三角函数的最值与值域
的教学设计
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
三角函数的最值与值域的教学设计
安亭中学彭朴
一、内容分析
三角函数的最值与值域问题,是历年高考重点考查的知识点之一。三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切,综合性强,解法灵活,能力要求高,在复习完三角公式后,把三角函数的最值与值域作为专题复习,不仅可以帮助学生灵活运用三角公式,而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法,综合能力得到增强。
二、教学目标制定
1.会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域;
2.运用转化思想,通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。
3.通过对最值问题的探索与解决,提高运算能力,增强分析问题和解决问题能力。体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。
三、教学重点分析
本节课的重点是求三角函数的最值与值域,为了突出和强调本节课的重点,课前布置了学生整理求函数值域与最值的方法,设计了一些知识检测题给学生做,在上课之前,老师通过批改学生的作业,了解学生对三角函数的最值与值域的掌握程度。在上课时,首先让学生回顾求函数值域与最值的方法,然后交流作业,通过例题和习题的训练、讨论、分析、归类、方法总结,学生能比较系统掌握求三角函数的最值与值域的常用方法。
四、教学难点分析
求三角函数的最值与值域的方法多样,针对题目,如何在最短的时间内灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域检索方法,迅速解决问题是本节课的难点,为了突破难点,不妨采取“实践---方法———在实践”的策略,即在讲评作业和例题时,对每一道题目的特点进行分析,解完后,引导学生总结方法,找出规律,然后让学生动手训练,加深印象,化解难点。
五、教学过程设计
1提问:求函数最值与值域有哪些常用的方法?
学生:换元法、配方法、借助基本不等式、借助函数的图像和单调性。 设计意图:从学生已有的知识出发,启发学生对方法进行迁移,不过需要提醒学生在用换元法时,要注意新变量的取值范围,在用不等式求最值时,要注意取等号的条件。
2反馈学生做知识检测题的情况
(1).在下列说法中:(1)函数x y sin 2-=的最大值为3;(2)函数x x
y 22sin sin 4+=最小值是4;(3)函数x y cos 1=的值域是]1,0()0,1[?- ;(4)存在实数x ,使得tanx+1tanx
=2成立.正确的是 ( ) A .(1)(2) B .(2)(4) C .(1)(3) D .(1)(4)
(2).函数]3
2,6[,sin ππ∈=x x y 的值域为( ) A . [-1,1] B . ]1,2
1[ C . ]23,21[ D . ]1,2
3[ (3).函数x x y 2cos 2sin =的最大值为 ,最小值为 .
(4).=x _________时,函数)4sin()4sin(π
π-++=x x y 的最大值为__________ (5).函数2sin sin 1y x x =++的值域为
(6).函数b x a y +=cos (b a ,为常数,且0>a )的最大值是1,最小值是7-,则函数x b x a y cos sin +=的最大值是
设计意图:这6道检测题难度不大,但涵盖了三角函数求最值和值域的一些基本方法,通过批改学生的作业,在课前充分了解学生的掌握程度,为课堂上重点解决学生的薄弱点和盲点做好准备。
3例题分析
例题1 求下列函数的最值
(1)]2,0[),62cos(π
π∈-=x x y 设计意图:本题可以利用函数的图象求最值 ,也可作代换,把括号内看作一个整体t ,用单调性求,前者画图不如后者简单,但后者一定要注意t 的取值范围,课堂上,可以鼓励学生到黑板上画图分析,掌握换元法及其注意点。
(2))cos y x x π=-+
设计意图:此题较第(1)题复杂,但不难,通过此题解决帮助学生总结y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法:只要利用辅助角公式,转化为y =
(x +?)或y cos (x +?)求最值。
(3)x x x x y 22cos 6cos sin 3sin 5++=
设计意图:此题属于22sin sin cos cos y a x b x x c x =++型函数求最值或值域,利用降次公式221cos 21cos 21sin ,cos ,sin cos sin 2222
x x x x x x x -+===即可转化为y=asinx+bcosx 型函数求最值。设计此题可以帮助学生巩固降次公式、辅助角公式。
(4)cos 2cos y x x =+
设计意图: y=asin2x+bsinx+c 或y=acos2x+bcosx+c 型函数求最值或值域函数求最值或值域,借助二倍角公式,结合换元法转化为二次函数在闭区间上求最值或值域,注意新的变量的取值范围。
(5))cos 3)(sin 3(x x y ++=
设计意图:此题难度较大,不同于以上题型,感到无从下手,如果展开,注意
到sinx+cosx 与sinxcosx 的关系,令sinx ±cosx=t(t ≤≤,将
sinxcosx 转化为t 的关系式,从而使问题转化为二次函数的最值问题,但要注意换元后变量的取值范围。
(6)tan 4cot ,(0,)2
y x x x π
=+∈ 设计意图:此题可以利用基本不等式求最值
例题2 2π()2sin 24f x x x ??=+ ???,ππ42x ??∈????
,. (1)求()f x 的最大值和最小值;
(2)若不等式()2f x m -<在ππ42x ??∈????
,上恒成立,求实数m 的取值范围. 设计意图:此题是一道高考题,第(1)问的解决需要用到降次公式和诱导公式,借助换元法求出最值,第(2)问的解决需要用到第一问的结论,通过分离参数,求出m 的范围。此题综合考查了学生对三角公式的掌握情况,三角函数最值的求法,学生通过训练,有利于提高学生的综合分析能力和解决问题的能力。
六、巩固练习题:
1.函数2()2cos sin 2f x x x =+的最小值是 。
2.若4x π
≤,2()cos sin f x x x =+的最小值是 ( )
A .
12- B .12+- C .-1 D .12 3.设函数b a x x a x a x f ++-=cos sin 32sin 2)(2
()0≠a ,]2,0[π∈x ,若)(x f 的值域是[-5,1],求实数b a ,的值。
设计意图:这3道题从不同角度训练学生求三角函数最值或值域,强化学生对方法的灵活运用,第3题是一道逆向性问题,可以培养学生的分类讨论意识。
七 、小结
本节课着重研究求三角函数最值的几种方法:
1、辅助角公式法:x b x a y cos sin +=
2、配方法:c x b x a y ++=cos sin 2
3、函数图像法(利用单调性):通常用于给定角的范围类型的三角函数
4、换元法:含有sinx ±cosx ,sinxcosx 的函数
5、基本不等式法
设计意图:学生通过回顾、总结求三角函数最值或值域的常见题型和解法,达到灵活运用的目的,体会转化、换元思想在数学中的应用。
特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入 教师提问:一个直角三角形中,一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的? 在学生回答了这个问题后,教师再复述一遍,提出新问题:两块三角尺中有几个不同的锐角?是多少度?分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 提醒学生:求时可以设每个三角尺较短的边长为1,?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值. 探究新知 (一)特殊值的三角函数 学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结. 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表:
教师讲解上表中数学变化的规律:对于正弦值,分母都是2, 2, 分子按角度增加分别为.对于正切,60?度的正切 ,即是下 一个角的正切值. 要求学生记住上述特殊角的三角函数值. 教师强调:(sin60°)2用sin 260°表示,即为(sin60°)·(sin60°). (二)特殊角三角函数的应用 1.师生共同完成课本第79页例3:求下列各式的值. (1)cos 260°+sin 260°. (2)cos 45sin 45?? -tan45°. 教师以提问方式一步一步解上面两题.学生回答,教师板书. 解:(1)cos 260°+sin 260°=(12 )2+2=1 (2)cos 45sin 45?? -tan45° 2.师生共同完成课本第80页例4:教师解答题意: (1)如课本图28.1-9(1),在Rt △ABC 中,∠C=90, ,,求∠A 的度数. (2)如课本图28.1-9(2),已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a .
教师分析解题方法:要求一个直角三角形中一个锐角的度数,可以先求它的某一个三角函数的值,如果这个值是一个特殊解,那么我们就可以求出这个角的度数. 解:(1)在课本图28.1-9(1)中, ∵sinA=3 6 BC AB = 2, ∴∠A=45°. (2)在课本图28.1-9(2)中, ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°. 教师提醒学生:当A、B为锐角时,若A≠B,则 sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB. 随堂练习 学生做课本第80页练习第1、2题. 课时总结 1、学生要牢记下表: 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2
求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y=sinx及y=cosx是有界函数,即当自变量x在R内取一定的值时,因变量y有最大值y max=1和最小值y min=-1,这是三角函数y=sinx及y=cosx的基本性质之一,利用三角函数的这一基本性质,我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化.虽然这部分内容在教材中出现不多,但是,在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现,学生也往往对这样的问题颇感棘手.笔者根据日常的教学积累,对三角函数求值域或最值的方法,加以归纳总结如下. 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式,可采用此方法. 例1求函数y=2cos2x+5sinx-4的值域. 解原函数可化为 当sinx=1时,y max=1; 当sinx=-1时,y min=-9, ∴原函数的值域是y∈[-9,1]. 注:此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见.但在最后讨论值域时,往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意. “cosx”,再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值,并求出相应的x值.
y=asinx+bcosx或可转化为此种形式的函数,其最大值和最小值分别为y max= 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名,我们可考虑此种方法,用因变量y表示出该函数,再利用该函数的值域求对应的原函数的值域.
∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值,在此只不过是为了更加突出一下. 解由原式可得 (3y-1)sinx+(2y-2)cosx=3-y, 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是
三角函数
第一教时
教材:角的概念的推广
目的:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念,并进而理解“正角”“负角”“象
限角”“终边相同的角”的含义。
过程:一、提出课题:“三角函数”
回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值
来定义的。相对于现在,我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”,
它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用,并且在各门学科技术
中都有广泛应用。
二、角的概念的推广
1.回忆:初中是任何定义角的?(从一个点出发引出的两条射线构成的几
何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解,但它的弊端在于“狭
隘”
2.讲解:“旋转”形成角(P4)
突出“旋转” 注意:“顶点”“始边”“终边”
“始边”往往合于 x 轴正半轴
3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法:角 或 可以简记成 4.由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。
1 角有正负之分 2 角可以任意大
如: =210
= 150
= 660
实例:体操动作:旋转 2 周(360 ×2=720 ) 3 周(360 ×
3=1080 )
3 还有零角
一条射线,没有旋转
三、关于“象限角”
为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角
角的顶点合于坐标原点,角的始边合于 x 轴的正半轴,这样一来, 角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在
坐标轴上,则此角不属于任何一个象限)
例如:30
390
330 是第Ⅰ象限角
300
60 是第
Ⅳ象限角 585 1180 是第Ⅲ象限角
四、关于终边相同的角
2000 是第Ⅱ象限角等
1.观察:390 , 330 角,它们的终边都与 30 角的终边相同
2.终边相同的角都可以表示成一个 0 到 360 的角与 k(k Z ) 个周角的和
390 =30 +360
(k 1)
330 =30 360
30 =30 +0×360
(k 0)
1470 =30 +4×360
(k 4)
1770 =30 5×360
(k 5)
3.所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合
S | k 360 , k Z
(k 1)
即:任何一个与角 终边相同的角,都可以表示成角 与整数个周角的
和
4.例一 (P5 略)
五、小结: 1 角的概念的推广
用“旋转”定义角 角的范围的扩大
2 “象限角”与“终边相同的角”
第二教时
教材:弧度制 目的:要求学生掌握弧度制的定义,学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的
第2 讲
讲
特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值
概述
适用学科 初中数学
适用年级
适用区域 知识点 教学目标
北师版区域
课时时长(分钟)
1.特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值 2.由特殊三角函数值求角 3.三角函数值计算 1.掌握特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值 2.掌握三角函数的计算
教学重点 能熟练掌握三角函数的计算
初中三年级 120
教学难点 能熟练掌握锐角三角函数的计算
【教学建议】 本节的教学重点是让学生理解、记忆一些特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值并能进行相关的
运算,能由三角函数值倒推一些特殊的角。在授课过程中,教师要注重易错点的点拨,在解题时,要帮助 学生积累一些基本的直角三角形模型,为下一节学习解直角三角形打下一定的模型铺垫。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难: 1. 特殊三角函数值的记忆。 2. 特殊三角函数值的混合运算。 3.实际问题中的三角函数值的运用。 【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】 有关特殊角的三角函数值是中考的必考内容,常见的考法有两种:一种是直接考特殊角三角函数值的相关 运算;一种是在解直角三角形的综合题中,与非特殊角结合在一起考,这种题几乎是中考数学的必考题。 在教学中,一要抓好学生的记忆关;二是要给学生储备典型的直角三角形模型(如:背靠背型和母子型 等)。
二、知识讲解
知识点 1 特殊角的三角函数值
三角函数
30
45
1 sin a
2
2
2
60
记忆方法
3
一二三
2
cos a
3
2
1
三二一
2
2
2
tan a
3
1
3
示意图
3
三九二十七
正弦与余弦的分 母都是 2,正切的 分母是 3,,分子 是根号对应的 数.
注意:对于正弦值,分母都是 2,分子按角度增加分别为 1 , 2 与 3 .对于余弦值,分母都是 2,分子
按角度增加分别为 3 , 2 与 1 .对于正切,60 度的正切值为 3 ,当角度递减时,分别将上一个正切值
除以 3 ,即是下一个角的正切值.
28.1锐角三角函数 第3课时特殊角的三角函数 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义;(重点) 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算;(重点) 3.能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题.(难点 ) 一、情境导入 问题1:一个直角三角形中,一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的? 问题2:两块三角尺中有几个不同的锐角?各是多少度?设每个三角尺较短的边长为1,分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 二、合作探究 探究点一:特殊角的三角函数值 【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算 计算: (1)2cos60°·sin30°-6sin45°·sin60°; (2) sin30°-sin45° cos60°+cos45° . 解析:将特殊角的三角函数值代入求解. 解:(1)原式=2× 1 2× 1 2-6× 2 2× 3 2= 1 2- 3 2=-1; (2)原式= 1 2- 2 2 1 2+ 2 2 =22 -3. 方法总结:解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】已知三角函数值求角的取值范围 若cosα= 2 3,则锐角α的大致范围是() A.0°<α<30°B.30°<α<45° C.45°<α<60°D.0°<α<30° 解析:∵cos30°= 3 2,cos45°= 2 2,cos60°= 1 2,且 1 2< 2 3< 2 2,∴cos60°<cos α<cos45°,∴锐角α 的范围是45°<α<60°.故选C. 方法总结:解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性. 【类型三】根据三角函数值求角度 若3tan(α+10°)=1,则锐角α的度数是() A.20°B.30°C.40°D.50°
三角函数的定义域、值 域和最值 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1