2010级研究生泛函分析考试题
2010级研究生《现代分析》综合作业
1. Let
H be a Hilbert space, 1
{}
n n h ∞=?H
such that
1
n n h ∞
=<∞
∑
. Prove that: the
series
1
n
n h ∞
=∑ is convergent.
2. Let H be a Hilbert space, 1
{}()n n T B ∞=?H , ))((0H ∈?∞→→x n x T n . Show that: )(0H B K ∈?，0n T K →.
3. Let H be a Hilbert space. If ()A B ∈H commutes with every )(0H B K ∈,
prove that: ,A I λ= where λ∈C .
4. Let H be a Hilbert space, H ∈y x ,. Prove that
x y x y x y λ+=+?=, or ,y x μ=for some ,0λμ≥.
5. Let X Y , be Banach spaces and ()A B ∈X,Y . Prove that: there exists a
constant 0c > with ()Ax c x x ≥?∈X if and only if ker {0}A = and
ran ran A A =.
6. Let f be a linear functional on a normed linear space X . Show that f is
continuous if and only if ker()f is closed.
7. Suppose that ()V B ∈H is an isometry which is not a unitary operator. Show that ：(){:1}V z z σ=∈≤C .
8. Let ,X Y be normed spaces, ()T B ∈X,Y and one of ,X Y is finite
dimensional. Show that: T is compact.
9. Let ()A B ∈H be a normal operator such that inf{:,1}:0Ax x x a ∈==>H .
Show that A is invertible and 11A a --=.
10. Let H be a Hilbert space, H M ≤. Prove that ⊥
=-M M P P I .
11. Let V be an inner product space over F and )(,||||V x x x x ∈???=. Show
that
(1) V y x ∈?,, we have
(
)2
22
2
||
||||||2||||||||y x y x y x +=-++.
(2) If )(,,,N ∈∈n V y x y x n n with )(,∞→→→n y y x x n n , then
??=??∞
→y x y x n n n ,,lim .
12. Let ||)||,(?V be a normed linear space over F . Show that
(1) the norm is continuous, that is,
)(||||||||)(∞→→?∞→→n x x n x x n n ；
(2) the addition is continuous, that is,
)
()(,∞→+→+?∞→→→n y x y x n y y x x n n n n .
13. Prove that a normed space X over F is complete if and only if
?
∞
=1
,}{n n n x X x ∑∞
=1
n n
x converges.
14. Define R →],[:b a C f as ?
=
b a
t
t x x f d )()(. Prove that f is a bounded linear
functional on )],,[(∞?b a C with a b f -=.
15. Let Y X , be Banach spaces over F with 0≠X . Prove that ),(Y X B is complete if and only Y is complete.
16. Let ),(00K H B T ∈. Show that ),(00*H K B T ∈ and
)(ran dim )(ran dim *
T T =.
17. Let H be a Hilbert space, )(,,H H C B A ∈ such that
*
*
,,C
C B B iC B A ==+=. Show that i
A A C A A
B 2,2
*
*
-=
+=
.
18. Let 22:l l S → be given by ),,,0(),,(2121 x x x x S =. Prove that )(2l B S ∈ and find *S ,**,SS S S .
19. Suppose that H is a Hilbert space over C with a basis },,,,{21 n e e e ,
C
?∞
=1}{n n a such that ∞<=≥||sup :1
n n a M . Define
n
n n n n n n e c a e c A ∞=∞=∑=∑1
1
, H e c n n n ∈∑?∞
=1
.
Prove that
(1) H H A →: is well-defined and linear. (2) H H A →: is bounded with M A =.
(3) H H A →: is compact if and only if )(0∞→→n a n .
20. Let H be a Hilbert space, )(,H H B A ∈ and let H H H H B A ⊕→⊕⊕: be given by
H y x By Ax y x B A ∈?=⊕,),,(),)((. Prove that )(H H B B A ⊕∈⊕ with },max{B A B A =⊕.
(完整版)泛函分析复习与总结,推荐文档
《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分 空间及其性质 泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函 分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的 性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。 以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。 一．空间 （1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。 （2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数） ！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?
(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。 （3）内积空间 （线性空间 + 内积） ！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡） 、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范 线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内 积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞
泛函分析课程论文
泛函分析课程论文 数学与计算科学学院 09数本2班 黄丽萍 2009224725 大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。首先，理解下“泛函分析”这个概念。 泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。 第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。 §1 度量空间 §1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ?→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ?∈，有 （1）(,)0d x y =当且仅当x y =； （2）(,)(,)d x y d y x =； （3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+， 则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。 【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。 §1.2 度量空间的进一步例子 例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ?∈，当1,(,)0,=x y d x y x y ≠?=??当当。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞ =∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t A d x y x y ∈=是度量空间 4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t b d x y x y ≤≤=是度量空间 5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k k i d x y y x ∞=∑是度量空间 §1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果 {}n x 是(,)X d 中点列，如果?x X ∈，使n l im (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 同样的类似于n R ，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。 §1.3.2稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令 M M M ?表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 即：{},n n M E x E x M s t x x n ??∈??→→∞在中稠密对 §1.3.3 例子 1、 n 维欧氏空间n R 是可分空间； 2、 坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密子集； 3、 l ∞是不可分空间。 §1.4 连续映射 §1.4.1定义：设 (,),(,),> 0,X (,) < (T ,T ) < ,o o o o X X d Y Y d T X Y x X d x x x d x x T x εδδε==∈ 是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数 使对 中一切满足 的 ，有 则称在连续。
《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要 一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中 稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =， 则T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为 算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果 存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足 时， 则T 是闭算子。 二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；
泛函分析学习心得
泛函分析学习心得 学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度. 在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习： 第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义： 设X 为一集合，ρ是X X ?到n R 的映射，使得使得X z y x ∈?,,，均满足以下三个条件： （1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性） （2）)()(x y y x ,,ρρ=（对称性） （3）)()()(z y y x z x ,,,ρρρ+≤（三角不等式）， 则称X 为距离空间（或度量空间），记作)(ρ,X ，)(y x ,ρ为y x ,两点间的距离. 学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间n R ，离散度量空间，连
研究生年度工作总结
研究生年度工作总结 xxxx年x月x日，在我踏入xx校园的时候，我便真真正正的成为了一名硕士研 究生。在这过去的一年里，不仅加强了专业知识，更提高了专业素养。在导师、 专业老师以及同学的帮助下，我获得了很大的进步并在学期末荣幸的获得了校级 x等奖学金。在这里对自己过去一年的思想、学习与生活等方面做一个小结，目 的是总结经验，发现不足之处，以利于今后继续发扬优点，弥补不足，为接下来 的研究生生活确定方向，进一步完善自我，提高个人能力。 过去的这一年最重要的事情就是我在xxxx年xx月xx日那天，光荣的成为了一 名正式的共产党员。这以后，我更加的以党员的标准来要求自己，不断提高自己 的思想觉悟与思想认识。在对科学发展观的学习过程中我发现，它对我的思想与 科研理念有很大的指导作用。国家以发展为重中之重，而科研又以国家的需要与 社会的需求为方向，科学发展观以发展为第一要义，指导我在学习科研知识时不 能盲从，要在前人的基础上开拓创新，不断发展和丰富所学知识;它以人为本，指 导我在学习工作中不能眼高手低、要用实践来取得发言权;它的基本要求是全面、 协调、可持续，指导我做学问要一步一个脚印，不断前进，且勿急于求成;它根本 方法是统筹兼顾，告诉我在搞科研时要综合考虑，不要丢三落四。我们用一年级 一年的时间获得了研究生应完成的课程学分。上半学期可也比较紧张，我主要的 精力花在了学习专业课程，并阅读了大量有关钢结构的书籍和论文上，这既让我 开阔了视野，也使我对自己研究方向——xxxx内容以及整个学科的结构有了进一 步的认识。而在下半学期中，慢慢的将学习与工作的重点由只是按部就班埋头读 书转变到有目标的思考与科研创新中，适应这种与大学学习的极大差异。 而在这一年多的学习过程中，我的自我学习的能力与专业水平都有所提高，这是令人欣慰的。尤其是在研一期间对xxxx研究的先锋——xx与xx的课题团队的研 究方法与成果进行了收集与总结，在掌握前沿动态的条件下将现有知识、成熟的 理论研究与当今热点相结合，让我领略了遥感世界的另一片天空。这让我深刻体 会到，在学术研究过程中要不断拓宽知识面，阅读国内外文献是必不可少的。只 有这样，才能更准确的掌握科研动态与发展方向，熟悉了研究方向的现状、方法。在下半学期3月，由于课题组没有工位，于是在工作室进行每天比较规律的课题 科研工作。 在这几个月的课题组的时间中，除了课题的思路更加清晰了，学习的效率较从前提高了许多，工作的质量也提升了。这主要归功于工作时间的保证和与课题组同 学和老师的交流影响。任何时候，沟通交流的能力和团队协作的素质都是走出校 园融入社会必不可少的一部分。
泛函分析试题B
泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1),
,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页
泛函分析课程总结
泛函分析课程总结 数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯 一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足 ()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=?? ??=????≤+?? 、的充要条件是、、对任意都成立。 则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。 2. 度量空间的例子 ①离散的度量空间(),X d 设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令 ()1,,0,x y d x y x y ≠?? =??=?? 当当 ②序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点 ()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令 ()11,21i i i i i i d x y ξηξη∞ =-=+-∑ ③有界函数空间B （A ） 设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义 (),()()sup t A d x y x t y t ∈=- ④可测函数空间m(X) 设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令 ()()(),1()() X f t g t d f g dt f t g t -=+-?
研究生个人年度自我总结
研究生个人年度自我总结 篇一：研究生个人年度自我总结 时光飞逝，岁月如梭，一年的研究生生活很快的过去了。回首过去的一年，我觉得还是比较充实而有意义的，有很多收获，当然也有失落。总的来说自己成熟了很多。在这里对自己过去一年的学习、生活、科研及社会工作等做一个小结，目的是总结经验，发现不足之处，以利于今后继续发扬优点，弥补不足，为将来适应社会做好准备，把自己的人生道路走得更稳、更好。 思想方面：我一直对自己有较高的要求。大学时期我已经加入中国共产党，始终高标准要求自己。我注意学习先进的政治理论，关心国内国际大事，积极拥护党和国家的各项路线、方针、政策，自觉遵守法律、法规和学校的各项规章制度切实地提高了自己的思想认识，同时注重加强对外界时政的了解，通过学习，提高了自己的政治敏锐性和鉴别能力，坚定了立场，坚定了信念，在大是大非问题面前，能够始终保持清醒的头脑。时刻提醒着我注意什么是一个党员该做的，什么是不该做的，这就更加促进了我的进步。同时，我清醒地意识到自己所担负的社会责任。对个人的人生理想和发展目标，我也有了相对成熟的认识和定位。因为我是一名党员了，就应该拿出吃苦耐劳的精神，如果连自己的缺点都不能克服还谈什么先锋模范作用。这一年里，我积极响应学校组织的多次党员活动，配合当前的理论前沿，为自己补充新鲜血液。
学习方面：我努力学习专业课程，并阅读了大量与本专业相关的书籍和论文，这既让我开阔了视野，也使我对自己研究方向的内容以及整个学科的结构有了进一步的认识。研究生的课程学习并不是很重，但是老师的宽松对我来说就像是无形的压力。突然感觉自己好像有好多东西需要学习，所以我不敢放松学习，希望在有限的学生生涯中更多地学到点东西。 生活方面：严格要求自己，养成良好的生活习惯。作为班里的班长，我平时为人处世和善热情，和同学关系融洽，尊敬师长，并积极参加学校各种文体活动，积极帮助导师和科研秘书处理一些生活学习工作中遇到的问题。科研方面：在寒假期间和暑假前夕开始开展预实验，在此之前参考大量国内外的文献，预实验开展相对顺利，并且得出一些预期实验结果。整理论文一篇，应经投稿，正在外审中。上面我总结了自己过去一年的学习、工作、生活和科研情况，主要是自己的收获和今后要继续发扬的优点。 当然，我也存在一些不足之处。例如，有时工作还缺乏主动性和创新精神，这是我在以后要特别注意提高的地方。我在总结过去一年的同时也做好了新一年的打算，在研二的一年中，我的主要精力应放在科研任务和完成毕业论文上，但我要合理安排好实验时间，继续配合院学工组的老师做好学生工作，并且起到模范带头作用，时刻记得自己是一名中国共产党员。 篇二：研究生个人年度自我总结
最新泛函分析考试题集与答案
泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若
0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。
实变函数学习心得
实变函数学习心得 实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。下面是为大家准备的实变函数学习心得体会，希望大家喜欢! 实变函数学习心得体会范文篇1 学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点： 1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。 2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。 4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学
会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。 所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。 实变函数学习心得体会范文篇2 古语有云：微机原理闹危机，汇编语言不会编，随机过程随机过，量子力学量力学，实变函数学十遍。其它的不好说，这实变函数确实要多看几遍的。虽然我曾旁听过这门课，但是对于其中的种种总感觉模模糊糊，不甚明了。前几日在网上down了一个完整的教学视频，便想着把这门课重新来过，遂借着这片地方留下一些印记，好督促自己万不可半途而废。 1、集合列的极限有上下极限之分，只有当上下极限相等时，才称集合列存在极限。对于上极限可以这样定义： {x|x属于无穷多个An}.无穷多是用文字语言来进行形象的描述，那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理，我们可以假设若x属于某个Am，那么一定可以找到mm,使得x也属于m，如若不然，x就属于有限个集合，而不是无穷多个了。上述
推荐-研究生个人年度总结 精品
研究生个人年度总结 研究生个人年度总结 篇一：研究生个人年度总结范文 XXXX年X月X日，在我踏入XX 校园的时候，我便真真正正的成为了一名硕士研究生。在这过去的一年里，不仅加强了专业知识，更提高了专业素养。在导师、专业老师以及同学的帮助下，我获得了很大的进步并在学期末荣幸的获得了校级X等奖学金。在这里对自己过去一年的思想、学习与生活等方面做一个小结，目的是总结经验，发现不足之处，以利于今后继续发扬优点，弥补不足，为接下来的研究生生活确定方向，进一步完善自我，提高个人能力。过去的这一年最重要的事情就是我在XXXX年XX月XX日那天，光荣的成为了一名正式的共产党员。这以后，我更加的以党员的标准来要求自己，不断提高自己的思想觉悟与思想认识。在对科学发展观的学习过程中我发现，它对我的思想与科研理念有很大的指导作用。国家以发展为重中之重，而科研又以国家的需要与社会的需求为方向，科学发展观以发展为第一要义，指导我在学习科研知识时不能盲从，要在前人的基础上开拓创新，不断发展和丰富所学知识；它以人为本，指导我在学习工作中不能眼高手低、要用实践来取得发言权；它的基本要求是全面、协调、可持续，指导我做学问要一步一个脚印，不断前进，且勿急于求成；它根本方法是统筹兼顾，告诉我在搞科研时要综合考虑，不要丢三落四。我们用一年级一年的时间获得了研究生应完成的课程学分。上半学期可也比较紧张，我主要的精力花在了学习专业课程，并阅读了大量有关钢结构的书籍和上，这既让我开阔了视野，也使我对自己研究方向——XXXX内容以及整个学科的结构有了进一步的认识。而在下半学期中，慢慢的将学习与工作的重点由只是按部就班埋头读书转变到有目标的思考与科研创 新中，适应这种与大学学习的极大差异。而在这一年多的学习过程中，我的自我学习的能力与专业水平都有所提高，这是令人欣慰的。尤其是在研一期间对XXXX研究的先锋——XX与XX的课题团队的研究方法与成果进行了收集与总结，在掌握前沿动态的条件下将现有知识、成熟的理论研究与当今热点相结合，让我领略了遥感世界的另一片天空。这让我深刻体会到，在学术研究过程中要不断拓宽知识面，
泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（ ）. A. 1- B. 12 C. 1 D. 12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。 2、任何赋线性空间的共轭空间是（ ）。 3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按积空间
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：110047 课程名称：实变函数与泛函分析 英文名称：Real variable analysis And Functional analysis 课程类别：专业基础课 学时：50 学分：3 适用对象：信息与计算科学专业本科 考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％ 先修课程：数学分析和高等代数 二、课程简介 中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。 英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning. 三、课程性质与教学目的 本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。本课程要求如下： 1. 理解和掌握集合间的关系和集与映射间的关系，了解度量空间的相关概念和Lebesgue可测集的有关内容和性质。
研究生会年度工作总结
研究生会年度工作报告 研究生会在院党委的正确领导和院团委的直接指导下，本着“一切服务同学，服务一切同学，服务同学一切”的宗旨，充分发挥研究生会“自我教育、自我管理、自我服务”的工作职能，在广大同学的鼎力协助下，经过全体研究生会成员的共同努力，不断拓宽工作领域，创新工作模式，改进工作方法，继往开来，在扎实的基础上坚持创新与突破，关注学生的权益与发展，竭诚为基层班级提供最好服务，重点抓好学院学风、班风建设，改善学生生活，完善会内各项规章制度，优化结构资源，提高学生干部素质，顺利完成了所有的工作计划，并取得了显著的成绩。 第一部分年度工作回顾 这一年来，研究生会始终围绕“自我教育，自我管理，自我服务”的工作思路，不断探索加强自身组织建设，引导青年学生坚定理想信念，立足引领先进校园文化，以生动、鲜活的形象活跃在校园生活的舞台，在培养广大学生的正确思想、丰富其课余生活上取得了丰硕的成绩，在全校范围内得到了好评。 1.自我完善，立足引领先进文化，助力同学成长成才 高扬时代旋律，以先进思想引领青春航向。研究生会紧跟时代步伐，始终坚持以党的先进理论为行动指导，在广大同学中深入开展思想引领及教育活动。加强学生的理论学习，组织广大同学认真学习邓小平理论、“三个代表”重要思想和科学发展观，坚持不懈地用马克思主义中国化最新成果教育学生，用社会主义核心价值体系引导学生、教育学生、塑造学生。在党的十八届五中全会和全国“两会”期间，在各类重大事件、纪念节庆日期间，研究生会通过组织集中学习、经验交流、座谈会等形式学习党中央新精神、新要求，了解时事动态，提高了广大学生的理论水平，坚定了广大学生跟党走中国特色社会主义道路的理想信念。 高校研究生会作为开展校园文化活动的重要载体，其组成成员即优秀学生是校园文化活动的积极参与者，同时又是策划和组织各类校园文化活动的中坚力量。一方面，研究生会极大程度的贴近广大学生，能够在第一时间了解到学生们的思想动态，积极调整思想引领大的具体方向和方式；另一方面，研究生会作为校园文化活动的主要组织者，具有较为丰富的活动组织经验以及较好的群众基础，能够结合对于学生们的深度了解，及时将思想引领的相关内容以学生们喜闻乐见、易于接受的形式融入到活动中，在覆盖面和传播效果上具有其他机构无法匹敌的优势。对此，我院研究生会着重进行了以下工作：
泛函分析试题一
泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的
泛函分析课程总结论文
泛函分析课程总结论文 第一部分：知识点体系 第七章：度量空间和赋范线性空间 度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间的定义 定义1.1 设X 为一个集合，一个映射X X R ?→d ：.若对于任何x ,y,z 属 于X ，有 1°d(,)0x y ≥，且d(,)0x y =当且仅当x y =（非负性）； 2°(,)(,)d x y d y x =（对称性）； 3°(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ （三角不等式） 则称d 为集合X 的一个度量，同时称 () ,X d 为一个度量空间 （课本第二章第一节中已经讲解了度量空间的定义，第七章第一节接着讲解度量空间，下面介绍六种度量空间。） 2、常见的度量空间 例2.1 离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 例2.2 序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 例2.3 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体， 对B(A)中任意两点x,y ，定义 ,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...), n n x y ξξξηηη==1|| 1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞ =-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-
大学研究生院2019年度工作总结
大学研究生院2019年度工作总结 201X年是实施湖南大学“XX”建设与发展纲要的第三个年头。在校党委和校行政的领导下，依靠各学院、各职能部处的大力支持，研究生院紧密围绕学校目标，进一步落实学科建设与研究生教育发展规划，较好地完成了全年的各项工作任务。 一、学科建设与学位工作 组织了应用经济学、马克思主义理论、新闻传播学、历史学、建筑学、土木工程等6个学科参加全国一级学科评估和体育硕士、艺术硕士、翻译硕士、汉语国际教育硕士等4个专业学位授权点的申报工作，对于找准学科的优势和差距，推动学科自主建设，提高研究生教育质量起到了积极的促进作用。 初步建立了博士生导师库，分析了近三年新增博士生导师学术状况，全面总结了博士研究生导师遴选工作，为进一步改进学校博士生导师工作提出了建设性建议。 加强了研究生学位论文质量监控，严格执行博士论文的双盲评阅制度和答辩材料的形式审核制度，严格执行硕士论文抽查制度，强化了关键环节的质量控制，保障了学位授予质量。 开展了优秀学位论文评选与推荐工作，产生了良好品牌效用和样板效用。全年评选表彰了校级优秀博士学位论文25篇、优秀硕士论文41篇。经过学校推荐和湖南省学位委员会评审，评为湖南省优秀博士学位论文4篇、硕士学位论文26篇。经过湖南省学位委员会推荐和国务院学位委员会评审，我校土木工程学科罗旗帜的博士学位论文《基于能量原理的薄壁箱梁剪力滞理论与试验研究》入选全国百篇优秀博
士学位论文，化学学科杨海峰的博士学位论文《自组装单分子层的原位表面增强拉曼散映射分析》获得全国优秀博士学位论文提名奖。 完成了量大面广的博士、硕士学位申请和评定工作，截止到今年9月授予博士学位162人，硕士学位1890人（其中，授予同等学力硕士学位31人）。今年最后一次学位申请与评定工作正在进行中。 二、研究生培养工作 加强了研究生导师遴选制度的改革，促进研究生导师队伍建设。新增博士生导师25名，新增硕士生导师75人，形成了一支与学校研究生教育规模发展相匹配、整体学术实力较强的研究生导师队伍。 组织了湖南省学位与研究生教育专项课题申报，获准8项。组织了湖南省研究生创新基金项目申报，获准15项。开展了学校研究生教育创新工程项目的申报与评审工作，立项实施教改项目12项，精品课程建设2项，优秀博士学位论文资助项目5项，进一步促进了学校研究生教育教学的改革。 完成了新一轮专业学位研究生培养方案修订工作和职业型科学硕士学位培养模式改革方案的论证工作，积极推进了学校研究生分类培养模式的改革。 健全完善了研究生培养质量过程保障体系，增加了257门研究生学位课程的统一排课，开展了定期和不定期相结合的教学检查，处理了两起教学事故，实行了网上排课、制定培养计划和选课等系统化管理，进一步促进了研究生培养管理水平和研究生培养质量的提升。 顺利实施了国家公派研究生出国留学计划，全年三次选派研究生学生92名，推动了学校博士生培养的国际化进程。根据国家留学基金委员会委员会公布的2011年国家建设高水平大学公派研究生项目博士