计算方法试题集及答案
Sh 额四、计算题：
1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ??
?
??=++=++=++22
5218
241124321321321x x x x x x x x x ，取
T
)
0,0,0()
0(=x
，迭代四次(要
求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式
?
??
?
??
?
??--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(4
1)
1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
2、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)
(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求
)
2(f 的近似值（保留四位小数）。
答案：)
53)(43)(13()5)(4)(1(6
)
51)(41)(31()5)(4)(3(2
)
(3------+------=x x x x x x x L
)
45)(35)(15()4)(3)(1(4
)
54)(34)(14()5)(3)(1(5
------+------+x x x x x x
差商表为
)
4)(3)(1(4
1)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P
5
.5)2()2(3=≈P f
4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题
?
?=+='1
)0(32y y x y
)
10(≤≤x
答案：解：
????
?+++?+=+?+=++++)]
32()32[(1.0)32(2.0)
0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y
即 04
.078.152.01++=+n n n y x y
7、构造求解方程0
210=-+x e
x
的根的迭代格式
,2,1,0),(1
==+n x x n n ?，讨论其收敛
性，并将根求出来，4
110
||-+<-n n x x 。
答案：解：令 0
10)1(,
02)0(,210e
)(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且
10e
)(>+='x
x f )(∞+-∞∈?，对x ，故0
)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程
)(=x f 变形为
)
e 2(10
1x
x -=
则当)1,0(∈x 时
)
e 2(10
1)(x
x -=?，
1
10
e 10
e
|)(|<≤
-
='x
x ?
故迭代格式
)
e
2(10
11n
x n x -=
+
收敛。取5
.00
=x ，计算结果列表如下：
且满足
6
6710
95000000.0||-<≤-x x .所以008
525090.0*
≈x
.
8﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组
??
?
??=++=++=++20
531825214
32321321321x x x x x x x x x 。
答案：解：????
?
????
?--????
?
???
??-==244
1
3
21
15
3
12
1LU A
令b
y
=L 得T
)72,10,14(--=y
，y
x
=U 得T
)3,2,1(=x
.
9﹑对方程组
??
?
??=-+=-
-=++8
4102541015
1023321321321x x x x x x x x x
（1） 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由； （2） 取初值
T
)
0,0,0()
0(=x
，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求3
)()1(10
||||-∞+<-k k x x 。
解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
??
?
??=++=-+=-
-15
1023841025410321321321x x x x x x x x x
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
?
??
?
??
???+--=++-=++=++++++)1523(101)842(101)54(101)
1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x
取T
)0,0,0()
0(=x
,经7步迭代可得：
T
)010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x .
11、用列主元素消元法求解方程组
??????????--=???????????????
?????--11124112345111
321x x x 。
解：
????
?
?????----???→
???????
?????----1111
2
4
111123
45111
12
123454111
2
1r r
???????????????
?-----???→?????????
????????
?
------???→?-5
85
25
105
7951
5
13012345579515
130
585
25
1
012
3455
251
321
31
2r r r r r r
?????
????????
??
?-
---???→?+13513
5
05795
1
5
130
12
345131
2
3r r 回代得 3
,6,1123==-=x x x 。
13、用欧拉方法求
?-=
x
t
t
x y 0
d e
)(2
在点0
.2,5.1,0.1,5.0=x 处的近似值。
解：
?-=
x
t
t
x y 0
d e )(2
等价于
?????=='-0
)0(e 2
y y x (0
>x
)
记
2
e
),(x
y x f -=,取5.0=h
,0
.2,5.1,0.1,5.0,043210=====x x x x x .
则由欧拉公式
??
?=+=+0
),(01y y x hf y y n n n n , 3,2,1,0=n
可得
88940.0)0.1(,
5.0)5.0(21≈==≈y y y y , 12604
.1)0.2(,
07334
.1)5.1(43≈==≈y y y y
14、给定方程
1e
)1()(=--=x
x x f
1) 分析该方程存在几个根；
2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 解：1）将方程 0
1e
)1(=--x
x （1）
改写为
x
x -=-e
1 （2）
作函数
1)(1-=x x f ，x
x f -=e
)(2的图形（略）知（2）有唯一根)
2,1(*
∈x
。
2) 将方程（2）改写为 x
x -+=e
1
构造迭代格式 ??
?=+=-+5
.1e 101x x
k
x k
)
,2,1,0( =k
计算结果列表如下：
3)
x
x -+=e
1)(?，x
x --='e
)
(?
当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(?
∈???x ，且 1e
|)(|1
<≤'-x ?
所以迭代格式
)
,2,1,0()
(1 ==+k x x k k ?对任意]
2,1[0
∈x 均收敛。
15、用牛顿(切线)法求
3
的近似值。取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。
解：
3
是
3)(2
=-=x
x f 的正根，
x
x f 2)(='，牛顿迭代公式为
n
n n n x x x x 232
1--
=+， 即
)
,2,1,0(2321 =+
=
+n x x x n
n n
取x 0=1.7, 列表如下：
16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解：
)
12)(12()1)(1(4)
21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+?
--+-+?
+------?
=x x x x x x x L
)1)(1(3
4)2)(1(2
3)2)(1(3
2-+-
-+-
--=x x x x x x 04167
.024
1
)5.1()5.1(2≈=
≈L f
17、n =3,用复合梯形公式求x
x
d e
1
?的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
解：
7342
.1]e )e e
(2e
[3
201d e 1
3
23
10
31
≈+++?-=
≈?T x x
x
x x f x f e
)(,e )(=''=，10
≤≤x 时，e
|)(|≤''x f
05
.0025.0108
e 3
12e |e
|||2
3≤==
?≤
-= T R x
至少有两位有效数字。
18、用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组
????
? ?
?--41
113
1103????
? ??321x x x =?
???? ?
?--815，
取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel 迭代格式为：
?
??
?
??
???-+-=----=+-=++++++)8(41)1(31)5(31)
1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)
(3)1(1k k k k k k k k x x x x x x x x
系数矩阵
????
?
?????--41
1
131103严格对角占优，故Gauss-Seidel 迭代收敛.
取x (0)=(0,0,0)T ，列表计算如下:
19、用预估—校正法求解??
?=+='1
)0(y y
x y (0≤x ≤1)，h =0。2，取两位小数。
解：预估—校正公式为
???
?
?
????
++==++=+),(),()(21121211k y h x hf k y x hf k k k y y n n n n n n
,2,1,0=n
其中
y
x y x f +=),(，1
=y ，h =0.2，4
,3,2,1,0=n
，代入上式得：
21、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx
e
x
?-1
时，试用余项估计其误
差。用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。
解：
001302
.0768
18
112
1)(12
][0
2
2
==
??
≤
''--
=e
f h
a b f R T η
]
)()(2)([2
)8(7
1
∑=++=
k k b f x f a f h T
]
36787947
.0)41686207
.047236655
.05352614
.060653066.07788008.08824969
.0(21[16
1++++++?+=
6329434
.0=
22、（15分）方程013
=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）3
1
+=
x x
对应迭代格式
3
11
+=
+n n x x ；(2)x x 1
1+
=对应迭代格式
n
n x x 111+
=
+；（3）13
-=x x 对应
迭代格式1
3
1-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，
精确到小数点后第三位。
解：（1）
3
2
1(3
1)(-
+=
'）x x ?，
1
18.05.1<='）（?，故收敛；
（2）x x
x 1
121
)(2
+
-
='?，117.05.1<='）（?，故收敛；
（3）
2
3)(x
x ='?，
1
5.135.12
>?='）（?，故发散。
选择（1）：5
.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259
.13=x ，3249.14=x ，
32476
.15=x ，
32472
.16=x
23、（8分）已知方程组f AX =，其中
????
?
????
?--=41
143
34
A ，????
?
?????-=24
30
24
f
（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。
解：Jacobi 迭代法：?
?
?????
??=+-=+-=-=+++
,3,2,1,0)24(4
1)330(41)324(4
1)
(2)1(3)(3)(1)1(2)
(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法：?
?
?????
??=+-=+-=-=+++++
,3,2,1,0)24(4
1)330(41)324(4
1)
1(2)1(3)(3)1(1)1(2)
(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k
?????
?
??
??
?
?--=+-=-043043043
04
30
)(1
U L D B J
，
790569
.0)4
10(8
5
)(==
或
J B ρ
27、（10分）已知数值积分公式为：
)]
()0([)]()0([2
)('
'20
h f f h h f f h dx x f h
-++≈
?
λ，试确定积分公式中的参数λ，使其代数精
确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：1)(=x f 显然精确成立；
x x f =)(时，]
11[]0[2
2
2
2
-++=
=?
h h h h
xdx h
λ；
2
)(x
x f =时，12122
]20[]0[233
2
2
3
2
=
?-=
-++=
=
?λλλh h
h h h h h
dx x h
；
3
)(x
x f =时，
]
30[121]0[242
23
4
3
h h h h h
dx x h
-+
+==
?
；
4
)(x
x f =时，
6]40[12
1]0[2
55
3
2
4
5
4
h
h h h h h
dx x h
=
-+
+≠=
?
；
所以，其代数精确度为3。
28、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为：
2,1,00
)
(2101=>+
=
+k x x a x x k
k k
证明：对一切a x k k ≥=,,2,1 ，且序列{}k x 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
证明：
2,1,022
1)(211==?
?
?≥
+
=
+k a x a x x a x x k
k k
k k
故对一切
a
x k k ≥=,,2,1 。
又
1
)11(2
1)1(212
1=+≤
+
=+k
k
k x a x x 所以k
k x x ≤+1，即序列
{}k x 是单调递减有下界，从而迭代过
程收敛。
29、（9分）数值求积公式?
+≈
3
)]
2()1([2
3)(f f dx x f 是否为插值型求积公式？为什么？其代数精
度是多少？ 解：是。因为
)
(x f 在基点1、2处的插值多项式为
)
2(1
21)1(2
12)(f x f x x p ?--+
?--=
?
+=
3
)]
2()1([2
3)(f f dx x p 。其代数精度为1。
30、(6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(6分)
()()[]
n
n
n x x x cos 14
11+
=
=+φ，n=0,1,2,…
()()1
4
1sin 4
1'<≤
=
x x φ ∴ 对任意的初值
]
1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。
31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。 用Newton
≈115
10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555
()2
58
3'''-=
x
x f
()
()()()
00163
.029*******
361144
115
121
115
100
115
!
3'''2
5≈???≤---=-ξf R
34、(8分)求方程组 ???
?? ??=???? ??????? ?
?12511
2131
21x x 的最小二乘解。
()b A x A A T
T =，???? ??=???? ??????
??2081466321x x ，
????
??-=0000.23333
.1x
若用Householder 变换，则：
()???
??
??------→52073.236603
.1052073.136603.00
61880
.446410.373205.1,b A ???
??
?
?---→81650.00
82843.241421
.10
61880.446410.373205
.1
最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T
.
35、(8分)已知常微分方程的初值问题：
?
?
?=≤≤=2)1(2
.11,
y x y x dx dy
用改进的Euler 方法计算y (.)12的近似值，取步长2.0=h 。
()5
.0,001=
=y x f k ，
()()0.52380955.02.021.1,1012=?+=+=hk y x f k
()()1071429
.25238095
.05.01.022
2
1
01=
+?+=++
=k k h y y
37、（15分）已知方程组A x b =，其中
1221
1122
1A -??
??=??????，12
3b ??
??=??????
，
（1）写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式； （2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；
解：（1）Jacobi 迭代法的分量形式
112312
1313121222012322()
()
()
()()()
()
()();,,,k k k k k k k k k x x x x x x k x x x +++?=-+?=--=??=--? Gauss-Seidel 迭代法的分量形式
1123112
13111312
1222012322()
()
()
()()()
()
()();,,,k k k k k k k k k x x x x x x k x x x ++++++?=-+?=--=??=--?
（2）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
1
221
012
2
0()B D L U --??
??=+=--????--??
，
1230λλλ===，01()B ρ=<，Jacobi 迭代法收敛
Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为
1
220
230
2()G D L U --??
??=-=-??????
，
12302,λλλ===，21()B ρ=>，Gauss-Seidel 迭代法发散
38、（10分）对于一阶微分方程初值问题201()d y
x y d x y ?=-???
=?，取步长02.h =，分别用Euler 预报－校
正法求02(.)y 的近似值。 解：Euler 预报－校正法
01011110220408012201602082()
()
.()...()...n n n n n n n n n n n n n n n y y x y x y y y x y x y x x y +++++?=+-=+?=+-+-=++?10202020821086
(.)....y y ≈=?+?=
40、(10分)已知下列函数表：
(2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。 解：（1）
3123023013012010203101213202123303132()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()
()()()
()()()
x x x x x x x x x x x x L x ------------=
+
+
+
------------
32
4821
3
3
x x x =
-+
+
（2）均差表：01132
9
327 26
18 2
6 4
3
341221123
()()()()
N x x x x x x x =++-+--
315155
(.)(.)f N ≈=
41、(10分)取步长02.h =，求解初值问题83002()()d y
y x d x
y ?=-?
≥??
=?，用欧拉预报—校正法求02(.)
y 的近似值。
解：（1）欧拉预报-校正法：
011028316040183831604112058()
.()...((..))..n n n n n n n n n y y y y y y y y y ++?=+-=+?
=+-+-+=+? 102228
(.).y y ≈=
42、(10分)取5个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分
2
2
112+?d x
x
的
近似值（保留4位小数）。
2
1()f x =
(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：
4051206666670333333018181801111112
.[(...).]
T =
+?+++
0868687.=
(2) 复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：
2114066666701818182033333301111116
[(..)..]
S =
+?++?+
0861953.=
43、(10分)已知方程组A x b =，其中
2111
211
1
2A ??
??=??????
，11
1b ??
??=??????
(1)列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式； (2)讨论上述两种迭代法的收敛性。 解：（1）Jacobi 迭代法：
112312
131312121212()
()
()
()()()
()
()()()/()/()/k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++?=--?=--??=--?
Jacobi 迭代矩阵：
1110221
102211022
()B D L U -?
?
???
???=+=
??????????
1()B ρ= 收敛性不能确定
（2）Gauss-Seidel 迭代法：
1123112
1311131212
1212()
()
()
()()()
()
()()()/()/()/k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++?=--?=--??=--?
Gauss-Seidel 迭代矩阵：
111022110
421108
8()G D L U -?
?
???
??
?=-=-??????-
-????
1
()B ρ=
=
< 该迭代法收敛
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
数值计算方法》试题集及答案
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
计算方法试题
计算方法考试题（一） 满分70分 一、选择题：（共3道小题，第1小题4分，第2、3小题3分，共10分） 1、将A 分解为U L D A --=，其中),,(2211nn a a a diag D =，若对角阵D 非奇异（即),1,0n i a ii =≠，则b Ax =化为b D x U L D x 1 1)(--++=（1） 若记b D f U L D B 111 1),(--=+= （2） 则方程组（1）的迭代形式可写作 ) 2,1,0(1 )(1)1( =+=+k f x B x k k （3） 则（2）、（3）称 【 】 (A)、雅可比迭代。(B)、高斯—塞德尔迭代 (C)、LU 分解 (D)、Cholesky 分解。 2、记*x x e k k -=，若0lim 1≠=+∞→c e e p k k k （其中p 为一正数）称序列}{k x 是 【 】 (A)、p 阶收敛； (B)、1阶收敛； (C)、矩阵的算子范数； (D)、p 阶条件数。 3、牛顿切线法的迭代公式为 【 】 (A)、 ) () (1k x f x f x x k k k '- =+ (B)、 )()())((111--+--- =k k k k k k k x f x f x x x f x x 1 )() ()1()()()(x x f x f x f k i k i k i ??+=+ (D)、 )() ()()1(k k k x f x x -=+ 二、填空题：（共2道小题，每个空格2分，共10分） 1、设0)0(f =，16)1(f =，46)2(f =，则一阶差商 ，二阶差商=]1,2,0[f ，)x (f 的二次牛顿 插值多项式为 2、 用二分法求方程 01x x )x (f 3 =-+=在区间]1,0[内的根，进行第一步后根所在的区间为 ，进行第二步后根所在的区间 为 。 三、计算题：（共7道小题，第1小题8分，其余每小题7分，共50分） 1、表中各*x 都是对准确值x 进行四舍五入得到的近似值。试分别指出试用抛物插值计算115的近似值，并估计截断误差。 3、确定系数101,,A A A -，使求积公式 ) ()0()()(101h f A f A h f A dx x f h h ++-≈? -- （1） 具有尽可能高的代数精度，并指出所得求积公式的代数精度。
六年级数学简便计算专项练习题(附答案+计算方法汇总)
六年级数学简便计算专项练习题（附答案＋计算方法汇总） 小学阶段（高年级）的简便运算，在一定程度上突破了算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序。如果学生没真正理解运算定律、性质，他只能照葫芦画瓢。在实际解题的过程当中，学生的思路不清晰，常出现这样或那样的错误。因此，培养学生思维的灵活性就显得尤为重要。 下面，为大家整理了8种简便运算的方法，希望同学们在理解的基础上灵活运用，不提倡死记硬背哟！ 1.提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59） 2.借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1－4 3.拆分法
顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25 4.加法结合律 注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76＋13.67＋4.24＋ 6.33 =（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33) 5.拆分法和乘法分配律结合 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。 例如： 34×9.9 = 34×(10－0.1) 案例再现：57×101=？ 6.利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083
《计算方法》期末考试试题
《计算方法》期末考试试题 一 选 择（每题3分，合计42分） 1. x* ＝ 1.732050808，取x ＝1.7320，则x 具有 位有效数字。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 2. 取7 3.13≈（三位有效数字），则 ≤-73.13 。 A 、30.510-? B 、20.510-? C 、10.510-? D 、0.5 3. 下面_ _不是数值计算应注意的问题。 A 、注意简化计算步骤，减少运算次数 B 、要避免相近两数相减 C 、要防止大数吃掉小数 D 、要尽量消灭误差 4. 对任意初始向量)0(x ?及常向量g ?，迭代过程g x B x k k ? ??+=+)() 1(收敛的充分必要条件是_ _。 A 、11< B B 、1<∞ B C 、1)((完整word版)计算方法习题集及答案.doc
习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 x max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n R n n . 2. 试证明 max a ij , A ( a ij ) 1 i n 1 i n 1 j 证明： （ 1）令 x r max x i 1 i n n p 1/ p n x i p 1/ p n x r p 1/ p 1/ p x lim( x i lim x r [ ( ] lim x r [ lim x r ) ) ( ) ] x r n p i 1 p i 1 x r p i 1 x r p 即 x x r n p 1/ p n p 1/ p 又 lim( lim( x r x i ) x r ) p i 1 p i 1 即 x x r x x r ⑵ 设 x (x 1,... x n ) 0 ，不妨设 A 0 ， n n n n 令 max a ij Ax max a ij x j max a ij x j max x i max a ij x 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n 1 i n j 1 即对任意非零 x R n ，有 Ax x 下面证明存在向量 x 0 0 ，使得 Ax 0 ， x 0 n ( x 1,... x n )T 。其中 x j 设 j a i 0 j ，取向量 x 0 sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。 1 n n 显然 x 0 1 且 Ax 0 任意分量为 a i 0 j x j a i 0 j ， i 1 i 1 n n 故有 Ax 0 max a ij x j a i 0 j 即证。 i i 1 j 1 3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113 解： x 325 &0.314159292 101 133 x x 355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式就是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差与( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 10、已知f (1)＝2,f (2)＝3,f (4)＝5、9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0、15 ); 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
2016华工计算机计算方法(数值分析)考试试卷_共4页
考完试了，顺便把记得的题目背下来，应该都齐全了。我印象中也就只有这些题，题 目中的数字应该是对的，我也验证过，不过也不一定保证是对的，也有可能我也算错了。 还有就是试卷上面的题目可能没有我说的这么短，但是我也不能全把文字背下来，大概意 思就是这样吧。每个部分的题目的顺序可能不是这样，但总体就是这四大块。至于每道题 目的分值，我记得的就写出来了，有些题目没注意。我题目后面写的结果都是我考试时算 出来的，考完了也懒得验证了，可能不一定对，自己把握吧，仅供参考。 华南理工大学2016计算机计算方法（数值分析）考试试卷 一填空题（16分） 1.（6分）X* = 3.14，准确值x = 3.141592，求绝对误差e(x*) = ，相对误差e r(x*) = ，有效数位是。 2.（4分）当插值函数的n越大时，会出现龙格现象，为解决这个问题，分段函数不一个 不错的办法，请写出分段线性插值、分段三次Hermite插值和三次样条插值各自的特点。 3.（3分）已知x和y相近，将lgx – lgy变换成可以使其计算结果更准确。 4.（3分）已知2x3 – 3x2 +2 = 0，求牛顿迭代法的迭代式子。 解题思路：1. 这里的绝对误差和相对误差是没有加绝对值的，而且要注意是用哪个数减去哪个数得到的值，正负号会不一样；2. 可以从它们函数的连续性方面来说明；3. 只要满足课本所说的那几个要求就可以；这个记得迭代公式就可以直接写，记不住可以自己推导， 就是用泰勒展开式来近似求值得到的迭代公式。 我最终的结果是： 1.-0.001592 -0.000507 3 2.分段线性插值保证了插值函数的连续性，但是插值函数的一次导数不一定连续； 分段三次Hermite既保证了插值函数的连续性，也保证了其一次导数的连续性； 三次样条插值保证了插值函数及其一次导数和二次导数的连续性 3.lg(x/y) 4.x k+1 = x k – (2x3 – 3x2 +2)/(6x2 -6x) 二计算题（64分） 1.已知f(x) = x3 –x -1，用对分法求其在[0 , 2]区间内的根，误差要满小于0.2，需要对分多 少次？请写出最后的根结果。 解题思路：每次求区间的中值并计算其对应的函数值，然后再计算下一个区间中值及函数值，一直到两次区间中值的绝对值小于0.2为止。 我最终算得的对分次数是4，根的结果为11/8. 2.根据以下数据回答相应问题： x-2045 y51-31 (1)请根据以上数据构造Lagrange三次插值函数； (2)请列出差商表并写出Newton三次插值函数。 解题思路：(1) 直接按照书本的定义把公式列出来就可以了，这个要把公式记住了才行，不然也写不了；(2)差商表就是计算Newton三次插值函数过程中计算到的中间值及结
计算方法模拟试题及答案
计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。