一阶偏微分方程初步

第六章 一阶偏微分方程初步

6.2 一阶常微分方程的首次积分

1.求下列方程的首次积分及通积分。

（1）???????==z y

dx

dz y z dx dy 22

（上式为（1）式，下式为（2）式） 解：（2）式除以（1）式可得 3

3

z y dy dz = 即033=-dy y dz z 积分可得： 14

4c y z =-

从而求得一个首次积分：44y z -=φ 其次，由???==dx

y zdz dx z ydy 22 （上式为（3）式，下式为（4）式） 将（3）和（4）相加可得：()dx z y zdz ydy 22+=+

即dx z

y zdz ydy 22222=++ 积分可得到又一个首次积分x e

z y 22

2+=ψ。于是微分方程组的通积分为 ?????=+=-2222144c e z y c y z x

（2）???????-=-=y

x x dt dy y x y dt dx （上式为（1）式，下式为（2）式）

解：（1）式除以（2）式，可得,x

y dy dx =即ydy xdx =

积分后得122c y x =-。从而求得一个首次积分2

2y x -=φ （2）-（1）可得1)(=-dt

x y d 即dt x y d =-)( 积分可得2c t x y =--。从而有得到一个首次积分t x y --=ψ

于是微分方程组的通积分为 ?

??=--=-2122c t x y c y x （3）xy

dz xz dy yz dx == 解：由xz

dy yz dx =，可得0=-ydy xdx 。积分可得：122c y x =- 从而求得一个首次积分22y x -=φ

由xy

dz xz dy =，可得0=-zdz ydy ，积分可得222c z y =-。于是又得到一个首次积分： 22z y -=ψ

于是微分方程组的通积分为 ???=-=-2

22122c z y c y x （4）x

y dz z x dy y z dx -=-=- 解：利用合比定理可得：

x y dz z x dy y z dx -=-=-=()0z y x d ++ 由此可得()0=++z y x d ，于是得到一个首次积分：

z y x ++=φ

另外，我们有()()()()

2222222

22z y x d x y z zdz z x y ydy y z x xdx ++=-=-=- 于是得到另一个首次积分222z y x ++=ψ。于是微分方程的通积分为： ???=++=++2

2221c z y x c z y x

（5）2

22x xy y zdz y x dy y x dx --=-=+ 解：利用合比定理可得()()()022222)(222

2222z y x d x xy y zdz y x y ydy y x x xdx ++=--=-=+ 则()0222=++z

y x d ，即222z y x ++=1c 。由此可得方程的一个首次积分为：

=φ222z y x ++ 另外，我们由y

x dy y x dx -=+可得()()dy y x dx y x +=-，积分可得： 222

2c y xy x =--

于是得到另一个首次积分222y xy x --=ψ，于是微分方程组的通积分为： ???=--=++2

2212222c y xy x c z y x 6.3 一阶线形齐次便微分方程

1.求下列方程的通解：

（1）0=??-??y

z x x z y 解：其特征方程组为x

dy y dx -=。易知，它的一个首次积分为： 22y x +=ψ

于是，齐次方程的通解为：()()22y x z +==φψφ

其中φ是ψ的任意一元连续可微的函数。

（2）0=??+??+??z

u y u x u （1） 解；特征方程组为：

1

11dz dy dx == 在（1）中，由11dy dx =得到一个首次积分：y x -=1ψ

由1

1dz dy =得到另一个首次积分：z y -=2ψ 这两个首次积分是独立的；通解为：(

)()z y y x u --==,,21φψψφ 其中是任意的二元连续可微函数。

（3）()()()0=??-+??-+??-z

u mx lz y u lz nx x u ny mz 解：其特征方程为mx

lz dz lz nx dy ny mz dx -=-=- 由合比定理得到()0nz my lx d mx lz dz n lz nx dy m ny mz dx l

++=-=-=- 由此得到()0=++nz my lx d ，于是得到一个首次积分：

nz my lx ++=1?

另外，我们有()()()()0

2222222

22z y x d mx lz z zdz lz nx y ydy ny mz x xdx ++=-=-=- 于是得到另一个首次积分：2222z y x ++=?

容易验证21,??为独立的，所以方程的通解为：

()222,z

y x nz my lx u ++++=φ 2.试叙述求方程()()0,,=??+??y

z y x Y x z y x X 通解的方法。 解：特征方程为()()

y x Y dy y x X dx ,,= 对上式两边积分得到()()dy y x X dx y x Y ??=,,

可得到首次积分()()()dy y x X dx y x Y y x ??

-=,,,? 所以原方程的通解为：()()()()()??-==dy y x X dx y x Y y x z ,,,φ?φ 其中φ为任意的二元连续可微函数。

3.求下列柯西问题的解：

（1）y y

z x x z y z x 2,00==??+??=

（2） 21,02y y

z x x z z x ==??-??= （3） ()y x x

u yz y u xz z u xy u y y ,,00?==??+??+??= 解：特征方程为x

dy y dx = 由此可得首次积分22x y -=?

令?-=2y ，解出?-±=y ，于是所求解为：

2222x y z -±=±=? （2）特征方程为x

dy dx 21-= 由此可得到首次积分y x +=2?

令?-=+y 1，解出1-=-

?y ，于是所求解为；

()()22211-+=-=y x z ? （3）特征方程为yz

dx xz dy xy dz = 由此可得到两个独立的首次积分222221,x y y z -=-=??

令2,12202

02??-

-=-=-x y

y z ，解出： 201y z +-±=?，22

0?-

-±=y x 于是所求解为：()

201220,y y U +±-±=??? 6.4 一阶拟线形非齐次偏微分方程

1.求下列方程的通解: (1)z x

z y =?? 解:其特征方程组为

z

dz dy y dx ==0 （1） 在(1)中,由0=dy ,求得一个首次积分

()11c y ==ψ

将1c y =代入(1)中的z dz y dx =,积分之,有21

c In z In c x -=,得到另一个首次积分 y x

c

x

ze ze --==12ψ 通积分为：0,=???

? ??-y x

ze y φ

其中φ是任意的二元连续可微函数. (2)z y z

x z

2=??+??

解:其特征方程组为：

z dz

dy

dx

211==

（1） 在(1)中,由11dy

dx =得到一个首次积分

y x -=1ψ 由z dz

dy 21=得到另一个首次积分

y

ze 22-=ψ

通积分为： ()0,2=--y ze y x φ

其中φ是任意的二元连续可微函数

(3)()022222=+??-??-+xz y z

xy x z x z y

解:特征方程为

xz dz

xy dy x z y dx 22222-=-=-+

由此可得到两个独立的首次积分：

y

z y x y z 2

2221,++==?? 于是所求原方程的隐式通解为：

0,222=???

? ??++y z y x y z φ 2.试叙述求方程：()

()()z y x R y z z y x Y x z z y x X ,,,,,,=??+?? 通解的方法。

解：特征方程为：

()()()z y x R dz z y x Y dy z y x X dx ,,,,,,== 根据上式求出两个首次积分1?和2?，若存在矩正：

?????

???????????????????z z y y x x

212

12

1?????? 的个二阶子阵的行列式不为零，则1?与2?是相互独立的首次积分， 则原方程的通积分为：

()21,??φ=z

其中φ为任意的二元连续可微函数。

3.求下列方程柯西问题的解：

（1）y z y

z y x z x z x ==??+??=1,2 （2）()

4,22-==??++??=y z y z x y x z x z x （3）()z y u z u z y u y x u x u x +==??+??+??=2

1,2 解（1）特征方程为：z

dz y dy x dx 2== 由此可得到两个独立的首次积分：

【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值

a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，

一阶线性偏微分方程

第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组

一阶偏微分方程基本知识资料

一阶偏微分方程基本 知识

一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1） 在变换 ( ) 1'12,, ,,n n y y y y y y -=== （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=? ? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组

()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。 注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。 将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到 22y x dt dy x dt dx y +=-， 即 () 22y x dt dx y dt dy x +-=-， 亦即 1arctan -=?? ? ?? dt x y d 。 积分得

一阶线性微分方程解的存在唯一性证明

一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明)()(x q y x p dx dy +=摘要:从分析方法入手,来证明满足初值条件下一阶线形微分方程解的存在唯一性定理的证明.引言:我们学习了能用初等解法的一阶方程的若干类型,但同时知道大量的一阶方程是不能用初等解法求出它的通解,而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解,因此对初值问题的研究被提到重要地位,自然要问:初值问题的解是否存在?如果存在是否唯一? 首先,我们令f(x,y)=p(x)y+q(x) 这里f(x,y)是在矩形域 R:上的连续函数.b y y a x x ≤-≤-00,函数f(x,y)称为在R 上关于y 满足利普希兹条件,如果存在常数L>0使不等式 对于所有的 都成立,L 称 2121),(),(y y L y x f y x f -≤-R y x y x ∈),(),,(21为利普希兹常数下面我们给出一阶线形微分方程(1)解的存在唯一性)()(x q y x p dx dy +=定理:如果f(x,y)=p(x)y+q(x)在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续)(x y ?=h x x ≤-0且满足初始条件: 这里 00)(y x =?),min(M b a h =),(max y x f M =R y x ∈),(我们采用皮卡的逐步逼近法来证明这个定理,为了简单起见,只 就区间来讨论,对于的讨论完全一样.h x x x +≤≤0000x x h x ≤≤-现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想,首路习题到位。在管路敷对设备进行调整使其在正限度内来确保机组高中

一阶偏微分方程基本知识

一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y Λ， （ 1.1） 在变换 ()1'12,,,,n n y y y y y y -===L （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=??L L M M M M L （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。

例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。 注意首次积分（ 1.5）的左端(),,V x y t 作为x ，y ，和t 的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当(),()x x t y y t ==时微分方程组（ 1.4）的解时，(),,V x y t 才等于常数1C ，这里的常数1C 应随解而异。因为式（ 1.4）是一个二阶方程组，一个首次积分（ 1.5）不足以确定它的解。为了确定（ 1.4）的解，还需要找到另外一个首次积分。 将第一式两端同乘y ，第二式两端同乘x ，然后用第一式减去第二式，得到 22y x dt dy x dt dx y +=-， 即 () 22y x dt dx y dt dy x +-=-， 亦即 1arctan -=?? ? ?? dt x y d 。 积分得

第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解

第一章 偏微分方程和一阶线性偏微分方程解 本章介绍典型的几个偏微分方程。给出了最简单的偏微分方程（一阶线性偏微分方程）解的特征线方法。 典型的偏微分方程：扩散方程t xx u ku =，t u k u =?；波动方程2tt xx u c u =，2tt u c u =?。这是本课程讨论的主要两类方程。 偏微分方程的各类边值条件也是本章讨论的一个重点。 §1.1 一维空间中的偏微分方程 例1 （刚性污染流的方程） 假设均匀直线管道中的水流含污染物质的线密度是(,)u x t （即x 处在时刻t 的污染物的密度） 。如果流速是c ，问题：(,)u x t 满足什么样的方程？ 解 如图，在[,]x x x +?内的流体，经过时间t ?，一定处于[,]x c t x x c t +?+?+?。所含污染物应相同，即 (,)(,)x x x x c t x x c t u t d u t t d ξξξξ+?+?+?+?= +?? ? ， 由此 (,)(,)u x t u x c t t t =+?+?， 从而， 0t x u cu +=。 【End 】 可见偏微分方程是一个至少为两元的函数及其偏导数所满足的方程。 例2 （扩散方程） 假设水流静止，在t ?时间内，流经x 处的污染物质（不计高阶无穷小）与该处浓度的方向导数（浓度变化）成正比，比例系数为k ： ()x u dm t k dt ku dt x ?==?， 所以，在时间段12[,]t t 内，通过12[,]x x 的污染物为 2 1 2 1 [(,)(,)]t x x t k u x t u x t dt -?。 在时刻1t 和2t ，在12[,]x x 内的污染物分别为2 1 1(,)x x u x t dx ?和2 1 2(,)x x u x t dx ? ，由物质守恒定律 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 (,)(,)[(,)(,)]x x t x x x x t u x t dx u x t dx k u x t u x t dt -=-??? 由1t ，2t 的任意性，

[整理]一阶微分方程解的存在定理.

第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性 和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）

(整理)一阶线性偏微分方程.

第七章 一阶线性偏微分方程 例7-1 求方程组 ()()()yz B A Cdz xz A C Bdy yz C B Adx -=-=- 通积分，其中C B A ,,为互不 相等的常数。 解 由第一个等式可得 xyz ydy A C B xyz xdx C B A -=-， 即有 0=---ydy A C B xdx C B A ， 两边积分得方程组的一个首次积分 122,C y A C B x C B A z y x Φ=---= ),(。 由第二个等式可得 xyz zdz B A C xyz ydy A C B -=-， 即有 0=---zdz B A C ydy A C B ， 两边积分得方程组的另一个首次积分 222,C z B A C y A C B z y x Ψ=---= ),(。 由于，雅可比矩阵 ? ???? ?????------=????? ???? ????ψ??ψ??ψ ??Φ??Φ ??Φ ?=?ψΦ?z B A C y A C B y A C B x C B A y y x z y x z y x 002),,(),( 的秩为2，这两个首次积分相互独立，于是原方程组的通积分为 122C y A C B x C B A =--- 222C z B A C y A C B =--- 。

评注：借助于方程组的首次积分求解方程组的方法称为首次积分法。要得到通积分需要求得n 个独立的首次积分，n 为组成方程组的方程个数。用雅可比矩阵的秩来验证首次积分的独立性。 例7-2 求方程组 () () ???????-+--=-+-=11d 222 2y x y x dt dy y x x y dt x 的通解。 解 由原方程组可得 )1)((2222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x 即 dt y x y x y x d )1)((2)(2 2 2 2 2 2 -++-=+ 这个方程关于变量t 和2 2 y x +是可以分离的，因此易求得它的通积分为 122 2221),,(C e y x y x t y x t =+-+=Φ 这是原方程组的一个首次积分。 再次利用方程组，得到 )(22y x dt dx y dt dy x +-=-， 即有 1arctan -=?? ? ?? x y dt d 由此得到原方程组的另一个首次积分 2arctan ),,(C t x y t y x =+=ψ 。 由于，雅可比矩阵为 ()( ) ???? ? ?????? ?++-++=????????? ????ψ??ψ ??Φ??Φ ?=?ψΦ?2222 222 222 2222),(),(y x x y x y e y x y e y x x y x y x y x t t ，

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供

一阶偏微分方程初步

第六章 一阶偏微分方程初步 6.2 一阶常微分方程的首次积分 1.求下列方程的首次积分及通积分。 （1）???????==z y dx dz y z dx dy 22 （上式为（1）式，下式为（2）式） 解：（2）式除以（1）式可得 3 3 z y dy dz = 即033=-dy y dz z 积分可得： 14 4c y z =- 从而求得一个首次积分：44y z -=φ 其次，由???==dx y zdz dx z ydy 22 （上式为（3）式，下式为（4）式） 将（3）和（4）相加可得：()dx z y zdz ydy 22+=+ 即dx z y zdz ydy 22222=++ 积分可得到又一个首次积分x e z y 22 2+=ψ。于是微分方程组的通积分为 ?????=+=-2222144c e z y c y z x （2）???????-=-=y x x dt dy y x y dt dx （上式为（1）式，下式为（2）式） 解：（1）式除以（2）式，可得,x y dy dx =即ydy xdx =

积分后得122c y x =-。从而求得一个首次积分2 2y x -=φ （2）-（1）可得1)(=-dt x y d 即dt x y d =-)( 积分可得2c t x y =--。从而有得到一个首次积分t x y --=ψ 于是微分方程组的通积分为 ? ??=--=-2122c t x y c y x （3）xy dz xz dy yz dx == 解：由xz dy yz dx =，可得0=-ydy xdx 。积分可得：122c y x =- 从而求得一个首次积分22y x -=φ 由xy dz xz dy =，可得0=-zdz ydy ，积分可得222c z y =-。于是又得到一个首次积分： 22z y -=ψ 于是微分方程组的通积分为 ???=-=-2 22122c z y c y x （4）x y dz z x dy y z dx -=-=- 解：利用合比定理可得： x y dz z x dy y z dx -=-=-=()0z y x d ++ 由此可得()0=++z y x d ，于是得到一个首次积分： z y x ++=φ 另外，我们有()()()() 2222222 22z y x d x y z zdz z x y ydy y z x xdx ++=-=-=- 于是得到另一个首次积分222z y x ++=ψ。于是微分方程的通积分为： ???=++=++2 2221c z y x c z y x

一阶常微分方程解法归纳

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy =

解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5 --+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy

一阶线性偏微分方程

第七章一阶线性偏微分方程 7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。 dx dt dy dt 空2z dt 解之得 所以，方程组的通积分为 1 1 2t 1（t,x, y ） （x y -t -）e G ， 2 4 z C 1e 2t 即得一个首次积分为 1 (t, x, y) (x 1t 2 1 y 2t 1 4）e 2t C 1。 方程组的两式相减，得 d （x y ） dt 解之得另一个首次积分为 2（t, x, y ） 1 t 1 2 2 C 2。 易验证det x det 0。 因此，1(t,x, y) C 1和 2 （t,x, y ） C 2是两个独立的首次积分, 1) 2) 3) dx dt dy dt dx 1) 2y dy x z ，当 t 0 时，x y 1 dz d(x y) dt x y ，上方程化为一阶线性方程 方程组的两式相加，得 2（x y ） t 。

从中可解得通解为 即 i (t,x,y) (x y)2 y 2 C ；。 给方程组第一式乘以 y ，第二式乘以x ，再相减得 yx yy xy yy 2 2 (x y) y yx yy xy yy 1 1 (x y) y 两边积分，得另一个首次积分为 y 2 (t,x, y) arctan t C 2， x y 2 易验证 i (t,x, y) C i 和 2(t,x,y) C 2是两个独立的首次积分， 222 y 所以，方程组的通积分为 (x y) y C i ，arctan t C 2， x y x (C 2 CJcost (C 2 C i )si nt ，其中 C I C i si nc 2，C 2 C 1 cosC 2。 y C 1 cost C 2 si nt C 2 1 2 1 1 t -t — 4 4 8 C 2 1 2 1 1 -t -t 4 4 8 dx x 2y dy x y 2ydy ydx xdy 0， x C i e 2t y C i e 2t 2)方程组的两式相比，得 变形得恰当方程 xdx 容易得满足t 0时，x y 1的解为 x cost sint y cost 3) 三个分式相加，得 d(x y z) dy x z dz y x 解之得一个首次积分为 2 2 x 2y 2xy C 1， yx xy (x 2 2y 2 2xy) [(x y)2 y 2]， 通解为

一阶微分方程的解的存在定理

第三章 一阶微分方程的解的存在定理 研究对象 初值问题(Cauchy Problem) ?????==(3.2) 3.1) 00)((),(y x y y x f dx dy 1 基本概念 1）利普希兹(Lipschitz)条件 函数),(y x f 称为在闭矩形区域 b y y a x x D ≤-≤-00,:上关于y 满足利普希兹条件，如果存在常数0>L 使得不等式 2121),(),(y y L y x f y x f -≤- 对所有D y x y x ∈),(),,(21都成立。其中L 称为利普希兹常数。 2 ）局部利普希兹条件 称函数),(y x f 在区域2R G ?内关于y 满足局部利普希兹条件，如果对区域G 内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域D ，在D 上),(y x f 关于y 满足利普希兹条件。 注意：对G 内不同的点，矩形域D 大小和常数L 可能不同。 3）一致利普希兹条件 称函数),,(λy x f 在区域{}βλαG y x λy x G λ<<∈=,),(),,(R R ??2内一致地关于y 满足局部利普希兹条件，如果对λG 内的每一点),,(λy x 都存在以),,(λy x 为中心的球λG S ?，使得对任何),,(1λy x ，S λy x ∈),,(2成立不等式 2121),,(),,(y y L y x f y x f -≤-λλ 其中L 是与λ无关的正数。 4）解的延拓 设方程(3.1)右端函数),(y x f 在某一有界区域G 中有意义， ],[),(b a x x y ∈=?是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11b a x x y ∈=ψ也是初值问题的解，且],[],[11b a b a ?，