第03讲Schrodinger方程的建立0

量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程

I.波函数与Schrodinger方程 1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？ 答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描 述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为 ，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动 状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入 上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ). 经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经 典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程． 2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ? 答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为， 则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空 间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对 整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化． 3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流

波函数跟Schrodinger方程

第1章波函数与Schrodinger方程 1.1 波函数的统计诠释 1.2 Schrodinger方程 1.3 量子态叠加原理 第2章一维势场中的粒子 2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 2.2 方势 2.3 δ势 2.4 一维谐振子 第3章力学量用算符表达 3.1 算符的运算规则 3.2 厄米算符的本征值与本征函数 3.3 共同本征函数 3.4 连续谱本征函数的“归一化” 第4章力学量随时间的演化与对称性 4.1 力学量随时间的演化 *4.2 波包的运动，Ehrenfest定理 4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像 4.4 守恒量与对称性的关系 4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性 第5章中心力场 5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 *5.2 无限深球方势阱 5.3 三维各向同性谐振子 5.4 氢原子 第6章电磁场中粒子的运动 6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量 6.2 正常Zeeman效应 6.3 Landau能级 第7章量子力学的矩阵形式与表象变换 7.1 量子态的不同表象，幺正变换 7.2 力学量(算符)的矩阵表示 7.3 量子力学的矩阵形式 7.4 Dirac符号 第8章自旋 8.1 电子自旋态与自旋算符 8.2 总角动量的本征态 8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态 第9章力学量本征值问题的代数解法 9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法 9.2 角动量的本征值与本征态 *9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数 第10章微扰论

§1.3Schrodinger方程

§ 1.2 Schrodinger 方程 一、Schrodinger 方程 二、概率守恒 三、不含时Schrodinger 方程 四、定态 一、 S chrodinger 方程 1.量子力学方程应满足的条件 a. 方程中要含有ψ对t 的导数. b.态叠加原理要求：ψ及ψ对时空的导数应为线性. c.方程中不能含有描写确定状态的参量，否则方程不具有普遍意义. 2.方程的建立 a.自由粒子的Schr?dinger 方程 自由粒子的波函数： )(2 3) 2(1),(Et r p i p e t r -?= πψ

该波函数对时间的导数： ()1))((------ψ=ψ-=?ψ?p p p E E i i t i 该波函数对空间的导数为： p x p x p p x p p p i i x p i x ψ-=ψ?=?ψ??ψ=?ψ?2 22 22 同理， p y p p y p p z p y ψ- =?ψ?ψ- =?ψ?2 2 2 22 2 2 2; 整理有： p p p z y y ψ-=ψ??? ? ????+??+??22222222 即 ()22 222 22 -----ψ=ψ?-?ψ-=ψ?p p p p p p 对于自由粒子能量和动量之间的关系为： 为粒子质量μμ 22 p E = 综合以上三式有： p p t i ψ?-=ψ??2 22μ --------------自由粒子的Schr?dinger 方程 b.一般力场的Schr?dinger 方程

由（1）（2）两式可以看出，粒子能量和动量作用在波函数上和下列算符相当： t i E ??→ ()()()[]? -→? ?-??-=?-→= i p i i p p p 222. 我们一般写为： 能量算符------??=t i E ? －－－－－动量算符＝?=?-i i p ? 那么， z i p y i p x i p z y x ?? -??-??- ＝＝＝?;?;? 对于自由粒子μ 22 p E =， 两边都乘上波函数 ψ=ψμ 22 p E 用算符表示为 ψ?-=ψ??222μ t i 类比，对于一般力场

第二章波函数和Schrodinger方程

第二章 波函数和 Schrodinger 方程 §1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设 一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。简言之:波函数完全描述微观粒子状态 (一）波函数 描写自由粒子的平 面 波 称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量，粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用 较复杂的波描写，一般记为： ，它通常是一个复函数。 如果用波函数描述粒子状态，则必须解决3个问题？ (1) ψ 是怎样描述粒子的状态？ (2) ψ 如何体现波粒二象性的？ (3) ψ 描写的是什么样的波呢？ （二）波函数的解释 波函数对微观粒子的描写统一了粒子性与波动性的关键在于波函数的统计解释： 如果微观粒子的波函数是 则某一时刻粒子出现在位置r 处,体积元dV 中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。 exp ()i A Et ?? ψ=?-???? p r (,)t ψr (,)t ψr ()2 ,,,dW x y z t dV =ψ概率密度 /dW dV

所以， 与经典物理学中的波动不同，它不是某种实际的 物理量振幅在空间的分布，而只是一种几率振幅。 波函数Ψ(x,y,z,t )的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t 在空间某点(x,y,z )附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。 玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。 玻恩假定： 描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”， 而 则表示概率密度 例题1：电子的自由平面波波函数 在空间各点发现光子的概率相同 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 干涉花样取决于概率分布，而概率分 布是确定的。 (2)入射弱电子流 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间将显示衍射图样。电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子波动 (,)t ψr (,)t ψr ()()()2* ,,,t t t ψ=ψψr r r (),exp ()i t A Et ??ψ=?-? ??? r p r ()2 ,t ψ=r 常数