2015年考研数学一真题及答案(完整版)

2015年考研数学一真题及答案（完整版）

一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线

()=y f x 的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

【答案】（C ）

【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211

()23

=

+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )

(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c

【答案】（A ）

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.

【解析】由题意可知，212x e 、13

x

e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1

为特征方程2

0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为

32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）

(3) 若级数

1

∞

=∑n

n a

条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数

1

(1)

∞

=-∑n

n

n na x 的 ( )

(A) 收敛点，收敛点

(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为

1

n n a

∞

=∑条件收敛，

即2x =为幂级数1

(1)

n

n n a x ∞

=-∑的条件收敛点，所以

1

(1)

n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故

1

(1)

n

n

n na x ∞

=-∑的收敛

区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1

(1)

n

n

n na x ∞

=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.

(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则

(),D

f x y dxdy =?? ( )

(A)

()1

3sin214

2sin2cos ,sin d f r r rdr π

θπθ

θθθ??

(B)

()1sin 2314

2sin 2cos ,sin d f r r rdr π

θπθθθθ??

(C)

()13sin 214

2sin 2cos ,sin d f r r dr π

θπθ

θθθ??

(D)

()1sin 2314

2sin 2cos ,sin d f r r dr π

θπθ

θθθ??

【答案】（B ）

【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，

所以(,)D

f x y dxdy =??1sin23

14

2sin2(cos ,sin )d f r r rdr π

θπθ

θθθ??

，故选（B ）

(5) 设矩阵21111214A a a ??

?= ? ???，21b d d ?? ?= ? ???

，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有

无穷多解的充分必要条件为 ( )

(A) ,a d ?Ω?Ω (B) ,a d ?Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D

【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b a

d a d a d a a d d ????

? ?=→-- ? ? ? ?----????

，

由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。故选（D ）

(6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换为=x Py 下的标准形为222

123

2+-y y y ，其中()123,,=P e e e ，若()132,,=-Q e e e ，则()123,,f x x x 在正交变换=x Qy 下的标准

形为 ( )

x y o

(A) 222

1232-+y y y (B) 2221232+-y y y (C) 2221232--y y y (D) 222123

2++y y y 【答案】(A)

【解析】由x Py =，故222

123

()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-.且 200010001T P AP ??

?

= ?

?-??. 100001010Q P PC

?? ?

== ? ?-??

200()010001T T T Q AQ C P AP C ??

?

==- ?

???

所以222

123

()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+。选（A ）

(7) 若A,B 为任意两个随机事件，则 ( )

(A) ()()()≤P AB P A P B (B) ()()()≥P AB P A P B (C) ()()()2≤P A P B P AB (D) ()()()

2

≥P A P B P AB

【答案】(C)

【解析】由于,AB A AB B ??，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()

()2

P A P B P AB +≤，选(C) .

(8)设随机变量,X Y 不相关，且2,1,3===EX EY DX ，则()2+-=????E X X Y ( ) (A) 3- (B) 3 (C) 5- (D) 5 【答案】(D)

【解析】22[(2)](2)()()2()E X X Y E X XY X E X E XY E X +-=+-=+- 2()()()()2()D X E X E X E Y E X =++?- 2

3221225=++?-?=，选(D) .

二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 2

0ln cos lim _________.x x

x →=

【答案】1

2

-

【分析】此题考查0

型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一：2000sin ln(cos )tan 1cos lim lim lim .222

x x x x

x x x x x x →→→--===- 方法二：2

222200001ln(cos )ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim .2

x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- (10)

2

2sin ()d ________.1cos x x x x π

π-+=+?

【答案】2

π4

【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.

【解析】22

2

02sin 2.1cos 4x x dx xdx x π

π

ππ-??+== ?+?

???

(11)若函数(,)=z z x y 由方程cos 2+++=x

e xyz x x 确定，则(0,1)

d ________.z

=

【答案】dx -

【分析】此题考查隐函数求导.

【解析】令(,,)cos 2z F x y z e xyz x x =+++-，则

(,,)1sin ,,(,,)z x y z F x y z yz x F xz F x y z e xy '''=+-==+

又当0,1x y ==时1z e =，即0z =.

所以

(0,1)

(0,1)

(0,1,0)

(0,1,0)1,

0(0,1,0)(0,1,0)

y x z z F F z z

x

F y

F ''??=-

=-=-

=''??，因而(0,1)

.dz

dx =-

(12)设Ω是由平面1++=

x y z 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则(23)__________.x y z dxdydz Ω

++=???

【答案】

1

4

【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得

1

(23)66z

D x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy Ω

Ω

++==?????????，

其中z D 为平面z z =截空间区域Ω所得的截面，其面积为

21

(1)2

z -.所以 11232

0011(23)66(1)3(2).24x y z dxdydz zdxdydz z z dz z z z dz ΩΩ

++==?-=-+=???????? (13) n 阶行列式2002

120

2

___________.0022001

2

-=-

【答案】1

2

2n +-

【解析】按第一行展开得

11112002120

2

2(1)2(1)22

0220

012

n n n n n D D D +----==+--=+-

221222(22)2222222n n n n D D ---=++=++=+++ 122n +=-

(14)设二维随机变量(,)x y 服从正态分布(1,0

;1,1,0)N ，则{0}________.P XY Y -<= 【答案】

1

2

【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而

{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<> 11111

{1}{0}

{1}{0}22222

P X P Y P X P Y =><+<>=?+?=.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分) 设函数()ln(1)sin =+++f x x a x bx x ，3()=g x kx ，若()f

x 与()g x 在

0→x 是等价无穷小，求,,a b k 的值.

【答案】,,.a b k =-=-=-1

1123

【解析】法一：原式()3

0ln 1sin lim

1x x a x bx x

kx →+++= ()()2333330236lim 1x x x x x a x o x bx x o x kx

→????+-+++-+ ? ?????==

()()2343

3

1236

lim

1x a a b a x b x x x o x kx

→??++-

+-+ ??

?== 即10,0,123a a a b k +=-

== 11

1,,23

a b k ∴=-=-=-

法二：()3

0ln 1sin lim

1x x a x bx x

kx →+++= 201sin cos 1lim 13x a

b x bx x

x kx

→++++== 因为分子的极限为0，则1a =-

()

2

1

2cos sin 1lim

16x b x bx x x kx

→--+-+==，分子的极限为0，1

2

b =-

()02

2sin sin cos 13lim 16x b x b x bx x

x k

→-

---+==，1

3k =- 111,,23

a b k ∴=-=-=-

(16)(本题满分10分) 设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，由线()=y f x 在点

()()0

,x f x 处的切线与直线0

x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且()02f =，求()

f x 的表达式. 【答案】f x x

=

-8

()4. 【解析】设()f x 在点()()

00,x f x 处的切线方程为：()()()000,y f x f x x x '-=- 令0y =，得到()

()

000f x x x f x =-

+'，

故由题意，

()()00142f x x x ?-=，即()()()

0001

42f x f x f x ?='，可以转化为一阶微分方程，

即28y y '=，可分离变量得到通解为：11

8

x C y =-+，

已知()02y =，得到1

2C =，因此11182

x y =-+； 即()8

4

f x x =

-+.

(17)(本题满分10分)

已知函数(),=++f

x y x y xy ，曲线C ：223++=x y xy ，求(),f x y 在曲

线C 上的最大方向导数. 【答案】3

【解析】因为(),f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.

()()',1,',1x y f x y y f x y x =+=+，

故(){},1,1gradf x y y x =++，模为()()

22

11y x +++，

此题目转化为对函数()()()

2

2

,11g x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.

即为条件极值问题.

为了计算简单，可以转化为对()()2

2

(,)11d x y y x =+++在约束条件22:3C x y xy ++=下的最大值.

构造函数：()()()()

2

2

2

2

,,113F x y y x x y xy λλ=++++++-

()()()()22

2120212030

x y F x x y F y y x F x y xy λλλ'?=+++=?

'=+++=??'=++-=?，得到()()()()12341,1,1,1,2,1,1,2M M M M ----. ()()()()12348,0,9,9d M d M d M d M ====

所以最大值为93=. (18)(本题满分 10 分)

（I ）设函数()()u x ,v x 可导，利用导数定义证明u x v x u x v x u x v x '''=+[()(

)]()()()() （II ）设函数()()()12n u x ,u x ,,u x 可导，n f x u x u x u x = 12()()()()，写出()f x 的求导公式.

【解析】（I ）0()()()()

[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h

→++-'=

0()()()()()()()()

lim h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h

→++-+++-=

00()()()()

lim ()

lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h

→→+-+-=++ ()()()()u x v x u x v x ''=+ （II ）由题意得

12()[()()()]n f x u x u x u x ''=

121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++

(19)(本题满分 10 分)

已知曲线L 的方程为222,

,

z x y z x ?=--??=??起点为()

0,2,0A ，终点为()

0,2,0-B ，计算

曲线积分()()2222

d d ()d L

I y z x z x y y x y z =

++-+++?. 【答案】

2π2

【解析】由题意假设参数方程cos 2sin cos x y z θθθ

=??=??=?

，ππ

:22θ→-

π22

π2[(2sin cos )sin 2sin cos (1sin )sin ]d θθθθθθθθ-

-++++?

π222

π2

2sin sin cos (1sin )sin d θθθθθθ-

=-+++?

π220

222sin d π2

θθ==

?

(20) (本题满11分)

设向量组1,23,ααα内3

R 的一个基，113=2+2k βαα，22=2βα，()313=++1k βαα.

（I ）证明向量组1β2β3β为3R 的一个基;

（II ）当k 为何值时，存在非0向量ξ在基1,23,ααα与基1

β2β3β下的坐标相同，并求所有的

ξ

.

【答案】

【解析】(I)证明：

()()()

()12313213123,,2+2,2,+1201,,0

2

0201k k k k βββαααααααα=+??

?= ? ?+?

?

201

2

1

202

4021

201

k

k k

k ==≠++ 故123,,βββ为3

R 的一个基. （II ）由题意知，

112233112233,0k k k k k k ξβββαααξ=++=++≠

即

()()()1112223330,

0,1,2,3

i k k k k i βαβαβα-+-+-=≠=

()()()()()()()11312223133113223132+22++10+2+0k k k k k k k k k k ααααααααααααα-+-+-=++=有非零解

即13213+2,,+0k k ααααα=

即101

010020k k

=，得k=0 11223121300,0

k k k k k k ααα++=∴=+=

11131,0k k k ξαα=-≠

(21) (本题满分11 分)

设矩阵02313312a -?? ?=-- ? ?-??A 相似于矩阵12000031b -?? ?

? ???

B =.

(I) 求,a b 的值；

（II ）求可逆矩阵P ，使1

-P AP 为对角矩阵..

【解析】(I) ~()()311A B tr A tr B a b ?=?+=++

023120

1330

0120

3

1

--=?--=-A B b

a 14

235

-=-=??∴???

-==??a b a a b b (II)

023100123133010123123001123A E C ---?????? ? ? ?

=--=+--=+ ? ? ? ? ? ?--??????

()123112*********---???? ? ?

=--=-- ? ? ? ?-????C

C 的特征值1230,4λλλ===

0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T

A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C

令123231(,,)101011ξξξ--??

?

==- ? ???P ，

1115-??

?

∴= ? ???

P AP

(22) (本题满分11 分) 设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,0,

0,

0.x x f x x -?>?=?≤??

对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y 为观测次数.

(I)求Y 的概率分布; (II)求EY

【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则3

1

3228

()ln x p P X dx +∞

-=>=

=?

，

从而1222

1171188

n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =

为Y 的概率分布；

(II)2221222

17777

11288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞

∞---====?==?-=?--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]

记2

12

111()()n n S x n n x

x ∞

-==

?--<<∑，则

2

1

13

222

2

11n n n n n n S x n n x

n x

x x ∞

∞

∞

--==='''=?-=?==

-∑∑∑()()()()()，

1

2213

2

2

2111()()()()()

n n n n x

S x n n x

x n n x xS x x ∞

∞

--===?-=?-==

-∑∑， 2

2

2

2

313

2

2

2111()()()()()

n

n n n x S x n n x x

n n x

x S x x ∞

∞

-===?-=?-==-∑∑， 所以212332422

211()()()()()x x S x S x S x S x x x

-+=-+==

--，

从而7168

E Y S ==()().

(23) (本题满分 11 分)设总体X 的概率密度为：

x f x θθθ

?≤≤?

=-???

1

,1,(,)10,其他. 其中θ为未知参数，12n x ,x ,,x 为来自该总体的简单随机样本. (I)求θ的矩估计量.

(II)求θ的最大似然估计量.

【解析】(I)

1

1112

()(;)E X xf x dx x dx θ

θθθ+∞

-∞

+=

=?

=-?

?， 令()E X X =，即

12

X θ+=，解得 1

121n

i i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；

(II) 似然函数1()(;)n

i

i L f x θθ==

∏，

当1i x θ≤≤时，11111()()n

n

i L θθ

θ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--. 从而

dln d 1L n

θθθ

=-()，关于θ单调增加， 所以 12min n

X X X θ={,,,} 为θ的最大似然估计量.

2015年考研数学一真题与解析

2015年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c === 【详解】线性微分方程的特征方程为2 0r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得 213212(),a b =-+=-=?=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） ３．若级数 1 n n a ∞ =∑ 条件收敛，则3x x ==依次为级数 1 1() n n n na x ∞ =-∑的 （Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的 收敛为1，即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,) ，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ） ４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy == 与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在

2015年考研数学真题答案(数一-)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-

3、若级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛，则x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛 点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 12sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4 π θ= ；由y =得，3 π θ= 由21xy =得，2 2cos sin 1, r r θθ== 由41xy =得，2 4cos sin 1, r r θθ==

2015考研数学二真题与答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-∞,+∞)内 (A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数().若 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出 再有 于是，存在此时. 当，， = 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在 D上连续，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B

2015考研数学真题(数一)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的 拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ?

2015年考研数学一真题及解析

考研数学真题及解析 与 x = 3 依次为幂级数∑ n a (x -1) 的 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上. (1) 设函数 f (x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，其中二阶导数 f ''(x ) 的图形如图所示，则曲 线 y = f (x ) 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设 y = 1 e 2 x + (x - 1 )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3 y '' + ay ' + by = ce x 的一个特解，则 ( ) (A) a = -3, b = 2, c = -1 (B) a = 3, b = 2, c = -1 (C) a = -3, b = 2, c = 1 (D) a = 3, b = 2, c = 1 (3) 若级数 ∑ a n 条件收敛，则 x = n =1 ∞ n n n =1 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 (4) 设 D 是第一象限由曲线2xy = 1， 4xy = 1与直线 y = x ， y = 面区域，函数 f ( x , y ) 在 D 上连续，则 ?? f ( x , y ) dxdy = D 3x 围成的平 ( ) ∞ 3

?π ? ?π ?π ? ?π 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (A) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (B) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (C) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ (D) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ ?1 1 1 ? ?1 ? (5) 设矩阵 A = 1 2 a ? ， b = d ? ，若集合Ω= {1, 2}，则线性方程组 ? ? 1 4 a 2 ? d 2 ? ? ? ? ? Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a ?Ω, d ?Ω (B) a ?Ω, d ∈Ω (C) a ∈Ω, d ?Ω (D) a ∈Ω, d ∈Ω (6) 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换为 x = Py 下的标准形为2 y 2 + y 2 - y 2 ， 其中 P = (e 1 , e 2 , e 3 ) 下的标准形为 ( ) ，若Q = (e 1 , -e 3 , e 2 ) ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy (A) 2 y 2 - y 2 + y 2 (B) 2 y 2 + y 2 - y 2 (C) 2 y 2 - y 2 - y 2 (D) 2 y 2 + y 2 + y 2 (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) (C) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) 2 (B) (D) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) 2

2015年考研数学真题(数二)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（） （A ） 2 +∞ ? （B ）2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ，满足22 (,)y f x y x y x +=-，则 11 u v f u ==??与1 1 u v f v ==??依次是（） （A ） 12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy == 与直线,y x y =围成的平面区域，函数 (,)f x y 在D 上连续，则(,)D f x y dxdy ??=（）

（A ） 12sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? （C ） 13sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (7)．设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???，b=21d d ?? ? ? ??? ,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的 充分必要条件为（） （A ）,a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222 1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若 132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ） (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123 2y y y ++ 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. (9) 设223 1arctan ,3t x t d y dx y t t ==?=?=+? 则 （10）函数2 ()2x f x x =在0x =处的n 阶导数() (0)n f = （11）设函数()f x 连续，2 ()(),x x xf t dt ?= ? 若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'' ' 20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则(0,0)dz = （14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分） 设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2 ()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，

数学二2015年考研真题及答案解析

Page 1 of 102015年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列反常积分收敛的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2? 2ln x dx x +∞?21ln dx x x +∞?2x x dx e +∞?【详解】当且仅当时才收敛，所以（A ）是发散的；21p dx x +∞? 1p >2+∞?（B ）是发散的；22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞? （C ）是发散的；221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞?事实上，对于（D ），应该选（D ）．22213()|x x x dx x e e e +∞ -+∞-=-+=?2．函数在内（ ）2 01sin ()lim x t t t f x x →??=+ ??? (,)-∞+∞（A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点 【详解】220010 sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???函数在处没有定义，而，所以应该选（B ）．0x =00 1lim ()lim x x x f x e →→==3．设函数 ，若在处连续，则（ ）100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤? ()f x '0x =（A ） （B ） （C ） （D ）1αβ->01αβ<-≤2αβ->02 αβ<-≤【详解】当时，，当时，，0x >1111()cos sin f x x x x x ααβββαβ---'=+0x <0()f x '=10011000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ ++--+→→''===

2015年考研数学一真题及答案解析

2015年考研数学一真题及答案解析

2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数 () ''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个 数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.

3 (2)设211()23 =+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微 分方程 '''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1 =-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1 ===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程 20 r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选

2015年考研数学一真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为

32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 = x 3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，即2x =为幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收 敛区间还是(0,2)。 因而x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。 (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x = ，y =围成的平面区 域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ( )34 cos ,sin d f r r rdr π πθθθ? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ( )34 cos ,sin d f r r dr π πθθθ? 【答案】（B ） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，

2015年考研数学三真题与答案详细讲解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞ =n n x a ,则 221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (B) 若221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a , 则lim →∞ =n n x a (C) 若lim →∞ =n n x a ,则 331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (D) 若331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a ,则lim →∞ =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n →→∞?对任意的子列{} k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 ()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 设 (){} 2 222,2,2= +≤+≤D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则

2015年考研数学二真题及答案解析

https://www.sodocs.net/doc/935090992.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数， ().若在处连续，则 (A) (B) (C) (D)【答案】A

https://www.sodocs.net/doc/935090992.html,/ 【解析】易求出 ， 再有 不存在，， 于是，存在，此时. 当时，， = 不存在，， 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧 异号，对应的点就是的拐点。 虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此

2015年考研数学(一)真题及答案详解(统编)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，21 2x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）

2015年考研数学一真题及答案(完整版)

2015年考研数学一真题及答案（完整版） 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1 为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为

32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数 1 (1) ∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛， 即2x =为幂级数1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛 区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）. (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin214 2sin2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθθθθ?? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? 【答案】（B ）

2015年考研数一真题及答案解析(完整版)

2015年考研数学（一）试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解， 所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3= x 与3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点

2015年考研数学一真题与解析

2015年考研数学一真题 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图 所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-（A ）321,,a b c =-==-（B ）a =（C ）321,,a b c =-==（D ）3a =【 21=即得 a x xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） 3 =依次为级数1 1()n n n na x ∞ =-∑的 （Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1， 即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ） ４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上 连续，则 (,)D f x y dxdy =??（）

2015年考研数学一真题与答案解析

2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．． (1) 设函数 f ( x)在,内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线 y f ( x)的拐点的个数为() (A)0(B)1(C)2(D)3 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函 数异号。因此，由f(x) 的图形可得，曲线 y f ( x) 存在两个拐点.故选（ C） . (2) 设y 1 e2x(x1)e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一 23 个特解，则() (A)a3,b2, c1 (B)a3, b2, c1 (C)a3,b2, c1 (D)a3, b2, c 1 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此 类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一 种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 1 e 2 x、1e x为二阶常系数齐次微分方程y ay by 0 的解，所以【解析】由题意可知， 2,1 23

为特征方程 r 2ar b 0 的根，从而a (12)3，b 1 2 2 ，从而原方程变为 y 3y 2 y ce x，再将特解 y xe x代入得c1.故选（A） (3) 若级数a n条件收敛，则x 3 与x 3 依次为幂级数na n ( x1)n的() n 1n 1 (A)收敛点，收敛点 (B)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点 (D)发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为a n条件收敛，即 x 2 为幂级数a n ( x 1) n的条件收敛点，所以a n ( x 1)n n 1n 1n 1 的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故na n (x 1)n的收 n 1 敛区间还是 (0, 2)。因而 x3与 x 3 依次为幂级数na n ( x 1)n的收敛点，发散点.故选（B）。 n 1 (4) 设D是第一象限由曲线 2 xy 1， 4 xy 1与直线 y x ，y3x 围成的平面区 域，函数 f x, y在 D 上连续，则f x, y dxdy() D 1 (A)3d sin2f r cos , r sin rdr 1 42sin2 1 (B)3d sin 2f r cos, r sin rdr 1 42sin 2 1 (C) 3 d sin2f r cos, r sin dr 1 42sin 2 1 (D) 3 d sin2f r cos , r sin dr 1 42sin 2

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的 拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而

()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，故2x =为幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2， 因而x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4 π θ= ；由y =得，3 π θ= 由21xy =得，2 2cos sin 1, r r θθ==