高中数学优质课一等奖作品：函数的单调性与导数教学设计
教学设计
普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1
（人教A版）
函数的单调性与导数
（第一课时）
《函数的单调性与导数》教学设计
【课题】函数的单调性与导数
【教材】人教A版《数学》选修1-1
【课时】1课时
【教材分析】
函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备.
函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用.
【学生学情分析】
课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.
在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性.
【教学目标】
知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系;
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.
能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法.
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.
教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯.
自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法.
【教学重点】
利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
【教学难点】
⒈探究函数的单调性与导数的关系;
⒉如何用导数判断函数的单调性.
【教学方法】
启发式教学
【课时安排】 1 课时
【教学准备】
多媒体课件，作图软件GGB,课堂活动页.
【教学设计说明】
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象.
本节课的教学设计也是围绕这些目标，利用多媒体和信息技术让学生自主探究，充分参与课堂，并从中体会学习的成功和快乐.
结论总结
例题讲解课堂练习讨论函数单调性的一般步
骤是什么？
1求定义域;
2求函数()
f x的导数,
3 讨论单调区间，解不等式
()0
f x
'>，解集为增区间；
4解不等式()0
f x
'<，解集为
减区间.
例2函数图像如下图，导函数
图像可能为哪一
个？
练习2导函数图像如下图，则
函数图像可能为（）
解.
由学生共同回答.
学生思考并共同
解决.
学生思考并举手
回答.
熟练掌握，特别是
单调区间满足在
定义域内.
学生总结并回答
问题加深记忆.
从函数的单调性
和导数的正负关
系的讨论环节中，
不断的比较了函
数和导函数的图
像，因此设置该
题，从熟悉的函数
到该题，题目更容
易解决.
让学生对所学知
识进一步巩固和
熟练掌握.
回归生活布置作业观看过山车的视频，而后分
析视线和切线的斜率正负的
关系.
分层作业:
选做题：结合所学知识，举
几个函数实例，比较定义法、
图像法、导数法求单调区间
的特点.
必做题：教材P11 习题1.1A
组 2、3 题.
回归生活
人生犹如过山车，站在
人生的每个瞬间的点上，我
们都能向上看，人生轨迹就
会是持续上升趋势；相反，
如果我们被负面情绪萦绕，
我们就会走下坡路.
只要饱含正能量，脚踏
实地走好每一步，相信同学
们的前途会一片光明！
下课!
学生放松的观看.
。
体会数学可以回
归生活.
【板书设计】
【教学反思】
本节课时学习过导数的概念和运算后，首次运用导数解决函数相关问题的一节课，如何激发学生去探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键，利用信息技术，更好的分析这个过程，用动态的运动的思想去解决函数问题是核心，规范的解题和应用是本节课的实际教学规范和目的.
《3.3.1函数的单调性与导数》教学案
3.3.1《函数的单调性与导数》教学案 教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减 函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在 点00(,)x y 处的切线的斜率． 在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，
1.3.1函数的单调性与导数教案
§1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A
1.3.1函数的单调性与导数教案
1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与
函数单调性与导数教案
3.3.1函数的单调性与导数 【三维目标】 知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间 过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形 结合思想、转化思想。 情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。 【教学重点难点】 教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 【教学方法】问题启发式 【教学过程】 一．复习回顾 复习 1：导数的几何意义 复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法） 问题提出：判断y=x 2 的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成） 那么如何判断();,0,sin )(π∈-=x x x x f 的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数 二．新知探究 探究任务一：函数单调性与其导数的关系： 问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数105.69.4)(2 ++-=t t t h 的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==t t h t V h 的图像. 通过观察图像, 运动员从起跳到最高点，以及从最高点 到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发 现)(')(t h t h 和这两个函数图像有什么联系吗? 启发: 函数)(t h 在(0,a)上位增函数， 函数)('t h 在(0,a)
知识点一-导数与函数的单调性
1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；
【公开课教案】《函数的单调性与导数》教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 【课题】函数的单调性与导数 【教材】湘教版《高中数学》选修2-2 【课时】1课时 【教材分析】 函数的单调性与导数是湘教版选修2-2第四章第三课第一节的内容.在学习本节课之前学生已经学习了函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二课中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备. 函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点.以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.同时，在本课第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助.因此，学习本节内容具有承上启下的作用. 【学生学情分析】 课堂学生为高二年级的的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点. 在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 【教学目标】 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想. 教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到 一般的数学思想方法. 【教学重点】 利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 【教学难点】 ⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 【教学方法】 启发式教学 【课时安排】 1 课时 【教学准备】 多媒体课件. 【教学设计说明】
导数与函数的单调性练习题
2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0
函数的单调性与导数教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标： 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.
2、过程与方法目标： 会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标： 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点：1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点：1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解. 教法设计： 1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型：新授课 教学过程 教学过程设计意图
《导数与函数的单调性》教学设计
《导数与函数的单调性》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 （1）会用导数解决函数的单调性问题。 （2）能利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立他们的导数模型。 2. 过程与方法通过利用导数研究函数单调性问题的过程，体会从特殊到一般的数形结合的研究方法。 3. 情感态度与价值观 (1)通过导数方法研究单调性的问题，体会不同数学知识间的内在联系，认识数学是一个有机整体。 (2)通过导数研究单调性的基本不骤的形成和使用，是的学生认识到导数使一些复杂问题变的有矩可循，因而认识到导数的实用价值。 【教学重难点】 重点:利用导数的方法判定函数的单调性。 难点:导数与函数单调性的关系。 【教学设计思路】通过观察发现，启发引导，探究导函数与函数单调性之间的联系，得出结论。 【教学方法】观察发现，启发引导。 【教学手段】运用多媒体和板书。 【教学过程】 1. 问题激发，新课导入教师:我们知道，对于函数y=f(x) 来说，导数y=f’(x) 刻画的是y 在x点的瞬时变化率，函数的单调性描述的是y 随x的增加而减少，两者都是刻画函数的变化，那么，导数与函数单调性之间有什么关系呢? 2. 实践感知，新知形成教师:用多媒体展示几个函数的解析式，让学生求出以上6个函数的导函数。 (1)y=f(x)=2x+5 (2)y=f(x)=-3x+4 (3)y=f(x)=2x (4)y=f(x)=(12)x (5)y=f(x)=log3x (6)y=f(x)=log12x 学生： (1)f’(x)=2 (2)f’(x)=-3 (3)f’(x)=2xln2 (4)f’(x)=(12)xln12 (5)f’(x)=1xln3 (6)f’(x)=1xln12 教师:用多媒体展示这6个函数的图像，以及导函数的图像，并让学生观察各个点导函数的值与函数单调性有什么关系?同学间可以相互交流，(因制作了flash动画，只要教师拖动切点在曲线上运动，就能看到每一点切线斜率的值) 学生：函数（1）（3）（5）上各点的斜率都是正的，函数（2）（4）（6）上各点切线的斜率都是负的。 教师：我们知道各点切线的斜率就是各点的导数值。 学生: 函数（1）（3）（5）的导数是正的，函数（1）（3）（5）就是递增的，函数（2）（4）（6）的导数都是负的，函数（2）（4）（6）就是递减的。
专题一：导数与函数的单调性
专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区
2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。
《函数的单调性与导数》-教学设计
《函数的单调性与导数》-教学设计
《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习，我倡导“主动参与，乐于探究，交流合作与联系实际”的教学理念，借助多媒体的简洁性、直观性和交互性，注重与现实生活的紧密性，充分调动每位学生的学习热情，建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 （一）教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. （二）教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识，具有了较强的分析问题、解决问题的能力. （三）教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点，我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学，多媒体教学具有信息量大、直
观性强的特点，能提高教学效率,取得更好的教学效果，因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识与技能 1．探索函数的单调性与导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间； 3．探索三次函数的单调性与系数之间的关系. （二）过程与方法 1．通过对函数单调性与导数关系的探究，让学生经历从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的认知过程； 2．培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力，领会由特殊到一般，一般到特殊的数学方法，渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1．通过创设情境，激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度； 2．通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结，培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系，学生的认知困难主要体现在：
函数的单调性与导数教案
函数的单调性与导数教案 一、目标 知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 二、重点难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间 教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间 三、教学过程： 函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析 我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法
发现式、启发式 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备： 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排： 1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 提问 1．判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。） 2．比如，要判断y=x2的单调性，如 何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。） 3．还有没有其它方法？如果遇到函数： y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时 间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，
导数与函数的单调性(word解析版)
导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）. 【答案】 D C.
【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数．且 导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '， 若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项.
导数与函数的单调性练习题
导数练习（三）导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 2 1 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ）
13．已知函数 2 3 2()4()3 f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 14.已知函数d ax bx x x f +++=2 3 )(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。 15．已知函数f (x )＝2x －b (x －1) 2，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间． 强化提高题： 16．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a
1.3.1 函数的单调性与导数
1.3.1 函数的单调性与导数 知识要点 1，函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(),a b内，如果，那么函数() =在这个区间内单 y f x y f x =在这个区间内单调递增；如果，那么函数() f x在这个区间内为常函数。 调递减；如果恒有，那么函数() 内，这时，函数的图像就比较；反之，函数的图像就比较。 教材拓展 求函数单调区间的步骤与方法： （1） （2） （3） （4） 典型例题
知识点一，求函数的单调区间 例1，求下列函数的单调区间 （1）()3f x x x =- （2）1x y e x =-+ （3）ln y x x =- （4） 12y x = 变式训练1，求函数)0y a =>的单调区间 知识点二，判断函数的单调性 例2，已知a R ∈，讨论函数()2ax f x x e =?的单调区间 变式训练2，已知()()10,11 x x a f x a a a -=>≠+，讨论()f x 的单调性 知识点三，求参数的取值范围 例3，已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+--++∈ （1）若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在区间()1,1-上不单调，求a 的取值范围。 变式训练3，若函数()325f x ax x x =-+-在R 山单调递增，求a 的取值范围 作业练习
水平基础题 1．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.? ???－π，－π2和????0，π2 B.????－π2，0和??? ?0，π2 C.? ???－π，－π2和????π2，π D.????－π2，0和??? ?π2，π 2．下列命题成立的是( ) A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0 B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数 C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存有 D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存有，则f (x )必为单调函数 3．(2007·福建理，11)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 4．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________． 5．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性． 水平提升题 6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a 2f (1) 8．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为 ( ) 9．函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________． 10．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________． 11．求证：方程x －12 sin x ＝0只有一个根x ＝0. 12．已知函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．
高中数学《导数在研究函数中的应用-函数的单调性与导数》教案1
1.3.1函数的单调性与导数（一） 一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 （一）复习引入 1．增函数、减函数的定义 一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数． 2．函数的单调性 如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间． 在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的． 例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性． 解：取x1＜x2，x1、x2∈R，取值 f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差 ＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形 当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)，定号 ∴y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减．判断 当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)， ∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－∞, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。 能否利用导数的符号来判断函数单调性？
一般地，设函数y ＝f (x )在某个区间内可导， 如果f (x )'＞0，则f (x )为增函数； 如果f (x )'＜0，则f (x )为减函数． 例2．教材P24面的例1。 例3．确定函数f(x)＝x 2 －2x ＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解： f(x)'＝2x －2． 令2x －2＞0，解得x ＞1． 因此，当x ∈(1, +∞)时，f (x )是增函数． 令2x －2＜0，解得x ＜1． 因此，当x ∈(－∞, 1)时，f (x )是减函数． 例4．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数． 解：f (x )'＝6x 2 －12x ． 令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2． 因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间． 练习1：教材P24面的例2 利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数y ＝f (x )在某个区间内可导 (1)如果f '(x )＞0 ，则f (x )为严格增函数； (2)如果f '(x )＜0 ，则f (x )为严格减函数． 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？ 若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的充分而非必要条件． 例如 f (x )＝x 3 ，当x =0，f '(x )=0，x ≠0时，f '(x )>0，函数 f (x )＝x 3 在(－∞,＋ ∞)上是增函数． （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？ 若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为常数函数．
函数的单调性与导数(获奖教案
3.3.1函数的单调性与导数 教材分析 “函数单调性与导数”是高中数学（选修1-1）第三章导数及其应用的第三节，本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性. 课时分配 本节内容用1课时完成，主要经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活. 教学目标 重点：利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间. 难点：⒈探究函数的单调性与导数的关系; ⒉如何用导数判断函数的单调性. 知识点：1.探索函数的单调性与导数的关系; 2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 能力点：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法. 2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想.教育点：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯. 自主探究点：通过问题的探究，体会知识的类比迁移.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法. 考试点：利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间. 易错易混点：导数的正负决定函数的单调性，而不是导数的单调性决定函数的单调性. 教具准备：多媒体课件,三角板 课堂模式：学案导学 一.引入新课 y 的单调性，如何进行？ 师：判断函数的单调性有哪些方法？比如判断2x 生：用定义法、图像法. 师：因为二次函数的图像我们非常熟悉,可以画出其图像，指出其单调区间，再想一下，有
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