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集合问题中常见易错点归类分析答案解析

集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：

1．代表元素意义不清致误

例1 设集合A ＝｛（x ,y ）∣x ＋2y ＝5｝，B ＝｛（x ,y ）∣x －2y ＝－3｝，求A I B ．错解：由???-=-=+3252y x y x 得???==2

1y x 从而A I B ＝{1，2}．分析上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，所以A I B ＝{(1，2)}

例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解：显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．

分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2

y x y B ==，求B A I 解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2 }1|{≥=y y B A I

例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。错解：}32{，-==B A

分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。

例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ?B }，则A 与B 的关系是( )

A ．A ?

B B ．B ?A

C ．A ∈B

D ．B ∈A

错解：B

分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，?，

∴A ＝{x|x ?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A.

评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．

2 忽视集合中元素的互异性致错

例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ?B ，求a 的值．错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．

分析当a ＝１时，A 中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．

例6 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和．错解：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得（ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０

（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２．

（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2＝－ｂ－２．

分析上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．

评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

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