二、二重积分的求解方法 三、定限与积分次序的改变 四、面积与体积的计算 五、二重积分的应用 一、基本概念与定义 二重积分是对二元函数在二维区域上的积分，求解的结果是一个标量。其定义如下： 设函数f(x, y)在有界闭区域D上有定义，则称积分$$\iint_{D}f(x,y)dxdy$$ 为函数f(x, y)在D上的二重积分，其中x和y为自变量，f为被积函数，dx和dy为积分变量，D为积分区域。 二、二重积分的求解方法 二重积分的求解方法主要有三种：直接积分法、极坐标法和变量替换法。

1. 直接积分法 直接积分法又称直角坐标法，是最基本的求解二重积分的方法。其基本思想是，在二维区域上，“分行不分列”地对区域进行分割，得到若干个矩形面积，然后加总得到区域面积。具体步骤如下： (1) 将积分区域D分成若干个矩形； (2) 求解每个矩形面积，即$f(x_i,y_j)\triangle x\triangle y$； (3) 将每个矩形面积相加得到二重积分的近似值； (4) 当矩形数趋于无穷大时，得到二重积分的精确值。 2. 极坐标法 极坐标法又称极面积法，是一种比直接积分法更加简便的方法，通常适用于对于圆形或者对称性好的区域的积分。极坐标系有两个坐标：极径$r$和极角$\theta$，积分区域也可以通过$r$和$\theta$表示。在极坐标系下，二重积分的表达式为： $$\iint_Df(x,y)dxdy=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\ int_{r_1}^{r_2}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta $$

第二节 二重积分的计算法

第二节 二重积分的计算法 一．本课的基本要求 掌握在直角坐标系、极坐标系中二重积分的计算． 二．本课的重点、难点 二重积分的计算为重点、积分限的确定为难点． 三．教学内容 由 ⎰⎰∑→→∆=D n i i i f d y x f 1 0),(),(lim σηξσλ ；引入本次课题． 一． 直角坐标系中的累次积分法 假定0),(≥y x f ，按照二重积分的几何意义 ⎰⎰D d y x f σ),(的值等于以D 为底、以曲面 ),(y x f Z =为顶的曲顶柱体的体积．在上一章第一节我们知道区域D 的不等式组表示法通常有两种： 1．⎩⎨ ⎧≤≤≤≤) ()(21x y x b x a ϕϕ 或 2．⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21 y x y d y c ψψ 图1 为方便，不妨以表示法1为例讨论．设 ⎰⎰D d y x f σ),(所表示图形为图1． 思路： ⑴ 曲顶柱体的体积V 等于二重积分的值A ． ⑵ 能否找到另一种计算曲顶柱体体积V 的方法；如能找到，设其表达式为B ． ⑶ 由传递关系可得到二重积分的计算方法，即A=B ． 在定积分的应用中我们已讨论过“平行截面面积为已知的立体的体积” 的求法．下面我们就利用其求法之一的切片法来计算二重积分 ⎰⎰D d y x f σ),(所表示的柱体的体积． 在区间[a,b]上任意取定一点0x ，作平行于yoz 面的平面0x x =，它与曲顶柱体相截所得截面是一个以区间[])(),(0201x x ϕϕ为底、曲线),(0y x f Z =为曲边的曲边梯形（图1中阴影部分）．所以，这载面的面积为： ⎰ =) () (000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ． 由0x 的任意性，过区间[a,b]上任一点x 且平等yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为： ⎰ =) () (21),()(x x dy y x f x A ϕϕ 应用平行截面面积为已知的立体体积的求法，得曲顶柱体体积为： ⎰⎰ ⎰==b a x x b a dx dy y x f dx x A V ) () (21]),([)(ϕϕ

第二节二重积分的计算

§2 二重积分的计算 【目的要求】 1、熟练掌握先x 后y 和先y 后x 的二次积分方法； 2、会熟练交换积分次序；会利用积分区域对称与被积函数的奇偶性简化二重积分的求解； 3、熟练掌握先r 后θ的二次积分方法； 4、会熟练地进行直角坐标系和极坐标系下二重积分的互化． 【重点难点】 1、二重积分计算方法的建立； 2、二重积分化为二次积分时积分限的配置； 3、直角坐标系和极坐标系下二重积分的互化． 【教学内容】 根据二重积分的定义来计算二重积分，对于一下特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，常常是很困难的．因此，需要我们探求新的简便可行的计算方法．本节我们将介绍把二重积分化为累次积分（即两次定积分）的方法． 一、利用直角坐标系计算二重积分 下面我们将利用二重积分的几何意义讨论(,)d D f x y σ⎰⎰的计算问题，以下假 定(,)0f x y ≥．在直角坐标系中，二重积分的面积元素d σ可表示为d d x y ，即 (,)d (,)d d D D f x y f x y x y σ=⎰⎰⎰⎰． 设积分区域D 可表示为不等式 12,()()a x b x y x ϕϕ≤≤≤≤． x x 图 7-4

如图7-4所示，其中1()x ϕ，2()x ϕ在区间[],a b 上连续．这种区域的特点是：若穿过D 内部的一点与y 轴平行的直线，则该直线与区域的边界相交不超过两点，我们称之为X 型区域． 按二重积分的几何意义，(,)d D f x y σ⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面(,) z f x y =为顶的曲顶柱体的体积．我们可以应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法计算这个曲顶柱体的体积． 先计算截面积．为此，在区间[],a b 上任意取定一点0x ，作平行于yOz 面的平面0x x =．这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间1020[(),()]x x ϕϕ为底、曲线0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形（图7-5中阴影部分）， 所以这截面的面积为 2010() 00() ()(,)d x x A x f x y y ϕϕ=⎰ ． 一般地，过区间[],a b 上任一点x 且平行于yOz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 21() () ()(,)d x x A x f x y y ϕϕ=⎰ ． 于是，应用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法，得曲顶柱体的体积为 21()()()d (,)d d b a x a b x V A x x f x y y x ϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ ⎰⎰ ⎰． 这个体积就是所求的二重积分的值，从而有等式 21()()(,)d (,)d d b x a x D f x y f x y y x ϕϕσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ⎰⎰ ⎰⎰． (1) x 图 7-5