6-1-9_鸡兔同笼问题[1].题库教师版.doc

鸡兔同笼问题

一、鸡兔同笼

这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？

你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？

二、解鸡兔同笼的基本步骤

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512

-=（只）．显然，鸡的只数就是351223

-=（只）了．

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．

假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

鸡数=鸡兔总数-兔数

当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍

当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍

在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法

板块一、两个对象的“鸡兔同笼”

【例1】鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

【解析】假设46只都是兔，一共应有446184

-=只脚，

?=只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422

-=（只）脚，那么56只脚是我们把56228

-=

÷=只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818（只）．当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法．

【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？

【解析】方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94247

÷=(只)．在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35，

只鸡比兔子少422-=(只)脚，那么共有鸡46223÷=(只)

方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚23570?=(只)，比94只脚少了947024-=(只)

脚，每只鸡比兔子少422-=(只)脚，那么共有兔子24212÷=(只)．

方法一可以归结为：总脚数2÷-总头数=兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别

为4和2，而且4是2的2倍．

方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式：

鸡数=(兔脚数?总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔．由此可以列出公式：

兔数=(总脚数-鸡脚数?总头数)÷(兔脚数-鸡脚数)

【巩固】 鸡兔共有45只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿．试

计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？

【解析】 ⑴假设法：若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有445180?=(条)腿，比实际多算

18010080-=(条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80240÷=(只)鸡被当

作了兔子，所以共有40只鸡，有45405-=(只)兔子．

注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的

腿数”计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．

⑵“金鸡独立”法（砍足法）：

假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只

用两条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则

会比头数多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只

兔子．原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100250÷=(条)

腿，比头数多50455-=，所以有5只兔子，另外40只是鸡．

【巩固】 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？

【解析】 由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36218÷=，假设鸵鸟和

大象一样也有4只脚，则应该有(418)72?=只脚，多了(7252)20-=只脚，由假设引起的差值：

422-=，则鸵鸟数为20210÷=（只），大象数为18108-=（头）．

【巩固】 鸡兔同笼，上有35头，下有94足，求笼中鸡兔各几只？

【解析】 有兔(94352)(42)12-?÷-= (只)，有鸡351223-= (只)．

【例 2】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多

少只？

【解析】 假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208202168-?=

(只)．这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，

一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246+=(只)，所以梅花鹿的只数是：168628÷=(只)，从

而鸵鸟的只数是：282048+=(只) （本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么

分组时有倍数关系得到的）

【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？

【解析】 已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有

23672?=（只）脚，可知现在剩下79272720-=（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔

有7206120÷=（只），鸡有12036156+=（只）．

【巩固】鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？

【解析】这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度．我们用两种方法来解这道题．（方法一）考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56228

÷=（只）鸡．这样一来，鸡、兔共有10728135

+=（只），这时鸡脚、兔脚一样多．

已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和倍问题有：

兔有：135(21)45

÷+=（只）

鸡有：135452862

-=（只）

--=（只）或者1074562

（方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：1074428

?=（只），而鸡的脚数为零．这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：-=（只）．现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的42856372

总数差就会减少426

+=（只）．

鸡的只数：372662

÷=（只）

兔的只数：1076245

-=（只）

【巩固】鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只?

【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多20020180

-=(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426

+=(只)，而180630

-=(只).

÷=，因此有兔子30只，鸡1003070

【巩固】鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只．问：鸡、兔各多少只？

【解析】假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零．这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多1206060

-=(只)．现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少426

+=(只)，而60610

-=(只)．

÷=，因此有兔子10只，鸡601050

【巩固】鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？

【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有：274226222

+=（只），

-?=（只），每一对鸡、兔共有足：246鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222637

+=（只）．

÷=（对），则鸡有 372663

【巩固】鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

【解析】解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是

(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).

鸡是100-38=62(只).

当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是

(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).

也可以用任意假设一个数的办法.

解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是

4×50-2×50=100, 比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是(100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只数是 50-12=38(只).

【例3】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？

【分析】假设都是三轮摩托车，应有341123

?=(个)轮子，少了1271234

-=(个)轮子．每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少431

-=(个)轮子．汽车有414

÷=(辆)；从而求出三轮摩托车有41437

?=(个)轮子，多了16412737

-=(个)轮子；

-=(辆)．或者假设都是汽车，应有441164

所以摩托车有37(43)37

÷-=(辆)．

【巩固】体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问老师买上衣和裤子各多少件？

【解析】假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：(2421439)(2419)13

?-÷-=（件），

上衣：21138

-=（件）．

【巩固】小建和小雷做仰卧起坐，小建先做了3分钟，然后两人各做了5分钟，一共做仰卧起坐136次．已知每分钟小建比小雷平均多做4次，那么小建比小雷多做了多少次？

【解析】假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，这样两人做仰卧起坐的总次数就减少了

-÷++=

（）（）(次)，进而可以分别求出（）(次)，由此可知小雷每分钟做了136323558

?+=

43532

小建每分钟做的次数以及两人分别做仰卧起坐的总次数之差．

假设小建每分钟做仰卧起坐的次数与小雷一样多，

两人做仰卧起坐的总次数就减少：43532

?+=

（）(次)

小雷每分钟做：136323558

（）（）(次)；小建每分钟做：8412

+=(次)

-÷++=

小建一共做：123596

（）(次)；小雷一共做：8540

?=(次)

?+=

小建比小雷多做：964056

-=(次)

【例4】（中国古代僧粥问题）一百个和尚刚好喝一百碗粥，一个大和尚喝三碗粥，三个小和尚喝一碗粥，那么大和尚有多少个，小和尚有多少个？

【解析】我们把大碗换小碗，换小碗盛粥！把一大碗粥分成三小碗粥，则原题变为一百个和尚喝三百碗粥，一个大和尚喝九碗粥，一个小和尚喝一碗粥．

然后仍然用假设法：

假设都是小和尚，只能喝1100100

-=（碗）

?=（碗）粥，有一个大和尚被当成小和尚会少918粥，一共少了300100200

-=

-=（碗）粥．所以大和尚有200825

÷=（个）；小和尚有1002575（个）．

【巩固】100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍．问：大、小和尚各有多少人？【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300140160

-=（个）．现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少312

÷=，故小和尚有80

-=（个），因为160280

人，大和尚有1008020

-=（人）．

同样，也可以假设100人都是小和尚，这里不再作说明．

【巩固】100个和尚160个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍．问：大、小和尚各有多少人？【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得．如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解．

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300160140

-=(个)．现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少312

÷=，故小和尚有70人，

-=(个)，因为140270

同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试．

【解析】从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了38根扁担和58个桶，那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？【解析】假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是58个桶，为什么少了583820

-=（个）桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算211

÷=（人）在

-=（个）桶，所以有20120挑水，拾水的扁担数是382018

?=（人）．

-=（根），抬水的人数是18236

【例5】工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？

【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差10020120

+=（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费202505000

?=（元）．这样比实际多得50004400600

-=（元）．就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以上分析，可得损坏了202504400100205

?-÷+=

（）（）（个）．

【巩固】乐乐百货商店委托搬运站运送100只花瓶．双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元．问：搬运过程中共打

破了几只花瓶？

【解析】假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1100100

?=（元）．实际上只得到92元，少得100928

-=（元）．搬运站每打破一只花瓶要损失112

+=（元）．

因此共打破花瓶824

÷=（只）．

【巩固】有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损

了几只

【解析】如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).

【例6】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各打10发，共得208分，最后甲比乙多得64分，乙打中发。【分析】乙得分为20864272

（）（分），如果乙每发都打中可以得2010200

?=（分），脱靶一发少

-÷=

（）（发），所以乙打中1046

-=（发）。

-÷=

+=（分）；乙脱靶20072324

201232

【巩固】某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对了多少道题？

【解析】做错(52079 ) (52)3

-= (道)．

?-÷+= (道)，因此，做对的20317

【巩固】数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？

【解析】假设他将所有题全部做对了，则可得100分，实际上只得了60分，比假设少了40分，做错一题要少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道．

【巩固】东湖路小学三年级举行数学竞赛，共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒

【解析】这道题也类似于“鸡兔同笼”问题．假设刘钢20道题全对，可得分520100

?=（分），但他实际上只得86分，少了1008614

-=（分），因此他没做或做错了一些题．由于做对一道题得5分，没做或做错一道题倒扣2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少527

+=（分）．14分中含有多少个7，就是刘钢没做或做错多少道题．所以，刘钢没做或做错题为1472

÷=（道），做对题为20218

-=（道）．

【巩固】(第八届“祖冲之杯”数学邀请赛填空题)

一张数学试卷，只有25道选择题．做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣

分．若小明得了78分，那么他做对题，做错题，没做题．

【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索．

小明得了78分，而且只有做对了题目才能得分．

?=(分)；

78419

÷>，所以可以知道小明至少做对20道题目，否则一定低于41976

再假设他做对21题，发现即使另外四题都错，小明仍然有4211480

?-?=(分)，超过了78分，所以小明至多做对20道题目；

综上，可以断定小明做对了20道题．

至此本题转化为简单鸡兔同笼问题．

假设剩下5题全部没做，那么小明应得42080

?=(分)．

但是只得了78分，说明又倒扣了2分，说明错了2道题，3道题没做．

所以小明做对了20道题，做错了2道题，没做3道题．

【巩固】春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对

了_____道题.

【解析】三人共得87749170

-=(分)

++=(分)，比满分10103300

??=(分)少300170130

因此三个人共做错：130(103)10

÷+=(道)题，

共答对了301020

-=(道)题

【巩固】某次考试有52人参加，共考5道题，每题做错人数的统计表如下图．

还知道每人都至少做对1道题，做对1道题的有7人，5道题全对的有6人，做对2道题和3道题的人数一样多．那么做对4道题的人数是多少？

【解析】总共答对了：52546102030190

--=

（）道题，做对2、3、4道题的人总共有：527639

?-++++=

人，这39人总共答对了：1907156153

-?-?=道题．可假设做对2道题的有1人，假设出错量：（）（），所以假设正确，对二、三道题的各1人，对4道[21313924153]42230

?+?+-?-÷?--=

题的37人．

难点：给的是做错题的表，而条件给的是做对的条件。

【例7】(小学数学奥林匹克初赛试题)孙阿姨有贰元人民币和伍元人民币共62张，合计226元，孙阿姨这两种人民币各有多少张？

【解析】假设这62张人民币全是贰元的，共计262124

-=(元)．

?=(元)，比实际的钱数少了226124102这是因为伍元的全部假设成贰元的，一张就少了523

÷=

-=(元)，那么可知伍元的共有102334 (张)，贰元的有：623428

-=(张)

【巩固】小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17张，问两种邮票各买多少张？

假设都是10分邮票：1017170

-=（分），每张邮票相差钱数：

?=（分），比实际少了：25017080

-=（张）．

÷=（张），有一角邮票张：1789

-=（分），有二角邮票：80108

201010

【巩固】有1元和5元的人民币共17张，合计49元，两种面值的人民币各有多少张?

【解析】该题求两种面值的人民币各有多少张，已知总张数17张，但两种不同面值的人民币张数相差多少难以确定，怎么办?再分析题意，又知两种面值的人民币的总钱数，及各自的票面值，但两种人民币相差的钱数也难以确定，这又怎么办?我们可用“假设法”思考．假设17张人民币全是5元的，总钱数则为5×17=85(元)，比实际的49元多出85-49=36(元)，多的原因是把l元的人民币假设为5元的人民币了，用数量关系式表示为：

根据这一数量关系式，可先求1元人民币的张数．

解法①：(5×17-49)÷(5-1)=9(张)

17-9=8(张)

验算：1×9+5×8=49(元)

也可以假设17张人民币全是1元的，便可有另一解法．

解法②：(49-1×17)÷(5-1)-8(张)

17-8=9(张)

【巩固】小同有一个储蓄筒，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分币却比2分币多4角；另外，还有36个1分币．小同共存了多少钱？

【解析】假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2分币多3分，所以5分币有845228

+=（个），528250136

?+?+?=

（）（个），2分币有282250

÷-=

++=（分）．

14010036276

【巩固】买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张

【解析】解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

(680-8×40)÷(8+4)=30(张),

这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张.

因此8分邮票有 40+30=70(张).

解二:譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"

作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560.

比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每

种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).

因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).

【巩固】四年级的同学们去春游，按团体购票120张，共432元，其中单程票每张2元，往返票4元，那么单程票和往返票相差多少张？

【解析】假设全部买的是往返票，那么共需4120480

?=（元），比实际多花了48元，这48元是因为把每张单程票假设成往返票多出的，每张单程票看成往返票则增加2元，可知48元中有几个2元就有几张单程票，即单程票有24张，相差72张．

【巩固】李明和张亮轮流打一份稿件，李明每天打15页，张亮每天打10页，他们一连打了25天，平均每天打12页，问李明、张亮各打了多少天？

【解析】从总数入手，由题意可知他们一共打了2512300

?=(页)．假设25天都是李明打的，那么打的页数是：1525375

-=(页)，而李明每天比张亮多打：?=(页)，比实际打的多37530075

【解析】某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？

【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住430120

?=（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间多住642

-=（人），所以大宿舍有168120224

（）（间）．

-÷=

【巩固】（2000年北京市“迎春杯”决赛）使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克．根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50

千克，要配药水1400千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？

【解析】假设50千克都是乙种农药，那么需要兑水40502000

?=（千克）．但题目要求配药水1400千克，即实际兑水1400501350

-=（千克）水，又已知使用乙种农药

-=（千克）．多用了20001350650

每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水402020

-=（千克），所以推知，在混合农药中甲种农药有6502032.5

÷=（千克）．

【例8】小红家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只.白鸡的只数是黄鸡的2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共有多少只?

【解析】该题包含黄鸡、黑鸡、白鸡只数间的比较关系．抓住“标准量”，清楚两两量间数量关系，问题就迎刃而解．

为明了题意，可借助线段示意图，如下：

“黄鸡比黑鸡多13只”即，黑鸡比黄鸡少13只；

“黄鸡比白鸡少18只”即，白鸡比黄鸡多18只．

(1)黄鸡多少只? 18÷(2-1)=18(只)

(2)白鸡多少只? 18×2=36(只) ‘

(3)黑鸡多少只? 18-13=5(只)

(4)白鸡、黄鸡、黑鸡共多少只? 18+36+5=59(只)

综合算式：18÷(2-1)×(1+2+1)-13=59(只)

【巩固】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个?

【解析】分析与解答一：假设50个油桶都是大桶，则共装油(450)200

?=千克，而这小桶所装油则为0．这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了(20080)180

-=千克，若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少(42)6

+=千克，那么该把多少个大桶换成小桶才符合题意呢?

解：(45020)(42)

?-÷+

=÷=(个)(小桶)

180630

-=(个)(大桶)

503020

样多，大桶要比小桶共多装20千克，则应该大小桶各20(42)10÷-=个，现在共有50个桶，在剩下的(50102)30-?=个桶中，大小桶应装同样多的油，而每个大桶装的油是每个小桶装的(42)2÷=倍，那么在这30个桶中，应该有[30(12)]10÷+=个大桶，(3010)20-=个小桶；所以可求出50个桶中，有大小桶各多少个．

解：20(42)10÷-=(个)

(50102)(12)10-?÷+=(个) (大桶)

101020+=(个) (大桶共有)

502030-=(个) (小桶共有)

【巩固】 三(1)班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动．象棋要2人下一副，

飞行棋要4人下一副，则飞行棋和跳棋各有几副？

【解析】 假设只有飞行棋，那么一共有14456?=（名）同学参与活动，多出564016-=（名）同学，多

一副象棋，就会少422-=（名）同学，可知一共有1628÷=（副）象棋，1486-=（副）飞行棋．

【巩固】 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆．已知每辆大卡车比每辆小卡车多装

4吨，那么这批钢材有多少吨？

【解析】 要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨．利用假设法，假设只用36

辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下436144?= (吨)．根据条件，要装完这144吨钢材还需要45369-=(辆)小卡车．这样每辆小卡车能装144916÷=(吨)．由此可求出这批钢材有720吨．

【巩固】 王老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问

大船、小船各租几条？

【解析】 我们分步来考虑：

①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐610 60?=（人）．

②假设后的总人数比实际人数多了60(411)18-+=（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成

坐6人．

③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把1829÷=（条）小船当成大船．所以有9条小船，

1条大船．

列式为： [610(411)](64)1829?-+÷-=÷=(条）1091-=（条）

【巩固】 松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采14个．它一连几天采了112个松果，

平均每天采14个．问这几天中有几个雨天？

【解析】 首先要根据已知条件计算一共采了多少天，再根据“鸡兔同笼”问题的解法计算．

因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112148÷=（天）．假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果208160?=（个），比实际采的多了16011248-=（个），因雨天比晴天少采20146-=（个），所以共有雨天4868÷=（天）．

【巩固】 小松鼠采松果，晴天每天可以采10个，雨天每天只能采6个．它一连几天采了80个松果，平均

每天采8个．那么其中有几天是雨天呢？

【解析】 小松鼠一共采了80810÷=（天），假设每天都是晴天，那么一共可以采1010100?=（个），而实

际上少采了1008020-=（个），少1天晴天，就少采1064-=（个），所以一共有雨天：2045÷=（天）．

如果是团体还可以买平均32元一位的团体票，一个由8个家庭组成的旅游团（每个家庭由两位

大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票那么可以比他们各买各的

少花120元，问这个旅游团一共有多少人？

【解析】每个三口之家可以少花30404032314

+-=

++-?=（元），每个二口之家可以少花40406416（元），如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花148112

?=（元），所以这8个家庭中有

（）（人）．

?+-?= 12011216144

（）（）（个）家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有4284320 -÷-=

【巩固】有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错(包含不答)1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验

得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

【解析】法一：如果小明第一次测验24题全对，得524120

-=(题)得

?=(分).那么第二次只做对30246分是862(156)30

-=(分).比题目中条件相差10分，多了80分.

?-?-=(分).两次相差1203090

说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得516

+=(分)，而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8210

+=分.两者两差数就可减少+=(分).(9010)(610)5

61016

-÷+=(题).因此，第一次答对题数要比假设(全对)减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对301911

-=(题).第一次得分5191(249)90

?-?-=.第二次得分8112(1511)80

?-?-=.

法二：答对30题，也就是两次共答错2415309

+-=(题).第一次答错一题，要从满分中扣去+=(分)，第二次答错一题，要从满分中扣去8210

516

+=(分).答错题互换一下，两次得分要相差61016

?.但两次满分都是120分.比+=(分).如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去69

题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6910

?+.

因此，第二次答错题数是(6910)(610)4

?+÷+=(题).

第一次答错945

-=(题).

第一次得分5(245)1590

?--?=(分).

第二次得分8(154)2480

?--?= (分).

【例10】大、小猴共35只，它们一起去采摘水蜜桃．猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可摘11千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12

千克．一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400千克

水蜜桃．在这个猴群中，共有小猴子多少只？

【分析】其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔．但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失．一天中，猴王监视了2小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采12千克，那样猴群只能采摘4400352123560

-??=(千克)；这是一天也就是8小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采35608445

÷=(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘1535525

-=(千克)．而每只小猴子被假设成大猴子，会多?=(千克)，比实际多采了52544580

采15114

÷=(只)．

-=(千克)．因此可以求出小猴子有：80420

【例11】今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一

年？

【解析】4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的

年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁).

1998年,兄年龄是14-4=10(岁).

父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁).

因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年.

【例 12】 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,

因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？

【解析】 我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时

打30÷10=3(份).

现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

根据前面的公式

"兔"数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5,

"鸡"数=7-4.5 =2.5,

也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时.

板块二、多个对象的“鸡兔同笼”

【例 13】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻蜓6条

腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？

【解析】 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.

因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为

618108?=(条)，所差11810810-=(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有

(118108)(86)5-÷-=(只)蜘蛛.这样剩下的18513-=(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入

手，假设13只都是蝉，则总翅膀数11313?=(对)，比实际数少 2013

7-=(对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7(21)7÷-=(只).

【巩固】 食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元．已知其

中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了

多少千克？

【解析】 每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，则每千克20元的收入：

25701970600-=元，所以卖出：6002030÷=千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共1003070-=千克，相当于将题目转换成：卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：每

千克25元的糖果售出了多少千克？转换成了最基本的鸡兔同笼问题．

关键：将三种以及更多的动物/东西，转化为两种最基本模型。即：抓住转化后的“头”与“脚”。

【例 14】 (希望杯培训题)

在一次考试中有选择题、填空题和解答题三类题共22道．选择题和填空题每题4分，解答题每

题10分．这次考试总分是100分，其中选择题和解答题的分值比填空题多4分，这次考试有多

少道选择题？多少道填空题？多少道解答题？

【解析】 选择题和填空题的分值一样，可以归为一类。如果这次考试的22道题全是解答题，则总分应是：

2210220?=(分)，但实际总分是100分，所以选择题和填空题共有：22010010420-÷-=（）（）

(道)，解答题有：22202-=(道)．选择题比填空题少：210416?-=(分)，选择题有：

10021016248-?-÷÷=（）(道)，填空题有：20812-=(道)．

【例 15】 犀牛、羚羊、孔雀三种动物共有头26个，脚80只，犄角20只．已知犀牛有4只脚、1

只犄角，羚羊有4只脚，2只犄角，孔雀有2只脚，没有犄角．那么，犀牛、羚羊、孔雀

各有几只呢？

【解析】 这道题有三种不同的动物混合在一起，这样假设起来会比较麻烦，像前面的题一样，我们可以观

察一下：虽然有三种不同的动物，但是犀牛和羚羊都是4只脚，这样，只看脚数，就可以把孔雀

与这两种动物分开，转化成我们熟悉的“鸡兔同笼”问题，然后再通过犄角的不同，把犀牛和羚

假设26只都是孔雀，那么就有脚：26252?=（只），比实际的少：805228-=（只），这说明孔雀多了，需要增加犀牛和羚羊．每增加一只犀牛或羚羊，减少一只孔雀，就会增加脚数：422

-=（只）．所以，孔雀有2628212-÷=（只），犀牛和羚羊总共有261214-=（只）．

假设14只都是犀牛，那么就有犄角：14114?=（只），比实际的少：20146-=（只），这说明

犀牛多了羚羊少了，需要减少犀牛增加羚羊．每增加一只羚羊，减少一只犀牛，犄角数就会增加：

211-=（只）

，所以，羚羊的只数：616÷=（只），犀牛的只数：1468-=（只）． ［小结］这道题出现了三种动物，关键是寻找不同动物的相同点，把三种动物化为两类，先使用“鸡兔同

笼”问题的解法把另外特殊的一种区分出来，再使用另外条件区分具有相同点的动物．

【巩固】 某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的

有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人？

【解析】 对2道,3道,4道题的人共有 52-7-6=39(人).

他们共做对181-1×7-5×6=144(道).

由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2.5道题的人((2+3)÷2=2.5).这

样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39.

对4道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).

【巩固】 有红、黄、绿3种颜色的卡片共有100张，其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的

两面上分别写着1和3，绿色卡片的两面上分别写着2和3．现在把这些卡片放在桌子上，让每

张卡片写有较大数字的那面朝上，经计算，各卡片上所显示的数字之和为234．若把所有卡片正

反面翻转一下，各卡片所显示的数字之和则变成123．问黄色卡片有多少张？

【解析】 开始的时候，黄色和绿色的卡片上都是3，红色卡片上是2．如果全部是红色卡片，那么数字之

和为：2100200?=，比实际的少：23420034-=．每增加一张黄色或绿色卡片，那么数字就会

增加：321-=．那么，黄色和绿色卡片之和：34134÷=（张），红色卡片有：1003466-=（张）． 翻转过来后，红色和黄色卡片上都是1，绿色卡片上是2．红色卡片有66张，剩下的绿色和黄色卡片上的数字之和为：12316657-?=．如果34张卡片都是黄色的，那么这34张卡片上的数字之

和为：13434?=，比实际的少：573423-=．每增加一张绿色卡片，数字之和就会增加：211-=，

所以，绿色卡片有：23123÷=（张），黄色卡片有：342311-=（张）．

【例11】 箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红

球．如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球、53只红球．那么箱子里原有红球多少只？

【解析】 假设每次一起取7只白球和21只红球，由于每次拿得红球都是白球的3倍，所以最后剩下的红球

数应该刚好是白球数的3倍多2．由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该

不变，仍然是3个．按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的3倍多2，即33211?+=(只)．但

是实际上最后剩了53只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与假设相比少6只，所以

可以知道一共取了4267÷=(次)．所以可以知道原来有红球71553158?+=(只)．

【例 16】 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元.张老师用120元共买了

55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？

【解析】 因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整

数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种

球看作一种,每个价钱是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).

买中,小球钱数各是(120-30×3)÷2=15(元).

可买10个中球,15个小球.

【例17】从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了

10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少

千米

【解析】把来回路程45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单

的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是(90-4×21)÷(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是6÷2=3(小时).

从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走路程是45-5×3=30(千米).

又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是

(6×7-30)÷(6-3)=4(小时).

行走路程是3×4=12(千米). 下坡行走的时间是7-4=3(小时).行走路程是6×3=18(千米).

【例18】某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.

共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名？

【解析】假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人）1000/50=20，也就是说：把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了：20-1=19（人） 250/50=5，也就是说：把5个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：

5-1=4（人）。因为多出的是90人，而：90=19*2+4*13.

即：要使总人数为100，只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖，把5*13=65个三等奖换成13个二等奖就可以了。所以，二等奖有13个人。

【例19】有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位？

【解析】由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

如果有30人乘电车, 110-1.2×30=74(元).

还余下50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车 110-1.2×40=62(元).

还余下50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多

了.30至40之间,只有35是5的整数倍.

现在又可以转化成"鸡兔同笼"了:

总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11.

【例20】一些奇异的动物在草坪上聚会．有独脚兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个头、3只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）．如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独脚兽有几只？

【解析】把2个四脚蛇和1个双头龙捆绑在一起，则是4头12脚，即1头3脚，同三脚猫是一样的，所以可以假设都是1头3脚，则有3×58=174只脚，但只有160只脚，差了174-160=14只脚，替换：14÷2=7只，故有7只独角兽。

笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元,钢笔每支6.3元.问三种笔各有多少支？

【解析】从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作

(0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用"鸡兔同笼"公式可算出,钢笔支数是

(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支).

铅笔和圆珠笔共 232-12=220(支).

其中圆珠笔220÷(4+1)=44(支).

铅笔220-44=176(支).

a小学数学奥赛6-1-21 鸡兔同笼问题(一).教师版

1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”. 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象． 一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512-=（只）．显然，鸡的只数就是351223-=（只）了． 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”． 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到． 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法 模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题——鸡兔同笼问题 【例 1】 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设46只都是兔，一共应有446184?=只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856-=只脚，这 是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422-=（只）脚，那么56只 脚是我们把56228÷=只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818-=（只）．当 然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法． 【答案】鸡28只，兔18只 例题精讲 知识精讲 教学目标 6-1-9.鸡兔同笼问题（一）

小学数学鸡兔同笼教学设计

学科教师辅导讲义

点评：从表中可以看出：增加一只兔，减少一只鸡，它们的脚数差增加6.同样，减少一只兔，增加一只鸡，它们的脚数差减少6.也就是说，用一只鸡换一只兔，脚数差的变化为6只。 例3、笼子里有鸡和兔共8只，一共22条腿。鸡和兔各有几只？ 【解析】本题可以用列表法解答，现在我们用另一种方法——图解法来解答。 第一步：先画8个表示鸡兔共有8个头。 第二步：给每个头都配上2条腿，共16条腿，这样8只全是鸡。 第三步：把剩下的6条腿配在3个图上，这样2条腿的有5个，4条腿的有3个。也就是有5只鸡，3只兔。 把上面的过程列成算式：假设全是鸡：8个头只需要16条腿 8×2=16（只） 还剩下6条腿：22-16=6（只） 再把6条腿加在3只鸡上，就变成3只兔。6÷2=3（只） 考点二：假设法 例1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？ 【解析】假设20只全是鸡，那么就有鸡脚20×2=40只，比实际少了44-40=4只，是因为每只兔少算了4-2=2只脚，所以兔有4÷2=2只。鸡有20-2=18只。 例2、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？ 【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多200-20=180（只）。 现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100-30＝70（只）。 解：有兔（2×100-20）÷（2＋4）＝30（只）， 有鸡100-30=70（只）。 答：有鸡70只，兔30只。

鸡兔同笼教师版

鸡兔同笼 第一部分：知识介绍 鸡兔同笼这个问题，是我国古代着名趣题之一．大约在1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。 书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94 只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 解鸡兔同笼的基本步骤 1.砍足法（金鸡独立）： 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由94 只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47 35 12（只）．显然，鸡的只数就是35 12 23 （只）了。 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。 2.假设法： 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。 解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数X鸡兔总数-实际脚数）十（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔 数=鸡兔总数 -鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）十（每只兔子脚数 -每只鸡的脚数）鸡数 =鸡兔总数 -兔数 3.鸡兔关系： 当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的 2 倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的 2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工 程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。 第二部分：例题精讲 【例 1 】鸡兔同笼，头共46，足共128 ，鸡兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼 【解析】假设46只都是兔，一共应有 4 46 184 （只）脚，这和已知的128只脚相比多了 184 128 56（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实 际多4 2 2（只）脚，那么56只脚是我们把56 2 28（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数 就是28，兔的只数是46 28 18（只）答案】鸡 28 只，兔 18 只

鸡兔同笼问题讲解及习题(含答案)

鸡兔同笼问题讲解及习题鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。 例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只? 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44—32＝12(只)脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。 如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。‘ 解：有兔(44—2×16)÷(4—2)＝6(只)， 有鸡16—6＝10(只)。 答：有6只兔，10只鸡。 当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64—44＝20(只)脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4—2＝2(只)。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡(4×16—44)÷(4—2)＝10(只)，有兔16—10＝6(只)。 由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人? 分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140＝160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1＝2(个)，因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100—80＝20(人)。同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

鸡兔同笼问题(教师版)

鸡兔同笼问题（假设法）（第一讲） 我国古代数学名著《子算经》中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何?意思是说:鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有35只，鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只? 这就是著名的鸡兔同笼问题。怎样解决这个问题呢?我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔”，这种解决问题的方法就是假设法。鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置出来。解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 解法1：鸡的只数=（每只兔脚数×兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）兔的只数=总只数－鸡的只数 解法2：兔的只数=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）鸡的只数=总只数－兔的只数 例1 、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 分析：假设46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚。那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了。所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46－28=18。 例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。 解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。答：有6只兔，10只鸡。 我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16—10＝6（只）。 ※、鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？ ※、鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有多少只？兔有多少只？ ※、鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。笼子中鸡、兔各有多少只？ ※、鸡与兔共40只，鸡的脚数与兔的脚数共有90只。问鸡、兔各多少只？

五年级鸡兔同笼问题练习题

1. 某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞赛，得了64分．问：小华做对几道题？ 2. 鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？ 3. 一只货船载重260吨，容积1000米3，现装运甲、乙两种货物，已知甲种货物每吨体积是8米3，乙种货物每吨体积2米3，要使这只船的载重量与容积得到充分利用，甲、乙两种货物应分别装多少吨？ 4. 自行车越野赛全程 220千米，全程被分为 20个路段，其中一部分路段长14千米，其余的长9千米．问：长9千米的路段有多少个？ 5. 有一群鸡和兔，腿的总数比头的总数的2倍多18只，兔有几只？ 6. 如果被乘数增加15，乘数不变，积就增加180；如果被乘数不变，乘数增加4，那么积就增加120．原来两个数相乘的积是多少？ 7. 编一本695页的故事书的页码，一共要用多少个数字？其中数字“5”用去了几个？ 8. 编一本辞典一共用去了6889个数字，这本辞典共有几页？

9. 甲乙两人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分，每人各射10发，共命中14发，结算分数时，甲比乙多10分，问甲、乙各中几发？ 10. 某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分．小华得了76分，问他做对几题？ 11. 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损1个瓶子还要倒赔1元，结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃损坏了几只？ 12. 鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？ 13. 今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只？ 14. 蜘蛛有8条腿，蝴蝶有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和一对翅膀，现有这三种动物共21只，共140条腿和 23对翅膀，问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？ 15. 12张乒乓球台上共有34人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有几张？ 16. 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)

鸡兔同笼问题 在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？ 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多 样，但一般采用假设法。 【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多 少只？ 【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减 少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。 【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情 况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换 同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个 2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。 【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是 2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一 张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。 【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？ 【解析】2分10枚，5分30枚 【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？ 【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需 45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有 16×45=720吨。 【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？ 【解析】96吨

鸡兔同笼练习题大全

鸡兔同笼练习题大全 鸡兔同笼类练习题一 1. 有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？ 2、龟鹤共有100个头，350只脚.龟、鹤各多少？ 3、鸡兔共笼,兔比鸡多4只,共有脚76只，鸡、兔各多少只？ 4、鸡兔共200只,鸡的脚比兔的脚少56只,则鸡有几只,兔有几只? 5、鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 6、鹤龟同池，鹤比龟多12只，鹤龟足共72只，求鹤龟各有多少只？ 鸡兔同笼类练习题二 1、有钢笔和铅笔共27盒,共计300支.钢笔每盒10支,铅笔每盒12支,则钢笔有多少盒？铅笔有多少盒？ 2、大油瓶一瓶装4千克,小油瓶2瓶装1千克.现有100千克油装了共60个瓶子.问大、小油瓶各多少个? 3、 100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃4个,小和尚4人吃一个,则大和尚有多少个？小和尚有多少个？ 4、 100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃3个,小和尚3人吃一个,则大和尚有多少个？小和尚有多少个？ 5、全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？ 6、停车场上停了35辆小轿车和两轮摩托车，地面上数一上共有10个轮子，请问小轿车和摩托车各有多少辆？ 7、一次植树活动，规定大树每人种2棵，小树每人种4棵，全班50人植树140棵，问种这两种树的各有多少人？ 8、幼儿园买来20张小桌和30张小凳共用去1860元，已知每张小桌比小凳贵8元，问小桌、小凳的价格各多少？ 9、一个大人一次吃两个苹果，两个小孩一次吃一个苹果，现在有大人和小孩供

99人，共吃了99个苹果，大人小孩各多少人？ 10、现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个？ 鸡兔同笼类练习题三 1. 学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？ 2. 王老师带48名同学去公园划船，共租了10条船恰好坐满。每条大船坐6人，每条小船坐4人。问大船、小船各租了几条？ 3. 某校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分，男同学比女同学多多少人？ 4. 体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元，裤子每件19元，体育老师买了运动服上衣和裤子各多少件？ 5. 自行车越野赛全程 220千米，全程被分为20个路段，其中一部分路段长14千米，其余的长9千米．问：长9千米的路段有多少个？ 6. 六年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？ 7. 一辆汽车参加车赛，9天共行了5000公里。已知它晴天每天行688公里，雨天平均每天行390公里。在比赛期间，有几个晴天？有几个雨天？ 8. 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？ 9. 肖老师带51名学生去公园里划船。他们一共租了44条船，其中有大船和小船，每条大船坐6人，小船4人。每条都坐满了人。他们租的大船有几条，小船有几条？

(必做)鸡兔同笼练习题大全

鸡兔同笼练习题大全 7、鹤龟同池，鹤比龟多12只，鹤龟足共72只，求鹤龟各有多少只？ 8、小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问，小刚买回这两种邮票个多少张？各付出多少元？ 9、东风小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，这3名同学都回答了所有的题目，小明得74分，小华得22分，小红得87分，他们三人共答对多少题？ 10、在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一题得2分，答错一题要倒扣一分。小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14分，请问，他答错了几题？ 11、某运输队为超市运送暖瓶500箱，每箱装有6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个的话不但不给运费还要陪成本10元，运后结算时，运输队共得1350元的运费。问、共损坏了多少只暖瓶？ 12、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫16只，共有110条腿和14对翅膀。问，每种小鸟各几只？ 13、螃蟹有10条腿，螳螂有6条腿和1对翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。现在这三种动物37只，共有250条腿和52对翅膀。每种动物各有多少只？ 14、小东妈妈从单位领回奖金400元，其中有2元、5元、10元人民币共80张，且5元和10元的张数相等，试问，这三种人民币各有多少张？ 15、小华有1分、2分、5分的硬币共38枚，合计9角2分，已知1分与2分的硬币的枚数相等。这三种硬币各有多少枚？ 1. 某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞赛，得了64分．问：小华做对几道题？ 2. 鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？ 3. 一只货船载重260吨，容积1000米3，现装运甲、乙两种货物，已知甲种货物每吨体积是8米3，乙种货物每吨体积2米3，要使这只船的载重量与容积得到充分利用，甲、乙两种货物应分别装多少吨？

鸡兔同笼(三年级培优)教师版

鸡兔同笼问题的本质： （1） 两种不同的事物如鸡和兔 （2） 它们有相同点如鸡兔都有一个头，那么在做鸡兔同笼变形题时把数量相同的特征看做头 （3） 它们有不同点如鸡兔腿的数量不同，把数量不同的特征看做腿 基本型鸡兔同笼的解决方法： （1） 假设 ；（2） 找总差 ；（3） 找单位差 ；（4） 求出另一种事物的数量。 鸡兔同笼问题的基本公式： （1） 假设全兔： 鸡数=（每只兔脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷(每只兔脚数-每只鸡脚数) 兔数=鸡兔总数-鸡数 注意假设全兔时先求出的是鸡的数量。 （2） 假设全鸡： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷(每只兔脚数-每只鸡脚数) 鸡数=鸡兔总数-兔数 注意假设全鸡时先求出的是兔子的数量。 不建议孩子们死记硬背公式，希望透彻理解，才能灵活应用。 有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数共有35个头；从下面数，有94只脚，问鸡与兔各多少只？ 【知识点】：鸡兔同笼；【难度】：★★；【出处】：数学奥林匹克 【分析】： 方法一：共有35个头表示鸡与兔共有35只，如果35只都是兔，一共应有140354=?只脚，这比已知的94只脚多了4694140=-只脚.由于我们把鸡看作兔，每只鸡多算了2只脚，才有了这多出来的46只脚，因此这46里面有多少个2，笼子里面就有几只鸡，求出鸡的只数后再拿总只数减去鸡的只数即可. 解答：假设全部都是兔，则鸡有：()()232462494354=÷=-÷-?（只） 兔有：122335=-（只） 答：鸡有23只，兔有12只. 方法二：砍足法（金鸡独立法） （本方法了解一下即可，不通用，重点还是假设法）

假设所有的动物用一半的腿站立，即鸡用1腿，兔用2腿。这时只剩下100÷2=50条腿 这样的好处是：鸡的头腿数量相同，而兔腿数比头数多一。所以腿比头多的数量就是兔子的数量，兔数：50-35=15（只） 鸡数：35-15=20（只） 注：(1)建议孩子们在熟悉之后可以列综合算式解鸡兔同笼问题。 (2)假设法可以假设全鸡或全兔，本讲之后的例题只给一种，但希望孩子们把两种方法都练习一下。 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 分析：如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚，如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2只脚。那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了。所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18. 解答：①鸡有多少只？（4×46-128）÷（4-2）=（184-128）÷2=28只。 ②兔有多少只？46-28=18只. 刘老师带41名同学去划船，大船和小船他们一共租了10条，如果每条大船坐6人，每条小船坐4人，你有办法求出大船和小船各几条吗？ 【知识点】：鸡兔同笼；【难度】：★★；【出处】：数学奥林匹克 【分析】：假设租的都是大船，则船上应该坐60106=?（人）， 假设的人数比实际人数多了()1814160=+-（人），由于我们把小船坐的4人假设成6人，每条小船多算了2人，所以这多出的18里面有几个2就有几条小船. 【解答】：假设10条都是大船， 小船有：()()921846141106=÷=-÷--?（条）， 大船有：1910=-（条） 答：租了9条小船，1条大船. 上衣和裤子共21件，用了439元，其中上衣每件24元，裤子每件19元。问上衣裤子各几件？ 分析：两种事物：上衣和裤子； 数量相同的特征：都是1件，看作头； 数量不同的特征：上衣24元，裤子19元，看做腿 解答：假设全是上衣，共21×24=504（元） 总差（多花的钱）：504-439=65（元） 单位差（每条裤子当做上衣多算的钱）：24-19=5（元） 裤子的件数： （21×24-439）÷（24-19）=13（件） 上衣：21-13=8（件） 工人运青瓷花瓶250个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个倒赔100

鸡兔同笼问题讲解及习题(含答案)

鸡兔同笼问题讲解及习题 例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只? 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44—32＝12(只)脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。 如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。‘解：有兔(44—2×16)÷(4—2)＝6(只)， 有鸡16—6＝10(只)。 答：有6只兔，10只鸡。 当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64(只)脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64—44＝20(只)脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4—2＝2(只)。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。有鸡(4×16—44)÷(4—2)＝10(只)，有兔16—10＝ 6(只)。 由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人? 分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140＝160(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1＝2(个)，因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100—80＝20(人)。同样，也可以假设100人都是

鸡兔同笼教学反思

六年级上册数学广角《鸡兔同笼》问题教学反思说课稿 各位老师： 大家好！ 我说课的内容是六年级上册数学广角《鸡兔同笼》问题。 一、教材、学情分析 首先我进行一下教材分析和学情分析。 教材分析： “鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。教材的编排有以下特点：1、教材首先通过富有情趣的古代课堂，生动地呈现了在《孙子算经》中记载的“鸡兔同笼”问题，并通过小精灵的提问激发学生解答我国古代著名数学问题的兴趣。2、注重体现解决“鸡兔同笼”问题的不同思路和方法。3、让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用。 学情分析： 认知分析：对于六年级的学生他们已初步接触多种解题策略，会一些基本的解决数学问题的方法。 能力分析：学生已初步具备一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面需进一步培养。 情感分析：我班共33人，多数学生对数学学习有一定的兴趣能够积极参与研究，但在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强；少数学生的学习主动性不够强，需通过营造一定的学习氛围，来加以带动。 基于对教材的理解和分析，结合学生的知识经验和生活经验，遵循课程标准精神，我确定了以下三维目标与重点难点。 二、目标分析： 知识与技能目标： 1、了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。 2、尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，并使学生体会代数方法的一般性。 过程与方法目标： 在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。 情感态度与价值观目标： 1、使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的策略意识，获得解决问题的成功

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解..

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解 【鸡兔问题公式】 （1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少： （总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。 或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。 例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？” 解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔； 36-14=22（只）……………………………鸡。 解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡； 36-22=14（只）…………………………兔。 （答略） （2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式 （每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。 （每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数。 或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。（例略） （4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式： （1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。

新人教版四年级鸡兔同笼教案

鸡兔同笼教学内容： 人教版课程标准实验教科书四年级下册第103-105页内容。 教学目标： 1、了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。 2、尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题， 3、在解决问题的过程中培养学生逻辑推理能力。 教学重点： 尝试用假设法解决“鸡兔同笼”这类问题。 教学过程： 一、课前游戏，导入课题。 同学们在生活中有没有看见过鸡和兔子。 接下来老师想考考大家，同学们注意听了，想到的举手？ １、一只鸡有几个头，几只脚？ ２、一只兔有几个头，几只脚？ ３、一只鸡和一只兔共有几个头，几只脚？ 二、创设情境，提出问题。 1、出示原题： 师：同学们，我们国家有着几千年的悠久文化，在我国古代更是产生了许多位数学家和许多部数学着作。《孙子算经》就是其中一部，大约产生于一千五百年前，书中记载着这样一道有名的数学趣题，让我们一起去看看吧！

（电脑出示）今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 2、理解题意： 师：同学们，你们知道这道题的意思吗？谁愿意试着说一说！ 生：这道题的意思就是：今天有鸡和兔在一个笼子里，上面有35个头，下面有94只脚，问鸡和兔各有多少只？ 师：大家同意吗？ （电脑出示）笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，鸡和兔各有多少只？（全班齐读） 3、揭示课题： 师：这就是着名的“鸡兔同笼”问题，也是这节课我们要研究的问题。 师：哪位同学愿意先来试猜一下，鸡和兔各有几只呢？ 三、自主探索，解决问题 看来，这样大的数字，要猜出准确的结果是很困难，要不我们先从简单一些的问题入手，一起探讨解决这类问题的方法，好吗？大家请看。 1、（出示例1）笼子里有若干只鸡兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？ 2、分析并理解题意： （1）从上面数，有8个头就是说鸡和兔的头一共有8个。 （也就是说鸡和兔一共有8只。） （2）从下面数，有26只脚就是说鸡脚和兔脚总数一共是26只脚。 （3）问题是什么？（鸡和兔各有多少只？） 3、猜一猜：随学生猜想板书并验证。

五年级奥数鸡兔同笼问题(一)教师版

1.五年级奥数鸡兔同笼问题（一） 教师版 2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化 成两个对象． 一、鸡兔同笼 这个问题,是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头；从下面数,有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”．这样,鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1．因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即473512-=（只）．显然,鸡的只数就是351223-=（只）了． 这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”． 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到． 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔,那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡,那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时,脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时,头的关系：鸡是兔子的2倍 在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法 例题精讲 知识精讲 教学目标 6-1-9.鸡兔同笼问题（一）

四年级下册鸡兔同笼问题练习题(附答案及解析)

鸡兔同笼问题练习题 1. 某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞赛，得了64分．问：小华做对几道题？ 2. 鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？ 3. 自行车越野赛全程220千米，全程被分为20个路段，其中一部分路段长14千米，其余的长9千米．问：长9千米的路段有多少个？ 4. 有一群鸡和兔，腿的总数比头的总数的2倍多18只，兔有几只？ 5、某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分．小华得了76分，问他做对几题？

6. 12张乒乓球台上共有34人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有几张？ 7、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？ 8、红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？ 9、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？ 10、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？

11、鸡、兔共笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 12、六年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？

答案 1、假设全做对： 20×5=100（分） 100－64=36（分） 36÷（5+1）=6（道）·错题 20－6=14（道）·对题 2、100－86=14（条） 14÷2=7（只）·兔 100－7×4=72（条） 72÷（2+4）=12（组）·（1组里有1鸡1兔） 兔：7+12=19（只） 鸡：12只 3、假设全是9千米的路段： 9×20=180（千米） 220-180=40（千米） 40÷（14-9）=8（段）·14千米路段 20-8=12（段）·9千米路段 4、18÷2=9（只）·兔 （解析：用1只鸡为例，鸡的腿数刚好是头数的2倍，所以不管是几只鸡，只要全部是鸡，鸡的腿数一定是头数的2倍。但是题目中说了腿数要比头数的2倍多18条腿，多出来的18条腿怎么分配呢？可以这样，原来不是全部是鸡吗，现在将其中的1只鸡换成1只兔，那就

鸡兔同笼典型例题及详细讲解

鸡兔同笼问题与假设法 鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。 例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。 解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只）， 有鸡16-6＝10（只）。 答：有6只兔，10只鸡。 当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。 有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只）， 有兔16—10＝6（只）。 由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。 例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？ 分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有 100－80＝20（人）。 答：大和尚有20人，小和尚有80人。 同样，也可以假设100人都是小和尚，大家不妨自己试试。

鸡兔同笼教案人教版

《鸡兔同笼》 【教学内容】人教版课程标准实验教科书六年级上册第112—114页内容。 【教材分析】 “鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，它在培养学生逻辑推理水平的同时使学生体会代数方法的一般性。解决这类问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理水平，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。所以在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。 【学情分析】 （1）“鸡兔同笼”问题是我国古代著名数学趣题，容易激发学生的探究兴趣。 （2）列方程解答此类问题数量关系直观易懂，要加以提倡。 （3）“假设法”对学生来说比较陌生，教学中要抓住其特点，讲解算理，让学生逐步掌握，根据具体问题引导学生分析理解，拓宽学生思维。 【教学目标】 1．知识与技能：经历和体验用各种巧妙方法解决实际问题的过程，进一步体会数学的乐趣。 2．过程与方法：经历探究与解决问题的过程，体验分析解决问题的方法。 3．情感态度与价值观：了解我国古代数学的光辉成就，增强民族自豪感；提升学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的兴趣。 【教学重点】：理解并掌握用假设法和列方程法解决“鸡兔同笼”问题。 【教学难点】：理解用假设法的算理并能使用不同的方法解决实际问题。 【学生学前预习准备】 预习课本第112～114页的内容，由小组长带领组员一起完成学习单上的任务。 【设计理念】 “鸡兔同笼”向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，借助我国古代趣题的题材，让学生在课前展开研究、讨论，应用不同的方法解决这类问题，并在小组合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法。

6-1-23 鸡兔同笼问题(三).教师版

6-1-9. 鸡兔同笼问题（三） 教学目标 1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”. 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象． 知识精讲一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书1500中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 3594你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数9447多．因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）．显然，鸡的只数就是14735473512-=（只）了。这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同351223-=笼”问题的经典思路“假设法”． 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到． 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法 例题精讲模块一、多个量的“鸡兔同笼”——鸡兔同笼问题 【例 1】 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅 膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此， 可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为(条)，所618108?=差(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有(只)11810810-=(118108)(86)5-÷-=蜘蛛.这样剩下的(只)便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀18513-=数(对)，比实际数少 (对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计11313?=20137-=算所差，这样蜻蜓只数可求(只). 7(21)7÷-=【答案】只 7【巩固】 希望小学的生物标本室里有蜻蜓，蝉，蜘蛛共11只，它们共有74条腿，10对翅膀，由图7知该标