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3.2.1对数及其运算(两课时)

课题 §3.2.1 对数及其运算（一）（一）学习目标

知识与技能：理解对数的概念，能根据对数概念进行指数与对数之间的互化；理解对数恒等式及对数性质；熟练运用计算器求一个正实数的常用对数。

过程与方法：通过对数概念的学习，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想。情感、态度与价值观：通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想。

（二）重点难点重点：对数的定义

难点：对数的概念、对数的符号表示

（三）教学内容安排

1．复习引入

细胞分裂x 次后，细胞个数为2x y =；给定分裂次数x ，可求出细胞分裂后的个数y ，

实际问题中，常需要由细胞分裂后的个数y ，计算分裂的次数x ，

又如指数式9x y =中，已知底数9和幂y 的值，求指数x ，怎样求呢？

2．新授内容

在指数函数x y a =()0,1a a >≠中，对实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一的值y 和它对应；反之，对正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一的值x 和它对应；我们把幂指数x 叫做以a 为底 y 的对数。

定义：一般地，对于指数式 N a b = ()0,1a a >≠，我们把数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 log a b N =，读作“数 b 等于以a 为底 N 的对数”，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

学生举例

例如：1642= ? 216log 4= ; 100102=?2100log 10=

242

1= ?2

2log 4=

; 01.0102=-?201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）

⑵01log =a ，1log =a a

∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式

如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ⑷底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围范围),0(+∞。

⑸常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N 的常用对数

N 10log 简记作lgN 。

例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.

3、讲授范例

例1将下列指数式写成对数式：

（1）45=625 （2）62-=641 （3）a 3=27 (4) m

）

（3

1=5.73 例2 将下列对数式写成指数式：

（1）416log 2

1-=；（2）2log 128=-7；

（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303 例3计算：（1）12

log 16；（2）2log 128=；（3）lg0.01；

（4） lg 100 （５）4.0log 1 （６）2

log 16

例4利用科学计算器求对数（精确到0.0001）

lg 1112； lg 0.668； lg 396； lg 0.0345

4、课堂练习：巩固练习（课本第9

5、96页练习A ）

5、小结

6、课后作业：课本第95、96页练习B

（四）教学资源建议

对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当1,0≠>a a 时，N a b N b a =?=log ．所以指数式N a b =中的底数，指数，幂与对数式b N a =log 中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：

本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由N a b =()0,1a a >≠引出，在这个式子中，已知一个数a 和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数a 和它的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对N a b =的全面认识

（五）教学方法与学习指导策略建议

对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数a 和真数N 的要求；其次对于对数的性质)1,0(1log ,01log ≠>==a a a a a 及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。

对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段

课题 §3.2.1 对数及其运算（二）（一）学习目标

知识与技能：理解推导对数运算法则的依据和过程，掌握对数运算法则；能较熟练地运用对数运算法则解决问题

过程与方法：通过对数运算法则的探究及推导过程，培养学生的合情推理能力、演绎归纳的数学思想方法；

情感、态度与价值观：通过合情推理和演绎归纳的思想运用，培养学生相互联系相互转化以及从特殊到一般的辩证唯物主义观点，以及大胆探索、实事求是的科学精神。

（二）重点难点

重点：对数运算法则及推导、应用难点：对数运算法则的探究与证明.

（三）教学内容安排

1．复习引入

如果看到b N a =log 这个式子会有何联想?

由学生回答(1)0>a (2) 1≠a (3)0>N (4)N a b

=．

从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则．

对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．

由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：n

m n m a a a +=?，n m n m a a

a -=，mn n m a a =)(． 2．新授内容

直接提出课题：若)log(log log ,0,0,1,0N M N M N M a a a a +=+>>≠>是否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立，教师肯定结论的正确，再提出?log log =+N M a a

让学生探究有什么规律?

现在它只是一个猜想，要保证其对任意N M ,都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢?你学过哪些与之相关的证明依据呢?

学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书．

证明：设q N p M a a ==log ,log 则N a M a q p

==,，由指数运算法则

得N M a

a a q

p q

?==?+

q p MN a +=∴)(log ，

即N M MN a a a log log )(log +=． (板书)

法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．

(2)能用文字语言叙述这条法则：两个正因数的积的对数等于同一底数的各因数对数的和．

(3)若真数是三个正数，结果会怎样?很容易可得P N M MNP a a a a log log log )(log ++=． (条件同前) (4)利用法则完成下面的运算：(1))6432(log 2? (2)5

log 5log 33+ (3)3log 2log 66+ 由学生总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．

提出新问题：

)0,,1,0(?l o g >≠>=N M a a N

．可由学生说出N M N

a a a log log log -=．得到大家认可后，再让学生完成证明．

证明：设q N p M a a ==log ,log 则N a M a q

==,，由指数运算法则得N M a a

a q

p q p ==- N M q p N

a a a

log log log -=-=∴．教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法?能否用上刚才的结论? 有的学生可能会提出把N M 看成N M 1?再用法则，但无法解决N

a 1log 计算问题，再引导学生如何回避N a

log 的问题．经思考可以得到如下证法 N M N N N

M N M a a a a a a log log log log log log -=-+=．或证明如下

N N

N N M M a a a a log log )(log log +=?=，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了化归的

思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书法则2，并让学生

用文字语言叙述法则2．(两个正因数的商的对数等于同一底数的各因数对数的差．)

请学生完成下面的计算： (1)100

(2)2lg 20lg -．

提出新问题：

)0,1,0(?log >≠>=M a a M n a 学生在说出结论的同时就可给出证明如下：

设,log p M a =则,M a

=pn n p n a a M ==∴)(，M n M a n a log log ?=∴．如学生思考是否还

有其它证明方法，可在课下研究．

将三条法则写在一起，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：

()

()()

ααα=+=-=∈a a a a a a a a log (MN)log M log N 1M log log M log N 2N

log M log M(R)3

(1) 了解法则的由来．(怎么证) (2) 掌握法则的内容．(用符号语言和文字语言叙述) (3) 法则使用的条件．(使每一个对数都有意义) (4) 法则的功能．(要求能正反使用)

说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”…… ②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+ ③真数的取值范围必须是),0(+∞：

)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的； )10(log 2)10(log 102

10-=-是不成立的

④对公式容易错误记忆，要特别注意：

N M MN a a a log log )(log ?≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±

3、讲授范例

例1用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：

(1)log ;

(2)log ();

(3)log (4)log a a a a

x y z

解略例2计算：

（1）（2） 2log （74×52）（3） lg 4lg 25+ （4） 2

(lg 2)lg 20lg 25+?

解略

4、课堂练习：课本第99、100页练习A

5、小结

6、课后作业课本第99、100页练习B

（四）教学资源建议

对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．

（五）教学方法与学习指导策略建议

对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识．

对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围．最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性．

2.2.1对数与对数运算(第一课时)

2.2.1对数与对数运算（第一课时） 1、2－3 ＝18 化为对数式为( ) A ．log 182＝－3 B ．log 18 (－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝1 8 2、在b ＝log (a －2)(5－a)中，实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞5或a<2 B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5 C ．20 C ．a>0，且a≠1 D ．a>0，a ＝b≠1 5、若log a 7 b ＝ c ，则a 、b 、c 之间满足( ) A ．b 7＝a c B ．b ＝a 7c C ．b ＝7a c D ．b ＝c 7a 6、如果f(e x )＝x ，则f(e)＝( ) A ．1 B ．e e C ．2e D ．0 7、方程2log3x ＝1 4 的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝x 3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9 8、若log 2(log 3x)＝log 3(log 4y)＝log 4(log 2z)＝0，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 9、已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc)＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74 10、方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________. 11、若a>0，a 2 ＝49，则log 23a ＝________. 12、若lg(lnx)＝0，则x ＝________. 13、方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 14、将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4； (2)log 13 27＝－3； (3)log 3 x ＝6(x ＞0); (4)43＝64； (5)3－2＝19； (6)(1 4 )－2＝16. 15、计算：23＋log23＋35－log39. 16、已知log a b ＝log b a(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1 b .

对数函数基础运算法则及例题_答案

对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．对数的四则运算法则：若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质

例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立，求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)，而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数.

对数与对数运算(第二课时) 教学设计 1

《§2.2.1 对数与对数运算（第二课时）》教学设计一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用难点：正确使用对数的运算性质三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪四．教学过程 1．设置情境复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0），指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= ();n m n mn m a a a == 2．讲授新课探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a +=由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？（让学生探究，讨论）如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log a a a M M N N =- （3）log log ()n a a M n M n R =∈ 证明：（1）令,m n M a N a ==

《对数与对数运算》教学设计

2.2.1 对数与对数运算（一）教学目标（一）教学知识点 1．对数的概念； 2．对数式与指数式的互化．（二）能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识．（三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题；３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设 20XX 年我国国民生产总值为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国民生产总值是 20XX 年的 2 倍？ 1 8% = 2 x=? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？二、新授内容： aa 0,a 1 的b 次幂等于 N ,就是a b N ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对 ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 ⑵ log a 1 0 ， log a a 1 ； ∵对任意 a 0且 a 1, 都有 a 0 1 ∴log a 1 0 同样易知： log a a 1 ⑶对数恒等式如果把 a b N 中的 b 写成 log a N , 则有 a logaN N ．定义：一般地，如果数，记作 log a N b ， a 叫做对数的底数， N 叫做真数． a b log a Nb 例如： 42 16 log 4 16 2 2 102 100 log 10 100 2 ；探究： 1。 1 42 2 log 42 12 ；是不是所有的实数都有对数？ 10 2 0.01 log 10 0.01 2． log a N b 中的 N 可以取哪些值？ 2．根据对数的定义以及对数与指数的关系， log a 1 ？ log a a ？

《对数与对数运算》教学设计

2.2.1对数与对数运算（一）教学目标（一）教学知识点 1．对数的概念；2．对数式与指数式的互化．（二）能力训练要求 1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识．（三）德育渗透目标 1．认识事物之间的普遍联系与相互转化；２．用联系的观点看问题；３．了解对数在生产、生活实际中的应用．教学重点对数的定义．教学难点对数概念的理解．教学过程一、复习引入：假设20XX 年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是20XX 年的2倍？ ()x %81+=2?x =? 也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？二、新授内容：定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数． b N N a a b =?=log 例如：1642= ? 216log 4=； 100102 =?2100log 10=； 242 1= ?2 12log 4= ； 01.0102 =-?201.0log 10-=．探究：1。是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 可以取哪些值？ ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ） 2．根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ； ∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10 =a ∴01log =a 同样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log ．

对数与对数的运算练习题及答案

对数与对数运算练习题及答案一．选择题 1．2－3＝18化为对数式为( ) A ．log 182＝－3 B ．log 18 (－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝18 2．log 63＋log 62等于( ) A ．6 B ．5 C ．1 D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( ) A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2 c 3 D.2ab 3c 4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2 D ．3a －a 2－1 5．的值等于( ) A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋5 2 D ．1＋5 2 6．Log 22的值为( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－1 2 D.1 2 7．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞5或a <2 B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5 C ．2

10．若102x ＝25，则x 等于( ) A ．lg 15 B ．lg5 C ．2lg5 D ．2lg 15 11．计算log 89·log 932的结果为( ) A ．4 B.53 C.14 D.35 12．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74 二．填空题 1． 2log 510＋log 50.25＝____. 2．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝_______. 3．若lg(ln x )＝0，则x ＝_ ______. 4．方程9x －6·3x －7＝0的解是_______ 5．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________. 6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝_______.(用m ，n 表示) 7．log 6[log 4(log 381)]＝_______. 8．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是_______ 三.计算题 1．计算： (1)2log 210＋log 20.04 (2)lg3＋2lg2－1lg1.2 (3)log 6112－2log 63＋13 log 627 (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)； 2．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值．