2.4.2抛物线的简单几何性质(1) (2)

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 学习目标

1．掌握抛物线的几何性质； 2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．

学习过程

一、课前准备

6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处）

复习1：

准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．

复习2：双曲线22

1169

x y -=有哪些几何性质？

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？

新知：抛物线的几何性质

图形

标准方

程

焦点 (0,)2p -

准线

2p y =-

顶点

(0,0)(0,0) 对称轴

x 轴

离心率

试试：画出抛物线28y x =的图形，

顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、

准线方程 、对称轴 、

离心率 ．

※ 典型例题

例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．

变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．

小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．

例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．

变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．

※动手试试

练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：

⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点

(5

M，4)

-；

⑵顶点在原点，焦点是(0,5)

F；

⑶焦点是(0,8)

F-，准线是8

y=．

三、总结提升

※学习小结

1．抛物线的几何性质；

2．求过一点的抛物线方程；

3．求抛物线的弦长．

※知识拓展

抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．

其长为2p．

※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：

1．下列抛物线中，开口最大的是（）．

A．21 2

y x

=B．2y x

=

C ．22y x =

D ．24y x =

2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ．

A ．220y x =

B ．220x y =

C ．2120y x =

D ．2120

x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

4．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．

5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB = ．

1． 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出 图形：

⑴顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等到于6； ⑵顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(6,3)P --．

2 M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，60xFM ∠=o ，求FA ．

抛物线的简单几何性质教案 (1)

抛物线的简单几何性质; ●教学目标 1.掌握抛物线的几何性质; 2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程; 3.能利用工具作出抛物线的图形. ●教学重点 抛物线的几何性质 ●教学难点 几何性质的应用 ●教学方法 学导式 ●教具准备 三角板 ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答) 师:这一节,我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = ①来研究它的几何性质 Ⅱ.讲授新课 1. 范围 当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支 的区别,无渐近线). 2.对称性 抛物线关于x 轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点. 4.离心率 抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1. 说明:对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程. 师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质. 例1.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),求它的标准方程,并用描点法画出图形. 师:由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P . 解:因为抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M (2,-22),所以可设它的标准方程为: )0(22 p px y =

因为点M 在抛物线上，所以22)22(2?=-p ，即2=p 因此所求方程是.42x y = 下面列表、描点、作图： 说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤； ②抛物线没有渐近线； ③抛物线的标准方程)0(22 p px y =中p 2的几何意义：抛物线的通 径，即连结通过焦点而垂直于x 轴直线与抛物线两交点的线段. 师:下面我们通过练习进一步熟悉并掌握抛物线的标准方程. Ⅲ.课堂练习 课本P 122练习1,2. ●课堂小结 师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式. ●课后作业 习题8.6 1,2,5. ●板书设计 ●教学后记

高中数学抛物线的简单几何性质教案

《抛物线的简单几何性质》教案 《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析 教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一. 教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二. 教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几 何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它 们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1) 知识目标： ⅰ 抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：. ⅰ 使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ 掌握抛物线的画法。 (3) 情感目标： ⅰ 培养学生数形结合及方程的思想。 ) 0(22>=p px y

抛物线的几何性质

抛 物 线 一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质 1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右. 2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴 3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当 0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点. 4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e = 知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02 p x =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p 例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()2 2,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9， 当[)0,x ∈+∞时，()()2 ,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为 [)9,+∞ 答案：[)9,+∞

3.3.2 抛物线的简单几何性质

3.3.2抛物线的简单几何性质 基础过关练 题组一抛物线的几何性质及其运用 1.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为() A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 2.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于() A.2 B.1 C.4 D.8 3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为() B.1 C.2 D.4 A.1 2 4.已知点A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,当 |AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是() A.x=-1 B.y=-1 C.x=-2 D.y=-2 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当 △FPM为等边三角形时,其面积为() A.2√3 B.4 C.6 D.4√3 6.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为.

题组二直线与抛物线的位置关系 7.已知直线l:y=x-1与抛物线C:y2=4x相交于A、B两点,则|AB|为() A.5 B.6 C.7 D.8 8.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 9.过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.0条 10.(2020山东菏泽高二上期末)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A、B 两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为() A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点. (1)求弦AB的长; (2)求△FAB的面积.

抛物线的简单几何性质练习题

课时作业(十三) [学业水平层次] 一、选择题 1．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( ) A ．2 B ．1 C ．4 D ．8 【解析】 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，因为P (6，y ) 为抛物线上的点，所以点P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所 以6＋p 2＝8，所以p ＝4，即焦点F 到抛物线的距离等于4，故选C. 【答案】 C 2．(2014·成都高二检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为( ) A ．2 3 B ．4 C ．6 D ．43 【解析】 据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |， ∴PM ⊥抛物线的准线．设P ? ?? ??m 24，m ，则M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为43，故选D. 【答案】 D 3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准

线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得：????? y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得， (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2p (x 1－x 2)． 又∵y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p 4＝p 2 ＝k ＝1，∴p ＝2. ∴所求抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 B 4．(2014·课标Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( ) B ．6 C ．12 D ．73 【解析】 焦点F 的坐标为? ?? ??34，0，直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33? ?? ??x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ， 得13x 2－72x ＋316＝0，

2.4.2 抛物线的几何性质(一)

2.4.2 抛物线的几何性质(一) 一、基础过关 1． 设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且AB ＝1，则A 的横坐标的值为________． 2． 以x 轴为对称轴的抛物线的通径长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为______________． 3． 经过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 1y 2x 1x 2 的值是________． 4． 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1＝__________. 5． 等腰Rt △ABO 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则Rt △ABO 的面积是________． 6． 如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________． 7． 过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．若x 1＋x 2＝6，则AB ＝________. 二、能力提升 8． 如图所示是抛物线形拱桥， 当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________ m. 9． 已知△ABC 的三个顶点都在y 2＝32x 上，A (2,8)，且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合，则直线BC 的斜率是________． 10．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长． 11．线段AB 过x 轴正半轴上一定点M (m,0)，端点A 、B 到x 轴的距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线．求抛物线的方程． 12．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) (x 1

抛物线简单几何性质

抛物线的简单几何性质 一、要点精讲 抛物线的的简单几何性质 二、课前热身 1．抛物线x y10 2=的焦点到准线的距离是（） (A)2.5 (B)5(C)7.5 (D) 10 2．抛物线px y2 2=()0> P上一点为()0,6y Q，且Q点到抛物线焦点F的距离为10，则F到准线l的距离为 (A)4 (B)8 (C) 12 (D)16 3.（15陕西）若抛物线22(0) y px p =>的准线经过双曲线221 x y -=的一个焦点，则p= ．4、(2016新课标Ⅱ) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= k x （k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k= （A） 1 2 （B）1 （C） 3 2 （D）2 标准方程 px y2 2= ()0> P px y2 2- = ()0> P py x2 2= ()0> P py x2 2- = ()0> P 图形 性 质 范围0 ≥ x，R y∈0 ≤ x，R y∈R x∈，0 ≥ y R x∈，0 ≤ y 焦半径 2 p x PF+ = 2 p x PF+ - = 2 p y PF+ = 2 p y PF+ - = 对称轴x轴y轴 顶点()0,0 O 离心率1 = e 通径过焦点且与对称轴垂直的弦AB，p AB2 =

5．通过直线x y =与圆0622=++x y x 的交点， 且对称轴是坐标轴的抛物线方程是 . 6．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，通径为线段AB ，且4=?AOB S （O 为坐标原点），求抛物线方程． 三、典例精析 类型一：求抛物线的方程 1、求顶点在原点，以x 轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程． 2. 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 解：如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1， BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|， |BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°.连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1 的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝3 2，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C. 3、已知圆0922=-+x y x ，与顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线交于A,B 两点，△OAB 的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线的方程． 4、已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆42 2=+y x 相交的公共弦长等于32，求这个 抛物线的方程．

抛物线的简单几何性质教学设计

第 二 章圆锥曲线与方程 第 2.4.2 抛物线的简单几何性质（4课时） 主备教师 陈本川 一、内容及其解析 学的内容是抛物线的一些基本性质，其核心内容是抛物线的离心率及准线，理解它关键是先让学生认识抛物线的图形，从中概括出抛物线的性质。 学生已经学过抛物线线概念和标准形式，本节课的内容抛物线的基本性质就是在其基础上的发展。由于它还与椭圆、双曲线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。是抛物线的核心内容。教学重点是抛物线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到抛物线性质的准确刻画。 二、目标及其解析 1、目标定位 （1）了解抛物线的基本性质及基本线段的概念。 （2）能够根据抛物线的标准方程及性质进行简单的运算。 2、目标解析 （1）是指：抛物线的基本线段范围及概念，对称性，离心率，准线表示。 （2）是指：能够根据抛物线中准线与焦点之间的关系能求出抛物线的标准方程。 三、问题诊断分析 在本节抛物线性质的教学中，学生可能遇到的问题是抛物线的一些基本概念会与其它圆锥曲线的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。要解决这一问题，就要类比着其它圆锥曲线的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。 四、教学支持条件分析 在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。因为使用多媒体辅助教学有利于学生对抛物线性质从直观到具体的把握。 五、教学设计过程 问题一：抛物线性质有哪些？观察抛物线的标准方程)0(22>=p px y 的形状， 设计意图：推导、识记抛物线的性质，并能够熟练的应用 问题1你能从图中看出它的范围吗？ 问题2它具有怎样的对称性？

2.4.2抛物线的简单几何性质(1) (2)

§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 学习目标 1．掌握抛物线的几何性质； 2．根据几何性质确定抛物线的标准方程． 学习过程 一、课前准备 6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处） 复习1： 准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ． 复习2：双曲线22 1169 x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形 标准方 程 焦点 (0,)2p - 准线 2p y =- 顶点 (0,0)(0,0) 对称轴 x 轴 离心率 试试：画出抛物线28y x =的图形， 顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、 准线方程 、对称轴 、 离心率 ．

※ 典型例题 例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程． 变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程． 小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ． 变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．

小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※动手试试 练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点 (5 M，4) -； ⑵顶点在原点，焦点是(0,5) F； ⑶焦点是(0,8) F-，准线是8 y=． 三、总结提升 ※学习小结 1．抛物线的几何性质； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※知识拓展 抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径． 其长为2p． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是（）． A．21 2 y x =B．2y x =

2.4.2 抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质 班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；培养学生分析问题、解决问题的能力． 【教学重点】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程． 【教学难点】抛物线的性质及简单应用． 【教学过程】 一、引入： 1．抛物线定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（）的距离的点的轨迹叫做抛物线； 点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的． 2．标准方程、焦点、准线、图形（其中0 p>，表示焦点F到准线l的距离） 3．抛物线的几何性质：以22(0) =>为例： y px p （1）范围：．（2）对称性：． （3）顶点：．（4）开口方向：． 二、新授内容： 例1．根据下列条件求抛物线的标准方程． （1）焦点在y轴上，通径的长等于4；（2）过点P(2，－4)； （3）抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5．

例2．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p => 的准线分 别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB ?的面积为3，则p = ． 【变式拓展】抛物线2 2(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133 x y -=相交于,A B 两 点，若ABF ?为等边三角形，则p = ． 例3．如图所示，已知抛物线2 2(0)y px p =>的焦点恰好是椭圆22221x y a b +=的右焦点F ， 且两条曲线的交点连线也过焦点F ，求该椭圆的离心率． 【变式拓展】（1）已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求PA +PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标． *（2）已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点． ①求证：OA ⊥OB ； ②当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． 反思： x y F y 2=2px O

抛物线的简单几何性质(参赛教案)

抛物线的简单几何性质(参赛教案)

2.4.2 抛物线的简单几何性质 一、本节课内容分析与学情分析 1、教材的内容和地位 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版《数学》选修2—1第二章第四节的内容。它是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，是高中数学的重要内容。本节内容的学习，是对前面所学知识的深化、拓展和总结，可使学生对圆锥曲线形成一个系统的认识，同时也是一个培养学生数学思维和让学生体会数学思想的良好机会。 2、学生情况分析 在此内容之前，学生已经比较熟练的掌握了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质，以及研究问题的基本方法。本节课，学生有能力通过类比椭圆、双曲线的几何性质，结合抛物线的标准方程去探索抛物线的几何性质。可培养学生的自主学习能力和创新能力。 二、教学目标 1、知识与技能： （1）理解并掌握抛物线的几何性质。 （2）能够运用抛物线的方程探索抛物线的几何性质。 2、过程和方法： 注重对研究方法的思想渗透，掌握研究曲线性质的一般方法；培养运用数形结合思想解决问题的能力。 3、情感态度价值观： 通过对几何性质的探索活动，亲历知识的构建过程，使学生领悟其中所蕴含的数学思想，数学方法，体会新知识探索过程中带来的快乐和成就感。让学生养成自主学习，合作探究的习惯。 三、重难点分析

教学重点：探索和掌握抛物线的简单几何性质。 教学难点：抛物线的几何性质在各种条件下的灵活运用。 四、教法、学法分析 教法：本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法等教学方法。“以学生的活动为主线，将问题抛给学生，用问题启发学生思考和探索，让学生在参与问题的提出、讨论和解决过程中，达到掌握知识、提高能力的目的。 学法：结合我校学生的特点，本节课主要采用“类比——探索——应用——思考——再探索”的探究式学习方法，使学生在掌握知识，形成技能的同时，培养学生的理性思维能力，增强学生学习的自信心。 五、教学过程 *情景引入 前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据他们的标准方程，得到了它们的简单几何性质。上一节课，我们学习了抛物线的定义和标准方程，本节课，我们根据抛物线的标准方程来探索它的几何性质。 师生活动 【教师】开门见山点明本节要学内容。 【学生】思考前面如何由椭圆双曲线得到它们的相应的几何性质。 设计意图：通过类比前面所学的椭圆和双曲线，来得到抛物线的性质，来激发学生的学习兴趣，使学生快速进入课堂。 复习回顾抛物线的定义和标准方程。 师生活动 【教师】利用多媒体投影，引导学生回顾抛物线的定义和标准方程。 【学生】复习巩固抛物线的定义的标准方程，一名学生回答定义和标准方程。 设计意图：为后期的探索奠定基础，使学生坚定用方程探索性质的信念。 *新课讲授 类比椭圆和双曲线，以22(0)px p =>y 为例探索抛物线的简单几何性质，它的主要性质如下： （1）范围：0,x y R ≥∈ （2）对称性：关于x 轴对称

2.4.2 抛物线的几何性质(二)

2.4.2 抛物线的几何性质(二) 一、基础过关 1． 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 2． 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________． 3． 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正 向的夹角为60°，则OA 的长度为________． 4． 已知F 是抛物线y ＝14 x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是__________． 5． 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，灯口直径为60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是________ cm. 6． 点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22 ，则这样的点P 的个数为________． 7． 根据条件求抛物线的标准方程． (1)抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x ＋y ＋2＝0上； (2)抛物线的顶点在原点，焦点是圆x 2＋y 2－4x ＝0的圆心． 二、能力提升 8． 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3 ，则AB 与CD 的大小关系是____________． 9． 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆M ：(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是____． 10．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛 物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________. 11．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上．又知此抛物线上一点A (1，m )到焦点的距离为3. (1)求此抛物线的方程； (2)若此抛物线方程与直线y ＝kx －2相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值． 12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值； (2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 三、探究与拓展 13．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线与x 轴交点为Q ，过Q 点的直线l 交抛物线于A 、B 两点．

抛物线的简单几何性质习题一(附答案)

一、选择题 2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 3.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( ) A.y 2=11x B.y 2=-11x C.y 2=22x D.y 2=-22x 5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 二、填空题 6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程 是 . 7.若以曲线252x +16 2 y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜= . 8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 . 一、选择题 1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定 2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15 B.415 C.215 D.42 3.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称，但不关于y=x 对称 D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称 4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px - D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则 2 121x x y y 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p 2 D.-p 2 二、填空题 6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离

2.4.2抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质 【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；培养学生分析问题、解决问题的能力． 【教学重点】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程． 【教学难点】抛物线的性质及简单应用． 【教学过程】 一、引入： 1．抛物线定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l （F ?l ）的距离 的点的轨迹叫做抛物线；点 F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ． 2．标准方程、焦点、准线、图形（其中0>p ，表示焦点F 到准线l 的距离） 标准方程 抛物线的图形 焦点坐标 准线方程 开口方向 焦半径 )0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 3．抛物线的几何性质：以)0(2>=p px y 为例： （1）范围： ． （2）对称性： ． （3）顶点： ． （4）开口方向： ． 二、新授内容： 例1．根据下列条件求抛物线的标准方程． （1）焦点在y 轴上，通径的长等于4； （2）过点P (2，－4)； （3）抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5． 例2．已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准

x y F y 2=2px O 线分别交于B A ,两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB ?的面积为3， 则=p ． 【变式拓展】抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线与双曲线 13 32 2=-y x 相交于B A ,两点，若ABF ?为等边三角形，则=p ． 例3．如图所示，已知抛物线)0(22 >=p px y 的焦点恰好是椭圆122 22=+b y a x 的右焦点F ， 且两条曲线的交点连线也过焦点F ，求该椭圆的离心率． 【变式拓展】（1）已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点， 又有点A （3，2），求PA +PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标． （2）已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点． ①求证：OA ⊥OB ； ②当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． 三、课堂反馈： 1．若抛物线px y 22 =的焦点坐标为)0,1(，则=p ；准线方程为 ．

高二数学教案8.6抛物线的简单几何性质(一)

课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： “抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占 本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一

对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要 研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p 本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3 教学过程： 一、复习引入： 1．抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的

苏教版数学高二-选修2-1试题 2-4-2抛物线的几何性质

2．4.2 抛物线的几何性质 双基达标 限时15分钟 1．顶点在原点，焦点为F(32 ，0)的抛物线的标准方程是________． 解析 顶点在原点，焦点为F(32，0)的抛物线的标准方程可设为y 2＝2px(p>0)，且p 2＝32 ， 故p ＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝6x. 答案 y 2＝6x 2．抛物线x 2＝－4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，则AB ＝________． 解析 由抛物线方程x 2＝－4y 得p ＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A ，B 两点的纵坐标 都为－1，从而|AB|＝|y 1|＋|y 2|＋p ＝1＋1＋2＝4. 答案 4 3．焦点为F(0，－1)，准线为y ＝1的抛物线的标准方程是__________． 解析 焦点为F(0，－1)，准线为y ＝1的抛物线的标准方程可设为x 2＝－2py(p>0)，可 得p ＝2，因此，所求抛物线的标准方程为x 2＝－4y. 答案 x 2＝－4y 4．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是________． 解析 抛物线x 2＋12y ＝0，即x 2＝－12y ，故其准线方程是y ＝3. 答案 y ＝3 5．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为____． 解析 准线方程为y ＝－a 4，∴－a 4 ＝2，a ＝－8. 答案 －8 6．求合适下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4； (2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴． 解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p 2 ＝4，p ＝8.因此， 所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y.

高中数学抛物线的几何性质教案

抛物线的几何性质教学设计 1. 教学目标： (1)掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； (2)能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论； （3）在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。 2. 过程与方法 学会用类比的思想分析解决问题。 3. 情态与价值观 学生通过和椭圆，双曲线和抛物线之间的简单几何性质类比，了解到事物之间的普遍联系性。教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用 授课类型：新授课 教学方法：学导式，启发式 教学过程设计：

由抛物线y 2 =2px （p >0）有p y x 22= ，又 0>p 所以0≥x 所以抛物线在y 轴的右侧。 当x 增大时， 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。所以y 的取值范围是 R y ∈ 2．对称性 以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛 物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3.顶点 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当 时 ，因此抛物线的顶点就是坐标原点． 4.离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物 线的离心率，由抛物线的定义可知 标准方程 范围 对称性 顶点 离心率 y 2 = 2px （p >0） x ≥0 y ∈R x 轴 (0,0) 1 y 2 = -2px （p >0） x ≤0 y ∈R x 2 = 2py （p >0） y ≥0 x ∈R y 轴 x 2 = -2py （p >0） y ≤ 0 x ∈R 由此及彼，本表格由学生独立完成，锻炼学生 类比，独立自主的能力 y

3. 三种圆锥曲 线的简单几 何性质比较 学习新知识不忘老知识，比较着学习，总结归纳更容易让学生掌握本课内容。 4.经典例题 例１：已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ()22,2-M ，求它的标准方程。 解: 因为抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ( ) 22,2-M 。所以设方程为：y 2 = 2px （p >0） ，又因为点M 在抛物线上： () 22222 ?=-p ，2=p 。因此所求抛物线标准方程为： x y 42= 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m ≠0)),可避免讨论 例2.斜率为1的直线 经过抛物线 x y 42=的焦点F ，且与抛物线 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长。 分析：法一、直线和抛物线联立为方程组，求出两个交点A 、B ，然后用两点间的距离公式求 的长。 法二、设而不求，利用弦长公式来求 的长。 法三、设而不求，数形结合，利用定义来求 的长。 本题重在考试第三种方法。 如图：设 ()11,y x A ()22,y x B ，它们 出此题的主要 意图是巩固各位学生的基础。此题比较简单，便于各种水平不同的学生掌握。 此题主要是焦点弦问题，求的是焦点弦的弦长。同样很基础，但是方法三很恰当的把抛物线的定义给融合进去，利用定义解决此问题，凸显抛物线与椭圆。双曲线的不同 AB AB AB (). 1:,0,1,12, 2,-===x l F p p 准线焦点由题意可知解

《抛物线的简单几何性质》说课稿

《抛物线的简单几何性质》说课稿 教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上) 一.教学理念 “数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。 数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二.教材分析 1、本节教材的地位 本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。 本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。 2、教学目标 (1)知识目标： ⅰ抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率。. ⅱ抛物线的通径及画法。 (2)能力目标：. ⅰ使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。 ⅱ掌握抛物线的画法。 (3)情感目标： ⅰ培养学生数形结合及方程的思想。 ⅱ训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。 3、学生情况 我授课的学生是省级重点中学的学生,大部分学生数学基础较好,但理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。 4、教学重点、难点 教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。 难点是抛物线各个知识点的灵活应用。 三、教学方法及手段 采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。