八上数学：勾股定理

勾股定理 重难点专练

勾股定理、勾逆、勾股数

1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）

A ．1.5，2，2.5

B ．1，2，3

C ．2，3，4

D ．4，5，6 2. 已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1 800，则斜边长为（ ） A ．30

B ．80

C ．90

D ．120

勾股定理直接应用

3. 如图，在Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ，

则正方形CDEF 的面积为_________．

4. 如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC

于点D ．则AD 的长为（ ）

A ．253

B ．354

C ．3

55

D ．

455

弦图

5. 如图，AE ⊥AB 且AE =AB ，BC ⊥CD 且BC =CD ，若点E ，B ，D 到直线AC

的距离分别为6，3，2，则图中实线所围成的阴影部分面积S 是（ ） A ．50

B ．44

C ．38

D ．32

A B C

D

E

F

A B

C

D

23

6H

F

E D C

B A

扫一扫 对答案

6. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已

知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2=49；②x -y =2；③2xy +4=49；④x +y =9．其中说法正确的是（ ） A ．①②

B ．①②③

C ．①②④

D ．①②③④

分类、作图

7. 在等腰直角△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，点P 为边BC 的三等分点，连接

AP ，则AP 的长为_____________．

8. 若直角三角形的两边长为a ，b ，且满足26940a a b -++-=，则第三边长

为__________．

9. 如图，以Rt △ABC 的三边分别为直径作半圆，若Rt △ABC 三边长分别为3，

x ，5，则图中阴影部分的面积为____________．

10. 已知△ABC 中，AB =10，AC =17，BC 边上的高AD =8，则△ABC 的面积为

________．

实际应用

11. 如图，5米长的滑梯AB 斜靠在一面墙上，底端B 与墙之间的水平距离为3

米，当滑梯的底端向后移动1米，顶端A 随之向下滑动一段距离，则下滑的距离______1米．（填“大于”，“小于”或“等于”）

y x

A

B C

O

B′

A′B A

12. 如图，某公路上A ，B 两点的正南方有D ，C 两村庄，现要在公路AB 上建一

个车站E ，使C ，D 两村到E 站的距离相等，已知AB =50 km ，DA =20 km ，CB =10 km ，计算车站E 距A 点多远？

13. 如图，南北向MN 为我国的领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海．上

午9时50分我国缉私艇A 发现在其正东方向有一走私艇C 正以每小时16海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距A 6海里，正在MN 上巡逻的缉私艇B 密切注意，并告知A 和C 两艇的距离是10海里，缉私艇B 测得C 与其距离为8海里，若走私艇C 的速度不变，最早在什么时间进入我国领海？

14. 小明家新装修房子，其中有一段楼梯需要铺上地毯，楼梯高6米，斜面长10

米，到底该买多长的地毯才能恰好把楼梯铺满呢（原则：铺满楼梯但不能浪费），小明爸妈也摸不着头脑．小明给爸妈的正确答案应是___________．

D

E C

B A N

M C

B A

6米

10米

15. 如图，长方体的实心木块长AB =4米，宽BC =3米，高BB′=2米，现有一绳

子从A 出发沿长方体表面到达C′处，则需要的绳子最短为________．

16. 如图，圆柱形容器的底面周长是30cm ，高为17cm ，在外侧底面S 处有一蜘

蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处3cm 的点F 处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ） A ．1013cm

B ．25cm

C ．421cm

D ．30cm

折叠

17. 如图，在长方形ABCD 中，DC =6cm ，在DC 上存在一点E ，沿直线AE 把三

角形AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若三角形ABF 的面积为24cm 2，那么CE 长度为________cm ．

18. 如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，E 在边AD 上，把△DCE 沿CE 所在直

线折叠，点D 落在D′位置，当D′恰好在对角线AC 上时，DE 的长为_________．

4

3

2D'C'

B'A'

D C

B

A

S

F

F

E

D C B

A E D′A

B

C

D

19. 如图，在长方形ABCD 中，AB =4，BC =8，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点

C 与点A 重合，则折痕EF 的长为___________．

旋转结构

20. 如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，

D ，

E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④BE 2=ED 2+EC 2；⑤BE 2=2(AD 2+AB 2)．其中结论正确的个数是（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

21. 如图，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC =∠DBE =90°，AB =BC =3，BD =BE =1，

连接CD ，AE ．

（1）如图1，求证：△BCD ≌△BAE ；

（2）当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图2，求AF 的长； （3）在（2）的条件下，线段BC 上是否存在一点P ，使得△PBD 为直角三角形？若存在，请直接写出满足△PBD 为直角三角形时，线段PB 的长；若不存在，请说明理由．

D′

F

E

D

B

C

A

A

B

C D

E

图1

A

B

C

D

E

图2

F B

E

D

C

A

22. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意

Rt △DBC ，∠BDC =90°．

（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1），求证：△ADB ≌△AMC ；

图1

（2）若CD

图2

我们可以通过以下做法来解决这个问题，请根据提示，写出完整过程． 解：当BN =CD 时，△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 如图3，在BD 上截取BN =CD ．

图3

（3）当CD =1，BD =4时，请直接写出AD 的长，AD =______．

M

O

D

C B

A

O

D C B

A

N

O

D C

B

A

23. 已知：△ABC 是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC

为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中∠PCQ =90°．探究并解决下列问题： （1）如图1，若点P 在线段AB 上，且AC =3，P A =，则： ①线段PB =___________，PC =____________；

②猜想：P A 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为____________．

（2）如图2，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．

（3）若动点P 满足，请直接写出的值．

213PA PB PC

AC

图1

A

B P

C

Q

图2

Q

A

C

P B 图3

A

C

B