第十一讲二项式定理
课程类型:□复习□预习□习题针对学员基础:□基础□中等□优秀授课班级授课日期学员
月日组
本章主要内容:
1.二项式定理的定义;
2.二项式定理的通项公式;
3.二项式定理的应用.
本章教学目标:
1.能用计数原理证明二项式定理(重点 );
2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点 );
3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点 ).
课外拓展
北宋人贾宪约
杨辉三角历史
1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
13 世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表,并说明此表引自11 世纪
前半贾宪的《释锁算术》,并绘画了“古法七乘方图”。故此,杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303 年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16 世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到1623 年以后,法国数学家帕斯卡在13 岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithm é tique (1655 年)介绍了这个三角形。帕斯卡搜集
了几个关于它的结果,并以此解决一些概率论上的问题,影响面广泛,Pierre Raymond de Montmort(1708 年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730 年)都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形” (Chinese triangle)。
【知识与方法】
一.二项式定理的定义
在 (a b)n (a b)( a b) ( a b) 中,每个括号都能拿出 a 或b,所以每个括号有 2 种选择,n 个括号
n个
就是 2 n种情况 . a 2b n 2这一项,表达的意思是_________________________ ;所以, a 2b n 2共有 ________个 .
例如: ( x y)7 中 x 3 y 4 表示的就是,有
3 个括号拿 x ,剩下的
4 个括号拿
y ,所以 x 3 y 4 共有 C 73 C 44 项,
即 C 73 项.
(a + b)n 的二项展开式本来共有 _______项,合并之后共有 _______项,其中各项的系数 ______________
叫做二项式系数.
二.二项展开式的通项
(a + b)n 的二项展开式的通项公式为 __________.. 注意: 1.
T r 1与 C n r 的关系,例如第 5 项,应该是 C n 4 ;
2.二项式的展开式是按照前项降幂排列,例如
(x 1) 10 与 (1 x)10 中的第 4 项是不同的;
3. a 的指数从 n 逐项减到 0,是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。各项的次数和等 于 n ;
4.注意正确区分二项式系数与项的系数
.
三.二项式系数的基本性质
四.展开式的二项式系数和
1.(a + b)n 展开式的各二项式系数和: C n 0+ C n 1+ C n 2+ + C n n =_______.
2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即
0 2 4 1 3
5 + =
C
+ C
+ C
+ =C +C
+ C
n n
n
n
n
n
_______.
五.展开式的系数和
若 f(x) = a
2
+ + a n
,则 f(x)展开式中各项系数之和为 _______,奇数项系数之和为
a
0 +a 1x + a 2x
n x 0+ a 2
+a 4 f (1) f ( 1)
,偶数项系数之和为 a 1 3 5
+ = 2
+ a + a + =________________.
【例题与变式】
题型一 通项公式及其应用
类型一 二项式定理的原理应用
全 国卷
2 5 的展开式中, 5 2
的系数为(
)
【例 1】 (2015 ·
Ⅰ )(x +x + y) x y A .10 B . 20
C . 30
D .60
【例 2】( 2018?滨州二模) ( x2 2 x 3)5的展开式中, x 的系数为 ________.
【变式1】(2018?濮阳一模) (x
x 1 1)8的展开式中, x3的系数为 ________.
2017
【变式2】(2018?龙岩模拟)已知二项式(1 1 2 x) 4,则展开式的常数项为()
x
A.-1 B. 1 C. -47 D.49 类型二单括号型
【例 4】( 2018?内江三模) ( x 2 )4 展开式中的常数项为()
x
A . 6 B. -6 C. 24 D.-24
【例 5】设 (x- 2)n展开式中,第二项与第四项的系数之比为1
,则含 x2的项是 ________.2
a 3
【例 6】( 2018?成都模拟)若 (x )6的展开式中含 x2 项的系数为160,则实数 a 的值为()
x
A .2 B.2 C.2 2 D . 2 2
东北四校联考
)若 ( x 6 1
)
n
的展开式中含有常数项,则正整数n 的最小值等于()
【例 7】 (2017 ·x x
A . 3 B. 4 C. 5 D . 6
【变式3】(2018?河北区二模)二项式 ( x 2 ) 6的展开式的第二项为()
x
A . 6x4 B.6x4 C.12x4 D .12x4
【变式4】(2018? 四川模拟) (x 1 )6展开式中的常数项为()
x
A.-20 B. -15 C. 15 D.20
【变式
全国卷
Ⅰ )(2x+
5
的展开式中,
3
5】 (2016 ·x) x 的系数是 ________.(用数字填写答案 )
【变式6】(2018?上海二模)(x 1 )n的展开式中的第 3 项为常数项,则正整数 n=_______ .
x 【变式7】( 2018? 普陀区二模)若 (x3 1
) n的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为x 2
_______.
类型三双括号型
【例 8】(2018?肇庆三模)已知 (1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5,则 a= ()
A . 1 B. 2 C. -1 D.-2
【例 9】(2018 ?信阳二模) (x2 1)( 1 2)5的展开式的常数项是()
x
A . 5 B. -10 C. -32 D.-42
【例 10】( 2018 ? 泉州 模 拟 ) ( x 1) 4
(1
1)4
的展开式中,常数项是_______.
x
【例 11】 ( x 1)3
(1 1
)4的展开式中,常数项是_______.
x
【变式 8】( 2018 ?枣 庄 二 模 ) 若 ( x 2 a)( x 1 )
10 的 展 开 式 x 6
的 系 数 为 30 , 则 a 等 于 ( ) x
A .
1
B .
1
C . 1
D . 2
3
2
【变式 9】 ( 2018 ?咸 阳 二 模) (x y)( x
y)8 的 展 开 式 中 , x 2 y 7 的 系 数 为 _______.
【变式 10】 (1+2x)3(1- x)4
展开式中 x 项的系数为
.
题型二 展开式中的二项式系数
【例 1】( 2018?广州 一 模 )已知二项式 (2 x 2
1 ) n
的所有二项式系数之和等于 128,那么其展开式中含 1 项
x x
的系数是(
)
A .-84
B . -14
C . 14
D .84
【例 2】(2018?綦江区模拟 )二项式 (2
x a ) n
的展开式中所有二项式系数和为 64,则展开式中的常数
x
项为 -160,则 a= _______.
【变式 1】( 2018? 宝山区一模)在 (
3
x )n 的 二 项 展 开 式 中 ,所 有 项 的 二 项 式 系 数 之 和 为 1024 ,
x 2
则常数项的值等于_______.
【例 3】( 2018? 唐 山 一 模 ) (2 x 1)6 的 展 开 式 中 , 二 项 式 系 数 最 大 的 项 的 系 数 是 _______ .
【例 4】(2018 ?马鞍山二模)二项式 (
3x 3 1 )n 的 展 开 式 中 只 有 第 11 项的二项式系数最大,则
x
展 开 式 中 x 的 指 数 为 整 数 的 项 的 个 数 为 (
)
A . 3
B . 5
C . 6
D . 7
【变式 2】( 2018?湖 北 模拟 )在 (3
x 2
) n 的二项展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则二项展开式
x
常数项等于 _______.
3】(2018? 芜湖模拟
n
1
n
【变式 )已知 (1
2 x) 展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,则 (1
2 )(1
2x) 展
x
开式中常数项为 _______.
【变式 4】 (a b)n
二项展开式中,二项式系数最大项为第
7 项和第 8 项,则 n =_______ .
题型三 展开式中的系数
【例 1】( 2018?
石 家庄 二 模
)已 知 (1
x) n 的 展 开 式 各 项 系 数 之 和 为 256 ,则 展 开 式 中含 x 2 项 的 系
数 为 _______.
【例 2】( 2018?朝 阳 三模 )在二项式 ( x
3
) n 的展开式中, 各项系数之和为 A ,各项二项式系数之和为 B ,
x 且 A+B=72 ,则展开式中常数项的值为(
)
A . 6
B . 9
C . 12
D .18
【例 3】 ( x
a
)( 2x 1 )5 的展开式中各项系数的和为
2,则该展开式中的常数项为(
)
x x
A .-40
B . -20
C . 20
D .40
【例 4】( 2015?新课标Ⅱ) ( a x)(1
x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为
32,则 a=________.
【例 5】已知 (1 -2x)7=a 0+ a 1x + a 2x 2+ + a 7x 7. 求: (1)a 1+a 2+ + a 7;
(2)a 1+a 3+a 5+ a 7; (3)a 0+a 2+a 4+ a 6; (4) a 0
a 1
a 2
a 7 .
【例 6】( 2018?
湖 南 三模
)若 (1 x)(1 2 x)8 a 0 a 1 x
a 9 x 9 , x ∈ R ,则 a 1 2 a 2 22
a 9 2 9 的值
为( )
A . 29
B . 29 1
C . 39
D . 39
1
【变式 1】( 2018?赣州 一 模 )若 ( x
2
1 2) n 展开式中各项系数之和为
64,则展开式中的常数项是 (
)
x 2
A .10
B . 20
C . 30
D .40
【变式
2】( 2018?烟 台模 拟 )已知 ( x 3
2
) n 的展开式的各项系数和为 243,则展开式中 x 7 的系数为(
)
x
A . 5
B . 40
C . 20
D .10
【变式 3】(2018?河西 区 三 模 )设 ( x 2)
5
a 0 a 1 (x 1) a 2 (x 1)2
a 5 (x 1)5 ,则
a 1 a 2 a 5 _______.
1. (1 x)7 的展开式中 x 2 的系数是(
)
A .42
B . 35
C . 28
D .21
2.( 2015?大连 模 拟 ) (2- x) 8 的展开式中不含 x 4
项的系数的和为(
)
A .-1
B . 0
C . 1
D . 2
3.(2015?南昌质检)在 ( x 1
)n的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中常数项是()
2 3 x
A.-7 B. 7 C. -28 D.28
4.( 2014?石家庄二模)设 (x2+ 1)(x+ 1)9= a0+ a1( x+ 2) + a2(x+ 2)2++a11(x+2)11,则
a1+ a2++a11=
()
A . 5 B. 4 C. 3 D . 2
安徽
) ( x 3 1 7
的展开式中x
5
的系数是 ______. (用数字填写答案 )
5.( 2015? x )
6(. 2015?温州十校联考)已知 (1 x
2
)(x
1 n
(n∈N * )的展开式中没有常数项,且 2≤n≤8,则 n= ________. x 3 )
x
1.实际完成情况:
□ 按计划完成;
□超额完成,原因分析 ________________________________________________________________________ ;□未完成计划内容,原因分析 __________________________________________________________________.
2.授课及学员问题总结:
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性:确定性、无序性、互异性. 1. 2.集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 1.3.元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图: N *或N +表示正整数集,N 表示自然数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. 2. 集合间的基本关系 2.1.子集:一般地,对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称A 是B 的子集,记作A ?B(或B ?A). 2.2.真子集:如果集合A 是集合B 的子集,但集合B 中至少有一个元素不属于A ,则称A 是B 的真子集,记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ,A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ,也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等:如果A ?B ,并且B ?A ,则A =B. 两集合相等:A =B ?? ??? ? A ? B ,A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性,B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性. 2.4.空集:不含任何元素的集合.空集是任何集合A 的子集,是任何非空集合B 的真子集.记作?. ?∈{?},??{?},0??,0?{?},0∈{0},??{0}.
3. 集合间的基本运算 (1)交集:一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集,记作A∩B ,即A∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}. (2)并集:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为A 与B 的并集,记作A ∪B ,即A ∪B ={x|x ∈A ,或x ∈B}. (3)补集:对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,简称为集合A 的补集,记作?U A ,即?U A ={x |x ∈U ,且x ?A }. 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”,集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素,剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质:A ?A ,??A ,A ∩B ?A ,A ∩B ?B . (2)交集的性质:A ∩A =A ,A ∩?=?,A ∩B =B ∩A . (3)并集的性质:A ∪B =B ∪A ,A ∪B ?A ,A ∪B ?B ,A ∪A =A ,A ∪?=?∪A =A . (4)补集的性质:A ∪?U A =U ,A ∩?U A =?,?U (?U A )=A ,?A A =?,?A ?=A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集,其中有2n -1个真子集,2n -1个非空子集. (6)等价关系:A ∩B =A ?A ?B ;A ∪B =A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 2. 已知a ,b ∈R ,若? ?? ? ??a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 019+b 2 019的值为( ) A .1 B .0 C .-1 D .±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2+y 2=1上的点的集合,B 表示直线y =x 上的点的集合,直线y =x 与圆x 2+y 2=1有两个交点,所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0,则b a =0,所以 b =0,于是a 2=1,即a =1或a =-1.又根据集合中元素的互异性可 知a =1应舍去,因此a =-1,故a 2 019+b 2 019=(-1)2 019+02 019=-1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练]
高中数学经典题型50道(另附详细答案)
高中数学习题库(50道题另附答案) 1.求下列函数的值域: 解法2 令t=sin x,则f(t)=-t2+t+1,∵ |sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[-1,1]上的最值. 本例题(2)解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想.善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟
悉,由复杂化简单,一句话:由难化易.可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处,当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和,求该慧星与 地球的最近距离。 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点)0,(c F -处,椭圆 的方程为122 22=+b y a x (图见教材P132页例1)。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3 π 时,由椭圆的几何 意义可知,彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥,则于 故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答:彗星与地球的最近距离为m 3 2万千米。 说明:(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是c a -,另一个是.c a +
二项式定理 一、二项式定理: ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110(*∈N n )等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式,其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解: (1)二项展开式有1+n 项 (2)字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1到0;字母b 按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1到n (3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数b a ,,等式都成立,通过对b a ,取不同的特殊值,可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==,1,则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101(*∈N n ) (4)要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式()n b a +展开,得到一个多项式; 另一方面,也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项:k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项,它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解: (1)字母b 的次数和组合数的上标相同 (2)a 与b 的次数之和为n (3)在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素,知道4个元素便可求第5个元素 例1.n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 ( ) A .n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2.(1)求7 (12)x +的展开式的第四项的系数; (2)求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数
1.集合基本运算,数轴应用 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B = A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x << 2.集合基本运算,二次函数应用 已知集合{} {}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ,则=B A ( ) A .]1,2[-- B . )2,1[- C..]1,1[- D .)2,1[ 3.集合基本运算,绝对值运算,指数运算 设集合{}{} ]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ,则=B A ( ) A.]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1( 4.集合基本性质,分类讨论法 已知集合A= {} 22,25,12a a a -+,且-3 ∈A ,求a 的值 5.集合基本性质,数组,子集数量公式n 2 .集合A={(x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N },则A 的非空真子集的个数为( ) A 4 B 5 C 6 D 7 6.集合基本性质,空集意识 已知集合A={x|2a-1≤x≤a+2},集合B={x|1≤x≤5},若A∩B=A,求实数a 的取值范围. 7.函数解析式,定义域,换元法,复合函数,单调性,根式和二次函数应用,数形结合法 已知x x x f 2)1(+=+,定义域为:x>0 (1)求f(x)的解析式,定义域及单调递增区间 (2)求(-1)f x 解析式,定义域及最小值
8.函数基本性质,整体思想,解方程组 设1()满足2()()2,f x f x f x x -=求)(x f 9.函数基本性质,一次函数,多层函数,对应系数法 若f [ f (x )]=2x +3,求一次函数f (x )的解析式 10.不等式计算,穿针引线法 (1-x)(21)0(1)x x x +≥- 求x 取值范围 11.函数值域,反表示法,判别式法,二次函数应用,换元法,不等式法 求函数2241x y x +=-的值域 求函数2122 x y x x +=++的值域 求函数x x y 41332-+-=的值域 93(0)4y x x x =+> 12.函数值域,分类讨论,分段函数,数形结合,数轴应用 若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3,则实数a 的值为 (A )5或8 (B )1-或5 (C )1-或4- (D )4-或8 13.函数单调性,对数函数性质,复合函数单调性(同增异减) 函数212 ()log (4)f x x =-的单调递增区间为 A.(0,)+∞ B.(-∞,0) C.(2,)+∞ D.(-∞,2)- 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+
例1.用数学归纳法证明: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ. 请读者分析下面的证法: 证明:①n =1时,左边31311=?=,右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ. 那么当n =k +1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n =k +1时,等式亦成立. 由①、②可知,对一切自然数n 等式成立. 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步,当n =k +1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求. 正确方法是:当n =k +1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n =k +1时,等式亦成立, 例2.是否存在一个等差数列{a n },使得对任何自然数n ,等式: a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立,并证明你的结论. 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n =1,2,3时找出来{a n },然后再证明一般性. 解:将n =1,2,3分别代入等式得方程组. ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6,a 2=9,a 3=12,则d =3. 故存在一个等差数列a n =3n +3,当n =1,2,3时,已知等式成立. 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数,等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 因为起始值已证,可证第二步骤. 假设n =k 时,等式成立,即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时, a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说,当n =k +1时,也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列a n =3n +3,对任何自然数n ,等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立. 例3.证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N). 证明:①当n =1时,左边=1,右边=2.
二项式定理知识点及11种答题技巧 1.二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L , 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a -2b )4的展开式. 分析:直接利用二项式定理展开. 解:根据二项式定理得(a -2b )4=C 04a 4+C 14a 3(-2b )+C 24a 2(-2b )2+C 34a (-2b )3 +C 44(- 2b )4 =a 4-8a 3b +24a 2b 2-32ab 3+16b 4. 说明:运用二项式定理时要注意对号入座,本题易误把-2b 中的符号“-”忽略. 【例2】展开(2x - 223x )5 . 分析一:直接用二项式定理展开式. 解法一:(2x -223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(-223x )+C 25(2x )3(-223x )2+C 35(2x )2(-2 23x )3+ C 4 5 (2x )(-223x )4+C 55(-2 23x )5 =32x 5-120x 2+x 180-4135x +78405 x -10 32243x . 分析二:对较繁杂的式子,先化简再用二项式定理展开. 解法二:(2x -223x )5=105 332)34(x x =10321x [C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(-3)+C 25(4x 3)3(-3)2+C 35(4x 3)2(-3)3+C 45(4x 3)(-3)4+ C 55(-3)5 ] = 10 321 x (1024x 15-3840x 12+5760x 9-4320x 6+1620x 3-243) =32x 5-120x 2+x 180-4135x +78405 x -10 32243x . 说明:记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式,有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x -3)10的展开式中,x 6的系数是 . 解法一:根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二:(x -3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10- r (-3)r . 令10-r =6,即r =4,由通项公式可知含x 6项为第5项,即T 4+1=C 410x 6(-3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同,那么哪一个是正确的呢? 问题要求的是求含x 6这一项系数,而不是求含x 6的二项式系数,所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数,解法一就正确了,也即是C 4 10. 说明:要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关,与二项
二项式定理 1.在()103x -的展开式中,6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3.92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中,含3x 的项的系数是 . 7.在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中,4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2+3x -4)4的展开式中x 的系数.
14.(x 2+x +y )5的展开式中,x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大,则n= ,展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数. 17.在(a +b )n 的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为64,则二项式系数的最大值为________. 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈,则展开式的系数和为________. 19.已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7,则a 1+a 2+…+a 7的值是________. 20.已知(1-2x +3x 2)7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 13x 13+a 14x 14.求:(1)a 1+a 2+…+a 14; (2)a 1+a 3+a 5+…+a 13.
二项式定理知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二项式定理 ()n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100+?++?++=+--( )* N n ∈. 展开式具有以下特点: (1)项数:共1+n 项. (2)二项式系数:依次为组合数n n n n n C C C C ,?,,,2 1 . (3)每一项的次数是一样的,都为n 次,展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地, ()n n n n n n x C x C x C x +?+++=+22111. 二、二项式展开式的通项(第1+r 项) 二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ?=.其中r n C 的二项式系数.令变量(常用x )取1, 可得1+r T 的系数. 注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点: ①分清r r n r n b a C -是第1+r 项,而不是第r 项; ②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中,含n r b a C T r n r ,,,,,1+这6个参数,只有n r b a ,,,是独立的,在未知n r ,的 情况下利用通项公式解题,一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 (1)二项式系数与项的系数 二项式系数仅指n n n n n C C C C ,?,,,2 1 而言,不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如: ()n x +2的展开式中,含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21,其中r n C 叫做该项的二项式系数,而r x 的系数应该是 r n r n C -2(即含r x 项的系数). (2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ,…,r n n r n C C -=. ②二项展开式中间项的二项式系数最大. 如果二项式的幂指数n 是偶数,中间项是第12+n 项,其二项式系数n n C 2 最大;如果二项式的幂指数n 是奇数,中间项有两项,即为第21+n 项和第 12 1 ++n 项,它们的二项式系数21-n n C 和21 +n n C 相等并且最大. (3)二项式系数和与系数和 ①二项式系数和 011+12n n n n n n C C C ++?+==() .
2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围 题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像
1.设Sn是等差数列{An}的前n项和,又S6=36,Sn=324,S(n-6)=144,则n=? ①Sn是等差数列 S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36,则2a1+5d=12......& 最后六项的和S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15d S(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,则2an-5d=60......@ &+@:a1+an=36 Sn=(a1+an)/2*n n=18 ②解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+......an=324-144=180 而 S6=a1+a2+...a6=36 有 Sn-S(n-6)+S6= a1+a2+...a6+ a(n-5)+a(n-4)+....an =6(a1+an)=180+36=216 那么 (a1+an)=36 Sn=n(a1+an)/2=324 即 36n/2 =324 所以 n=18 2.已知f(x)=(x-1)^2,g(x)=4(x-1),f(an)和g(an)满足,a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0
(1)是否存在常数C,使得数列{an+C}为等比数列?若存在,证明你的结论;若不存在,请说明理由。 (2)设bn=3f(an)-[g(an+1)]^2,求数列{bn}的前n项和Sn (1)存在 C=-1 证明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 将f(x)、g(x)带入并化简 得4an+1 - 3an -1 =0 变形为4(an+1 -1)=3(an -1) 所以an-1是以3/4为等比 1为首项的等比数列 (2)an-1=(3/4)^n bn=3f(an)-[g(an+1)]^2 将f(an) g(an+1)带入不要急着化简先将an+1 - 1换成 3/4 (an-1) 化简后bn=-6(an -1)^2=-6*(9/16)^n bn是首项为-27/8等比是9/16的等比数列 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=54/7(9/16)^n-54/7 已知函数f(x)=x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) <=> px^2+pax+pb+qy^2+qay+qb>=(px+qy)^2+apx+aqy+b
二项式定理十种题型及解法 1.二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L , 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:
二项式定理 一、基本知识点 1、二项式定理:)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n 2、几个基本概念 (1)二项展开式:右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 (2)项数:二项展开式中共有1+n 项 (3)二项式系数:),,2,1,0(n r C r n =叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 (4)通项:展开式的第1+r 项,即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ 3、展开式的特点 (1)系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n n ,…,C n n (2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。 ②b 的指数由0 n (升幂)。 ③a 和b 的指数和为n 。 (3)展开式是一个恒等式,a ,b 可取任意的复数,n 为任意的自然数。 4、二项式系数的性质: (1)对称性: 在二项展开式中,与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 (2)增减性与最值 二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时,中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时,中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C (3)二项式系数的和: 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210=+???++???+++∴0213 n-1 n n n n C +C +=C +C + =2
二项式定理的常见题型 一、求二项展开式 1.“n b a )(+”型的展开式 例1.求4)13(x x +的展开式;a 2. “n b a )(-”型的展开式 例2.求4)13(x x -的展开式; 3.二项式展开式的“逆用” 例3.计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-; 二、通项公式的应用 1.确定二项式中的有关元素 例4.已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4 9 ,常数a 的值为 2.确定二项展开式的常数项
数学家高斯的故事 高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。 还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现: 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到: 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。 中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。 从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。 高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。
对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说:“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”
高中数学典型题型与解析 一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有( ) A .最大值 1 4 B .最小值14 C .最大值 212 - D .最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室,每天晚上至少开放2间,欲求不同安排方案的种数,现有四 位同学分别给出下列四个结果:①2 6C ;②6 65 64 63 62C C C C +++;③726 -;④2 6A .其中 正确的结论是( ) A .仅有① B .仅有② C .②和③ D .仅有③ 3. 将函数y =2x 的图像按向量a →平移后得到函数y =2x +6的图像,给出以下四个命题:① a →的坐标可以是(-3.0);②a →的坐标可以是(0,6);③a →的坐标可以是(-3,0)或(0, 6);④a →的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412,有解,则实数a 的取值范围是( ) A .(-1,3) B .(-3,1) C .(-∞,1) (3,+∞) D .(-∞,-3) (1,+∞) 5. 设a >0,c bx ax x f ++=2 )(,曲线y =f (x )在点P (0x ,f (0x ))处切线的倾斜角 的取值范围为[0,4π ],则P 到曲线y =f (x )对称轴距离的取值范围为( ) A .[0,]1a B .0[,]21a C .0[,|]2|a b D .0[,|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ,2x (1x ≠2x )恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是( ) A .)5()3(->f f B .)5()3(-<-f f C .)3()5(f f >- D .)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热,若球的半径增加R ?,则球的体积增加≈?V ( ) A . R R ?3 π3 4 B .R R ?2π4 C .2π4R D .R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ,将它沿平行于BC 的线段PQ 折起,使平面APQ ⊥平面BPQC ,若折叠后AB 的长为d ,则d 的最小值为( ) A . a 43 B .a 45 C .4 3a D . a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +=1,则下列结论中正确的是( ) A .2π≠ +βα B .2π<+βα C .2π>+βα D .2 π=+βα
二项式定理试题类型大全 一.选择题 1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数(B )A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含..4x 项的系数的和为(B )A.-1 B.0 C.1 D.2 3.若S=123100123100A A A A ++++L L ,则S 的个位数字是(C ) A 0 B 3 C 5 D 8 4.已知(x - x a )8展开式中常数项为1120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是( C )A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 5.在3100(25)+的展开式中,有理项的个数是()A.15个B.33个.17个D.16个 6.在2431??? ? ??+x x 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有(C ) A .3项 B .4项 C .5项 D .6项 7.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x 3的项的系数是( C ) A 、-5 B 、 5 C 、10 D 、-10 8.35)1()1(x x +?-的展开式中3x 的系数为( ) A .6B .-6 C .9D .-9 9.若x= 21,则(3+2x)10的展开式中最大的项为(B )A.第一项B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3n x x - 的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为( ) A .7 B .12 C .14 D .5 11.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为(C ) A .1440 B .-1440 C .-2880 D .2880 12.在51(1)x x +-的展开式中,常数项为( B ) (A )51 (B )-51 (C )-11 (D )11 13.若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ,且:3:1a b =,则n 的值为( C ) A.9 B.10 C.11 D.12 14.若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++???+++x a x a x a a ,则=9a ( ) (A ) 9 (B )10 (C )9- (D )10- 故选D 。 17.若二项式6)sin ( x x -θ展开式的常数项为20,则θ值为( B ) A. )(22Z k k ∈+ππ B. )(22z k k ∈-ππ C. 2π D. 2π- 18.5310 被8除的余数是( )A 、1 B 、2 C 、3 D 、7 19已知i x +=2,设444334224141x C x C x C x C M +-+-=,则M 的值为( ) A 4 B -4i C 4i D 20.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近视值是………………………( ) A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44
二项式定理 1.二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L , 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ,是升幂排列。各项的次数和 等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和: 00112220120120011222021210 01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),() 2 (1)(1),() 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和 ⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数n 是偶数时,则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时,则中间两项的二项式系数12n n C -,12n n C +同时取得最 大值。 ⑥系数的最大项:求()n a bx +展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为121,,,n A A A +???,设第1r +项系数最大,应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?,从而解出r 来。