2013考研数三真题及答案
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、
1.当0→x 时,用)(x o 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )
(A ))()(3
2
x o x o x =? (B ))()()(3
2
x o x o x o = (C ))()()(2
2
2
x o x o x o =+ (D ))()()(2
2
x o x o x o =+
【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例如当0→x 时)()(),()(2
3
3
2
x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是
)(2x o 故应该选(D ).
2.函数x
x x x x f x
ln )1(1)(+-=
的可去间断点的个数为( )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x e
x x
x x
ln ~11ln -=-,
1ln ln lim
ln )1(1lim
)(lim 0
==+-=→→→x x x x x x x x x f x x
x x ,所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点.
2
1
ln 2ln lim
ln )1(1lim
)(lim 0
1
1
=
=+-=→→→x
x x
x x
x x x x f x x
x x ,所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→x
x x x x
x x x x f x x x x ln )1(ln lim
ln )1(1lim
)(lim 1
1
1
,所以所以1-=x 不是函数)(x f 的
可去间断点.
故应该选(C ).
3.设k D 是圆域{
}
1|),(2
2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记??-=k
D k dxdy x y I )(,则
( )
(A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
()πππ
πππθθθ
θθθθθ22
1
2211
02
22
)1(|cos sin 3
1
)sin (sin 31)cos (sin )(k k k
k k
k D k d dr r d dxdy x y I k ---+-
=-=-=-=?????
所以ππ3
2
,32,04231-==
==I I I I ,应该选(B ). 4.设{}n a 为正项数列,则下列选择项正确的是( ) (A )若1+>n n a a ,则
∑∞
=--1
1
)
1(n n n a 收敛;
(B )若
∑∞
=--11
)
1(n n n a 收敛,则1+>n n a a ;
(C )若
∑∞
=1
n n
a
收敛.则存在常数1>P ,使n p
n a n ∞
→lim 存在;
(D )若存在常数1>P ,使n p
n a n ∞
→lim 存在,则
∑∞
=1
n n
a
收敛.
【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D )正确,故应选(D).
此小题的(A )(B )选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A ),但少一条件0lim =∞
→n n a ,显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,
选项(B )也不正确,反例自己去构造.
5.设A,B,C均为n 阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
(A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价. (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价. (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价. (D )矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价.
【详解】把矩阵A ,C 列分块如下:()()n n C A γγγααα,,,,,,,2121ΛΛ==,由于AB=C,则可知),,2,1(2211n i b b b n in i i i ΛΛ=+++=αααγ,得到矩阵C 的列向量组可用矩阵A 的列向量组线性表示.同时由于B 可逆,即1
-=CB A ,同理可知矩阵A 的列向量组可用矩阵C 的列向量组线性表示,所以矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价.应该选(B ).
6.矩阵????? ??1111a a b a a 与矩阵???
?
? ??00000002b 相似的充分必要条件是
(A )2,0==b a (B )0=a ,b 为任意常数 (C )0,2==b a (D )2=a ,b 为任意常数
【详解】注意矩阵????? ??00000002b 是对角矩阵,所以矩阵A=????? ??1111a a b a a 与矩阵???
?
? ??00000002b 相
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.
)22)2((1
1
1
1
22a b b a
a b a
a
A E -++--=---------=-λλλλλλλ
从而可知b a b 2222
=-,即0=a ,b 为任意常数,故选择(B ).
7.设321,,X X X 是随机变量,且)3,5(~),2,0(~),1,0(~2
3221N X N X N X ,
{}22≤≤-=i i X P P ,则
(A )321P P P >> (B )312P P P >> (C )123P P P >> (D )231P P P >> 【详解】若),(~2
σμN X ,则
)1,0(~N X σ
μ
-
1)2(21-Φ=P ,{}1)1(212122222-Φ=?
??
???≤≤-=≤≤-=X P X P P ,
{}())13737)1(3523535222333Φ-???
??Φ=??? ??-Φ--Φ=?
?
????-≤-≤--=≤≤-=X P X P P ,
=-23P P 0)1(32)1(3371<Φ-<Φ-??
?
??Φ+.
故选择(A ).
8.设随机变量X 和Y 相互独立,且X 和Y 的概率分布分别为
则{}==+2Y X P ( ) (A )
121 (B )81 (C )61 (D )2
1 【详解】
{}{}{}{}6
12412411211,30,21,12=++=
-==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P ,故选择(C ).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
9.设曲线)(x f y =和x x y -=2
在点()0,1处有切线,则=??
?
??+∞
→2lim n n nf n . 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f .所以
2)1('22222)
1(221lim 2lim -=-=-+?
+--??? ??
+-+=??? ??+∞→∞→f n
n n f n f n n nf n n 10.设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x
=+确定,则
=??)2,1(|x
z
. 【详解】 设
()xy
y z z y x F x -+=)(,,,
则
()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ,
当2,1==y x 时,0=z ,所以
2ln 22|)2,1(-=??x
z
. 11.
=+?
∞+x d x x
1
2
)1(ln .
【详解】
2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )
1(ln 11111
2=+=+++-=+-=+∞
+∞+∞+∞+∞
+???
x x dx x x x x x xd x d x x 12.微分方程04
1
=+
'-''y y y 的通解为. 【详解】方程的特征方程为04
1=+-λλr
,两个特征根分别为2121==λλ,所以方程通
解为2
21)(x
e x C C y +=,其中21,C C 为任意常数.
13.设()
ij a A =是三阶非零矩阵,A 为其行列式,ij A 为元素ij a 的代数余子式,且满足
)3,2,1,(0==+j i a A ij ij ,则A =.
【详解】由条件)3,2,1,(0==+j i a A ij ij 可知0*=+T
A A ,其中*A 为A 的伴随矩阵,从
而可知
A A
A A T -===-1
3**,所以A 可能为1-或0.
但由结论??
???-<-===1)(,01)(,1)(,)(*n A r n A r n A r n A r 可知,0*=+T
A A 可知*)()(A r A r =,伴随矩阵的秩只
能为3,所以.1-=A
14.设随机变量X 服从标准正分布)1,0(~N X ,则()
=X
Xe
E 2. 【详解】
()
=
X Xe E 2dx e
x e dx e
x dx e
xe x x x x
??
?
∞+∞
---
∞+∞
-+--
∞+∞
--
+-=
=2
)2(2
22
)2(2
22
2
2
)22(2221π
π
π
22222222)(222
2
e e X E e dt e dt te e t t =+=???
? ??+=??∞+∞--∞+∞--π. 所以为2
2e .
三、解答题
15.(本题满分10分)
当0→x 时,x x x 3cos 2cos cos 1-与n
ax 是等价无穷小,求常数n a ,. 【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式. 【
详
解
】
当
→x 时,
)(2
11cos 22
x o x x +-
=,)
(21)()2(21
12cos 2222x o x x o x x +-=+-=,
)(2
9
1)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=,
所
以
)(7))(2
9
1))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+-
-=-,
由于x x x 3cos 2cos cos 1-与n
ax 是等价无穷小,所以2,7==n a . 16.(本题满分10分) 设D 是由曲线3
x y =
,直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形,y x V V ,分别是D 绕x
轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积,若y x V V =10,求a 的值. 【详解】由微元法可知
πππ35
3
202
5
3
a dx x dx y V a a
x ===?
?;
πππ37
3
40
7
6
2)(2a dx x dx x xf V a a
y ===?
?;
由条件y x V V =10,知77=a . 17.(本题满分10分)
设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成,求??D dxdy x 2
.
【详解】
3
416
83
6
2
2
33
2
2
2
222
1
=
+=+=??????????-x
x x x D D D
dy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x . 18.(本题满分10分)
设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元/件,价格函数为,1000
60Q
P -=(P 是单价,单位:元,Q 是销量,单位:件),已知产销平衡,求: (1)该的边际利润.
(2)当P=50时的边际利润,并解释其经济意义. (3)使得利润最大的定价P . 【详解】
(1)设利润为y ,则60001000
40)206000(2
--
=+-=Q Q Q PQ y , 边际利润为.500
40'Q y -
= (2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.
经济意义为:当P=50时,销量每增加一个,利润增加20. (3)令0'=y ,得.4010000
20000
60,20000=-==P Q
19.(本题满分10分)
设函数()x f 在),0[+∞上可导,()00=f ,且2)(lim =+∞
→x f x ,证明
(1)存在0>a ,使得();1=a f
(2)对(1)中的a ,存在),0(a ∈ξ,使得a
f 1)('=ξ. 【详解】
证明(1)由于2)(lim =+∞
→x f x ,所以存在0>X ,当X x >时,有
2
5)(23<
(2)函数()x f 在],0[a 上可导,由拉格朗日中值定理, 存在),0(a ∈ξ,使得a
a f a f f 1
)0()()('=-=ξ.
20.(本题满分11分)
设???
?
??=???? ??=b B a A 110,011,问当b a ,为何值时,存在矩阵C ,使得B CA AC =-,并求出
所有矩阵C .
【详解】
显然由B CA AC =-可知,如果C 存在,则必须是2阶的方阵.设???
?
??=4321
x x
x x C , 则B CA AC =-变形为???
?
??=????
??---++-+-b ax x x x x ax x ax ax x 110324314213
2, 即得到线性方程组???????=-=--=++-=+-b
ax x x x x ax x ax ax x 324314
2132110
,要使C 存在,此线性方程组必须有解,于是对方
程组的增广矩阵进行初等行变换如下
()??
?
?
?
?
?
??+---→???????
??-----=b a a b a a
a a
b A 000010000001011101
01011
1011010010|,
所以,当0,1=-=b a 时,线性方程组有解,即存在矩阵C ,使得B CA AC =-.
此时,()??????
?
?
?--→00
0000000000110
11101
|b A , 所以方程组的通解为??
??
???
??+??????? ??-+?
?????
? ??=??????? ??=100101110001214321C C x x x x x ,也就是满足B CA AC =-的矩阵
C 为
???
?
?
?-++=2112
11C C C C C C ,其中21,C C 为任意常数.
21.(本题满分11分) 设
二
次
型
2
3322112332211321)()(2),,(x b x b x b x a x a x a x x x f +++++=.记
????
? ??=????? ??=321321,b b b a a a βα.
(1)证明二次型f 对应的矩阵为 T
T
ββαα+2;
(2)若βα,正交且为单位向量,证明f 在正交变换下的标准形为 2
22
12y y +. 【详解】证明:(1)
()()()()()()()()
()(
)
??
??
? ??+=????
? ??+????
?
??=??
?
??
??????? ??+????? ??????? ??=+++++=3213213213213213213213213213213213213213212
33221123322113212,,,,2,,,,,,,,,,2)()(2),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b b b b b x x x x x x a a a a a a x x x x b x b x b x a x a x a x x x f T
T T
T
ββααββαα
所以二次型f 对应的矩阵为 T
T ββαα+2.
证明(2)设=A T
T
ββαα+2,由于0,1==αβαT
则(
)ααββα
ααββααα2222
=+=+=T T
T A ,
所以α为矩阵对应特征值21=λ的特征向量;
()
ββββααβββααβ=+=+=2
22T T T A ,所以β为矩阵对应特征值12=λ的特征向
量;
而矩阵A 的秩2)()2()2()(=+≤+=T
T
T
T
r r r A r ββααββαα,所以03=λ也是矩阵的一个特征值.
故f 在正交变换下的标准形为 2
22
12y y +. 22.(本题满分11分)
设()Y X ,是二维随机变量,X 的边缘概率密度为???<<=其他
,01
0,3)(2x x x f X ,在给定
)10(<<=x x X 的条件下,Y 的条件概率密度为??
?
??<<=其他,0,0,3)/(3
2
x y x y x y f X
Y . (1)求()Y X ,的联合概率密度()y x f ,; (2)Y 的的边缘概率密度)(y f Y .
【详解】(1)()Y X ,的联合概率密度()y x f ,:
()??
?
??<<<<=?=其他,00,10,9)()/(,2
x y x x y x f x y f y x f X X
Y
(2)Y 的的边缘概率密度)(y f Y :
??
???<<-===??∞+∞
-其他,010,ln 99),()(212
y y y dx x y dx y x f y f y
Y 23.(本题满分11分)
设总体X 的概率密度为?????>=-其他,00
,);(32x e x x f x θ
θθ,其中θ为为未知参数且大于零,
n X X X Λ,21为来自总体X 的简单随机样本.
(1)求θ的矩估计量; (2)求θ的极大似然估计量.
【详解】(1)先求出总体的数学期望E (X )
θθθ
===?
?
∞+-
∞+∞
-0
2
2
)()(dx e x
dx x xf X E x ,
令∑===n n i X n X X E 11)(,得θ的矩估计量∑=∧==n
i i X n X 1
1θ.
(2)当),2,1(0n i x i Λ=>时,似然函数为
???
?
??-==-∑
???
? ??=????
?
?==∏∏n i i i
x n i i n
n
i x
i e x e x L 113121
32
)(θθ
θθθ,
取对数,∑∑==-???? ??-=n
i i n i i x x
n L 1
1ln 31
ln 2)(ln θθθ, 令0)(ln =θθd L d ,得0121=-∑=n i i
x n θ,
解得的极大似然估计量为.
1 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)当0x →时,用()o x 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) (A )23()()x o x o x ?= (B )23()()()o x o x o x ?= (C )222()()()o x o x o x += (D )22()()()o x o x o x += (2)函数||1()(1)ln || x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 (3)设k D 是圆域22 {(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分,记()k k D I y x dxdy = -??()1,2,3,4k =, 则( ) (A )10I > (B )20I > (C )30I > (D )40I > (4)设{}n a 为正项数列,下列选项正确的是( ) (A )若1 11 ,(1) n n n n n a a a ∞ -+=>-∑则 收敛 (B )1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑若 收敛,则1n n a a +>
2 (C )1 n n a ∞ =∑若 收敛,则存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在 (D )若存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在,则 1 n n a ∞ =∑收敛 (5)设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵,若,B AB C =则可逆,则 (A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 (6)矩阵1a 1a b a 1a 1?? ? ? ???与2000b 0000?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为 (A )a 0,b 2== (B )为任意常数b a ,0= (C )0,2==b a (D )为任意常数b a ,2= (7)设123X X X ,,是随机变量,且22123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ,X 0,2),X , {22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则( ) (A )123P P P >> (B )213P P P >> (C )312P P P >> (D )132P P P >> (8)设随机变量X 和Y 相互独立,则X 和Y 的概率分布分别为, 则{2}P X Y +== ( )
2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1)设cos 1sin ()x x x α-=,其中()2 x π α< ,则当0x →时,()x α是( ) (A )比x 高阶的无穷小 (B )比x 低阶的无穷小 (C )与x 同阶但不等价的无穷小 (D )与x 等价的无穷小 (2)设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定,则2lim ()1n n f n →∞ ??-=??? ? ( ) (A )2 (B )1 (C )1- (D )2- (3)设函数sin ,0()=2, 2x x f x x π ππ≤? ≤≤?,0()()x F x f t dt =?,则( ) (A )x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 (B )x π= 是函数()F x 的可去间断点 (C )()F x 在x π=处连续但不可导 (D )()F x 在x π=处可导 (4)设函数1 11,1(1)()=1,ln x e x f x x e x x αα-+? <-???≥??,若反常积分1 ()f x dx +∞?收敛,则( ) (A )2α<- (B )2α> (C )20α-<< (D )02α<< (5)设()y z f xy x = ,其中函数f 可微,则x z z y x y ??+=??( ) (A )2()yf xy ' (B )2()yf xy '- (C ) 2()f xy x (D )2 ()f xy x - (6)设k D 是圆域{}22 (,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分,记()(1,2,3,4)k k D I y x dxdy k =-=??,则 ( ) (A )10I > (B )20I > (C )30I > (D )40I > (7)设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵,若,B AB C =则可逆,则 (A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价
2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1)当0x →时,用()o x 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) (A )2 3 ()()x o x o x ?= (B )2 3 ()()()o x o x o x ?= (C )2 2 2 ()()()o x o x o x += (D )2 2 ()()()o x o x o x += (2)函数||1()(1)ln || x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 (3)设 k D 是圆域22{(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分,记 ()k k D I y x dxdy =-??()1,2,3,4k =,则( ) (A )10I > (B )20I > (C )30I > (D )40I > (4)设{}n a 为正项数列,下列选项正确的是( ) (A )若1 11 ,(1) n n n n n a a a ∞ -+=>-∑则 收敛 (B )1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑若 收敛,则1n n a a +>
(C )1 n n a ∞ =∑若 收敛,则存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在 (D )若存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在,则 1 n n a ∞ =∑收敛 (5)设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵,若,B AB C =则可逆,则 (A )矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 (B )矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 (C )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 (D )矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 (6)矩阵1a 1a b a 1a 1?? ? ? ???与2000b 0000?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为 (A )a 0,b 2== (B )为任意常数b a ,0= (C )0,2==b a (D )为任意常数b a ,2= (7)设123X X X ,,是随机变量,且22 123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ,X 0,2),X , {22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则( ) (A )123P P P >> (B )213P P P >> (C )312P P P >> (D )132P P P >> (8)设随机变量X 和Y 相互独立,则X 和Y 的概率分布分别为, 则{2}P X Y +== ( )
2013年考研数三真题及答案解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、 1.当0→x 时,用)(x o 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) (A ))()(3 2 x o x o x =? (B ))()()(3 2 x o x o x o = (C ))()()(2 2 2 x o x o x o =+ (D ))()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例如当0→x 时)()(),()(2 3 3 2 x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选(D ). 2.函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x e x x x x ln ~11ln -=-, 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ,所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点. 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ,所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ,所以所以1-=x 不是函数)(x f 的 可去间断点. 故应该选(C ). 3.设k D 是圆域{ } 1|),(2 2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记??-=k D k dxdy x y I )(,则 ( ) (A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 所以ππ3 2 ,32,04231-== ==I I I I ,应该选(B ). 4.设{}n a 为正项数列,则下列选择项正确的是( )
倚窗远眺,目光目光尽处必有一座山,那影影绰绰的黛绿色的影,是春天的颜色。周遭流岚升腾,没露出那真实的面孔。面对那流转的薄雾,我会幻想,那里有一个世外桃源。在天阶夜色凉如水的夏夜,我会静静地,静静地,等待一场流星雨的来临… 许下一个愿望,不乞求去实现,至少,曾经,有那么一刻,我那还未枯萎的,青春的,诗意的心,在我最美的年华里,同星空做了一次灵魂的交流… 秋日里,阳光并不刺眼,天空是一碧如洗的蓝,点缀着飘逸的流云。偶尔,一片飞舞的落叶,会飘到我的窗前。斑驳的印迹里,携刻着深秋的颜色。在一个落雪的晨,这纷纷扬扬的雪,飘落着一如千年前的洁白。窗外,是未被污染的银白色世界。我会去迎接,这人间的圣洁。在这流转的岁月里,有着流转的四季,还有一颗流转的心,亘古不变的心。 2013年考研数三真题及答案解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、 1.当0→x 时,用)(x o 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) (A ))()(3 2 x o x o x =? (B ))()()(3 2 x o x o x o = (C ))()()(2 2 2 x o x o x o =+ (D ))()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例 如当0→x 时)()(),()(2 332x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选(D ).
2.函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x e x x x x ln ~11ln -=-, 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ,所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点. 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ,所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ,所以所以1-=x 不是函数)(x f 的 可去间断点. 故应该选(C ). 3.设k D 是圆域{} 1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记??-=k D k dxdy x y I )(,则 ( ) (A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 ()πππ πππθθθ θθθθθ22 1 2211 02 22 )1(|cos sin 3 1 )sin (sin 31)cos (sin )(k k k k k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+- =-=-=-=????? 所以ππ3 2 ,32,04231-== ==I I I I ,应该选(B ). 4.设{}n a 为正项数列,则下列选择项正确的是( ) (A )若1+>n n a a ,则 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n a 收敛; (B )若 ∑∞ =--11 ) 1(n n n a 收敛,则1+>n n a a ; (C )若 ∑∞ =1 n n a 收敛.则存在常数1>P ,使n p n a n ∞ →lim 存在;
2013 年考研数三真题及 答案解析 —8 小题.每小题4 分,共32 分.、一、选择题1
x0 o(x) x 1.当高阶的无穷小,则下列式子中错误的是(时,用表示比) 2233)(xx o(A))o( x) o(x) o( x )o(x (B)22222)o(x) o( xo( x)) o( x )o( x o( x )D)(C)( A)(B)(C)都是正确的,对于(D)可找出反例,例【详解】 由高阶无穷小的定义可知( 2323 x 0 f (x)o(x ) xxx o( x) f (x)g(x)o( x), g( x),但如当而不是时 2o( x ) D故应该选(). x x1f ( x)2.函数)的可去间断点的个数为( x( x1) ln x (A)0((D)3 B)1(C)2 x e1 ~ x ln x x x ln x0 1,【详解】当时,xln x x x1x ln x x0 f ( x)1 limlimf ( x)lim的可去间断点.,所以是函数x 0x 0x ln x x( x 1) ln x x 0x1x ln xx1 x1 f ( x)limlimlimf ( x),所以的可去间断点.是函数x 0x 1 2 x ln x x( x 1) ln x2x 1x x1xln x x1 f (x)limlimlimf ( x)的,所以所以不是函数1 x(x 1) ln x(x 1) ln x x x11x
可去间断点. 故应该选(C). 22kIx)dxdy ( y D D 1 y ( x, y) | x记的第是圆域象限的部分,3.设,则kk D k() I II000 D B )A(C4123 I0)((())【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=?, ()2 x π α< ,当0x →时,()x α( ) (A )比x 高阶的无穷小 (B )比x 低阶的无穷小 (C )与x 同阶但不等价的无穷小 (D )与x 是等价无穷小 【答案】(C ) 【考点】同阶无穷小 【难易度】★★ 【详解】 cos 1sin ()x x x α-=?,21 cos 12 x x -- 21sin ()2x x x α∴?-,即1 sin ()2 x x α- ∴当0x →时,()0x α→,sin ()()x x αα 1 () 2 x x α∴-,即()x α与x 同阶但不等价的无穷小,故选(C ). 2、已知()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定,则2 lim [()1]n n f n →∞-=( ) (A )2 (B )1 (C )-1 (D )-2 【答案】(A ) 【考点】导数的概念;隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】当0x =时,1y =. 方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导,得 将0x =,1y =代入计算,得 (0)(0)1y f ''== 所以,2 lim [( )1]2n n f n →∞ -=,选(A ). 3、设sin [0,) ()2[,2]x f x πππ?=?? ,0()()x F x f t dt =?,则( ) (A )x π=为()F x 的跳跃间断点 (B )x π=为()F x 的可去间断点 (C )()F x 在x π=处连续不可导 (D )()F x 在x π=处可导
2013年考研数学刚刚落下帷幕,相信很多考生看到这份试卷都非常亲切,因为好多题目都跟咱们平时练习的题目的非常相似。今年的数学试题,其考试内容和考试要求完全与考试大纲相吻合,没有偏题、怪题,难度适中,考查的重点也是大纲中着重要求掌握的内容。从科目及分值分布来看,各科所占比例与往年也是完全一致的。可见考试大纲在学生考研复习中的重要性,当然这也是我们在平时授课中反复跟学生们强调过的,这点对于2014年预参加考研的学生也可是有借鉴意义的。总体来讲,题目万变不离其宗,考生如果能结合考试大纲,夯实基础、多做练习,取得一个相对理想的成绩还是可期的。 一.试卷的整体评价 试卷长度、题型比例配置保持不变,与《考试大纲》的规定一致。全卷共23题,其中填空题6个,共24分;选择题8个,共32分;解答题9个,共94分,全卷合计150分。 微积分82分约占52.7%,线性代数34分约占22.7 %,概率论与数理统计34分约占22.7%。二.考点分布 微积分 考点分值 极限18 导数8 导数应用20 定积分应用10 广义积分 4 级数 4 微分方程 4 二重积分14 线性代数 考点分值 行列式 4 矩阵与向量组19 二次型11 概率论与数理统计 考点分值 正态分布 4 二维离散型随机变量 4 数学期望 4 条件概率密度11 矩估计与最大似然估计11 总体来讲,今年数三微积分的题目难度跟去年相比稳中有升。第1—4题分别考查极限、连续级数、二重积分等知识点,这些全是咱们复习的重点,课堂上老师也一直强调极限在微积分中的中心地位,授课老师也强调过级数这一考点在现在的数学三的考试中已经逐渐弱化,一般只考查一个填空或选择,今年的考题与授课老师的分析不谋而合。9—12题分别考
2013考研数三真题及答案 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.、 1.当0→x 时,用)(x o 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) (A ))()(3 2 x o x o x =? (B ))()()(3 2 x o x o x o = (C ))()()(2 2 2 x o x o x o =+ (D ))()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知(A )(B )(C )都是正确的,对于(D )可找出反例,例如当0→x 时)()(),()(2 3 3 2 x o x x g x o x x x f ===+=,但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选(D ). 2.函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【详解】当0ln →x x 时,x x e x x x x ln ~11ln -=-, 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ,所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点. 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ,所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点. ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ,所以所以1-=x 不是函数)(x f 的 可去间断点. 故应该选(C ). 3.设k D 是圆域{ } 1|),(2 2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分,记??-=k D k dxdy x y I )(,则 ( ) (A )01>I (B )02>I (C )03>I (D )04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 ()πππ πππθθθ θθθθθ22 1 2211 02 22 )1(|cos sin 3 1 )sin (sin 31)cos (sin )(k k k k k k D k d dr r d dxdy x y I k ---+- =-=-=-=?????
2013硕士研究生入学考试 数学一 1.已知极限0arctan lim k x x x c x →-=,其中k ,c 为常数,且0c ≠,则( ) A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 1 3,3 k c == 2.曲面2 cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为( ) A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --= 3.设1 ()2 f x x =-,102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==?,令1()sin n n S x b n x π∞==∑,则 9 ()4-=S ( ) A .34 B. 14 C. 14- D. 34 - 4.设221:1L x y +=,222:2L x y +=,223:22L x y +=,22 4:22L x y +=为四条逆时针 方向的平面曲线,记33 ()(2)(1,2,3,4)63i i L y x I y dx x dy i =++-=?,则{}1234max ,,,I I I I = A. 1I B. 2I C. 3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵,若AB=C ,且B 可逆,则( ) A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 6.矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为( ) A. 0,2a b == B. 0,a b = 为任意常数 C. 2,0a b == D. 2,a b = 为任意常数 7.设123,,X X X 是随机变量,且1 (0,1)X N ,22 (0,2)X N ,23 (5,3)X N , {}22(1 ,2,3)=-≤≤=i i P P X i ,则( ) A. 123P P P >> B. 213P P P >> C. 322P P P >> D 132P P P >>
2013 年考研数三真题及答案解析 一、选择题 1 —8 小题.每小题 4 分,共32 分.、 1.当 x 0时,用o(x) 表示比x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是() 2 o x 2 o x 3 3 (A)( ) ( ) x o x (B)o( x) o(x ) ( ) (C)o( x2 ) o( x2 ) o(x2) (D)o(x) o( x2 ) o(x2 ) 【详解】由高阶无穷小的定义可知(A)(B)(C)都是正确的,对于(D)可找出反例,例 2 x o x g x x o x 3 3 2 如当 x 0 时( ) ( ), ( ) ( ) f x x ,但 f (x) g(x) o( x) 而不是 2 o( x ) 故应该选(D). 2.函数 f x x 1 ( x) 的可去间断点的个数为()x( x 1) ln x (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 x xln x 【详解】当xln x 0时,x 1 e 1 ~ xln x , x x 1 xln x lim f (x) lim lim x x(x 1) ln 0 x x x 0 x x ln 0 1 ,所以x 0是函数f ( x) 的可去间断点. x x 1 xln x lim f (x) lim lim x 1 x( x 1) l n x 2 ln 1 x x x x 0 1 2 ,所以 x 1是函数f ( x) 的可去间断点. x x 1 xln x lim f (x) lim lim x ( 1) l n 1 x(x 1) ln x x x 1 x 1 x ,所以所以 x 1不是函数 f (x) 的 可去间断点. 故应该选(C). 3.设 2 y 2 D 是圆域D (x, y) | x 1 的第k 象限的部分,记 k I k ( y x)dxdy,则 D k () (A)0 I (B)I 2 0 (C)I 3 0 (D)I 4 0 1
2013年考研数学三真题完整版 文都首发2013硕士研究生入学考试数学三真题 来源:文都教育 1. 当x0时,用“o(x)”表示比x高阶的无穷小,则下列式子中错误的是 , 2323A. x?o(x)=o(x) B.o(x)?o(x)=o(x) 22222C.o(x)+o(x)= o(x) D.o(x)+ o(x)= o(x) xx,12. 函数f(x)=的可去间断点的个数为 xxx(1)ln, A.0 B.1 C.2 D.3 223. 设D是圆域D={(x,y)|x+y?1}位于第k象限的部分,记I=(k=1,2,3,4),()yxdxdy,kk,,Dk则 A.I>0, B. I>0, C. I>0, B. I>0 12344. 设,a,为正项数列,下列选项正确的是 n ,,n1(1),a,则收敛 A. 若a > ann+1 ,n,n1 ,,n1(1),aB. 若收敛,则a>a nn+1,n,n1 ,paC. 若收敛,则存在常数p>1,使lim na存在 n,nn,,,n1 ,paD. 若存在常数p>1,使lim na存在,则收敛 n,nn,,,n1 5. 设A,B,C均为n阶短阵,若AB=C,且B可逆,则 A. 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C. 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D. 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价11a200,,,, ,,,,00baba6. 矩阵与相似的充分必要条件为( ) ,,,,,,,,00011a,,,, A. a=0,b=2 B. a=0,b为任意常数 C. a=2,b=0 D. a=2,b为任意常数
2013年考研数一真题与答案解析
数学一试题答案 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ...指定位置上. (1)B (2)D (3)D (4)B (5)B (6)A (7)(B) (8)(D)
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9)012=---z y x (10)11=-)(f (11)12+=x x y ln (12)π (13)[-2,2] (14)25n 三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸... 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)【答案】 2 1211111111102 0221 121 2112=-=--=--=--=--=+ --++→→+∞→+∞ →+∞→+∞→???u e lim u u e lim x )e (x lim ,x u x )e (x lim x tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x x x x x x 则令 (16)【答案】 20 20 2232222=+=+='++'?++')x y (y xy y y x xy y y x y y y x y )(y 20-==或舍。 x y 2-=时,
2 110 660 62480 62480 633333223223-==?==+-=+-+-=+-?+?+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y 04914 190 141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''?+'?+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。 (17)【答案】 y cos e )y cos e (f x E x x '=?? )y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f y E )y sin (e )y cos e (f y E y cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x E x x x x x x x x x x -'+''=??-'=??'+''=??22222222 y cos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y E x E x x x x x x x +=''+=''=??+??44222 222 令u y cos e x =, 则u )u (f )u (f +=''4, 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214 -+=- 由,)(f ,)(f 0000='=得 4 161622u e e )u (f u u --=- (18)【答案】 补{}∑=1 1z )z ,y ,x (:的下侧,使之与∑围成闭合的区域Ω,
2013 年考研数三真题及答案解析 一、选择题 1 —8 小题.每小题 4 分,共 32 分.、 1.当 x 0 时,用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( ) ( A ) x o ( x 2 ) o(x 3 ) ( B ) o( x) o(x 2 ) o( x 3 ) ( C ) o( x 2 ) o( x 2 ) o( x 2 ) ( D ) o(x) o( x 2 ) o( x 2 ) 【详解】由高阶无穷小的定义可知( A )( B )( C )都是正确的,对于( D )可找出反例,例 如当 x 0 时 f (x) x 2 x 3 o( x), g( x) x 3 o(x 2 ) ,但 f (x) g(x) o( x) 而不是 o( x 2 ) 故应该选( D ). x x 2.函数 f ( x) 1 的可去间断点的个数为( ) x( x 1) ln x (A )0 ( B )1 ( C )2 (D )3 【详解】当 x ln x x 1 e xln x 1 ~ x ln x , 0 时, x x x ln x lim f ( x) lim x 1 lim 1 ,所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点. x 0 x 0 x( x 1) ln x x 0 x ln x x x ln x lim f ( x) lim x 1 lim 1 ,所以 x 1 是函数 f ( x) 的可去间断点. x 1 x 1 x( x 1) ln x x 0 2 x ln x 2 x x xln x lim f ( x) lim 1 lim ,所以所以 x 1不是函数 f (x) 的 (x 1) ln x x 1 x 1 x(x 1) ln x x 1 可去间断点. 故应该选( C ). 3.设 D k 是圆域 D ( x, y) | x 2 y 2 1 的第 k 象限的部分, 记 I k ( y x)dxdy ,则 D k ( ) ( A ) I 1 B I 2 0 C 3 0 D I 4 0 ( ) ( ) I ( ) 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知