广东省实验中学高三第一次月考(数学理)
一、选择题(本答题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题.给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
1、如图所示的韦恩图中,A,B 是非空集合,定义集合A#B为
阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=
},
B={y|y=3x,x>0},则A#B=()
A {x|0 B {x|1 C {x|0≤x≤1或x≥2} D {x|0≤x≤1或x>2} 2、集合,从A到B的映射f A→B满足,那么这样的映射A→B的个 数有() A.2个B.3个C.5个D.8个 3、对某种产品市场产销量情况如图所示,其中:L1表示产品各年年产量的变化规律;L2表示产品各年的 销售情况。下列叙述: (1)产品产量、销售量均以直线上升,仍可按原生产计划进行下去; (2)产品已出现了供大于求的情况,价格将趋跌; (3)产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量; (4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增。 较合理的是(). A (1) (2) B (2) (3) C (3) (4) D (1)(4) 4.已知非零向量和满足,且 ,则△ABC为() A.等边三角形 B. 等腰非直角三角形 C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.下列四个函数中,在区间(0,)上为减函数的是() A B C y= xlog2x D 6.已知,,的大小关系是() (A)(B) (C)(D) 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),f(4-x)=f(x),且当x∈时f(x)是增函数,且f(x)<1,f(0)=0, 则方程f(x)=|lgx|的解的个数最多可为() 2 2x x- {,},{1,0,1} A a b B ==-()()0 f a f b +=f AC AB,BC0 = ? + 2 1 = 4 1 x xe y- =x y) 2 1 (- =3 1 x y= ()) ,则9.0 20101.1( 1 ) (f a x x f= - == b) 9.0(1.1 f)9.0 (log 1.1 f c= c b a> >c a b> > b c a> >a b c> > [)1,0 A.11 B.10 C.9 D.8 8.给出下列四个函数图像: 它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条: ①对任意实数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y)成立; ②对任意实数x,y 都有成立; ③对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立; ④对任意实数x 都有f(x+2)=f(x+1)-f(x)成立. 则下列对应关系最恰当的是( ) A. a 和①,d 和②,c 和③,b 和④ B.c 和①,b 和②,a 和③,d 和④ C. c 和①,d 和②,a 和③,b 和④ D.b 和①,c 和②,a 和③,d 和④ 二、填空题(本答题共6小题,每小题5分,共30分) 9.已知实数x 满足 ,则 10.将函数的图像按平移向量 平移后得到函数的图像,则该平移向量=_______. 11.若向量满足:,且,则与的夹角等于_____. 12.我们知道,两个互为反函数的函数y=2x 与y=log 2x 的图像关于直线y=x 成轴对称,利用这一性质,若 x 1和x 2分别是2x +x+a=0和log 2x+x+a=0的两根,则x 1+x 2的值为直线y=x 与直线y =-x -a 的交点的 横坐标的2倍,即x 1+x 2=-a; 由函数y=x 3与函数互为反函数,我们可以得出:若方程x 3+x-3=0的根为x 1,方程(x-3)3+x=0的根为x 2,则x 1+x 2=_______. 13.已知一三角形ABC 用斜二测画法画出的直观图是面积为 的正三角形(如图),则三角形ABC 中边长与 正三角形的边长相等的边上的高为_______. 14.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称,,则的值为________ 三、解答题(本答题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) )y (f )x (f )y x (f =+12 12 1=- - x x _____1 =+ x x x y 2 log =a 21 log 2-=x y a b a ,4)2()(-=+?-b a b a 4,2==b a a b 3x =y 3C B A '''C B A '''R )(x f 1=x 1)1(=-f + +)2()1(f f )2009()3(f f ++ a b c d 15.(本小题满分13分) 已知集合 (1)当=3时,求; (2)若,求实数的值. 16.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=lnx+x|x-a|是增函数,求实数a 的取值范围 17.(本小题满分14分) 如图:在四棱锥P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面ABCD 垂直(图1),图2为该四棱锥的主视图和侧视图,它们是腰长为6cm 的全等的等腰直角三角形. (1)根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图所在的平面图形的面积. (2)图3中,L 、E 均为棱PB 上的点,且,,M 、N 分别为棱PA 、PD 的中点,问在底 面正方形的对角线AC 上是否存在一点F ,使EF//平面LMN. 若存在,请具体求出CF 的长度;若不存在,请说明理由. 18.(本小题满分14分) 在一次数学实践活动课上,老师给一个活动小组安排了这样的一个任务:设计一个方案,将一块边长为4米的正方形铁片,通过裁剪、拼接的方式,将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和侧面的长方体).该活动小组接到任务后,立刻设计了一个方案,如下图所示,按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后,将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积,最大容积是多少?是否符合要求?若不符合,请你帮他们再设计一个能符合要求的方案,简单说明操作过程和理由. ()() }.,42|{},,23log 126log |{2 222R x x B R x x x x x A x m x ∈<=∈++≥+=-m )(B C A R }41|{<<-=x x B A m 1=EP BE 5=LP BL 侧视图 主 视图 图2 P D P 图1 P C D B A E 图3 F N L M 19.(本小题满分14分) 已知函数当时,总有. (1)求函数f (x )的解析式; (2)设函数,求证:当时,若 恒成立, 则|g(x)|≤3.5也恒成立. 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)= ax,g(x)= lnx-2. (1) 试讨论这两个函数的图像的交点个数. (2) 当a=1时,令h(x)=f(x)-g(x),(x)为函数h(x)的导数,求证:对任意实数m,n ,当0 关于x 的方程(x)在区间[m,n ]恒有实数解. ),2,(12 131)(2 3-≥∈+++= b R b a bx ax x x f 且、]2,2[-∈x 0)(≤'x f )(6)(3)(2 R m x mx x f x g ∈-+-=]1,0[∈x 1|)(|≤'x g h '=--m n m h n h ) ()(h '图1 图2 参考答案 一、选择题(本答题共8小题,每小题5分,满分40分在每小题.给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1、如图所示的韦恩图中,A,B 是非空集合,定义集合A#B为 阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y= }, B={y|y=3x,x>0},则A#B=(D) A {x|0 B {x|1 C {x|0≤x≤1或x≥2} D {x|0≤x≤1或x>2} 2、集合,从A到B的映射f A→B满足,那么这样的映射A→B的个 数有(B) A.2个B.3个C.5个D.8个 3、对某种产品市场产销量情况如图所示,其中:L1表示产品各年年产量的变化规律;L2表示产品各年的销售情况。下列叙述: (1)产品产量、销售量均以直线上升,仍可按原生产计划进行下去; (2)产品已出现了供大于求的情况,价格将趋跌; (3)产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量; (4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增。 较合理的是( B ). A (1) (2) B (2) (3) C (3) (4) D (1)(4) 4.已知非零向量和满足,且 ,则△ABC为( A ) A.等边三角形 B. 等腰非直角三角形 C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.下列四个函数中,在区间(0,)上为减函数的是( C ) A B C y= xlog2x D 6.已知,,的大小关系是( D ) (A)(B) (C)(D) 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),f(4-x)=f(x),且当x∈时f(x)是增函数,且f(x)<1,f(0)=0, 则方程f(x)=|lgx|的解的个数最多可为( A ) A.11 B.10 C.9 D.8 2 2x x- {,},{1,0,1} A a b B ==-()()0 f a f b +=f AC AB,BC0 = ? + 2 1 = 4 1 x xe y- =x y) 2 1 (- =3 1 x y= ()) ,则9.0 20101.1( 1 ) (f a x x f= - == b) 9.0(1.1 f)9.0 (log 1.1 f c= c b a> >c a b> > b c a> >a b c> > [)1,0 8.给出下列四个函数图像: 它们对应的函数表达式分别满足下列性质中的至少一条: ①对任意实数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y)成立; ②对任意实数x,y 都有成立; ③对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立; ④对任意实数x 都有f(x+2)=f(x+1)-f(x)成立. 则下列对应关系最恰当的是( B ) A. a 和①,d 和②,c 和③,b 和④ B.c 和①,b 和②,a 和③,d 和④ C. c 和①,d 和②,a 和③,b 和④ D.b 和①,c 和②,a 和③,d 和④ 二、填空题(本答题共6小题,每小题5分,共30分) 9.已知实数x 满足 ,则 3 10.将函数的图像按平移向量 平移后得到函数的图像,则该平移向量=_______.(1,-1) 11.若向量满足:,且,则与的夹角等于_____. 12.我们知道,两个互为反函数的函数y=2x 与y=log 2x 的图像关于直线y=x 成轴对称,利用这一性质,若 x 1和x 2分别是2x +x+a=0和log 2x+x+a=0的两根,则x 1+x 2的值为直线y=x 与直线y =-x -a 的交点的 横坐标的2倍,即x 1+x 2=-a; 由函数y=x 3与函数互为反函数,我们可以得出:若方程x 3+x-3=0的根为x 1,方程(x-3)3+x=0的根为x 2,则x 1+x 2=_______.3 13.已知一三角形ABC 用斜二测画法画出的直观图是面积为 的正三角形(如图),则三角形ABC 中边长与 正三角形的边长相等的边上的高为_______. 14.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称,,则的值为________-1 三、解答题(本答题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) )y (f )x (f )y x (f =+12 12 1=-- x x _____1 =+ x x x y 2log =a 21 log 2-=x y a b a ,4)2()(-=+?-b a b a 4,2==b a a b ?1203x =y 3C B A '''C B A '''62R )(x f 1=x 1)1(=-f + +)2()1(f f )2009()3(f f ++ a b c d 已知集合 (1)当=3时,求; (2)若,求实数的值. 15.解:由 ,………………4分 (1)当m=3时,, 则……………………6分 ………………8分 (2)………………10分 ,-----11分 此时,符合题意,---12分 故实数m 的值为8.………………13分 16.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=lnx+x|x-a|是增函数,求实数a 的取值范围 解:当a ≤0时,f(x)=lnx+x 2 -ax 其定义域为{x|x>0},---1分 在x>0时恒成立,即当a ≤0时,f(x)是增函数.----2分 当a>0时, ---6分 则当x ≥a 时,恒成立,即f(x)在为增函数----7分 当x -ax-1<0,解得--8分 ∵x>0,∴f(x)在是增函数-----9分 ()() }.,42|{},,23log 126log |{2 222R x x B R x x x x x A x m x ∈<=∈++≥+=-m )(B C A R }41|{<<-=x x B A m ,015 2,1 log 2312 6log 01260232222≤+-----??? ???? ≥+++>+>++x x x x x x x x 得分51≤<-∴x }51|{≤<-=∴x x A }31|{<<-=x x B }31|{≥-≤=x x x B C R 或}53|{)(≤≤=?∴x x B C A R },41|{},51|{<<-=≤<-=x x B A x x A 8,04242==-?-∴m m 解得有}42|{<<-=x x B ()021 >-+= 'a x x x f ()()()()()?????? ?<<+-≥-+='∴?????<<+-≥-+=a x a x x a x a x x x f a x ax x x a x ax x x x f 021210ln ln )(22 ()0>'x f [)+∞,a ()0≥'x f 4 8 4822++≤≤+-a a x a a ??? ? ??++48, 02a a 又lna+a 2-a ×a=lna-a 2+a ×a,----10分 依题意有解得0 综上所述,所求a 的取值范围为a ≤1----13分 17.(本小题满分14分) 如图:在四棱锥P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面ABCD 垂直(图1),图2为该四棱锥的主视图和侧视图,它们是腰长为6cm 的全等的等腰直角三角形. (1)根据图2所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图所在的平面图形的面积. (2)图3中,L 、E 均为棱PB 上的点,且,,M 、N 分别为棱PA 、PD 的中点,问在底 面正方形的对角线AC 上是否存在一点F ,使EF//平面LMN. 若存在,请具体求出CF 的长度;若不存在,请说明理由. 解:(1)该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为6cm 的正方形(如下图)----2分 其面积为:6×6=36(cm 2 )---4分 (注:图正确,面积计算体现了图形为正方形一样给分) (2)如图,以C 为原点,CD 为x 轴,CB 为y 轴,CP 为Z 轴建立空 间直角坐标系,则D (6,0,0),A (6,6,0),B (0,6,0),P (0,0,6),E (0,3,3),L (0,1,5),M (3,3,3),N (3,0,3)------6分 ∴ ----7分 设平面LMN 的法向量为=(x,y,z ) 由 得令x=2 则=(2,0,3)? ? ? ??≥++>a a a a 48021=EP BE 5=LP BL (),0,6,6),0,3,0(),2,2,3(==-=n ?????=?=?0 0n LM n ???==-+030223y z y x n 侧视图 主 视图 图2 D A P P C 图 1 P C D B A E 图3 F N L M D z ----9分 设,---10分 则----11分 由,得,即= ---12分 又EF所以,EF//平面LMN----13分 即在底面正方形的对角线AC上存在符合题意的点F,CF=AC=cm----14分 18.(本小题满分14分) 在一次数学实践活动课上,老师给一个活动小组安排了这样的一个任务:设计一个方案,将一块边长为4米的正方形铁片,通过裁剪、拼接的方式,将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器(只有一个下底面和侧面的长方体).该活动小组接到任务后,立刻设计了一个方案,如下图所示,按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后,将剩下的部分焊接成长方体(如图2).请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积,最大容积是多少?是否符合要求?若不符合,请你帮他们再设计一个能符合要求的方案,简单说明操作过程和理由. 解:(1)设切去正方形边长为x,则焊接成的长方体的底面边长为4-2x,高为x, 所以V1= (4-2x)2·x = 4(x3-4x2+4x) (0 ∴V1/ = 4(3x2-8x+4),……….. ……….. ……….. ……….. ……….. ………. ….5分 令V1/ = 0,即4(3x2-8x+4) = 0,解得x1 = 2 3,x2 = 2 (舍去) .……….. ………7分∵V1在(0,2)内只有一个极值, ∴当x = 2 3时,V1取得最大值 128 27. 128 27<5,即不符合要求. ….…. …. 9分 (2)重新设计方案如下: 如图①,在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图②,将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③,将图②焊成长方体容器.新焊长方体容器底面是一个长方形,长为3,宽为2,此长方体容积V2 = 3×2×1 = 6,显然V2>5. 故第二种方案符合要求. )0, 6, 6(λ λ λ= =CA CF ())3,3 6, 6( )0, 6, 6( 3 ,3 ,0- - = + - - = + =λ λ λ λ CF EC EF = ?n EF 9 12= - λλ 4 3 , 平面LMN ? 4 3 2 2 9 图1 图2 图① 图② 图③ …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. …. ….14分 注:第二问答案不唯一。 19.(本小题满分14分) 已知函数当时,总有. (1)求函数f (x )的解析式; (2)设函数,求证:当时,若 恒成立, 则|g(x)|≤3.5也恒成立. 解:(1)由条件,得,……………1分 当时,总有,所以有 由①+②得,, 又b ≥-2,∴b =-2,…………………………………………………………4分 把b =-2代入①和②得 因此.…………………………………………………7分 (2), 是关于x 的二次函数,……………………………8分 当时,或 或 ------11分 ),2,(12 131)(2 3-≥∈+++= b R b a bx ax x x f 且、]2,2[-∈x 0)(≤'x f )(6)(3)(2 R m x mx x f x g ∈-+-=]1,0[∈x 1|)(|≤'x g b ax x b x a x x f ++=+?+?= '2222 1 331)(]2,2[-∈x 0)(≤'x f ?????≤++≤+-??????≤'≤-'. 022, 022.0)2(,0)2(b a b a f f 2024-≤?≤+b b .0.0, 0.0222,0222=?? ??≤≥????? ?≤-+≤--a a a a a 1231 )(3+-=x x x f 36)123 1 (3)(2323-+-=-++--=mx x x mx x x x g mx x x g 23)(2+-=']1,0[∈x ????? ? ??? ≤= '≤≤≤+-='?≤';13|)3(|, 130,1|23||)1(|1|)(|2 m m g m m g x g ???????≤='>≤+-=';10|)0(|, 13,1|23||)1(|g m m g ???? ???≤='<≤+-='. 10|)0(|,03, 1|23||)1(|g m m g ① ② 解得,. 因此,当时,的恒成立,则------12分 由>0(0≤x ≤1)可知,当1≤m ≤ 时g(x)在[0, ]为增函数,在[,1]上为减函数|,|g(0)|=3≤3.5,|g(1)|=|m-4|≤3,|g()|=||≤3.5,即|g(x)|≤3.5;---13分 当 ≤m ≤时g(x)在[0,1]为增函数,|g(0)|=3≤3.5,|g(1)|=|m-4|≤2.5,即|g(x)|≤3.5。综上所述,当时,若 恒成立,则|g(x)|≤3.5也恒成立.---14分 20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)= ax,g(x)= lnx-2. (1) 试讨论这两个函数的图像的交点个数. (2) 当a=1时,令h(x)=f(x)-g(x),(x)为函数h(x)的导数,求证:对任意实数m,n ,当0 关于x 的方程 (x)在区间[m,n ]恒有实数解. 解:(1)令F(x)=f(x)-g(x), 由已知F(x)的定义域为{x|x>0}, 由 当a>0时,解得:x<0(舍去)或x>,-----2分 由 ① 当3+lna>0,即a>e -3时,F(x)>0恒成立,F(x)无零点.-----4分 ② 当00,故F(x)有两个零 点.-----5分 当a=0时,F(x)=-lnx+2为减函数,F(x)有且只有一个零点e 2 当a<0时,F(x)=ax-lnx+2亦为减函数,且当x →0时,F(x)=ax-lnx+2→+∞,当x →+∞时,F(x)→-∞,故F(x)有且只有一个零点. 当a= e -3时,3+lna=0,F(x)只有一个零点. -----7分