与三角形有关的角
第2讲与三角形有关的角
一、知识重点
1．三角形内角和定理
(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法：
(3)理解与延伸：
因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．
(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．
谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛．
【例1】填空：
(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；
(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；
(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.
2．直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.
【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．
A．43°B．47°C．30°D．60°
.
答案：B
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．
【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．
．
3．三角形的外角
(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角．
(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．
②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．
破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．
【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.
4.三角形外角性质
(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或
∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.
(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；
②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．
析规律三角形外角的性质的理解①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形．
【例4】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.
5．三角形外角和
(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．
(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．
【例5】如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.
点评：同一顶点上的内、外角互为邻补角是内、外角关系转换的最基础的依据．
6.三角形内角和定理应用
三角形内角和定理是三角形中最重要的定理之一，是三角形中关于角度计算的基础，也是其他多边形求角度数问题必备的基础知识，目前它的应用方式主要表现在以下几个方面：
(1)已知两角求第三角
这是内角和定理最简单、直接的应用，一般是直接或间接给出三个内角中的两角，求第三角，比较简单，直接用180°减去两角度数得出，往往与考查角的单位换算相联系．
(2)已知三角的比例关系求各角
这类题目一般给出三个角的比例关系，通过设未知数列方程的方法求解，一般是设每一份为x度，用含未知数的式子分别表示出每一个角的度数，根据它们的和是180°列方程求解，然后再求出每一个角的度数．有时是通过求角的度数判断三角形的形状，但熟练后从比例关系中可以直接确定三角形的形状．
(3)已知三角之间相互关系求未知角
这类题目一般是已知各角之间的和、差、倍、分等的数量关系，通过等式变形，用一共同的角表示其他两角，然后根据内角和是180°列出等式，求出其中一角，然后再根据它们之间的数量关系分别求出另两角，有时也可以列方程(组)求角的度数．
解技巧利用三角形内角和求三角形的内角运用三角形内角和定理求角的度数题目形式多样，方法也不同，要根据实际灵活运用．
7．三角形外角性质的应用
外角性质应用：三角形外角性质是三角形角度计算中的重要定理，也是求角度运算中常用的定理．如图所示，∠1是△ABC的一个外角，在∠1，∠B，∠C三个角中，知道任意两个角就可以求出第三个角．
①∠1＝∠B＋∠C；
②∠B＝∠1－∠C；
③∠C＝∠1－∠B.
破疑点利用三角形外角的性质求一个角的方法因三角形外角的性质是由三角形内角和与邻补角定义推出的，所以用外角性质能进行的运算，用三角形内角和也能进行运算，但有外角时，应用外角性质更简便，所以要改变原来习惯用三角形内角和定理的思维定式，学会运用外角性质定理解决问题．
8．三角形内角和定理、外角性质、平行线性质综合运用
三角形内角和定理、外角性质定理都反映了角之间的数量关系，在求角度数问题中占有重要地位．同样平行线中也蕴含了大量的角之间的关系(两直线平行，内错角相等、同位角相等、同旁内角互补)，因此它们常常结合在一起，综合应用，通过角的等量转化，以求角的度数或证明角相等．
解技巧三角形内角和、外角性质的综合运用因为三角形的内角、外角以及形成的邻补角、对顶角等都是通过图形反映出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意观察图形，善于发现各角之间的位置关系，进而确定它们的大小关系．
【例6－1】在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.
【例6－2】已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C ＝__________.
【例6－3】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC是()．
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．任意三角形
【例6－4】锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B ＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α，∠β，∠γ这三个角中()．
A．没有锐角B．有1个锐角
C．有2个锐角D．有3个锐角
【例7】填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.
(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝__________°.
(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.
【例8－1】如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于()．
A．120°B．240°
C．300°D．360°
【例8－2】如图，a∥b，则下列式子中值为180°的是()．
A．∠α＋∠β－∠γB．∠α＋∠β＋∠γ
C．∠β＋∠γ－∠αD．∠α－∠β＋∠γ
9.运用三角形内角和定理判断三角形形状
判断三角形形状是三角形问题中经常遇到的题目，而判定三角形形状方法多样，其中运用三角形内角和定理求角，进而判断三角形形状是最常用的方法．
因为三角形按角分类可以分为三类：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，此外根据角的度数还能判定等腰三角形、等边三角形，因此根据三角形内角和定理求出三角形某些角的度数，不仅可以按角分类判断三角形的形状，还可以按边分类判断三角形的形状，进而了解边的大小关系．
解技巧利用三角形内角和确定三角形的形状运用三角形内角和定理求角判断三角形形状问题比求角度问题多一步判断，但不同点是：判断形状不是求出所有角，而是根据所给三角形各内角关系，求某些关键的角，一般是最大角，然后进行判断．【例9－1】一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是()．A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【例9－2】在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，试判断这个三角形的形状．
分析：根据∠A＝2∠B＝3∠C，可设∠A＝x°，那么∠B＝1
2x°，∠C＝
1
3x°，根据三角形
内角和是180°列方程求出x，再求出最大角的大小，即可判断出三角形的形状．10．角平分线的夹角与三角形内角关系的探究
根据三角形的内角和，三角形外角与内角的关系及角平分线的意义，可以探究有关角平分线的夹角问题．
(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点O，求∠BOC与∠A之间的关系．
结论：三角形两内角的平分线所夹的钝角等于90°加上第三角的一半，即∠BOC ＝90°＋1
2
∠A . (2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系
如图，在△ABC 中，BP ，CP 分别是△ABC 的外角∠DBC 和∠ECB 的平分线，试探究∠BPC 与∠A 的关系．
结论：三角形的两个外角的平分线所夹的锐角等于90°减去第三个角的一半，即∠BPC ＝90°－1
2
∠A .
(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系 如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，BE 是△ABC 的外角∠ABD 的平分线，试探究∠BEC 与∠A 的关系．
结论：三角形的一个内角平分线与外角平分线相交成的锐角等于第三个内角的一半，即
∠BEC ＝1
2
∠A .
【例10－1】 如图，已知△ABC ，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点O ，求∠BOC 与∠A 之间的关系．
分析：根据角平分线意义和三角形内角和定理，采用整体代入方法，由∠BOC ＝180°
－(∠OBC ＋∠OCB )，经过代换得，∠BOC ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－1
2
(∠ABC ＋
∠ACB )＝180°－1
2
(180°－∠A )，化简得出结论．
【例10－2】 如图，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的两条平分线，∠A ＝100°，则∠BOC 的度数是( )．
A ．80°
B ．90°
C ．120°
D ．140°
【例10－3】 如图所示，∠ABC 的平分线和△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D ，∠D ＝30°，∠A 的度数是__________；当∠D ＝__________时，∠A 的度数是90°.
11.与三角形有关的角的问题的一题多解
由于用三角形外角性质得到的结论都能用三角形内角和定理和邻补角定义推出，以及外角的多样性和求角度的方法多样性，因此这部分内容中的题目解法多样，很多题目解法都不唯一，例如：如图(1)是由平面上五个点A，B，C，D，E连接而成，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E的度数是多少？
由于每个角的度数都不知道，所以需要将五个角转化到同一个三角形中解决，解决此问题有多种方法，①如图(2)，连接BC，根据三角形内角和定理和对顶角相等，可将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△ABC中求解；②如图(3)，延长BD，交AC于F，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△COF中求解；③如图(4)，也可以延长CE交AB于G，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△BOG中求解；④向两方延长DE 也能构造出三角形求解．
【例11】如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC＝140°才合格，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？
二、综合练习
一、选择题
1．三角形的三个外角之比为2:3:4，则与之相应的三个内角之比为（ ） Ａ．2:3:4 Ｂ．4:3:2 Ｃ．5:3:1 Ｄ．1:3:5
2．如图4，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
Ａ．两点之间直线段最短 Ｂ．矩形的稳定性 Ｃ．矩形四个角都是直角 Ｄ．三角形的稳定性
3．如图5，1∠，2∠，3∠，4∠恒满足的关系式是（ ） Ａ．1234+=+∠∠∠∠ Ｂ．1243+=-∠∠∠∠ Ｃ．1423+=+∠∠∠∠ Ｄ．1423+=-∠∠∠∠
4．如图6，123456+++++∠∠∠∠∠∠等于（ ）
5．如图7，在ABC △中，D 是AB 上的一点，E 是AC 上一点，BE CD ，相交于F ，
70A = ∠，20ACD = ∠，28ABE = ∠，则CFE ∠的度数为（ ）
Ａ．62
Ｂ．68
Ｃ．78
Ｄ．90
6．如图2，以BC 为公共边的三角形的个数是（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5
7．若三条线段中3a =，5b =，c 为奇数，那么由a b c ，，为边组成的三角形共有（ ） Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．无数多个 Ｄ．无法确定 8．如果线段a b c ，，能组成三角形，那么它们的长度比可能是（ ） Ａ．1:2:4 Ｂ．1:3:4 Ｃ．3:4:7 Ｄ．2:3:4 9．不一定能构成三角形的一组线段的长度为（ ） Ａ．3，7，5
Ｂ．3x ，4x ，()50x x > Ｃ．5，5，()010a a <<
Ｄ．2
a ，2
b ，
10．已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样构造三角形，则最多能构成形状或
大小不同的三角形的个数是（ ） Ａ．5 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．10
二、填空题
11．如图1，ABC ∠的平分线交ACB ∠的平分线于l ，若60A =
∠，则BIC =∠_____．
12．一个三角形中最多有_____个内角是钝角，最多可有_____个角是锐角． 13．三角形两个外角的和等于第三个内角的4倍，则第三个内角等于_____． 14．如图2，A B C D E ++++=∠∠∠∠∠_____．
15．如图3，1234+++=∠∠∠∠_____．
16．两根木棒的长分别为7cm 和10cm ．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长x （cm ）的范围是______． 17．如图1，1234+++=∠∠∠∠______．
18．ABC △中，6a =，8b =，则周长P 的取值范围是______．
19．a b c ，，是ABC △中A ∠，B ∠，C ∠的对边，若4a λ=，3b λ=，14c =，则λ的取值范围是______．
20．若a b c ，，为ABC △的三边，则
a b c
a b c
---+______0（填“＞，＝，＜”）．
三、解答题
21． 已知，如图8，点D 是ABC △中AC 边上的一点，点E 是BC 边延长线上一点，说
明：ADB CDE >∠∠．
22． 已知，如图9，ABC △中，ABC ∠的平分线与ACE ∠的平分线交于D 点，若
80A = ∠，求D ∠的度数．
23． 如图10，已知折线ABCDE ，且360B C D ++=
∠∠∠．说明：AB CD ∥．
24．已知：如图3，AB CD ∥，45B =
∠，78BED =
∠，求D ∠的度数．
25．已知，如图4，AB CD ∥，EH AB ⊥，垂足为H ，若150=
∠，则E ∠为多少度？
26．已知，如图5，在ABC △中，O 是高AD 和BE 的交点，观察图形，试猜想C ∠和DOE ∠
之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．
与三角形有关的角测试题及答案
与三角形有关的角测试题 一、选择题 1、一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（） A．115°B．120° C．125°D．130° 2、如图，已知∠1=20°，∠2=25°∠A=35°，则∠BDC的度数为（） A．50°B．80° C．70°D．60° 3、已知如下图所示，△ABC， （1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则
（2）如图（2），若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A；（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则 上述说法正确的个数是（） A．0个B．1个 C．2个D．3个 4、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=（） A．100°B．200° C．280°D．300° 5、下列语句中，正确的是（） A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的一个外角等于它的两个内角 C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D．三角形的外角和为180° 6、如图所示，住宅小区呈三角形ABC形状，且周长为2000m，现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪，则草坪的面积（精确到1m）是（）
A ．6000m 2 B ．6016m 2 C ．6028m 2 D ．6036m 2 7、在△ABC 中，AD⊥BC 于D ，且AD 将∠BAC 分成的两个小角度分别为20°和50°，则此三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对 8、如图∠2＋α=180°，则下列式子中值为180°的是（ ） A ．α＋β＋γ B ．α＋β－γ C ．β＋γ－α D ．α－β＋γ 9、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=（ ） A ．150° B ．180°
练习-与三角形有关的角习题
与三角形有关的角习题 一、填空题 1．等腰三角形的一个内角是30°，那么这个三角形另两角的度数是_______． 2．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为40°和20°两个角，?那么∠A，∠B中较大的角的度数是_______． 3．一个三角形中，最多有_____个锐角，最少有_____个锐角，最多有_____钝角． 4．如图1，∠1=31°，∠2=52°，∠3=60°，则∠4的度数为______． 5．如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是_______． 6．如图3，△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，?BD?的延长线交AC于E，则∠ADE的度数是________． 7．如图4，五角星的五个角∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之和等于________． 8．一个非直角三角形ABC的∠A=55°，三条高所在直线交于点H，则∠BHC?的度数是________． 二、选择题 9．三角形的三个内角中（）
A．至少有一个是钝角B．至少有一个是直角 C．至少有两个是锐角D．至多有两个是锐角 10．具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A．∠A+∠B=∠C B．∠B=∠C=1 2 ∠A C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90° 11．在锐角三角形中，∠A>∠B>∠C，则下列结论中错误的是（） A．∠A>60°B．∠B>45°C．∠C<60°D．∠B+∠C<90° 12．如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A．30°B．36°C．45°D．70° 13．如图6，∠A=50°，BD，CD分别是∠B，∠C的平分线，则∠BDC等于（） A．65°B．100°C．115°D．130° 14．如果三角形三个内角度数的比是1：2：3，则这个三角形一定是（） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案：1．75°，75°或0°，120°2．70°3．3214．37°5．360?°?6．45°7．180°8．55°或125°9．C10．D11．D12．B13．C14．B
人教版初二数学与三角形有关的角教案
第十一章三角形 第一节：与三角形有关的角 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC. (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，
∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()． A．43°B．47°C．30°D．60° (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形． 【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．
(完整版)初一数学人教版(下册)与三角形有关的角练习题一(含答案)
与三角形有关的角课时练 第一课时721与三角形有关的内角 4. 如图所示，/ 1 + / 2+ / 3+ / 4的度数为( ) A100 ° B.180 ° C.360 ° 5. 如图所示，AB // CD, AD , BC 交于 0, / A=35 ° , / BOD=76 A. 31 ° B.35 ° C.41 ° D.76. 6. ______________________________________________________ 在△ ABC 中：(1)若/ A=80 °，/ B=60 °，则/ C= _________________________________ (2) 若/ A=50 °，/ B= / C ,则/ C= ____________ (3) 若/ A :/ B :/ C=1 : 2 : 3，则/ A= ____________ / B= ________ / C= _________ (4) 若/ A=80 °，/ B-/ C=40°，则/ C= ____________ 2.在△ ABC 亠卄 1 中，若 Z A= Z B=- 2 Z C ,则Z C 等于（ ) A.45 ° B.60 ° C.90° D.120 ° 3.一个三角形的内角中，至少有（ ) A 一个内角 B.两个内角 C. 一内钝角 D. 一个直角 D.无法确定 ，则/ C 的度数是（ A.75 ° B.60° C.65° D.55° 9.如图所示，AD 、AE 分别是△ ABC 的角平分线和高，若/ 求/ DAC 的度数. 第一课时答案: 1?在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸 片, 把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你 写 出这一定理的结论：三角形的三个内角和等于 _____________ ° B=5 0 °
八上数学《与三角形有关的角》练习题
八上《与三角形有关的角》练习题 1．△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________． 2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，则∠A=______度． 4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ） （1）最小内角是20°； （2）最大内角是100°； （3）最大内角是89°； （4）三个内角都是60°； （5）有两个内角都是80°． A ．（1）、（2）、（3）、（4） B ．（1）、（3）、（4）、（5） C ．（2）、（3）、（4）、（5） D ．（1）、（2）、（4）、（5） 5．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度． 6．三角形中最大的内角不能小于_______度， 最小的内角不能大于______度． 7．△ABC 中，∠A 是最小的角，∠B 是最大的角，且∠B=4∠A ，求∠B 的取值范围． 8．如图2，在△ABC 中，∠BAC=4∠ABC=4∠C ，BD ⊥AC 于D ， 求∠ABD 的度数． 综合创新作业 9．（综合题）如图3，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 10．（应用题）如图是一个大型模板，设计要求∠ADC=130°,现在 已测得∠A=40°，∠B=60°，∠C=100°。该模板是否合格？ 11．（创新题）如图，△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数． B A C D
初二数学经典习题 与三角形有关的角(提高)巩固练习
与三角形有关的角（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1. (湖北荆州)如图所示，一根直尺EF压在三角板30.的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M，N．那么∠CME+∠BNF是() A．150°B．180°C．135°D．不能确定 2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于() A．30°B．45°C．60°D．55° 3．下列语句中，正确的是() A．三角形的外角大于任何一个内角 B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和 C．三角形的外角中，至少有两个钝角 D．三角形的外角中，至少有一个钝角 4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定 5．如图，已知AB∥CD，则() A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3 C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠3 6.(福建漳州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝() A．140°B．130°C．110°D．70° 二、填空题 7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________． 8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．
(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________； (2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______； (3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______． 9.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________． 10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________． 11．(湖北鄂州)如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_______． 12.如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF. 若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）. 三、解答题 13.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 14．如图所示，BE与CD交于A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．
与三角形有关的角
第2讲与三角形有关的角 一、知识重点 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法： (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°. 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()． A．43°B．47°C．30°D．60° .
答案：B (2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形． 如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形． 【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形． ． 3．三角形的外角 (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD 就是△ABC其中的一个外角． (2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带． ②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示． 破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意． 【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________. 4.三角形外角性质 (1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或
与三角形有关的角 教案
与三角形有关的角 11.2.1三角形的内角 学习目标： 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 学习重点： 三角形内角和定理。 学习难点: 三角形内角和定理的推理的过程 课前预习 预习课本P11-14及课后练习（课前完成） 三角的内角和多少？直角三角形两个锐和为多少？ 课内探究 让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出的度数，可得到 2、剪下，按图（2）拼在一起，从而还可得到 3、把和剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量的度数，会得到什么结果。 4、如果我们不用剪、拼的办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？已知 ，说明，结合图（1）、图（2）、图（3）能不能用图（4）也可以说明这个结论成立。你还有几种方法？ 【拓展延伸】 1、如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BOC=120°，则∠A= .
2、如图，AD 、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= . 3、如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度. 4、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= . 当 堂 检 测 1、⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。 （1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。 （3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。 （4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。 （5）你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗？ 2、如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF = 度。 3、如图,已知D为△ABC边BC延长线上一点,DF⊥AB于F交 AC于E,∠A=35°,∠D=42°,求∠ACD的度数. 课后反思 F D C B E A 第3题图 F E D C B A
八年级上册数学《三角形》与三角形有关的角-知识点整
与三角形有关的角 一、本节学习指导 本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题． 二、知识要点 １、三角形内角 （１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°． 由三角形内角和定理可得： ①直角三角形的两个锐角互余. ②有两个角互余是三角形是直角三角形. （２）作用： 在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用． 三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来． 如几种常见的证明思路： 思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．
因为AB∥CD（已知）， 所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），
与三角形有关的角知识点归纳
6x Ｂ Ｄ Ａ 第(3)题 第(4) 与三角形有关的角知识点归纳 知识点篇: 知识点一：三角形的内角和定理:三角形内角和为180° 知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 基础篇: (1)在△ABC 中，若7836A '∠=o ，5724B '∠=o ，则C ∠= ． (2) 在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是 ． (3)如图，在Rt ADB △中，90D ∠=o ，C 为AD 上一点，则x 可能是 （ ） Ａ.10o Ｂ20o Ｃ.30o Ｄ40o (4)如图， 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一点P ， 若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ） （A ）150° （B ）130°（C ）120°（D ）100° (5)四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） （A ）80° （B ）90°（C ）170°（D ）20° (6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 方法篇: A.注意方程思想的应用 例题1．已知△ABC 中, (1)∠A=20°,∠B －∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°. B β 2β 3β
有关三角形知识点
一、有关角的： 知识点1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180 知识点2：三角形外角性质：1）. 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2）. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3）. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4）. 三角形的外角和等于360°。 二、重要的线 1.三角形的角平分线：一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边中点（角平分 线上的点到角两边的距离相等）； 2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段； 3.三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。 4、锐角三角形的三条高在三角形的内部，垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条 直角边重合，垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 5.线段的垂直平分线： 6、角平分线的的性质： 7、中位线： 8、直角三角形斜边上的中线： 三：重要的三角形的角与线 1、直角三角形： 2、等腰三角形：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 3、等边三角形： 四：重要的定理 1、重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心. 2、外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.
3、垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心. 4、内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心. 5、旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心． 三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点． 6、中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 7、三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8、三角形面积计算公式S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 9、勾股定理： 10、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 11、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） （注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）
八年级数学上册 《与三角形有关的角》说课稿
八年级数学上 与三角形有关的角说课稿 尊敬的各位评委、老师： 你们好！ 今天我说课的课题是《与三角形有关的角》，下面我将从六个方面进行说课。 一、说教材 1、教材分析 本节课是在学生学习了“与三角形有关的线段”之后，由线至面进一步研究三角形的角。本节知识不仅是对前面“角”知识的升华与综合运用，也是研究多边形中角的问题的基础。 2、教学目标分析 根据新课标的要求及八年级学生的认知水平，我确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标： 发现并证明三角形内角和定理，使学生体验合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辨证关系，进一步体会证明的必要性。 （2）过程与方法目标： 经历“猜想验证—逻辑证明—应用拓广—归纳概括”的探究过程，使学生体会命题研究的一般方法，进而提升学生的数学推理能力和推理意识。 （3）情感、态度与价值观目标：引导学生通过小组合作学习，培养动手实践、合作交流和语言表达的能力，丰富与人交往的经历和体验。 3、教学重难点分析 重点：三角形内角和定理； 难点：三角形内角和定理的证明； 二、说教法
本节课结合七年级学生的理解能力、思维特征和依赖直观图形学习数学的年龄特征，采用多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化、具体化。在教学中采用启发式、师生互动式等方法，充分发挥学生的主动性、积极性，特别是用拼图法探索三角形内角和是180°的证明方法，教师采用点拨的方法，启发学生主动思考，尝试用多种方法来证明这个结论，使整个课堂生动有趣，极大限度地培养了学生观察问题、发现问题、归纳问题的能力和一题多解，一题多法的创新能力，使课本知识成为学生自己的知识。 三、说学法 课堂中逐步设置疑问，让学生动手、动脑、动口，积极参与知识学习的全过程，渗透多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研的研讨式学习方法，培养学生学习数学的兴趣，给学生提供更多的活动机会和空间，使学生在参与的过程中得到充足的体验和发展。 四、说教学过程 【环节一】复习回顾，导入新课 1、在本上画一个任意三角形。 2、和同桌交流你前面学习了哪些三角形中的线段？三角形的角有怎样的性质？ 设计意图：设计操作活动回顾旧知识，并将操作活动与学生的思维活动、语言表达有机结合，实现数学思考的内化，避免了传统的问答式回顾、参与人数少、顾及不到各层面学生、用时较多等问题。 【环节二】猜想发现Array 1、三角形内角和是多少度？ 2、你能用实验的方法来验证 你的猜想吗？ 拼图实验，分两步完成。 第一步：我先示范图（1）的拼法，分析拼图，发现三角形内角和； 第二步：每个学生把课前准备好的三角形纸片的两个内角剪下， 和第三个内角拼在一起。学生展示自己的拼法。
《与三角形有关的角》教案
第十一章三角形 11．2 与三角形有关的角 11．2.1 三角形的内角 【出示目标】 1．会阐述三角形内角和定理． 2．会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)． 3．能通过动手实践去验证三角形的内角和定理． 【预习导学】 自学指导：阅读教材第P11—14，回答下列问题 1．三角形的内角和等于__180°__. 2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__50°__. 3．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为__20°、60°、100°__. 4．若△ABC中，∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为__直角__三角形． 【自学反馈】 1．△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形 【教师点拨】利用三角形的内角和是180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，又因为∠A＋∠B ＝∠C，等量代换得到2∠C＝180°，从而得出∠C＝90°，所以选B. 2．一个三角形至少有(B) A．一个锐角B．两个锐角 C．一个钝角D．一个直角 【教师点拨】用假设进行反证，与三角形的内角和定理相矛盾的选项排除，剩下正确答案． 3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(C) A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去 【教师点拨】延长第③块中的三角形的两个内角边长，使其相交，就可以确定原三角形的形状． 【合作探究】 活动1揭示三角形的内角和 1．幻灯片出示：解释“什么是三角形的内角”，并通过“内角三兄弟之争”的数学故事
与三角形有关的角测试题及答案-(1)
] 与三角形有关的角测试题 一、选择题 1、一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（） A．115° B．120° C．125° D．130° 2、如图，已知∠1=20°，∠2=25°∠A=35°，则∠BDC的度数为（） @ A．50° B．80° C．70° D．60° 3、已知如下图所示，△ABC，
（1）如图（1），若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则 （2）如图（2），若P 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A ； （3）如图（3），若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则 《 上述说法正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=（ ） A ．100° B ．200° C ．280° D ．300° 5、下列语句中，正确的是（ ） ; A ．三角形的外角大于它的内角 B ．三角形的一个外角等于它的两个内角
C ．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D ．三角形的外角和为180° 6、如图所示，住宅小区呈三角形ABC 形状，且周长为2000m ，现规划沿小区周围铺上宽为3m 的草坪，则草坪的面积（精确到1m ）是（ ） A ．6000m 2 B ．6016m 2 C ．6028m 2 D ．6036m 2 ; 7、在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD 将∠BAC 分成的两个小角度分别为20°和50°，则此三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对 8、如图∠2＋α=180°，则下列式子中值为180°的是（ ） A ．α＋β＋γ B ．α＋β－γ C ．β＋γ－α D ．α－β＋γ
11.2 与三角形有关的角
第2讲与三角形有关的角（11.2） 一、知识重点 1．三角形内角和定理 (1)定理：三角形三个内角的和等于180°. (2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC. (3)理解与延伸： 因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等． (4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数． 谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛． 【例1】填空： (1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°； (2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°； (3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°. 解析：(1)三角形内角和为180°，已知两角求第三角； (2)可设∠C＝x°，那么x＋x＋80＝180，求出x＝50.所以∠C＝50°； (3)设每一份为x，得2x＋3x＋5x＝180，求得x＝18，所以∠B＝54°，∠C＝90°. 答案：(1)80(2)50(3)5490 2．直角三角形的性质与判定 (1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°. 【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．
与三角形有关的角
第２讲与三角形有关得角 一、知识重点 1.三角形内角与定理 (1)定理:三角形三个内角得与等于180°。 (2)证明方法: (3)理解与延伸: 因为三角形内角与为１80°,所以延伸出三角形中很多得角得特定关系如:①一个三角形中最多只有一个钝角或直角;②一个三角形中最少有一个角不小于6０°;③直角三角形两锐角互余;④等边三角形每个角都就是60°等. (4)作用:已知两角求第三角或已知三角关系求角得度数、 谈重点三角形内角与定理得理解三角形内角与定理就是最重要得定理之一,就是求角得度数问题中最基础得定理,应用非常广泛. 【例1】填空: (1)在△ABC中,若∠A=８0°,∠Ｃ=２０°,则∠B=_＿＿＿＿__＿_＿°; (2)若∠A=８０°,∠B=∠C,则∠C=＿________＿°; (3)已知△ABＣ得三个内角得度数之比∠Ａ∶∠B∶∠C＝２∶3∶5,则∠B=____＿____＿°,∠C=___＿＿_＿___°。 2、直角三角形得性质与判定 (１)直角三角形得性质:直角三角形得两个锐角互余、 如图所示,在Rt△ABＣ中,如果∠C=９０°,那么∠A＋∠B＝90°、 【例2—1】将一个直角三角板与一把直尺如图放置,如果∠α＝43°,则∠β得度数就是(). A.43°?Ｂ.4７°??C。30°?Ｄ、60° 。 答案:B (2)直角三角形得判定:有两个角互余得三角形就是直角三角形. 如图所示,在△ＡBC中,如果∠A+∠B＝90°,那么∠C＝90°,即△AＢC就是直角三角形. 【例2－2】如图所示,AB∥ＣD,直线EF分别交AB,CD于点E,Ｆ,∠BＥＦ得平分线与∠ＤFE得平分线相交于点P,求证:△EＰF就是直角三角形、 。 3.三角形得外角 (１)定义:三角形得一边与另一边得延长线组成得角,叫做三角形得外角.如图,∠ＡCＤ就就是△ABC其中得一个外角. (2)特点:①三角形得一个外角与与它同顶点得内角互为邻补角,这就是内、外角联系得纽带、 ②一个三角形有６个外角,其中两两互为对顶角,如图所示. 破疑点三角形外角得理解外角就是相对于内角而言得,也就是三角形中重要得角,一个角对一个三角形来说就是外角,而对于另一个三角形来说可能就是内角;三角形得角就是指得三角形得内角,这点要注意. 【例3】在△ＡＢC中,∠A等于与它相邻得外角得四分之一,这个外角等于∠B得两倍,那么∠Ａ=____＿＿_＿__,∠B＝_______＿＿_,∠C＝__＿_＿_＿___、
04与三角形有关的角(基础) 知识讲解
与三角形有关的角（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角 1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边； ③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 3.三角形的外角和：
与三角形有关的角知识点梳理1
（例 2） （例1） 知识点1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于1800 。 三角形的内角和定理一般有三个用途，一是已知三角形中的两个角用来求第三个角，二是已知三角形的一个角，用来求另两个角的和。三是已知各角之间关系，求各角。 例1 如图：AD 、CE 都是△ABC 的高，∠BAC=700 ∠ACB=500 求∠AFC 的度数 分析：由已知∠BAC=700 ∠ACB=500可知∠B=600， AD 、CE 都是△ABC 的高可得四个900 角，观察∠AFC 与三个已知角并无直接数量关系，因此查看与它有关的对顶角或邻补角。由图可知，欲求∠AFC 可先求其邻补角∠CFD ，∠CFD 在△CFD 中，欲求∠CFD 可先求出∠FDC 与∠FCD ，易得 ∠FDC=900 而∠FCD 在△ECB 中，所以，欲求∠FCD 可先求出∠B 与∠CEB ， 而两角度数已证出。此题得解。 解：∵∠BAC=700 ∠ACB=500 ∴∠B=1800 -∠BAC-∠ACB=1800-700-500=600，∵AD 、CE 都是△ABC 的高∴∠ADC=∠CEB=900 ∴ ∠ECB=1800-∠B-∠CEB=1800-600-900=300，∴∠CFD=1800 -∠FCD-∠ ADC=1800-300-900=600，∴∠AFC=1800-∠CFD=1800-600=1200 注：如有已知角，应注意查看其是否在同一个三角形中。 例2 如图：BD ，CD 都是△ABC 的角平分线，∠A=600 求∠D ∵∠A=600 ∴∠ABC+∠ACB=1800-∠A=1800-600=1200 ∵BD ，CD 都是△ ABC 的角平分线 ∴∠1= ∠ABC ∠2= ∠ACB ∴∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB)= ×1200=600 ∴∠D=1800 -(∠ 1+∠2)=1800-600=120 注：若三角形中只已知一个角，可用来表示出另两个角的和，再观察一下是否可用整体求值法。一般此类题中会有角平分线条件 例3 在△ABC 中，⑴若∠A=800 ∠B=∠C 则∠B= ⑵若∠A -∠C=350 ∠B-∠A =200 则∠B= ⑶若∠A= 31∠B=5 1 ∠C 则∠A= ∠B= ∠C= 分析：题中都分别给出了三角之间的数量关系式，解此类题一 定不要忘记还有一个隐含的关系式∠A+∠B+∠C=1800 ，将题中给出的 关系式加上隐含的关系式一起分析、变形得到要求的角。1）∵∠A=800 ∠A+∠B+∠C=1800 ∴ ∠B+∠C=1000 又∵∠B=∠C ∴2∠B=1000 ∴∠B=500 2）∵∠A-∠C=350 ∠B-∠A=200 ∴ ∠C=∠A -350 ∠B=200 +∠A 又∵∠A+∠B+∠C=1800 ∴∠A+（200 +∠A ）+（∠A -350）=1800 解得∠A=650 ∴∠B=850 ∠C=300 3）∵∠A= 31∠B=5 1 ∠C ∴∠B=3∠A ∠C=5∠A 又∵∠A+∠B+∠C=1800 ∴∠A+3∠A+5∠A=1800 解得：∠A=200 ∴∠B=600 ∠C=1000 知识点2 三角形的外角 1）三角形的外角与它相邻的内角互为邻补角。2）三角形的外角等于与它不邻的两个内角之和 3）三角形的外角大于与它不相邻的任何一个外角。4）三 角形的外角和等于3600 例1如图：P 是△ABC 内部任意一点，求证：∠BPC >∠A 分析：如要证两个角的不相等关系，应该考虑用三角形外角性质，具体说，在图中查看大角是否为某三角形的外角，如果不是，则用辅助线构造其成为外角。 证明：延长BP 交AC 于点D ，∵∠BPC 是△PDC 的外角 ∴∠BPC >∠PDC ∵∠PDC 是△ABD 的外角 ∴∠PDC >∠A ∴∠BPC >∠A 2121212 1
[初中数学]与三角形有关的角教案 人教版
《与三角形有关的角》教案 从容说课 三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用．又因为三角形是多边形的一种，而且是最简单的多边形．在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们．因此对三角形性质的研究就显得十分重要． 在小学已学习过三角形的内角的有关知识，知道三角形的内角和为180°，?但是为什么是180°而不去研究．?在这里要求学生掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明．在证明过程中通过一题多解、一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展；由内角中的等量关系和外角中的不等关系，让学生体会相等与不等关系的简单证明．引导学生从内和外，相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考． 在教学中，首先让学生动手操作，把三角形的三个内角拼合在一起，探索它们的和及其原因，然后互相交流各自的想法，并归纳总结出结论．再寻求多渠道、不同途径的解决问题的方法，使学生经历实验─思考─交流─总结─运用的过程．让他们不仅掌握知识点，还要知道为什么、做什么用，使学到的数学知识与实际生活联系起来．避免了数学的枯燥无味和脱离实际的现象，使数学真正运用到实际中去． 7．2．1 三角形的内角 7．2．2 三角形的外角 教学设计 三维目标 1．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单运用． 2．掌握三角形的外角的定义，三角形内角和定理的两个推论及其证明． 3．体会几何中不等关系的简单证明． 4．通过探索“三角形内角和定理”及其推论，?培养学生的探索能力和实践操作能力． 5．在学习了三角形的内角和外角后，能运用所学知识解决简单的问题，?训练学生对所学知识的运用能力．
与三角形有关的角知识点总结与经典练习
A B C O A B C D A B C D (1)(2)(3)A B C O B (1)A B C O A B C D A B (1)(2) 与三角形有关的角知识点总结与经典练习 知识点一：三角形内角和定理 定理：三角形三个内角的和等于180°． 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角． ②在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角． ③三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角． 知识点二：直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 知识点三：三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 三角形的外角和为360度． 三角形的外角最少两个钝角． 例1： （1）如图，已知△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，试求∠BOC 与∠A 之间的关系。 （2）如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别是∠ABC 、∠ACB 的外角平分线，试求∠D 与∠A 之间的关系。 （3）如图，已知BD 为∠ABC 的角平分线，CD 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，且与BD 交于点D ，试求∠A 与∠ D 之间的关系。
A B C D E F H G C A B D E F 如图，△ABC 中，角平分线AD 、BE 、CF 相交于点H ，过H 点作HG ⊥AC ，垂足为G ，试说明∠AHE ＝∠CHG 例3： 如图，BE 平分∠ABD 交CD 于F ，CE 平分∠ACD 交AB 于G ，AB 、CD 交于点O ，试探究∠E 与∠A 、∠D 之间的关系 例4： 如图，△ABC 中，∠A=40°,∠B=72°,CE 平分∠ACB，CD⊥AB 于D,DF⊥CE 于F,求∠CDF 的度数． 例5： ①如图,求∠M+∠N+∠K+∠G+∠H=__________．。 ②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠ F=__________．