2016届河南省郑州市高三第一次质量预测数学理试题(解析版)
河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试
理科数学
（时间120分钟 满分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1．（2016郑州一测）设全集*
U {N 4}x x =∈≤，集合{1,4}A =，{2,4}B =，则()U A B = e（ ） A ．{1,2,3}
B ．{1,2,4}
C ．{1,3,4}
D ．{2,3,4}
【答案】A
【解析】注意全集U 是小于或等于4的正整数，∵{4}A B = ，∴(){1,2,3}U A B = e． 2．（2016郑州一测） 设1i z =+（是虚数单位），则2
z
=（ ） A ．
B ．2i -
C ．1i -
D ．0
【答案】C
【解析】直接代入运算：
221i 1i
z ==-+． 3．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
sin a
A
=
，则cos B =（ ）
A ． 1
2
-
B ．
12
C ．
D ．
【答案】B
sin a A =
sin sin A
A
=．
∴tan B =，0B π<<，∴3B π=，1
cos 2
B =．
4．（2016郑州一测）函数()cos x
f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（ ）
A ．0
B ．1-
C ． 1
D ．
【答案】C
【解析】()cos sin x
x
f x e x e x '=-， ∴0
(0)(cos 0sin 0)1k f e '==-=．
5．（2016郑州一测）已知函数1()()cos 2
x f x x =-，则()f x 在[0,2]π上的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C
【解析】画出1()2
x y =和cos y x =的图象便知两图象有3个交点，
∴()f x 在[0,2]π上有3个零点．
6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
135333273++=．
7．（2016郑州一测）设双曲线22
2
21x y a b
-=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线
24y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A ．
2
25514
x y -= B ．22
5514
y x -
= C ．22
5514
x y -
= D ．
2
25514
y x -= 【答案】C
【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．
∴222
12c b a c a b
=???=??
?=+?解得221
5
45a b ?=????=??．
8． 正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数321
()4633
f x x x x =-+-的极值点，则2016a =
（ ） A ．1
B ．2
C ．
D ． 1-
【答案】A
【解析】∵()86f x x x '=-+，
∴140318a a ?=，∴2
2016
6a =， ∵20160a >，∴2016a =20161a =．
9．（2016郑州一测） 如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三
角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（ ） A ．
23
B ．
43
C ．
83
【答案】A
【解析】四面体的直观图如图， ∴112
(12)2323
V =????=．
10．（2016郑州一测）已知函数4()f x x x =+
，()2x
g x a =+，若11[,3]2
x ?∈，2[2,3]x ?∈使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤
B ．1a ≥
C ．0a ≤
D ．0a ≥
【答案】C
【解析】∵1[,3]2x ∈
，()4f x ≥=， 当且仅当2x =时，min ()4f x =．
[2,3]x ∈时，∴2min ()24g x a a =+=+．
依题意min min ()()f x g x ≥，∴0a ≤．
11．（2016郑州一测）已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2
F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．
B ．
2
C ．
2-
D ．
【答案】D
【解析】设1212,F F c AF m ==，
若1F AB ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴1AB AF m ==
．
由椭圆的定义可知1F AB ?的周长为4a ，
∴42a m =+
，2(2m a =．
∴222)AF a m a =-=． ∵2
2
2
12
12AF AF F F +=，
∴222224(21)4a a c +-=，
∴2
9e =-
e =
-．
12．（2016郑州一测）已知函数222,0
()2,0
x x x f x x x x ?-+≥?=?-
2[()]()0f x af x +<恰有1个整数解，则实数a 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
【答案】D
【解析】∵不等式2
[()]()0f x af x +<恰有1个整数解， 当()0f x >时，则0a <，不合题意； 当()0f x <时，则2x >． 依题意2
2
[(3)](3)0
[(4)](4)0
f af f af ?+
∴930
6480
a a -
-≥?，∴38a <≤，故选D ．
x
y
–1–2–3–4–5–6–7–8–9
1
2345678–1
–2–31234
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．二项式62
()x x
-的展开式中，2x 的系数是_______． 【答案】60
【解析】662166(2)(2)r r
r r r r r r T C x x C x ---+=-=-，
令622r -=，解得2r =，
∴2x 的系数为22
6(2)60C -=．
14．若不等式22
2x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0
026x y x y y x -≥??+≥??≥-?
表示的平面区域
为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________． 【答案】
24
π
【解析】12124382
P ππ
===
??．
15．ABC ?的三个内角为,,A B C
7tan()12π
=-，则2cos sin 2B C
+的最大值为________． 【答案】
3
2
【解析】tan
tan
743tan()tan()1243tan tan 143
π
π
πππππ+-
=-+=
=-
7tan()12π=-=
∴sin cos A A =，∴4
A π
=
．
332cos sin 22cos sin 2(
)2cos sin(2)42
B C B B B B ππ
+=+-=+- 22cos cos 22cos 12cos B B B B =-=+-
133
2(cos )222
B =--+≤．
16．已知点(0,1)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足
AM AB AC λμ=+
(2,m λ<≤
2)n μ<≤的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为________．
【答案】4+
【解析】设(,)M x y ，(3,1),(1,3)AB AC ==
， ∵AM AB AC λμ=+ ，
∴(,1)(3,1)(1,3)(3,3)x y λμλμλμ+=+=++．
∴313x y λμλμ=+??+=+?，∴318
338x y x y λμ--?=???-++?=??
，
∵2,2m n λμ<≤<≤，
∴31283328x y m x y n
--?<≤???-++?<≤??
，即1738113383x y m x y n <-≤+??<-+≤-?
∴17381
13383
x y m x y n <-≤+??<-+≤-?表示的可行域为平行四边形，如图：
由317313x y x y -=??-+=?
，得(8,7)A ，
由381313
x y m x y -=+
??-+=?
，得(32,2)B m m ++， (2)m =-
,
∵(8,7)A 到直线383x y n -+=-
的距离d =， ∴(2)16AB d m ?=-=，
∴(2)(2)2m n -?-=， ∴2
222(2)(2)(
)2
m n m n -+-=-?-≤，
∴2(4)8m n +-≥，4m n +≥+
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ??
????是公差为2的等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（1）由已知得1(1)221n
S n n n
=+-?=-， ∴22n S n n =-．
当2n ≥时，2
2
12[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．
11413a S ==?-，
∴43n a n =-，*n ∈N ．
（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n n n b a n =-=--． 当n 为偶数时，
(15)(913)[(45)(43)]422
n n
T n n n =-++-++???+--+-=?
=， 当n 为奇数时，1n +为偶数
112(1)(41)21n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+，
综上，2,2,,
21,21,.
n n n k k T n n k k *
*
? =∈?=?-+=-∈??N N
18．（本小题满分12分）
某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．
已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．
（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益； （2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由． 【解析】（1）设下周一有雨的概率为p ， 由题意，2
0.36,0.6p p ==，
基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则
(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24P X ==，(7.5)0.16P X ==
∴基地收益X 的分布列为：
()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =?+?+?+?=，
∴基地的预期收益为14.4万元．
（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，
则其预期收益()200.6100.416E Y a a =?+?-=-（万元），
()() 1.6E Y E X a -=-，
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人； 成本低于1.6万元时，外聘工人；
成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．
19．（本小题满分12分）
如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠= ，
1
2
AB AD CD ==，BE DF ⊥．
（1）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；
（2）求平面EAD 与平面EBC 所成二面角的大小． 【解析】（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，
在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， ∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ，
又∵AC ?平面MDF ，MN ?平面MDF ， ∴AC ∥平面MDF ． （2）∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，
平面CDEF 平面ABCD CD =，
DE ?平面CDEF ，DE CD ⊥，
∴DE ⊥平面ABCD ．
以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设DA a =，DE b =，
(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ，
(,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-
，
∵BE DF ⊥，
∴22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ?=--?=-=
，b =．
设平面EBC 的法向量(,,)x y z =m ，
则00
BE BC ??=???=??
m m
，即00ax ay ax ay ?--+=??-+=??，取1x =
，则=m ， 注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)=n ，--10分
而1
cos ,||||2
?<>=
=?m n m n m n ，
F
D M
A
C
B
E y z
x
F
D M A
C B E N
∴平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60 ．
20．（本小题满分12分）
已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N
倍． （1）求曲线E 的方程；
（2）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于,A C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于,B D 两点，,C D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长． 【解析】（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，
=，
整理得2
2
410x y x +-+=，即2
2
(2)3x y -+=为所求． （2）由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ， 设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，
线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-, 设直线CD ：y x t =-+，
由2y x y x t
=-??
=-+? ，得22
(,)22t t P +-，
由圆的几何性质，1
||||2
NP CD ==，
而222
22||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =
，22||EP =， 解之得0t =或3t =，
又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-．
由22410,,?+-+=?=-?x y x y x
解得11x y ?=????=-??
或1 1.
?=????=??x y
不失一般性，设(11),(11)C D -，
由22410(1)x y x y u x ?+-+=?=-?， 得2222
(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴
方程⑴的两根之积为1，∴点A
的横坐标2A x =
∵点(11)
C -
-在直线1:10l x my --=
上，解得1m =+，
直线1:1)(1)l
y x =--，∴(2A ．
同理可得，(2B -，∴线段AB 的长为
21．（2016郑州一测）设函数2
1()ln 2
f x x m x =-，2()(1)
g x x m x =-+，0m >． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
()f x '=
当0x <<()0f x '<，函数()f x 的单调递减，
当x >
时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增．
综上，函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是． （2）令2
1()()()(1)ln ,02
F x f x g x x m x m x x =-=-
++->， 问题等价于求函数()F x 的零点个数，
(1)()
()x x m F x x
--'=-
，
当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数， 注意到3
(1)02
F =>，(4)ln 40F =-<，∴()F x 有唯一零点．
当1m >时，
01x <<或x m >时，()0F x '<，1x m <<时，()0F x '>，
∴函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增， 注意到1
(1)02
F m =+
>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， ∴()F x 有唯一零点．
综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．
请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上． 22．（2016郑州一测）如图，BAC ∠的平分线与BC 和ABC ?的外接圆分别相交于D 和E ，延长AC 交过,,D E C 的三点的圆于点F ． （1）求证：EC EF =；
（2）若2ED =，3EF =，求AC AF ?的值．
【解析】（1）证明：∵ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠， EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， AE 平分BAC ∠， ∴ECF EFC ∠=∠，∴EC EF =．
（2）∵ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠，
∴CEA ?∽DEC ?，即2
,CE DE EC EA EA CE DE
==
， 由（1）知，3EC EF ==，∴9
2
EA =
， ∴45()4
AC AF AD AE AE DE AE ?=?=-?=
． 23．（2016郑州一测）已知曲线1C
的参数方程为212
x y t ?=--????=??，曲线2
C
的极坐标方程为)4
π
ρθ=-．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求曲线2C 的直角坐标方程；
（2）求曲线
C 上的动点M 到曲线C 的距离的最大值．
（2）1C 的直角坐标方程为 由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，
且圆心到直线1C 的距离 ∴动点M 到曲线1C 的距离的最大值为
A
B
E
F
C
D
24．（2016郑州一测）已知函数()21f x x x =--+ （1）解不等式()1f x >；
（2）当0x >时，函数21()(0)ax x g x a x
-+=>的最小值总大于函数()f x ，
试求实数a 的取值范围．
【解析】∵211x x --+>，
∴131x <-??>?，或12121x x -≤?，或231x ≥??->?
，
解得0x <，
∴原不等式的解集为(,0)-∞．
（2）∵1
()11g x ax x
=+
-≥-，当且仅当x =“=”成立，
∴min ()1g x =-，
12,02,
()3, 2.x x f x x -<≤?=?
- >?
∴()[3,1)f x ∈-，
∴11-≥,即1a ≥为所求．
宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是
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