最新江苏高考数学专题复习资料及答案

江苏高考数学专题复习

专题一函数与导数1

第1课时函数的图象与性质1

第2课时导数及其应用5

第3课时函数与方程8

第4课时函数与导数的综合应用10

专题二三角函数与平面向量14

第1课时三角函数的图象与性质14

第2课时平面向量、解三角形17

第3课时三角函数与向量的综合问题21

专题三不等式25

第1课时基本不等式及其应用25

第2课时不等式的解法与三个“二次”的关系29 专题四数列31

第1课时等差、等比数列31

第2课时数列的求和34

第3课时数列的综合应用38

专题五立体几何42

第1课时平行与垂直42

第2课时面积与体积47

专题六平面解析几何52

第1课时直线与圆52

第2课时圆锥曲线56

第3课时圆锥曲线的定点、定值问题60

第4课时圆锥曲线的范围问题64

专题七应用题67

专题八理科选修72

第1课时空间向量72

第2课时离散型随机变量的概率分布76

第3课时二项式定理80

第4课时数学归纳法84

专题九思想方法88

第1课时函数与方程思想88

第2课时数形结合思想92

第3课时分类讨论思想95

第4课时等价转化思想98

专题一 函数与导数

考情分析

函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是函数的性质及其应用；二是分段函数的求值问题；三是函数图象的应用；四是方程根与函数零点转化问题；五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上，对考生的理解能力、计算能力、数学思想等方面要求较高.

第1课时 函数的图象与性质

考点展示 1.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 2.(2016·江苏)设f ()x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)－1，1上，f ()x ＝?????x ＋a ，－1≤x <0???

?25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ，若f ????－52＝f ????9

2，则f ()5a 的值是________. 3.(17苏北三市三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B

和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________.

第3题图

4.(17无锡一调)已知f ()x ＝?

????2x －3，x >0

g ()x ，x <0是奇函数，则f ()

g ()－2＝________.

5.(17无锡一调)若函数f ()x 在[]m ，n ()m

f ()x 的一个“等值映射区间”.下列函数：①y ＝x 2－1，②y ＝2＋lo

g 2x ，③y ＝2x －1，④y ＝1

x －1，

其中存在唯一一个“等值映射区间”的函数有________个.

6.(17镇江一调)不等式log a x －ln 2x <4()a >0，且a ≠1对任意x ∈()1，100恒成立，则实数a 的取值范围为________.

热点题型

题型1__函数的图象与性质

【例1】 (1)已知函数y ＝f ()x 是奇函数，当x <0时，f ()x ＝x 2＋ax ()a ∈R ，且f ()2＝6，则a ＝______.

(2)已知函数f ()x 是定义在R 上且周期为4的偶函数.当x ∈[]2，4时，f ()x ＝???

?log 4????x －32，则f ????

12的值为__________.

【变式训练】 (1)已知f ()x 是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f ()x ＝x 2－4x ，则不等式f ()x >x 的解集为________.

(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5()a >1.

①若f (x )的定义域和值域均是[]1，a ，求实数a 的值；

②若f (x )在区间()－∞，2上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[]1，a ＋1，总有||f （x 1）－f （x 2）≤4，求实数a 的取值范围.

题型2__函数图象的识别与应用

【例2】 已知函数y ＝2x ＋

12x ＋1与函数y ＝x ＋1

x 的图象共有k ()k ∈N *个公共点：A 1()x 1，y 1，

A 2()x 2，y 2，…，A k ()x k ，y k ，则

1

()k

i

i

i x y =+∑＝________.

【变式训练】 已知函数f (x )()x ∈R 满足f ()－x ＝2－f ()x ，若函数y ＝x ＋1

x

与y ＝f (x )图象的交点为()x 1，y 1，()x 2，y 2，…，()x m ，y m ，则

1

()m

i

i

i x y =+∑＝________.

题型3__利用函数图象解决复合函数零点个数问题

【例3】 已知函数f ()x ＝||x 2－4x ＋3，若方程[]f ()x 2＋bf ()x ＋c ＝0恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是________.

【变式训练】 已知函数f ()x ＝x 3－3x 2＋1，g ()x ＝????

?????x －122＋1，x >0－()x ＋32＋1，x ≤0

，则方程g []

f ()x －a ＝0(a 为正实数)的实数根最多有________.

题型4__函数的图象与性质的综合应用

【例4】 设函数f (x )＝a x －()k －1a －

x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数. (1)求k 值；

(2)若f (1)<0，试判断函数的单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围；

(3)若f (1)＝32，且g ()x ＝a 2x ＋a －

2x －2mf ()x ，在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值.

【变式训练】 已知函数f (x )满足f (x )＝2f (x ＋2)，且当x ∈(0，2)时，f (x )＝ln x ＋ax (a <－1

2)，

当x ∈(－4，－2)时，f (x )的最大值为－4.

(1)求实数a 的值；

(2)设b ≠0，函数g (x )＝1

3bx 3－bx ，x ∈(1，2).若对任意x 1∈(1，2)，总存在x 2∈(1，2)，

使f (x 1)＝g (x 2)，求实数b 的取值范围.

第2课时 导数及其应用

考点展示

1.(17南通三调)若直线y ＝2x ＋b 为曲线y ＝e x ＋x 的一条切线，则实数b 的值是________.

2.(2017·江苏)已知函数f ()x ＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然数对数的底数，若f ()a －1＋

f ()2a 2≤0，则实数a 的取值范围是________.

3.(17镇江一调)已知函数f ()x ＝x ln x ，g ()x ＝λ()x 2－1(λ为常数)，函数y ＝f ()x 与y ＝g ()x 在x ＝1处有相同的切线，则实数λ的值为________.

4.(17南通10套)设直线l 是曲线y ＝4x 3＋3ln x 的切线，则直线l 的斜率的最小值为________.

5.(17南京三调)若函数f ()x ＝e x ()－x 2＋2x ＋a 在区间[]a ，a ＋1上单调递增，则实数a 的最大值为________.

6.若点P ，Q 分别是曲线y ＝x ＋4

x

与直线4x ＋y ＝0上的动点，则线段PQ 长的最小值为________.

热点题型

题型1__导数的几何意义

【例1】 设曲线y ＝ax －a －ln x 在点(1，0)处的切线方程为y ＝2x －2，则a ＝________.

【变式训练】 (1)设函数f ()x ＝ax 2＋x ＋b ln x ，曲线y ＝f ()x 过点P ()1，0，且在点P 处的切线斜率为2，则a ＋b ＝________.

(2)已知曲线y ＝2x －m

x

()x ∈R ，m ≠－2在x ＝1处切线为直线l ，若直线l 在两坐标轴上

的截距之和为12，则实数m 的值为________.

题型2__利用导数研究函数的单调性

【例2】 已知函数f (x )＝e x (2x －1)－x ＋1(a ∈R )，则函数f (x )的单调增区间为__________.

【变式训练】 (1)已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋bx ，若f (x )在区间[1，2]上不是单调函数，则实数b 的取值范围为________.

(2)设函数f ()x ＝ln x ＋m

x (m ∈R )，若对任意b ＞a ＞0，f ()b －f ()a b －a ＜1恒成立，则m 的取值

范围是________.

题型3__利用导数研究函数的极值(最值)问题

【例3】 已知λ∈R ，函数f ()x ＝e x －e x －λ()x ln x －x ＋1的导函数为g ()x ，若函数g ()x 存在极值，求λ的取值范围.

【变式训练】 已知函数f (x )＝a ln x －bx 3，a ，b 为实数，b ≠0，e 为自然对数的底数，e ≈2.71828….

(1)当a <0，b ＝－1时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最大值；

(2)若关于x 的方程f (x )＝0在区间(1，e ]上有两个不同实数解，求a

b 的取值范围.

题型4__导数的实际应用

【例4】 某地拟建一座长为640米的大桥AB ，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩A 、B 造价总共为100万元，当相邻两个桥墩的距离为x 米时(其中64

640

)万元.

(1)试将桥的总造价表示为x 的函数f (x )；

(2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩A 、B 除外)应建多少个桥墩？

【变式训练】 如图，半径为30cm 的圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以AB 为母线的圆柱形

罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设OB 与矩形材料的边OA 的夹角为θ，圆柱的体积为V cm 3.

(1)求V 关于θ的函数关系式，并写出定义域； (2)求圆柱形罐子体积V 的最大值.

第3课时 函数与方程

考点展示

1.若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则实数a 的取值范围是________.

2.若方程lg x ＋x －3＝0的近似解在区间(k ，k ＋1)上，k ∈Z ，则k ＝________.

3.函数f ()x ＝x －ln x －1在定义域上有________个零点.

4.已知函数f ()x 对任意的x ∈R 满足f ()－x ＝f ()x ，且当x ≥0时，f ()x ＝x 2－ax ＋1；若f ()x 有4个零点，则实数a 的取值范围是________.

5.若函数f ()x ＝4－x 2－x ＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________.

6.(17苏锡常镇一调)若函数f (x )＝?

??1

2x －1，x <1ln x

x 2

，x ≥1，则函数y ＝||f （x ）－1

8的零点的个数为

________.

热点题型

题型1__函数与方程的相互转化

【例1】 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是____________.

【变式训练】 已知函数f (x )＝???log 2x ，()

x >03x ，

()x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有

一个实根，则实数a 的范围是__________.

题型2__利用零点存在性定理证明函数的零点或方程的根

【例2】 已知函数f ()x ＝x －a ln x ()a >e .求证：函数f ()x 有且只有两个零点.

【变式训练】 已知函数f ()x ＝ln x ＋10

x

－4.求证：函数f ()x 有且只有两个零点.

题型3__已知根的分布求参数的范围

【例3】 已知函数f ()x ＝1

3x 3＋1－a 2x 2－ax －a ()a >0.若函数f ()x 在区间()－2，0内恰有两

个零点，则a 的取值范围是____________.

【变式训练】 已知函数f ()x ＝()2－a x －2()1＋ln x ＋a .若函数f ()x 在区间????0，1

2上无零点，求a 的最小值.

题型4__函数与方程的综合应用

【例4】 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －1

20(1＋k 2)x 2(k >0)表示

的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

【变式训练】 已知函数f ()x ＝2x 3＋ax 2＋bx ＋c ()a ，b ，c ∈R ，若x ＝1和x ＝2是函数f ()x 的两个极值点.求：(1)a ，b 的值；

(2)函数f ()x 在区间[]0，3上的零点个数.

第4课时 函数与导数的综合应用

考点展示

1.(17南通二调)函数f (x )＝lg ()5－x 2的定义域是__________.

2.(17南通十套)若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________.

3.(17南通十套)函数y ＝||log 2x ，x ∈????14，32的值域为________.

4.(17南通十套)设函数f ()x ＝?

??

??3x －1，x <12x 2，x ≥1

，则满足f ()f ()a ＝2()f ()a 2的a 的取值范围为

________.

5.(17南通三调)已知函数f (x )＝?

????x ，x ≥a ，

x 3－3x ，x

则实数a 的取值范围是________.

6.(17南通十套)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )2(b ≠0)，不等式f (x )≥mxf ′(x )对?x ∈R 恒成立，则2m ＋a －b ＝________.

热点题型

题型1__函数性质的综合问题

【例1】 已知函数f ()x ＝4x －2x ，实数s ，t 满足f ()s ＋f ()t ＝0，设a ＝2s ＋2t ，b ＝2s ＋

t .

(1)当函数f ()x 的定义域为[]－1，1时，求f ()x 的值域； (2)求函数关系式b ＝g ()a ，并求函数g ()a 的定义域； (3)求8s ＋8t 的取值范围.

【变式训练】 已知函数f ()x ＝()ax 2＋x ＋2e x ()a >0，其中e 是自然对数的底数. (1)当a ＝2时，求f ()x 的极值；

(2)若f ()x 在[]－2，2上是单调增函数，求实数a 的取值范围.

题型2__函数、导数性质的综合问题

【例2】 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1()a >0，b ∈R 有极值，且导函数f ′()x 的极值点是f ()x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；

(3)若f ()x ，f ′()x 这两个函数的所有极值之和不小于－7

2，求a 的取值范围.

【变式训练】 已知函数f (x )＝e x (a ln x ＋2

x ＋b )，其中a ，b ∈R .(e ＝2.71828是自然对数的

底数)

(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝e(x －1).求实数a ，b 的值；

(2)若a ＝－2时，函数y ＝f (x )既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围.

题型3__函数、导数在研究不等式问题中的应用

【例3】 已知函数f ()x ＝e x ＋e －

x .(其中e 是自然对数的底数)

(1)证明：f (x )是R 上的偶函数；

(2)若关于x 的不等式mf ()x ≤e －

x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；

(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)

)成立.试比较e a －

1与a e

－

1的大小，并证明你的结论.

【变式训练】 已知函数f (x )＝a x ＋b x (a >0，b >0，a ≠1，b ≠1).

(1)设a ＝2，b ＝1

2

；

①求方程f (x )＝2的根；

②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0

题型4__实际问题

【例4】 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l .

(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问当α为何值l 最小，并求最小值.

【变式训练】 如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD ，AB 距离分别为9m ，3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M ，N 分别在边AD ，AB 上，设AN ＝x (m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S (m 2).

(1)用x 的代数式表示AM ；