华师大版一元二次方程的解法教案

一元二次方程的解法

【学习目标】

1．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法

解简单的数字系数的一元二次方程．

2．理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两

者之间相互比较和转化的思想方法．

3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的

实际意义，检验所得的结果是否合理．

【基础知识精讲】

1．一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，

b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，

b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可

以化为a x 2=或

b )a x (2=-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所

以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．

(3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半

的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来

解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，

2

2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项

系数是1．

(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、

c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方

程的一般步骤：

①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；

②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；

③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；

④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等

的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac

4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2

=++的根的判别式．

△>0?方程有两个不相等的实数根．

△＝0?方程有两个相等的实数根．

△<0?方程没有实数根．

判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

3．韦达定理及其应用

定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=?-=+，．

当a ＝1时，c x x b x x 2121=?-=+，．

应用：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；

(4)已知两数和与积求两数．

4．一元二次方程的应用

(1)面积问题；

(2)数字问题；

(3)平均增长率问题．

步骤：

①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；

②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

③找出相等关系，并用它列出方程；

④解方程求出题中未知数的值；

⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．

这里关键性的步骤是②和③．

注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际

问题的意义．

【经典例题精讲】

例1 解方程025x 2

=-．

分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．

解：025x 2=-， 25x 2=，

25x ±=，x ＝±5．

∴5x 5x 21-==，．

例2 解方程2)3x (2=+．

分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了．

解：2)3x (2=+，

23x ±=+，

23x 23x -=+=+，或， ∴23x 23x 21--=+-=，．

例3 解方程081)2x (42

=--．

分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法

较好．

解：

081)2x (42=-- 整理，81)2x (42=-， 481)2x (2=

-， 292x ±

=-， ∴

25x 213x 21-==，．

注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；

若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．

例4 解方程02x 3x 2=+-．

分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．

解法一：

02x 3x 2=+-，

(x －2)(x －1)＝0，

x －2＝0，x －1＝0，

∴2x 1x 21==，．

解法二：

∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，

∴

01214)3(ac 4b 22>=??--=-， ∴21

3x ±=．

∴1x 2x 21==，．

注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，

先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．

例5 解关于x 的方程

0n )n m 2x 3(m x 22=-+--． 分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2

≥-的情况下，

利用公式法求解．

解：把原方程左边展开，整理，得

0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．

∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=， ∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--??--=-

22n 4mn 4m ++=

0)n 2m (2≥+=． ∴2)n 2m (m 3x 2

++=

2)

n 2m (m 3+±=．

∴n m x n m 2x 21-=+=，．

注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2

-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；

(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相

混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，

)n 2m ()n 2m (2+±=+±．

例6 用配方法解方程x 73x 22=+．

分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身

重要，要记住．

解：x 73x 22=+，

023x 27x 2=+-

， 0234747x 27x 22=+??? ??-??? ??+-2，

162547x 2

=??? ??-， ∴4547x ±=-． ∴

21

x 3x 21=

=，． 注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，

左边就配成了一个二项式的完全平方．

例7 不解方程，判别下列方程的根的情况：

(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)

0x 7)1x (52=-+． 分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=?的值的

符号就可以了．

解：

(1)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4， ∴041)4(243ac 4b 2

2>=-??-=-．

∴方程有两个不相等的实数根．

(2)∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9，

∴09164)24(ac 4b 22=??--=-． ∴方程有两个相等的实数解．

(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+，

05x 7x 52=+-．

∵a ＝4，b ＝－7，c ＝5，

∴554)7(ac 4b 22??--=-

＝49－100

＝－51<0．

∴方程无实数解．

注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．

例8 已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．

分析：根据韦达定理

a c x x a

b x x 2121=?-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，

再求出方程的另一根．但方法不如第一种．

解：设另一根为2x ，则

56x 25k x 222-=?-=+，， ∴53

x 2-=，k ＝－7． 即方程的另一根为53

-，k 的值为－7．

注意：一元二次方程的两根之和为

a b -，两根之积为a c ．

例9 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的

(1)平方和；(2)倒数和．

分析：已知

21x x 23x x 2121-=?-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+， 关键是把

2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ?+、的式子． 因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即

ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可

用两数和与积表示两数的倒数和．

解：

(1)∵

21x x 23x x 2121-=?-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+

??? ??--??? ??-=212232

149+=

413=； (2)211221

x x x x x 1x 1+=+

212

3

--

= ＝3．

注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、

倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．

例10 已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．

分析：已知34x x 2m x x 2x x 2

2212121=+=?-=+，，，求m 就要在上面三个式子

中设法用

222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出． 解：设方程的两根为21x x 、，则

2m

x x 2x x 2121=?-=+，．

∵

212212221x x 2)x x (x x -+=+， ∴

)x x ()x x (x x 2222122121+-+= 34)2(2--=

＝－30． ∵

2m x x 21=， ∴m ＝－30．

注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得

m 的值．

例11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．

分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形

式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=?-=+，．将p 、

q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=?++-．

解：设所求的方程为0q px x 2=++．

∵2＋10＝－p ，2×10＝q ，

∴p ＝－12，q ＝20．

∴所求的方程为020x 12x 2=+-．

注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一

个．

例12 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．

分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出

它的根，即是这两个数．

解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．

∵q x x p 8x x 2121=?-==+，，

∴方程为09x 8x 2=+-． 解这个方程得74x 74x 21-=+=，， ∴这两个数为7474-+和．

例13 如图22-2-1，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为

2m 540，那么道路的宽度应是多少？

分析：设道路的宽度为x m ，则两条道路的面积和为2

x x 20x 32-+．

题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．

解：设道路的宽度为x m ，则

2032x x 20x 325402?=-++．

0100x 52x 2=+-， (x －2)(x －50)＝0，

x －2＝0，x －50＝0，

∴50x 2x 21==，．

∵x ＝50不合题意，

∴取x ＝2．

答：道路的宽度为2m ．

注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为2x ．因此计算两条道路的面

积和时应减去重合面积2x ．

例14 某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，

求这两个月平均每月增长的百分率是多少？

分析：设平均每月增长的百分率为x ，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，

增长两次后的产量是2

)x 1(5000+，…．增长n 次后的产量b 是

n )x 1(5000b +=．

这就是重要的增长率公式．

解：设平均每月增长的百分率为x ．则

7200)x 1(50002=+，

2536)x 1(2=

+， 56

x 1±=+，

∴22x 20x 21.，.-==(不合题意，舍去)．

答：平均每月增长的百分率是20%．

注意：解方程时，由1＋x 的值求x ，并舍去负值．

【中考考点】

一元二次方程是初中代数的重要内容，因此，它是历年来各地中考的必考内容．可单独命题，也常与函数、四边形、圆等知识点综合在一起考查．

例15 (2003·济南市)已知方程组???=+=++-②①

01y -x 022a y x 的两个解为???==???==2211y y x x y y x x 和，且21x x 、是两个不相等的实数，若

11a 6a 8x x 3x x 2212

221--=-+，

(1)求a 的值；

(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都为正数，为什么？

分析：21x x 、是方程组中x 的两个解，故应首先消去y ，得到关于x 的方程．再

根据根的判别式及根与系数的关系可得解．

解：(1)由②得y ＝x ＋1，代入①整理，

得01a x x 2

=++-．

∵方程有两个不相等的实数根，

∴0)1a (4)1(2>+--=?， 43

a -<．

又∵1a x x 1x x 2121+=?=+，，代入11a 6a 8x x 3x x 2212221--=-+，

得11a 6a 8x x 5)x x (221221--=-+．

整理，得07a a 82=--． 解得

87a 1a 21-==，． 而

43a -

<，

∴87

a -=．

(2)∵0811a x x 01x x 2121>=

+=?>=+，， ∴0x 0x 21>>，．

且01x y 01x y 2211>+=>+=，，

∴存在方程组的两个解都是正数．

注意：数学的转化思想，本题就是将方程组的问题转化为一元二次方程的问题．

例16 (2003·深圳)已知一元二次方程06x 3x 22=--有两个实数根21x x 、，

直线l 经过点A(21x x +，0)，B(0，21x x )，则直线l 的解析式为( )

A ．y ＝2x －3

B ．y ＝2x ＋3

C ．y ＝－2x ＋3

D ．y ＝－2x －3

分析：本题重点考查一元二次方程根与系数的关系以及用待定系数法求直线的解析式，先求21x x +与21x x ?的值，再求直线解析式．

解：∵3x x 23x x 2121-=?=+，， ∴??? ?

?0 23A ，，B(0，－3)． 将A 、B 代入y ＝kx ＋b 中，得

?????+=-+=b 03b k 230，

∴???-==3b 2k ．

∴直线l 的解析式为y ＝2x －3．

故选A ．

【常见错误分析】

例17 已知关于x 的方程0m x )1m 2(mx 2

=++-有两个实数根，则m 的取值

范围是__________．

错解：要使方程有两个实数根△≥0，

∴0m m 4)]1m 2([2≥?-+-， 4m ＋1≥0，41

m -≥．

∴m 的取值范围是

41m -≥．

误区分析：要保证方程为一元二次方程，即要考虑二次项系数m ≠0，而上述解法只考虑△≥0，而忽视了m ≠0．

正解：要使方程有两个实数根，需满足

???≥?≠00m ，

∴0m m 4)]1m 2([2≥?-+-=?，

4m ＋1≥0， 41

m -≥．

∴m 的取值范围是

41

m -≥，且m ≠0．

例18 如果方程0q px x 2

=+-的两个根和2和－3，求p ，q ．

错解：根据根与系数的关系

2＋(－3)＝－p ，2×(－3)＝q ，

故p ＝1，q ＝－6．

误区分析：若方程0c bx x 2=++的两根为21x x ，，根据根与系数的关系b x x 21-=+，而题中2＋(－3)应为－(－p)，因题中的b 为－p ，－b 就为－(－p)．错解原因是将两根之和等于b 了．

正解：根据根与系数的关系

2＋(－3)＝－(－p)，2×(－3)＝q ，

∴p ＝－1，q ＝－6．

【学习方法指导】

本节知识是初中数学的重要内容，也是以后进一步学习和研究函数及四边形、圆的基础，要熟练掌握好．要重视一元二次方程四种解法的探索过程．其中的配方法虽然在解方程中很少直接用，但配方、比较、转化等思想方法，及其所渗透的思维多向性都有助于我们思维能力的培养，不能因为解方程很少用

而忽视它．

【规律总结】

1．一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，

b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可

以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解．

(2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所

以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．

(3)配方法：任何一个形如bx x 2

+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来

解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2

2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项

系数是1．

(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、

c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方

程的一般步骤：

①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2

=++(a ≠0)的形式；

②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；

③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；

④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根． 说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等

的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac

4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2

=++的根的判别式．

△>0?方程有两个不相等的实数根．

△＝0?方程有两个相等的实数根．

△<0?方程没有实数根．

判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

3．韦达定理及其应用

定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a c x x a b x x 2121=?-=+，．

当a ＝1时，c x x b x x 2121=?-=+，．

应用：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；

(4)已知两数和与积求两数．

4．一元二次方程的应用

(1)面积问题；

(2)数字问题；

(3)平均增长率问题．

步骤：

①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；

②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

③找出相等关系，并用它列出方程；

④解方程求出题中未知数的值；

⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．

这里关键性的步骤是②和③．

注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际

问题的意义．

【同步达纲练习】

一、填空题

1．方程3)5x (2=+的解是_____________．

2．已知方程02x 7ax 2=-+的一个根是－2，那么a 的值是_____________，

方程的另一根是_____________．

3．如果5x 2x 41x 222--+与互为相反数，则x 的值为_____________．

4．已知5和2分别是方程0n mx x 2

=++的两个根，则mn 的值是

_____________．

5．方程02x 3x 42=+-的根的判别式△＝_____________，它的根的情况是

_____________．

6．已知方程01mx x 22=++的判别式的值是16，则m ＝_____________． 7．方程01k x )6k (x 92=+++-有两个相等的实数根，则k ＝_____________．

8．如果关于x 的方程0c x 5x 2

=++没有实数根，则c 的取值范围是

_____________．

9．长方形的长比宽多2cm ，面积为2

cm 48，则它的周长是_____________．

10．某小商店今年一月营业额为5000元，三月份上升到7200元，平均每

月增长的百分率为_____________．

二、选择题

11．方程0x x 2=+的解是( )

A ．x ＝±1

B ．x ＝0

C ．1x 0x 21-==，

D ．x ＝1 12．关于x 的一元二次方程01x 6kx 2=+-有两个不相等的实数根，则k 的

取值范围是( )

A ．k>9

B ．k<9

C ．k ≤9，且k ≠0

D ．k<9，且k ≠0

13．把方程084x 8x 2=--化成n )m x (2=+的形式得( )

A ．100)4x (2=-

B ．100)16x (2=-

C ．84)4x (2=-

D ．84)16x (2=-

14．用下列哪种方法解方程4x 2)2x (32-=-比较简便( )

A ．直接开平方法

B ．配方法

C ．公式法

D ．因式分解法

15．已知方程(x ＋y)(1－x －y)＋6＝0，那么x ＋y 的值是( )

A ．2

B ．3

C ．－2或3

D ．－3或2

16．下列关于x 的方程中，没有实数根的是( )

A ．02x 4x 32=-+

B ．x 65x 22=+

C ．02x 62x 32=+-

D ．01mx x 22=-+

17．已知方程0q px x 22=++的两根之和为4，两根之积为－3，则p 和q 的

值为( )

A ．p ＝8，q ＝－6

B ．p ＝－4，q ＝－3

C ．p ＝－3，q ＝4

D ．p ＝－8，q ＝－6

18．若53+-是方程04kx x 2=++的一个根，则另一根和k 的值为( )

A ．53x --=，k ＝－6

B ．53x --=，k ＝6

C ．53x +=，k ＝－6

D ．53x -=，k ＝6

19．两根均为负数的一元二次方程是( )

A ．05x 12x 72=+-

B ．05x 13x 62=--

C ．05x 21x 42=++

D ．08x 15x 22=-+

20．以3和－2为根的一元二次方程是( )

A ．06x x 2=-+

B ．06x x 2=++

C ．06x x 2=--

D ． 06x x 2=+-

三、解答题

21．用适当的方法解关于x 的方程

(1)12)1x 2(4)1x 2(2=---；

(2)6)1x ()3x 2(22=--+；

(3)x 4)3x )(3x (=+-；

(4)

027)1x 4(2=--．

22．已知

7x y 3x 2x y 221+=--=，，当x 为何值时，0y y 221=+？

23．已知方程0b ax x 2=++的一个解是2，余下的解是正数，而且也是方程

52x 3)4x (2+=+的解，求a 和b 的值．

24．试说明不论k 为任何实数，关于x 的方程3k )3x )(1x (2-=+-一定有两

个不相等实数根．

25．若方程01x )3m 2(x m 22=+--的两个实数根的倒数和是S ，求S 的取值

范围．

26．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边长为5，两直角边的长分别是关于

x 的方程0)1m (4x )1m 2(x 2=-+--的两个根，求m 的值．

27．某商场今年一月份销售额100万元，二月份销售额下降10%，进入3月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达

到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．

28．若关于x 的方程0m 3x )5m (x 22=---的两个根21x x 、满足

43x x 21=，求

m 的值．

参考答案

【同步达纲练习】

一、

1．35x 35x 21--=+-=，

2．4，41

3．1或

32- 4．－70

5．－23，无实数根

6．62m ±=

7．0或24

8．

425c >

9．28cm

10．20%

二、

11．C 12．D 13．A 14．D 15．C 16．B 17．D 18．B 19．C

20．C

三、

21．

(1)用因式分解法

21x 27x 21-==，； (2)先整理后用公式法3437x 3437x 21--=+-=，；

(3)先整理后用公式法72x 72x 21-=+=，；

(4)用直接开平方法4133x 4133x 21+-=+=，．

22．x ＝1或21

．

23．a ＝－6，b ＝8．

24．解：

3k )3x )(1x (2-=+-，整理得0k x 2x 22=-+． ∵0k 44k 422

22>+=+=?，

∴不论k 为任何实数，方程一定有两个不相等实数根．

25．23

S -≤，且S ≠－3． 26．m ＝4．

27．解：设增长的百分率为x ，则

6129)x 1%)(101(1002.=+-?． 22x 20x 21.，.-==(不合题意舍去)．

∴增长的百分率为20%．

28．解：提示：解?????????=-=?-=+43

x x m

3x x 5

m x x 2122121，

解得m ＝10，或

310m =．

(完整word版)华师大版一元二次方程单元测试题

一元二次方程单元检测题 一、选择题。（每题3分，共30分） 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A.2)1(x x x =- B.02=++c bx ax C.01122=++x x D.012=+x 2、若方程042 =-+bx x 的两根恰好互为相反数，则b 的值为（ ）。 A. 4 B. –4 C. 2 D. 0 3、将一元二次方程式0562=--x x 化成b a x =+2)(的形式，则b 等于（ ）。 A. -4 B. 4 C. -14 D. 14 4、关于x 的一元二次方程01)1(2 2=-++-a x x a 的一根是0，则a 的值为（ ）。 A. 1 B. –1 C. 1或-1 D. 0 5、若关于x 的一元二次方程0)12(22=+--k x k x 有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是（ ）。 A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 6、已知222-+y y 的值为3，则1242++y y 的值为（ ）。 A. 10 B. 11 C. 10或11 D. 3或11 7、若关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实根分别为5，-6，则二次三项式n mx x ++2可分解为（ ）。 A. )6)(5(-+x x B. )6)(5(+-x x C. )6)(5(++x x D. )6)(5(--x x 8、关于x 的方程02 =++q px x 的两根同为负数，则（ ）。 A. 0>p 且0>q B. 0>p 且0q D. 0

华东师大版初中数学九年级上册 第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法测试题1

22.2 一元二次方程的解法 ［课前预习］ 1、求下列各式中的x ： ⑴x 2 =225； ⑵x 2 -169=0； ⑶36x 2 =49； ⑷4x 2 -25=0． 2、用因式分解法写出下列方程的解： ⑴ x (x -2)=0 的解为 x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ ⑵ （y +2)(y -3)=0 的解为y 1＝＿＿＿＿ y 2＝＿＿＿＿＿ ⑶ (3x +2)(2x -1)=0 的解为 x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ ⑷ x 2 =x 的解为x 1＝＿＿＿＿ x 2＝＿＿＿＿＿ 3、方程02=x 的根为 。 ［课内练习］ 4、解方程： （1）4x 2 -3=0 （2）(x -2)2 =5 （3）253 12 =x （4）(x +2)2=9 （5） (3x －1)2 =－5 （6）22 (2)4(3)x x -=+ 5、方程ax 2+c=0(a>0)有解的条件是______;其中的非负整数解为________。

6、解下列方程： （1）254x x =； （2）3x (x +2)=5(x +2) （3）3(2)(612)x x x ---=0 （4）x 2 -4=-(2-x )2 （5）2 (21)4(21)416x x +-++= （6）04222=-+-m mx x 7、解第6题中的方程3x (x +2)=5(x +2)，小明是这样解的： 方程两边同除以(x +2)，得 3x =5 ∴53 x = 这样解对吗？为什么？ 8、已知(x －3+3)(x －3)=0，求222(x-3)(x+1)x -9 x 2x 1x x ÷+++的值． ［课后评价］ 9、选择题： （1）方程x 2 =0的实根个数是（ ） A ．0个 B ．l 个 C ．2个 D ．以上答案都不对 （2）方程(x-a )2 =b (b ＞0)的根是（ ） A 、a -± B 、)a ±+ C 、a ± D 、a ±

苏科版一元二次方程单元测试(含答案)

` 一元二次方程单元测试 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．关于x的一元二次方程(a2－1)x2＋x－2＝0是一元二次方程，则a满足( ) A．a≠1 B．a≠－1 C．a≠±1 D．为任意实数 2．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为( ) A．(x＋1)2＝6 B．(x－1)2＝6 ) C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 3．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A．k>－1 B．k>－1且k≠0 C．k<1 D．k<1且k≠0 4．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a －b的值是( ) A．2018 B．2008 C．2014 D. 2012 5．方程x2－9＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) （ A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 6．对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为( ) A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 7．已知函数y＝kx＋b的图象如图21-1，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0根的存在情况是( ) 、 A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 8．已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则b a ＋ a b 的值是( ) A．7 B．－7 C．11 D．－11

图21- 1 图21-2 ^ 9．如图21-2，在长为100 m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644 m2，则道路的宽应为多少米设道路的宽为x m，则可列方程为( ) A．100×80－100x－80x＝7644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7644 C．(100－x)(80－x)＝7644 D．100x＋80x＝356 10．图21-3是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( ) 图21-3 … A．32 B．126 C．135 D．144 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．一元二次方程x2－3＝0的解为________________． 12．把一元二次方程(x－3)2＝4化为一般形式为：________________，二次项为：________，一次项系数为：________，常数项为：________. 13．已知2是关于x的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一个根，则该方程的另一个根是__________． 14．已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则1 x 1 ＋ 1 x 2 ＝__________. 15．若|b－1|＋a－4＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个实数根，则k的取值范围是________． 16．一个长100 m，宽60 m的游泳池扩建成一个周长为600 m的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x m，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20 000 m2列出方程__________________________． / 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 17．用公式法解方程：2x2－4x－5＝0. 18．用配方法解方程：x2－4x＋1＝0. :

华师大版九年级数学上册一元二次方程 单元测试卷

一元二次方程 单元测试卷 时间:120分钟 满分;120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1．已知x=1是一元二次方程x 2-2mx+1=0的一个解，则m 的值是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．0或-1 2．已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根，那么b a a -+2的值为（ ） （A ）-7 （B ）0 （C ）7 （D ）11 3．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程 20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 2y ax bx c =++ 0.03- 0.01- 0.02 0.04 Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.20x << 4．等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（ ） A.8 B.10 C.8或10 D.不能确定 5．某城市2007年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2009 年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是 A ．300(1＋x )=363 B ．300(1＋x )2=363 C ．300(1＋2x )=363 D ．363(1－x )2=300 6．现定义某种运算()a b a a b ?=>，若2(2)2x x x +?=+，那么x 的取值范围是（ ） （A ）12x -<<（B ）2x >或1x <-（C ）2x > （D ）1x <- 7、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根，则式子 b a a b +的值是（ ） A ．22n + B ．22n -+ C ．22n - D ．22n -- 8、用配方法将代数式a 2+4a -5变形，结果正确的是（ ） A.(a +2)2-1 B. (a +2)2-5 C. (a +2)2+4 D. (a +2)2-9 9、关于x 的一元二次方程222310x x a --+=的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．3- D ．3± 10、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百 分率为x ，则下列方程中正确的是（ ） A ．55 (1+x )2=35 B ．35(1+x )2=55 C ．55 (1－x )2=35 D ．35(1－x )2=55

九年级数学上册第22章一元二次方程22.1一元二次方程教案新版华东师大版

第22章一元二次方程 22．1 一元二次方程 1．知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识． 重点 判定一个数是否是方程的根． 难点 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 一、情境引入 教师展示多媒体，引导学生列出方程，解决问题． 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程 x(x＋10)＝900 整理可得 x2＋10x－900＝0.(1) 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率． 解：设这两年的年平均增长率为x. 我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1＋x)万册， 同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1＋x)倍，即5(1＋x)·(1＋x)＝5(1＋x)2万册， 可列得方程5(1＋x)2＝7.2， 整理可得 5x2＋10x－2.2＝0. (2) 二、探究新知 教师指出问题，学生小组讨论，归纳． 问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)．显然，这两个方程都不是一元一次方程，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： (1)都是整式方程； (2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数是2. 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，

华师大版九年级数学上册 第22章 一元二次方程 单元测试题(无答案)

第22章一元二次方程单元测试题 （满分120分；时间：120分钟） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 题号一二三总分 得分 一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 1. 若关于y的一元二次方程ky2?7y?7=0有实根，则k的取值范围是（） A.k>?7 4B.k≥?7 4 且k≠0 C.k≤?7 4 D.k>?7 4 且k≠0 2. 用配方法解方程x2?4x+2=0，下列变形正确的是（） A.(x?2)2=2 B.(x?4)2=2 C.(x?2)2=0 D.(x?4)2=1 3. 已知关于x的一元二次方程(a?1)x2?2x+a2?1=0有一个根为x=0，则a的值为() A.0 B.±1 C.1 D.?1 4. 若代数式x2?6x+5的值是12，则x的值为（） A.7或?1 B.1或?5 C.?1或?5 D.不能确定 5. 方程x(x+2)=x+2的两根分别为（） A.x1=?1，x2=2 B.x1=1，x2=2 C.x1=?1，x2=?2 D.x1=1，x2=?2 6. 关于x的一元二次方程ax2?bx+3=0的一个根为x=2，则代数式4b?8a+3的值为() A.?3 B.3 C.6 D.9 7. 一元二次方程x2?4x+1 4 =0根的情况是（）

A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 8. 若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2?1=0的一个根是0，则这个方程的另一个根是（） A.1 2 B.?1 2 C.1 D.?1 9. 方程x2=3x的解是（） A.x=0 B.x1=0，x2=?3 C.x=3 D.x1=0，x2=3 10. 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了3080张照片．如果该班有x名同学，根据题意可列出方程为（） A.x(x+1)=3080 B.x(x?1)=3080 C.2x(x+1)=3080 D.x(x?1)=3080×2 二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，） 11. 一元二次方程x2?4x?1=0可以配方成(x?2)2=________． 12. 当k＝________时，关于x的方程kx2?4x+3＝0，有两个相等的实数根． 13. 某市2013年投入教育经费2500万元，预计2015年要投入教育经费3600万元．已知2013年至2015年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则增长率为________．14. 若关于x的方程x2+mx+2=0的一个根是1，则m的值为________． 15. 若α，β是一元二次方程x2?4x+2＝0的两根，则2 α+2 β 的值是________． 16. 若关于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有两个不相等的实数根，则b的值可能是________（只写一个）．

2013年华师大九年级上第23章一元二次方程2检测题含答案

第23章 一元二次方程检测题 （本检测题满分:120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题2分，共24分） 1.下面关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②()()223911x x --+=；③13x x +=； ④() 2210a a x a ++-=1x -．其中是一元二次方程的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.（2013·河南中考）方程()()23x x -+=0的解是（ ） A.2x = B.3x =- C.122,3x x =-= D.122,3x x ==- 3．（2013·山东潍坊中考）已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，下列说法正确的是（ ） A.当0k =时，方程无解 B.当1k =时，方程有一个实数解 C.当1k =-时，方程有两个相等的实数解 D.当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解 4.若()()160x y x y +--+=，则x y +的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．-2或3 D ．2或-3 5.（2013·四川泸州中考）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为（ ） A.1k >- B.10k k <≠且 C.10k k ≠且≥- D.10k k >-≠且 6．（2013·安徽中考）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） A.()24381389x += B.()2 3891438x += C.()238912438x += D.()243812389x += 7.利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是20%，?则第二 季度共生产零件（ ） A ．100万个 B ．160万个 C ．180万个 D ．182万个 8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价的百分率 是（ ） A.10% B.19% C.9.5% D.20% 9.关于x 的一元二次方程2(2)0x mx m -+-=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 10．已知,,a b c 分别是三角形的三边长，则方程()220a b x cx a b ++++=的根的情况是（ ） A ．没有实数根 B ．有且只有一个实数根 C ．有两个相等的实数根 D ．有两个不相等的实数根 11.（2013·浙江丽水中考）一元二次方程2(6)16x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是64x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A.64x -=- B.64x -= C.64x += D.64x +=- 12.（2013·兰州中考）用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程是（ ） A.2(1)0x += B.2(1)0x -= C.2(1)2x += D.2(1)2x -= 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．（2013·天津中考）一元二次方程(6)0x x -=的两个实数根中较大的根是 . 14．已知关于x 的方程2230x x k ++=的一个根是－1，则k =_______． 15．（2013·兰州中考）若10b -，且一元二次方程20kx ax b ++=有实数根，则k

苏教版九年级一元二次方程

例题1、关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ） A ．0p >且q > 0 B ．0p >且q <0 C ．0p <且q > 0 D ．0p <且q <0 变式：如果方程有两个同号的实数根，则的取值范围是 （ ） A 、 ＜1 B 、 0＜≤1 C 、 0≤＜1 D 、 ＞0 例题2.若方程013)2(||=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2±=m B ．m=2 C ．m= —2 D ．2±≠m 变式：一元二次方程（m-2）x-4mx+2m-6=0有两个相等的实数根，m=______. 例题3．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞–14 B ．a ≥–14 C ．a ≥–14 且a ≠0 D ．a ＞–14 且a ≠0 例题44．方程x 2+ax+1=0和x 2－x －a=0有一个公共根，则a 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例题5.已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112 x x x x +的值为______ 变式：设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则 =+2111x x .x 12+x 22= . 例题6、关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为1和2，则b ＝______；c ＝______． 例题7.已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，那么代数式 235(2)362 x x x x x -÷+---的值为＿＿＿＿ 例题8. 已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x －2）（x －m ）=（p －2）（p －m ）的两个实数根． （1）求x 1，x 2 的值； 例题9．把一根长度为14cm 的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm 2，则这个矩形的对角线长是________________cm. 022=++m x x m m m m m

华东师大版数学上一元二次方程单元测试含答案

华东师大九年级数学一元二次方程单元测试 一、选择题（每小题3分；共30分） 1. 方程()()032=+-x x 的解是 A. 2=x B. 3-=x C. 21-=x ，32=x D. 21=x ，32-=x 2. 关于x 的一元二次方程022=+-k x x 有两个相等的实数根，则k 的值为 A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 3. 已知关于x 的一元二次方程0122=-+x mx 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 A. m ＜－1 B. m ＞1 C. m ＜1且m ≠0 D. m ＞－1 且m ≠0 4. 已知一元二次方程032=++mx x 配方后为()222=+n x ，那么一元二次方程032=--mx x 配方后为 A. ()2852=+x B. ()1952=+x 或()1952=-x C. ()1952=-x D. ()2852=+x 或()2852=-x 5. 某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为 A. ()100012002=+x B. 10002200200=?+x C. 10003200200=?+x D. ()()[] 10001112002=++++x x 6. 已知关于x 的一元二次方程02=+-c bx x 的两根分别为11=x ，22-=x ，则b 与c 的值分别为

A. b=－1,c=2 B. b=1,c=－2 C. b=1,c=2 D.b=－1,c=－2 7. 若关于x 的方程022=++a x x 不存在实数根，则a 的取值范围是 A. a ＜1 B. a ＞1 C. a ≤1 D. a ≥1 8. 若1x ，2x 是一元二次方程0122=--x x 的两个根，则2121x x x +-的值为 A. －1 B. 0 C. 2 D.3 9. 已知2是关于x 的方程x 2﹣2mx +3m =0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为 A ．10 B ．14 C ．10或14 D ．8或 10 10. 如果关于x 的方程012=++mx x 的两个根的差为1 ，那么m 等于 A.±2 B. ±3 C. ±5 D. ±6 二、填空题（每小题3分；共15分） 11. 一元二次方程0132=--x x 根的判别式△＝ ． 12. 若3是关于x 的方程02=+-c x x 的一个根，则方程的另一个根等于 ． 13. 已知三角形两边长是方程0652=+-x x 的两根，则三角形第三边c 的取值范围是 ． 14. 某药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，若平均每次下降百分率为 x ，则所列方程为 ． 15. 若41712=??? ??+x x ，则21??? ??-x x 的值为 ． 三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11=75分） 16. 解方程：1222+=-x x x ．

华师大版一元二次方程的解法教案

一元二次方程的解法 【学习目标】 1．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法 解简单的数字系数的一元二次方程． 2．理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两 者之间相互比较和转化的思想方法． 3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的 实际意义，检验所得的结果是否合理． 【基础知识精讲】 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可 以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所 以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项 系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

(最新整理)华师大版一元二次方程单元测试题

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一元二次方程单元检测题 一、选择题。（每题3分,共30分） 1、下列方程是一元二次方程的是（ ） A 。2)1(x x x =- B 。02=++c bx ax C 。01122=++x x D 。012=+x 2、若方程042=-+bx x 的两根恰好互为相反数,则b 的值为（ ）。 A 。 4 B. –4 C. 2 D. 0 3、将一元二次方程式0562=--x x 化成b a x =+2)(的形式，则b 等于（ ）。 A. -4 B. 4 C. -14 D 。 14 4、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一根是0，则a 的值为（ ）. A 。 1 B. –1 C 。 1或-1 D 。 0 5、若关于x 的一元二次方程0)12(22=+--k x k x 有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是 （ ）。 A 。 —2 B 。 -1 C 。 0 D 。 1 6、已知222-+y y 的值为3，则1242++y y 的值为( ）。 A 。 10 B. 11 C. 10或11 D. 3或11 7、若关于x 的一元二次方程02=++n mx x 的两个实根分别为5，-6,则二次三项式n mx x ++2可 分解为（ )。 A 。 )6)(5(-+x x B. )6)(5(+-x x C 。 )6)(5(++x x D 。 )6)(5(--x x 8、关于x 的方程02=++q px x 的两根同为负数，则( ）。 A 。 0>p 且0>q B 。 0>p 且0q D. 0

华师大版一元二次方程的解法教案

一元二次方程的解法 ? 【学习目标】 1．理解配方法的意义，会用直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法 解简单的数字系数的一元二次方程． 2．理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两 者之间相互比较和转化的思想方法． 3．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的 实际意义，检验所得的结果是否合理． ? 【基础知识精讲】 1．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)， b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可 以化为a x 2=或b )a x (2 =-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所 以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根． (3)配方法：任何一个形如bx x 2 +的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解 的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，2 2226726x 6x ??? ??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项 系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点． (3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、 c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方 程的一般步骤： ①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式； ②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)； ③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

数学：23.1一元二次方程～23.2一元二次方程的解法同步练习(2)(华东师大版九年级上)

23.2一元二次方程的解法练习（2） 一、填空题（每空4分，共24分） 1. 已知2x =是一元二次方程220x m x ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．-3 B ．3 C ．0 D ．0或3 2. 方程3(3)5(3)x x x -=-的根是( ) A. 35 B. 3 C. 35和3 D. 35和-3 3. 将方程0982=++x x 左边变成完全平方式后，方程是( ) A. 7)4(2=+x B. 25)4(2=+x C. 9)4(2-=+x D. 7)4(2-=+x 4. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了110件，如果全组有x 名同学，那么根据题意列出的方程是( ) A. x(x+1)= 110 B. x(x-1)= 110 C. x(x+1)=110×2 D. x(x-1)= 110×2 5. 从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是( ) A. 64平方米 B. 100平方米 C. 81平方米 D. 48平方米 6. 在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形图画的四周镶一条金色的纸 边，制成一幅矩形挂图，如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 平方厘米，设金色纸边的宽为x 厘米，那么满足的方程是( ) A ．x 2+130x-1400=0 B ． x 2-130x-1400=0 C ．x 2-65x-350=0 D ．x 2+65x-350=0 二、选择题（每题4分，共24分） 7. 把方程2(x -3)2=5化成一元二次方程的一般形式是 . 8. 方程250x x -=的根是 . 9. 如果－1是方程0422=-+bx x 的一个根，则方程的另一个根是 . 10. 用22cm 长的铁丝，折成一个面积为2 28cm 的矩形，这个矩形的长是 . 11. 请写出一个根为x =1，另一个根满足1x -<<1的一元二次方程： . 12. 已知()()5312222=-+++y x y x ，则22y x +的值等于 . 三、解答题（共52分） 13. （本题20分）按指定的方法解方程： （1）02522=-+）（x （直接开平方法）； （2）0542 =-+x x （配方法）； （3）x x 3232=+（因式分解法）； （4）01722 =+-x x （公式法）. 14. （本题8分）对于二次三项式2 -1036x x +，小明同学得到如下结论：无论x 取何值，

华师版数学九年级上册强化专训-一元二次方程(1)

华师版数学九年级上册阶段强化专训 一元二次方程说课稿 各位领导、专家、老师大家好：很高兴能有机会参加这次活动,并能得到您的指导.我说课的题目是华师大版九年级（上）第23章第一节《一元二次方程》. 说课内容 ⑴说教材⑵说目标⑶说教学方法⑷说教学程序⑸说评价 ㈠说教材 ⑴教材分析 本节课介绍了一元二次方程的概念及一般形式.一元二次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础.本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用. ⑵教学重点 一元二次方程的概念及一般形式. ⑶教学难点 经历用试验的方法探索方程的解，并会解释解的合理性. ㈡说目标 教学目标 1.知识目标：使学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式. 2.能力目标：经历抽象一元二次方程的过程, 使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型; 经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力. 3.情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神. ㈢说教学方法 ⑴教法分析 本节课主要采用以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法. ⑵学法指导 本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、类比归纳，最后抽象出有价值⑶教学手段 采用电脑多媒体辅助教学，利用实物投影进行集体交流，及时反馈相关信息 ㈣说教学程序 ⑴创设情境导入新课⑵自主探索归纳新知⑶巩固练习深化知识⑷归纳小结反思提高⑸布置作业分层落实

⑴创设情境导入新课 情景一：教材页的"问题1 有一根竹竿，不知道它有多长，把竹竿竖放在城门前，竹竿比门高三尺；把竹竿横放在这门前，竹竿比门宽六尺；把竹竿斜放，竹竿正好和门的对角线等长，问竹竿长几尺？设竹竿长x尺，由题意得： 读一读 请同学们阅读教材页的"问题2"，进一步明确列方程解实际问题的思路和方法. 设这两年的年平均增长率为x．由题意得：（培养学生的自学能力） 将三个问题中的方程整理得： . （方程模型的建立为下一环节的教学做好铺垫） ⑵自主探索归纳新知 比较一：与一元一次方程作纵向比较得一元二次方程的概念： 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 比较二：方程之间作横向比较得一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 （ a,b,c是已知数， a≠0），其中a,b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. 注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的 想一想 （1）关于x的方程是一元二次方程吗？ （2）关于x的方程是一元二次方程的条件是什么？ （注意 a≠0的条件！） ⑶巩固练习深化知识 做一做 1.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （及时巩固新知，为公式法的学习打下基础！） 2.用试验的方法探索情景一中所列方程x(x+10)=900的解，方程有几个解？都是情景一的解吗？突破难点 组1： 900=2×2×3×3×5×5 900=36×25 或 900=(-36)×(-25) …… 组2： 宽… 20 … 30 …宽… 25 … 26 …

华东师大版初中数学九年级上册 第22章 一元二次方程概念测试题3

22.1 一元二次方程概念 第1题. （甘肃兰州课改，4分）下列方程中是一元二次方程的是（ ） Ａ．210x += Ｂ．21y x += Ｃ．210x += Ｄ．211x x += 答案：Ｃ 第2题. （2007甘肃白银3市非课改，4分）已知x ＝－1是方程012=++mx x 的一个根，则m = ．答案：2 第3题. （2007海南课改，3分）已知关于x 的方程0322=++m mx x 的一个根是1=x ，那么=m ． 答案：2 53±- 第4题. （2007黑龙江哈尔滨课改，3分）下列说法中，正确的说法有（ ） ①对角线互相平分且相等的四边形是菱形； ②一元二次方程2340x x --=的根是14x =，21x =-； ③依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形是平行四边形； ④一元一次不等式2511x +<的正整数解有3个； ⑤在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是3． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：B 第5题. （2007湖北武汉课改，3分）如果2是一元二次方程2x c =的一个根，那么常数c 是（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．4 Ｄ．4- 答案：C 第6题. (2007湖北襄樊非课改，3分)已知关于x 的方程322x a +=的解是1a -，则a 的值为（ ） A ．1 B ．35 C ．15 D ． 1- 答案：A 第7题. （2007湖南株洲课改，6分）已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22 22a b a b --的值． 答案：由1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，得：40a b += 3分 又a b ≠，得：22()()20222()2 a b a b a b a b a b a b -+-+===-- 6分

华东师大版九年级数学上册22.1《一元二次方程》教案

一元二次方程 22.1 一元二次方程 【知识与技能】 1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a ≠0）. 2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 【过程与方法】 通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力. 【情感态度】 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】 判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根. 一、情境导入，初步认识 问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1） 问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.

二、思考探究，获取新知 思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项. 例1判断下列方程是否为一元二次方程： 解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是. 【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断. 例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项. 解:2x2-13x+11=0；2，-13，11. 【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整. 三、运用新知，深化理解 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. （1）5x2-1=4x （2）4x2=81 （3）4x（x+2）=25 （4）（3x-2）（x+1）=8x-3 解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；

华师版九年级数学一元二次方程测试卷

第23章 一元二次方程测试卷 一、选择题（每小题3分，共21分） 1．方程x 2－2x=0的根是（ ）． A ．x 1=0，x 2=2 B ．x 1=0，x 2=－2 C ．x=0 D ．x=2 2．若x 1，x 2是一元二次方程3x 2+x －1=0的两个根，则 12 11 x x +的值是（ ）． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．已知一直角三角形的三边长为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a （x 2－1）?－2x+b （x 2+1）=0的根的情况为（ ）． A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 4．一元二次方程x 2－3x －1=0与x 2－x+3=0的所有实数根的和等于（ ）． A ．2 B ．－4 C ．4 D ．3 5．某农场粮食产量是：2003年为1 200万千克，2005年为1 452万千克，?如果平均每年增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）． A ．1200（1+x ）2=1 452 B ．2000（1+2x ）=1 452 C ．1200（1+x%）2=1 452 D ．12 00（1+x%）=1 452 6．方程 23 1 x x - +=2的根是（ ）． A ．－2 B ．12 C ．－2，1 2 D ．－2，1 7．方程21 11 x x x =--的增根是（ ）． A ．x=0 B ．x=－1 C ．x=1 D ．x=±1 二、填空题（每小题3分，共24分） 8．x 2+8x+_______=（x+_____）2；x 3－ 3 2 x+______=（x －______）2． 9．如果x 2－5x+k=0的两根之差的平方是16，则k=________． 10．方程2x 2+x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_______． 11．若2x 2－5x+ 2 8 251 x x -+－5=0，则2x 2－5x －1的值为_________． 12．若x 1，x 2是方程x 2－2x+m 的两个实数根，且 12 11 x x +=4，则m=________． 13．已知一元二次方程x 2－6x+5－k=0?的根的判别式△=4，则这个方程的根为_______． 14．设方程2x 2+3x+1=0?的两个根为x 1，x 2，?不解方程，?作以x 12，?x 22?为两根的方程为______． 15．若一个两位正整数，它的个位数字与十位数的和是5，数字的平方和是17，求这个两位数． 解：设这个两位数的十位数字是x ，?则它的个位数字为__________，?所以这两位数是_______，根据题意，得__________________________________． 三、解答题（共75分） 16．（24分）解下列方程 （1）用配方法解方程3x 2－6x+1=0； （2）用换元法解（1x x +）2+5（1 x x +）－6=0； （3）用因式分解法解3x （x ） －x ；（4）用公式法解方程2x （x －3）=x －3．