圆周角定理及应用

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通海路中学九年级数学教案课题：圆周角及其推论（1） 教学目标1、掌握圆周角定理，并会熟练运用这些知识进行有关的计算； 2、培养观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力； 3、培养添加辅助线的能力和思维的广阔性 教学重点：圆周角定理及其推论的应用. 教学难点：熟练应用圆周角定理及其推论以及辅助线的添加. 个性设计一、自主学习 1、学习内容:教材p49--52页. 2、自学时间:5--10分钟. 3、自学检测:自学中遇到的问题做标记,完成教材p52页练习. 二、合作交流 1、知识点一：圆周角的定义 定义：顶点在______,并且两边都和圆______的角叫圆周角. 2、知识点二：圆周角定理 圆周角定理: 几何语言: 练习： 1.如图，已知A,B,C三点都在⊙O上，∠AOB=60°，则∠ACB=_______. 2.如图，点A,B,C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠ABO的值是_______. 3.如图，A,B,C是半径为6的⊙O上三个点,若∠BAC=45°,则弦BC=_______. 3、知识点三：圆周角定理的推论（1） 在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角____,相等的圆周角所对的弧也____练习： 4.如图，A、B、C三点在⊙O上,且△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A、B重合,则∠BPC等于（） A、30° B、60° C、90° D、45° 5.如图,在⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B=____． 6.如图,A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD,若∠BAC=25°,则∠ADC=______.

圆周角定理及推论

一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙Ｏ中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。 以下分五种情况证明 【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时： 图1 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D 解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和） ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时： 图2 连接AO，并延长AO交⊙Ｏ于D，连接OB、OC。解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径） ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等） ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD （∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 和）

∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时： 图3 ∵OA、OC是半径 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠OCA（） ∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。） 【证明】情况4：圆心角等于180°： 圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC= 2 1∠BOC（BC弧） ∠OCB=∠OBC= 2 1 ∠AOC（AC弧） ∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ＡOC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB 【证明】情况5：圆心角大于180°： 图5 圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E， ∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°） ∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB ∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB 二、圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。其他推论? ①圆周角度数定理,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半?。 E

中考数学专项练习圆周角定理(含解析)

中考数学专项练习圆周角定理（含解析） 【一】单项选择题 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，连接BD，O D，那么∠AOD+∠ABD的度数为〔〕 A.10 0° B.11 0° C.12 0° D.150° 2.A、C、B是⊙O上三点，假设∠AOC=40°，那么∠ABC的度数是() A.1 0° B.2 0° C.4 0° D.80° 3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，那么∠A的度数等于〔〕 A.6 0° B.5 0° C.4

0° D.30° 4.如图，EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，那么x的取值范围是() A.30≤x≤60 B.30≤x≤90 C.30≤x≤120 D.60≤x≤120 5.如图，圆心角∠BOC=100°，那么圆周角∠BAC的大小是〔〕 A.5 0° B.10 0° C.13 0° D.200° 6.以下各命题正确的选项是 :〔〕 A.假设两弧相等，那么两弧所对圆周角相等 B.有一组对边平行的四边形是梯形. C.垂直于弦的直线必过圆 心 D.有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.

7.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为10的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin ∠AOB的值是〔〕 A. B. C. D. 【二】填空题 8.如图，P是⊙0直径AB延长线上的点，PC切⊙0于C、假设∠P=40 o ，那么∠A的度数为________ 。 . 9.如图，是半圆的直径，，那么的大小是____ ____度 10.如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形C DEF，那么以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 11.如图，AB是⊙的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥A B，交O于点D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，那么∠DEA=____ ____。 12.如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，假设∠BOD=∠BCD，那么弧BD的长为________．

中考数学专题练习圆周角定理(含解析)

2019中考数学专题练习-圆周角定理（含解析） 一、单选题 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，连接BD，OD，则∠AOD+∠ABD 的度数为（） A. 100° B. 110° C. 120° D. 150° 2.已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( ) A. 10° B. 20° C. 40° D. 80 ° 3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于（） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30 ° 4.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边 BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合．将三角板ABC沿 OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF＝x°，则x的取值范围是 ( )

A.30≤x≤60 B.30≤x≤90 C.30≤x≤120 D.60≤x≤120 5.如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（） A. 50° B. 100° C. 130° D. 200° 6.下列各命题正确的 是 : （） A. 若两弧相等，则两弧所对圆周角相等 B. 有一组对边平行的四边形是梯形. C. 垂直于弦的直线必过圆 心 D. 有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形. 7.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为10的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（） A.

圆周角定理及推论

1 / 6 24.1.4圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证

明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键 2 / 6 1．重点： 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点： 运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键： 探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评： （1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知

问题： 如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的 3 / 6 A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠ EAF、∠ EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，?并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示

人教版九年级数学上册同步练习24.1.4圆内角四边形的性质及圆周角定理的综合运用

精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！ 24.1.4 圆周角 第2课时圆内角四边形的性质及圆周角定理的综合运用 一. 选择题。 1. 如图，圆心角∠AOB＝120°，C、D、E是的四等分点，则弦OE和半径OA的关系是（） A. OA＜DE B. DE＜OA C. DE＝OA D. 以上均不对 2. 在下列语句中，叙述正确的个数为（） ①相等的圆周角所对弧相等 ②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等 ③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 ④等弧所对圆周角相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在半径等于7cm的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角为（） A. 60°或120° B. 30°或150° C. 60° D. 120° 4. 下列命题中不正确的是（） A. 圆内接平行四边形是矩形 B. 圆内接菱形是正方形 C. 圆内接梯形是等腰梯形 D. 圆内接矩形是正方形 5. 如图，∠E＝30°，AB＝BC＝CD，则∠ACD的度数为（） A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5° 6. 四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（）

A. 1∶3∶2∶4 B. 7∶5∶10∶8 C. 13∶1∶5∶17 D. 1∶2∶3∶4 7. 圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于P，对角线AC、B D交于点Q，则图中共有相似三角形（） A. 4对 B. 2对 C. 1对 D. 3对 二. 填空题。 8. 一弦分圆周为5∶7，这弦所对的两圆周角分别为__________。 9. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，，∠AOB＝80°，则∠BOC＝__________，∠ABC＝__________，∠ACB＝_____∠CAB。 10. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝__ ________，＝__________，∠BOC＝___________，＝___________＝___________。 第9题图第10题图 11. 圆内接四边形ABCD中，AC垂直平分BD，若∠BCD＝80°，则∠BAC＝__________。 12. 四边形ABCD内接于⊙O，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶3∶4∶m，则m ＝__________，这个四边形最大内角是__________度，最小内角__________度，对角线AC是⊙O的__________。 三. 解答题。 13. 已知：如图，P是的中点，弦PC的延长线交AB的延长线于点D。 求证：

人教版九年级数学上册专题九圆周角定理的综合运用同步测试及答案

圆周角定理的综合运用 一巧作辅助线求角度 (教材P89习题24.1第7题) 求证：圆内接平行四边形是矩形． 已知：如图1，已知平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形． 求证：平行四边形ABCD是矩形． 图1 证明：∠A＋∠C＝180 °(圆内接四边形对角互补) 又∠A＝∠C(平行四边形对角相等) ∴∠A＝∠C＝90 ° 所以圆内接平行四边形是矩形． 如图2，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是(A) 45°C．50°D．60° 变形1 【解析】如图，连接OB，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°.∵OB＝OC，∴∠OCD＝∠OBC ＝180°－∠BOC 2＝40°. 如图3，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则 ∠OAD＋∠OCD＝__60°__． 变形2 【解析】如图，连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B＝∠AOC.∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠B＝2∠ADC.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝120°.∵∠1＝∠OAD＋∠ADO，∠2＝∠OCD ＋∠CDO，∴∠OAD＋∠OCD＝(∠1＋∠2)－(∠ADO＋∠CDO)＝∠AOC－∠ADC＝120°－60°＝60°.

[2012·青岛]如图4，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__150°__． 【解析】 在优弧ADC ︵上取点D ，连接AD ，CD ， ∵∠AOC ＝60°，∴∠ADC ＝12 ∠AOC ＝30 °. ADC ＝180°，∴∠ABC ＝180°－∠ADC ＝180°－30°＝150°.故答案为150°. 如图5，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为( A ) B ．45° C ．55° D ．75° 如图6，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°. (1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD . 解：(1)在△ABC 中，∵∠BAC ＝∠APC ＝60°， 又∵∠APC ＝∠ABC ，∴∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC 是等边三角形； (2)如图，连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠BAC ＝120°.∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12(180°－∠BOC )＝30°.在Rt △BOD 中，∠ODB ＝90°，∠OBC ＝30°，∴OD ＝12OB ＝12×8＝4. 二 圆周角定理与垂径定理的综合 教材P89习题24.1第5题) 如图7，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，试确定∠ADC 的大小．

九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题圆周角定理的综合运用随堂练习含解析新版浙教版

微专题__圆周角定理的综合运用_ 一巧作辅助线 教材P91作业题第5题) 如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°.求∠CAD的度数． 图1 教材母题答图 解：如答图，连结DC. ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°. ∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝50°， ∴∠CAD＝90°－∠ADC＝40°. 【思想方法】利用圆周角定理，常见的辅助线作法有：①作半径，构造圆心角；②作弦，构造圆周角． [xx·泰安]如图2，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF ⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B ) A．12.5°B．15° C．20°D．22.5° 图2 变形1答图 【解析】如答图，连结OB. ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC＝AB，OC∥AB， 又∵OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，

由圆周角定理得∠BAF ＝1 2 ∠BOF ＝15°.故选B. 如图3，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是( A ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 图3 变形2答图 【解析】 如答图，连结OB ，OC ，则∠BOC ＝90°， 根据圆周角定理，得∠BPC ＝1 2 ∠BOC ＝45°. 如图4，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B ) A ．68° B ．88° C ．90° D ．112° 图4 变形3答图 【解析】 如答图，以A 为圆心，AB 为半径画圆，则点C ，D 都在圆上， ∵∠CBD ＝2∠BDC ，∴CD ︵＝2BC ︵， ∵∠BAC ＝44°，∴∠CAD ＝2∠BAC ＝88°.故选B. 如图5，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ＝13，BC ＝24，求⊙O 的半径． 图5 变形4答图 解：如答图，连结AO ，BO ，AO 交BC 于点D . 则根据垂径定理的逆定理，得OA ⊥BC ，

圆周角及推论

课题：圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾： (1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义 【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角． 2．如图，下列图形中是圆周角的是( C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】

认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ．理由如下： ? ????OA ＝OC ?∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ?∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ， ∴∠ADC ＝12 ∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12 AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )． 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测 达成目标 【当堂检测】

九年级数学圆周角定理(基础)(含答案)

圆周角定理（基础） 一、单选题(共11道，每道8分) 1.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ACB=48°，则∠AOB的度数为( ) A.96° B.48° C.42° D.24° 答案：A 解题思路： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ∵∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，∠ACB=48° ∴∠AOB=2∠ACB=96° 试题难度：三颗星知识点：略 2.如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( ) A.∠B B.∠C C.∠DEB D.∠D 答案：D 解题思路： 同弧或等弧所对的圆周角相等 ∵∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角 ∴∠D=∠A 试题难度：三颗星知识点：略

3.如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是( ) A.25° B.27.5° C.30° D.35° 答案：D 解题思路： ∵∠A=60°，∠ADC=85° ∴∠B=∠ADC-∠A=25° ∵∠B与∠AOC对着同一条弧AC ∴∠AOC=2∠B=50° ∴∠C=∠ADC-∠AOC=35° 试题难度：三颗星知识点：略 4.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于( ) A.20° B.25° C.35° D.50° 答案：B 解题思路： ∵AB是⊙O的直径，∠AOC=130° ∴∠BOC=180°-∠AOC=50° ∵∠D与∠BOC对着同一条弧BC ∴∠D=∠BOC=25°

试题难度：三颗星知识点：略 5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的度数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为( ) A.15° B.28° C.29° D.34° 答案：C 解题思路： 如图，点A，B的度数分别为88°，30° ∴∠AOB=88°-30°=58° ∵∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB ∴∠ACB=∠AOB=29° 试题难度：三颗星知识点：略 6.如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=( )

24.1.4 圆内角四边形的性质及圆周角定理的综合运用练习

24.1.4 圆周角 第2课时圆内角四边形的性质及圆周角定理的综合运用 一. 选择题。 1. 如图，圆心角∠AOB＝120°，C、D、E是的四等分点，则弦OE和半径OA的关系是（） A. OA＜DE B. DE＜OA C. DE＝OA D. 以上均不对 2. 在下列语句中，叙述正确的个数为（） ①相等的圆周角所对弧相等 ②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等 ③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 ④等弧所对圆周角相等 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在半径等于7cm的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角为（） A. 60°或120° B. 30°或150° C. 60° D. 120° 4. 下列命题中不正确的是（） A. 圆内接平行四边形是矩形 B. 圆内接菱形是正方形 C. 圆内接梯形是等腰梯形 D. 圆内接矩形是正方形 5. 如图，∠E＝30°，AB＝BC＝CD，则∠ACD的度数为（） A. 12.5° B. 15° C. 20° D. 22.5°

6. 四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（） A. 1∶3∶2∶4 B. 7∶5∶10∶8 C. 13∶1∶5∶17 D. 1∶2∶3∶4 7. 圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于P，对角线AC、BD交于点Q，则图中共有相似三角形（） A. 4对 B. 2对 C. 1对 D. 3对 二. 填空题。 8. 一弦分圆周为5∶7，这弦所对的两圆周角分别为__________。 9. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，，∠AOB＝80°，则∠BOC＝__________，∠ABC＝__________，∠ACB＝_____∠CAB。 10. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠A＝_ _________，＝__________，∠BOC＝___________，＝__________ _＝___________。 第9题图第10题图

圆周角定理及推论

24.1.4 圆周角 第1课时圆周角定理及推论 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，?那么它们所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，?设球员们只能在所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，?并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．

沪教版九年级数学下册24.3 第1课时 圆周角定理及推论(优秀教学设计)

24.3 圆周角 第1课时圆周角定理及推论 1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角； 2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)． 一、情境导入 你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍． 比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？ 二、合作探究 探究点一：圆周角定理 【类型一】利用圆周角定理求角 如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于() A．25° B．30° C．35° D．50° 解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A. 方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想 已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而

弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论． 解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ， CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°. 如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12 ∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12 ∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°. 综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°. 方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：圆周角定理的推论 【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题 如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( ) A.55 B.255 C ．2 D.12 解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝ AC AB ＝12.故选D. 方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .

2021年中考数学分类专题训练：圆周角定理综合运用(五)

2021年中考数学分类专题训练： 圆周角定理综合运用（五） 1．如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于E，F，连接DE，DF． （1）求证：∠EAF+∠EDF＝180°； （2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于G，连接DG．设∠EDG＝∠α，∠APB＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论．[在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答] 2．如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D 是BC的中点． （1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明； （2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点．（直接写出结论）

3．如图：在⊙O 中，经过⊙O 内一点P 有一条弦AB ，且AP ＝4，PB ＝3，过P 点另有一动弦 CD ，连接AC ，DB ．设CP ＝x ，PD ＝y ． （1）求证：△ACP ∽△DBP ． （2）写出y 关于x 的函数解析式． （3）若CD ＝8时，求S △ACP ：S △DBP 的值． 4．如图，在锐角△ABC 中，BA ＝BC ，点O 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），以O 为圆心，OA 为半径的圆交边AC 于点M ，过点M 作⊙O 的切线MN 交BC 于点N ． （1）当OA ＝OB 时，求证：MN ⊥BC ； （2）分别判断OA ＜OB 、OA ＞OB 时，上述结论是否成立，请选择一种情况，说明理由． 5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使DC ＝CB ，延长DA 与⊙O 的另 一个交点为E ，连接AC 、CE ． （1）求证：∠B ＝∠D ； （2）若AB ＝，BC ﹣AC ＝2，求CE 的长．

2021年 九年级中考数学分类专题训练：圆周角定理综合运用(五)

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯 2021年中考数学分类专题训练： 圆周角定理综合运用（五） 1．如图，在锐角△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于E，F，连接DE，DF． （1）求证：∠EAF+∠EDF＝180°； （2）已知P是射线DC上一个动点，当点P运动到PD＝BD时，连接AP，交⊙O于G，连接DG．设∠EDG＝∠α，∠APB＝∠β，那么∠α与∠β有何数量关系？试证明你的结论．[在探究∠α与∠β的数量关系时，必要时可直接运用（1）的结论进行推理与解答] 2．如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D 是BC的中点． （1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明； （2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点．（直接写出结论）

3．如图：在⊙O 中，经过⊙O 内一点P 有一条弦AB ，且AP ＝4，PB ＝3，过P 点另有一动弦 CD ，连接AC ，DB ．设CP ＝x ，PD ＝y ． （1）求证：△ACP ∽△DBP ． （2）写出y 关于x 的函数解析式． （3）若CD ＝8时，求S △ACP ：S △DBP 的值． 4．如图，在锐角△ABC 中，BA ＝BC ，点O 是边AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），以O 为圆心，OA 为半径的圆交边AC 于点M ，过点M 作⊙O 的切线MN 交BC 于点N ． （1）当OA ＝OB 时，求证：MN ⊥BC ； （2）分别判断OA ＜OB 、OA ＞OB 时，上述结论是否成立，请选择一种情况，说明理由． 5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，延长BC 至点D ，使DC ＝CB ，延长DA 与⊙O 的另一个交点为E ，连接AC 、CE ． （1）求证：∠B ＝∠D ； （2）若AB ＝ ，BC ﹣AC ＝2，求CE 的长．

圆周角及其推论

圆周角及推论 【学习目标】 1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论． 2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理． 3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算． 【学习重点】 圆周角的定理及应用． 【学习难点】 运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 情景导入 生成问题 旧知回顾： (1)圆心角指顶点在圆心的角． (2)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦： ①如果AB ＝CD ，那么AB ︵＝CD ︵，∠AOB ＝∠COD ； ②如果AB ︵＝CD ︵，那么AB ＝CD ，∠AOB ＝∠COD ； ③如果∠AOB ＝∠COD ，那么AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵． 自学互研 生成能力 知识模块一 圆周角的定义 【自主探究】 阅读教材P 85探究上面内容，重点理解圆周角定义，回答下列问题： 1．圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角． 2．如图，下列图形中是圆周角的是( C ) 3．如图，AD ︵所对的圆心角是∠AOD ，所对的圆周角有∠B 和∠C ． 结论：一条弧对着一个圆心角，对着无数个圆周角． 知识模块二 圆周角定理 【自主探究】

认真看P 85“探究”～P 86推论上面内容，根据课本回答下列问题： 1．圆周角定理的证明共分了哪几种情况？ 图1 图2 图3 答：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部． 2．如图1，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ．理由如下： ? ????OA ＝OC ?∠A ＝∠ACO ∠BOC ＝∠A ＋∠ACO ?∠A ＝12∠BOC 3.如图2，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 4．如图3，∠A 与∠BOC 的大小关系怎样？你是怎样得到的？ 答：∠A ＝12 ∠BOC ，理由略． 范例：如图所示，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10cm ，∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ，求AC 、BC 的长． 解：∵∠ADE ＝60°，DC 平分∠ADE ， ∴∠ADC ＝12 ∠ADE ＝30°. ∴∠ABC ＝∠ADC ＝30°. 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴AC ＝12 AB ＝5cm ， BC ＝AB 2－AC 2＝102－52＝53(cm )． 交流展示 生成新知 1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑． 2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”． 知识模块一 理解圆周角的概念，能够在图形中正确识别圆周角 知识模块二 掌握圆周角定理，并会运用定理进行简单的计算与证明 当堂检测 达成目标 【当堂检测】

3.4.1圆周角定理及其推论1

4圆周角和圆心角的关系 第1课时圆周角定理及其推论1 关键问答 ①圆周角和圆心角的顶点位置有何区别？同一段弧所对的圆心角和圆周角又有什么关系？ ①一条弧所对的圆周角有多少个？这些圆周角的大小有怎样的关系？ 1．①如图3－4－1，A，B，C是①O上的三点，且①ABC＝70°，则①AOC的度数是() 图3－4－1 A．35° B．140° C．70° D．70°或140° 2．①如图3－4－2，点A，B，C，D都在①O上，AC，BD相交于点E，则①ABD与下列哪个角相等() 图3－4－2 A．①ACD B．①ADB C．①AED D．①ACB 3．2019·哈尔滨如图3－4－3，①O中，弦AB，CD相交于点P，①A＝42°，①APD＝77°，则①B的度数是()

图3－4－3 A．43° B．35° C．34° D．44° 命题点1利用圆周角定理进行计算或证明[热度：96%] 4.①如图3－4－4，在①O中，O为圆心，点A，B，C在圆上，若OA＝AB，则①ACB的度数为() 图3－4－4 A．15° B．30° C．45° D．60° 方法点拨 ①解决圆中与圆周角有关的问题，常找出同弧所对的圆心角，通过圆心角和圆周角的关系找到解题的途径． 5．①如图3－4－5，①AOB＝100°，点C在①O上，且点C不与点A，B重合，则①ACB的度数为() 图3－4－5 A．50° B．80°或50° C．130° D．50°或130° 易错警示 ①点C的位置固定吗？有几种不同的情况？ 6．2019·菏泽如图3－4－6，在①O中，OC①AB，①ADC＝32°，

则①OBA 的度数是( ) 图3－4－6 A ．64° B ．58° C ．32° D ．26° 7.如图3－4－7，①O 的半径为6，点A ，B ，C 在①O 上，且①ACB ＝45°，则弦AB 的长是________． 图3－4－7 命题点 2 利用圆周角定理的推论1进行计算或证明 [热度：96%] 8．2019·北京如图3－4－8，点A ，B ，C ，D 在①O 上，BC ︵＝CD ︵， ∠CAD ＝30°，①ACD ＝50°，则①ADB ＝________． 图3－4－8 9.①已知：如图3－4－9，CA ＝CB ＝CD ，过A ，C ，D 三点的①O 交AB 于点F . 图3－4－9 求证：CF 平分①BCD . 解题突破 ①连接AD ，你能得到哪些角相等？ 10.①如图3－4－10所示，AB 是①O 的一条弦，OD①AB ，垂足

2019届中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案

圆周角定理综合训练 一．选择题（共14小题） 1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（） A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长 2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交 直线CD于点G，AC=2，则AG?AF是（） A．10 B．12 C．8 D．16 3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（） A．B．C．D． 4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）

A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（） A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（） A．50°B．45°C．40°D．35° 7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（） A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在 8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）

A．35°B．45°C．25°D．50° 9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（） A．72°B．60°C．54°D．36° 10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（） A．1 B．2 C．1+D．2﹣ 11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°； ②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE?BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）