泰勒公式及其在极限运算中的运用(论文)
摘要 (2)
1 引言 (4)
2 泰勒公式 (5)
2.1 n次泰勒多项式 (5)
2.2 泰勒公式 (6)
2.3 泰勒公式的种类 (6)
2.31 含有佩亚诺余项的泰勒公式 (6)
2.32 含有拉格朗日余项的泰勒公式 (7)
2.33 特殊的泰勒公式 (7)
3 利用泰勒公式求极限及其应用 (8)
3.1 一些常见的麦克劳林公式 (8)
3.2 一些实例分析 (9)
4 结论 (17)
参考文献 (18)
在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算.如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而又满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义.而泰勒公式就起了很好的桥梁作用，本文将系统地阐述对一个函数具有什么条件才能用此多项式近似代替；这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么样的关系；用多项式函数近似代替这个函数的误差又怎样；重点是怎样利用泰勒公式计算极限以及其在极限计算中的应用，对比分析出泰勒公式的优越性.
关键词：泰勒公式；近似代替；极限运算
Polynomial in elementary function is the most simple function, because the polynomial function is used only three kinds of add, subtract, multiply computing. If can the rational fractional function, especially the irrational function and elementary transcendental function approximation using polynomial function, and meet the requirements, obviously, the study of functional state and function value approximate calculation has important significance. And there was a very good role of bridge and Taylor formula, this article will systematically expounded is what condition for a function to substitute the polynomial approximation; The polynomial function coefficient and the function of what kind of relationship; Using polynomial function approximation instead of what the function of the error; Focuses on how to use Taylor formula calculation, the application limit and the limit analysis of the superiority of the Taylor formula.
Key words：Taylor formula;and approximate replace;limit operation
1 引言
在数学中，泰勒公式是在级数基础上发展起来的，它是用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用.泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位.通过泰勒公式和极限运算的学习，已经掌握初等函数在某一点的泰勒展式，对于一些高阶的极限运算，直接求极限不好求，利用泰勒公式能很快地求出.所以对泰勒公式的进一步研究是非常重要的.
泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力，许多研究者已在此领域获得许多研究成果.例如，[1]刘玉琏、傅沛仁、林玎等人重点谈了无理函数和初等函数用多项式函数近似代替，而这时误差又能满足要求，也即是把函数写成n次泰勒多项式.[3]张筑生体统地谈了用n次多项式来研究可导n次的函数，也就是带小o余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.[4]沈燮昌、邵品琮等人主要是从逼近角度对它进行介绍，并说明泰勒公式的一些应用.其中用泰勒公式来求极限就是一个应用.
对于一些高阶的极限运算，要求得其极限是非常困难的.对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的.通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中最重要的内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似运算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，
求函数在某点的高阶导数值等方面.除此之外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解.下面主要针对泰勒公式在极限中的应用，在一些题目当中，为解题带来了很多的便捷，这同时也为求极限提供了一种很好的方法. 2 泰勒公式
泰勒公式是微积分学中的一个重要内容，它用n 次多项式来研究可导n 次函数，这种带o 余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.因此，泰勒公式是求极限的重要方法.对泰勒公式及其种类的认识是很有必要的. 2.1 n 错误！未找到引用源。次泰勒多项式[1] 首先来讨论n 次多项式函数
n n x a x a x a x a a x p +++++= 332210)(
总能将它按着a x →的幂表示为（或者展开为）：
()()n
n a x b a x b a x b b x p -++-+-+= 2
210)()(,
其中
())
()(.,1,0,!)
(0a p a p n k k a p b k k ===
或
()()n n a x n a p a x a p a x a p a p x p -++-+
-+=!)(!2)()(!1)()()(2
''' 错误！未找到引用
源。
由此可见，将n 次多项式函数)(x p 按着a x →错误！未找到引用源。的幂展开，它每项的系数k b 错误！未找到引用源。由多项式函数)(x p 唯一确定，即
!
)
(k a p b k k =错误！未找到引用源。.
若任意一个函数)(x f （不一定是多项式函数），只要函数)(x f 在a 存在n 阶导数，总能形式地写出一个相应的n 次多项式
()()n n n a x n a f a x a f a x a f a f x T -++-+
-+=!)(!2)()(!1)()()(2
''' 错误！未找到引用
源。
称为函数)(x f 在a 错误！未找到引用源。的n 错误！未找到引用源。次泰勒公式.
将函数)(x f 错误！未找到引用源。与它的n 错误！未找到引用源。次泰勒多项式)(x T n 错误！未找到引用源。的差，表示为
)()()(x T x f x R n n -=,)()()(x T x R x f n n +=.
)(x R n 错误！未找到引用源。称为函数)(x f 错误！未找到引用源。在a 错误！
未找到引用源。的n 错误！未找到引用源。次泰勒余项，简称泰勒余项.这就是满足以上的关系的函数就可以用泰勒公式近似代替，也就是说存在n 错误！未找到引用源。阶导数.这个多项式的各项系数与这个函数的关系就是用这个
来表!
)
(k a p b k k =.
2.2 泰勒公式[1]
若函数)(x f 错误！未找到引用源。在a 错误！未找到引用源。存在n 错误！未找到引用源。阶导数，则)(a U x ∈?错误！未找到引用源。,有
()[]
n
n a x o T x f -+=)( (1)
其中，
()()n n n a x n a f a x a f a x a f a f x T -++-+
-+=!)(!2)()(!1)()()(2
''' 错误！未找到引用
源。()[]
)()(a x a x o x R n
n →-=,即)(x R n 错误！未找到引用源。是比k a x )(-错误！
未找到引用源。的高阶无穷小,即(1)式称为函数错误！未找到引用源。在a (展开)的泰勒公式. 2.3 泰勒公式的种类
根据余项的不同，可以对泰勒公式进行分类，最基本的就是三类：含有佩亚诺余项的泰勒公式；含有拉格朗日余项的泰勒公式；特殊的泰勒公式（麦克劳林公式）.
2.31 含有佩亚诺余项的泰勒公式
若函数)(x f 错误！未找到引用源。在a 错误！未找到引用源。存在n 错误！未找到引用源。阶导数，则)(a U x ∈?错误！未找到引用源。,有
错误！未找到引用源。.
其中，
错误！未找到引用源。
()()n n n a x n a f a x a f a x a f a f x T -++-+
-+=!)(!2)()(!1)()()(2
''' [1]
错误！未找到引用源。，这个余项就称为佩亚诺余项，在佩亚诺余项()[]
n
a x o -只
是给出余项（或误差）的定性描述，它不能估算余项（或误差）.错误！未找到引用源。的数值.因此还要进一步给出余项错误！未找到引用源。的定量公式，这有助于对一些问题进行误差估计，看是否在误差以内，是否符合标准. 2.32 含有拉格朗日余项的泰勒公式
经过实际情况的需求，以及多方面的探讨，要进一步给出余项错误！未找到引用源。的定量公式，需要满足一些条件.
[1]
若函数错误！未找到引用源。在)(x U 错误！未找到引用源。存在)1(+n 错
误！未找到引用源。阶导数，错误！未找到引用源。的领域，函数错误！未
找到引用源。在以a 错误！未找到引用源。与x 为端点的闭区间错误！未找到引用源。连续，在其开区间可导，且0)(≠x G 错误！未找到引用源。,则a 与错误！未找到引用源。之间至少存在一点c ，使得
()()()[])()()(!)(!
)(!2)()(!1)()()('
12
'''a G x G c x c G n c f a x n a f a x a f a x a f a f x f n
n n n --+-++-+
-+=+ 错误！未找到引用
源。
其中，
()[])()()(!)()('1a G x G c
x c G n c f x R n
n n --=+
也即是用多项式近似代替函数的误差值算法,称作拉格朗日余项. 2.33 特殊的泰勒公式
泰勒公式，特别是在0=a 错误！未找到引用源。时，（函数错误！未找到引用源。在0存在n 错误！未找到引用源。阶导数），上述的(1)式就可以改写成:
)(!)0(!2)0(!1)0()0()(2'''n n
n x o x n f x f x f f x f +++++= [1]
这就称为麦克劳林公式.由于其是在一个特殊点，也即是0=a 时，所以其具有很大的特殊性，在极限的运算中有很大的作用，考虑特殊点，总是比一般情况要容易很多，研究也会很方便. 3 利用泰勒公式求极限及其应用
要求出一个数列、函数等的极限，可以用的方法是很多的，用数列极限的定义和运算法则求极限、对数列通项求和变形后求极限、利用重要极限求函数极限、利用定积分求函数极限、利用夹逼法则求函数极限、利用洛必达
法则求函数的极限、利用级数收敛的必要条件求函数的极限、利用泰勒公式求函数极限等，但是针对不同的情况，我们要作出有效的判断，并选择比较适合的一种方法进行解题.特别是对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 3.1 一些常见的麦克劳林公式[1]
在利用泰勒公式进行解答的时候，通常是比较特殊的，也即是像麦克劳林公式一样，这就需要熟练的掌握一些公式，这可以有效的促进我们的解题灵感.
),(!!21)1(2→+++++=x x o n x x x e n n
x
()0
),()!12(13sin )2(2121
3→+--++-=--x x o n x x x x n n n ！
错误！未找到引用源。()0
),()!2(1!2cos )3(1222→+-++-=+x x o n x
x x x n n
n 错误！未找到引用源。()0
),(12)1ln()4(12→+-++-=+-x x o n x
x x x n n
n
错
误！未找到引用源。
()0),(!)1()2)(1(!2)1(11)5(2→+----++-+
+=+x x o x n k n n n n x n n nx x n n
n
这些
都是一些很常见的公式，这对于我们解题是有很大帮助，其有助于培养数学思维，特别是对泰勒公式思想的培养.
3.2 一些实例分析
例1 求4
2
2cos lim
x e
x x x -→-
解:分析此题,满足用洛比达法则的条件，就先用洛比达法则来做.
4
2
02
cos lim x e x x x -→-
3
2
4sin lim
2x e
x x x x -→?+-=
2
2
22
012cos lim 22x e x e x x x x --→-+-=
x
e x xe xe x x x x x 242sin lim
232
2
2
2
2
???
? ??---=-
--→
24
322cos lim
2
42
2
22
2
22
222222x x x x x x x e
x xe
e x e
e
x e
x -
-
--
-
-
→-++-+-=
121-
=
此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，从上面的计算过程可以清楚的看出，这种方法比较麻烦，这样就很大程度的加大了我们的工作量，特别是在求导数的时候，很容易出错，越往下，计算量就不断增大，那有没有一种比这种方法更加优化的方法呢？用泰勒公式来解答是一个很好方法，而0→x ，这明显的可以用泰勒公式的特殊形式，也即是麦克劳林来进行求解.又因为分母的次数为4，所以只要把x cos ,2
2
x e -错误！未找到引用源。展开到x
的4次幂即可.
解： 由上述的(3)与(1)，分别有
)
(2421cos 54
2x o x x x ++-=
错误！未找到引用源。
()
5
4
22
8212x o x x e
x ++-=-
带入极限之中，有
4
2
02
cos lim x e x x x -→-
()()
????????????++--?????
?++-=→5425424
082124211
lim x o x x x o x x x
x ()
???
???+-=→450121lim x x o x 121-=
例2 求极限??
? ?
?-+-+
→x x x x x 22ln 111lim 320
[2]
解：分析此极限，它是由很多个和的形式组成，那么可以用极限的运算法则来解决这个问题，只是初步的估计，不妨来试一试.
??? ??-+-+→x x x x x 22ln 111lim 320 x x x x x x x x -+?-+=→→→→22ln lim 1lim 1lim 1lim 030200
x x x x x x x -+?-+=→→→22ln
lim 1lim 1lim
103020
做到这里，就无法进行下去了，这样的极限可见这样做是不行的.这时，
我们要尝试用其他的办法去解决.
先作如下的变换
??
? ??
--??? ??+
=-+
=-+21ln 21ln 2
121ln 22ln x x x x
x x
由展开公式)4(，有
????????+??? ??+??? ??++????????+???
??+??? ??-=-+ 323
23312212231221222ln x x x x x x x x
错误！未找到引用源。
()
43
121x o x x ++
=
()
()
3
4
3
4
33232121112111122ln
111x
x o x x o x x x x x x x x +-=+??? ??+-+=-+-+
即
()
12
111211lim 22ln 111lim 340320=?
??
???+-=??
? ??
-+-+→→x x o x x x x x x 例3求()3
01sin lim x x x x e x x +-→[2]
解：很显然，这也是满足洛比达法则的，首先，就用洛比达法则来解这一个极限问题.
30)
1(sin lim x x x x e x x +-→
20312cos sin lim x x x e x e x x x --+=→
x x e x e x e x e x x x x x 62sin cos cos sin lim 0--++=→ 6sin cos sin cos lim 0x e x e x e x e x x x x x -+-=→ 3
1
= 用洛比达法则也能很准确的算出此极限，但是过程过于复杂，而在数学解决问题的过程当中，我们希望能够快速、准确的得到答案，体会它的数学思想。于是，认为这种方法在这里很复杂，那肯定还有其他的方法.观察题目，有很多的函数是有麦克劳林展式，也即是泰勒展式.用泰勒展式做如下：
3
0)1(sin lim x x x x e x x +-→
()()
()3433201!3!21lim x x x x o x x x o x x x +-??????+-?????
?+++=→
31
=
对比两种方法，这样的题目还是很适合用泰勒公式来做，这不仅提高了解决此类题目的速度，同时也准确率也提高了很多.错误！未找到引用源。
例4求??
?
??-→x x
x x tan 11lim 0
解：分析上述极限，解决如下：
???
??-→x x x x tan 11lim 0
()
()
3131lim 453111lim 30430=
??????+=?????????? ??+---=→→x o x o x x x x x x x
综上所述，可见泰勒公式对于极限求解还是有很大的作用.
由此可见，对于一些比较特定的极限，泰勒公式是一个非常有力的工具，运用得当会使得求函数的极限，非常的方便快捷.
未定式是指呈00,∞
∞等形式的极限，一般是用洛比达法则求解，当分子分母的阶数都是较高阶的无穷小的话，必须进行多次洛比达法则，或是分子分母都是带根号项的话，越微分会越复杂，此时若使用泰勒公式解决，会更简单，明了.
例5求下面极限x
tgx arctgx x t arcsin sin lim
--→ [3]
解：根据题意，分析可以得到:
错误！未找到引用源。
()()
()
()
?????
?++-??????++??
???
?+--??????+-=→43
43
43
43
0!333!3lim x o x x x o x x x o x x x o x x x
()()
16
6lim 43
4
3
0=++=→x o x
x o x x
例6求极限??
?
?????? ?
?+-→x x x x 11ln lim 20
解：
错误！未找到引用源。
??????????????? ??+--=∞→32211211lim x o x x x x x 21121lim 3=???
?????? ??+=∞→x o x
此题就是泰勒公式中一个很重要的运用，充分地体现了其特点，如果我们用其他的方法，来比较一下，是不是能那么简便地算出极限.
若直接用洛必达法则：
???
??
???? ??+-∞→x x x x 11ln lim 2 x x x x 1
11ln 1lim
?
?? ??+-=∞→
此时，我们不妨把错误！未找到引用源。设为x 错误！未找到引用源。，进行替换之后代入得到
()t t t t +-=→1ln 1
1lim 0
()()??????+-+=→1111ln 1lim 20t t t t t 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。
做到目前为止，还是可以看出，要想用洛必达法则求出这种题目的极限，是很麻烦的，不是我们想象的那么简单，似乎难度加大了很多.
例7 求极限2
2
11lim
x x x x --++→.
分析：此式分子含有根号项，用洛比达法则也可以求解，不过比较繁琐.若使用泰勒公式可以将问题大大简化.
解：将x +1、x -1错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。在0=x 错误！未找到引用源。点的麦克劳林公式展开到2x 项得：
()()
3
23
28211,8211x o x x x x o x x x +--=-+-+=+
()
()()
232320202
081218121lim 1
111lim 2
11lim
x
x o x x x o x x
x x x x x x x x ??????+--+??????+-=--+-+=--++→→→错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。
()
23
22081
8
1lim x x o x x x +--=→
41-
= 用泰勒公式方法计算极限的实质是一种利用等价无穷小的替代来计算极限的方法。我们知道当0→x 错误！未找到引用源。时，x x ~sin ,x x ~tan 错误！未找到引用源。等.这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展至一次项.
有些问题用泰勒公式方法和我们已熟知的等价无穷小方法相结合，问题又能进一步简化.
例8求极限()???
??
?
-→2201sin 1lim x x x . 解：
22220220)(sin )(sin lim 1)(sin 1lim x x x x x x x x -=?????
?-→→ 又()2
2cos 1sin 2x
x -=
,将x 2cos 错误！未找到引用源。用泰勒公式展开： ()
5
4
2!416!2412cos x o x x x ++-=
则
()
313lim )(sin )(sin lim 454
0222
20=+=-→→x x o x x x x x x x
假如细心思考，这一题目的结果可以引起我们的兴趣.当0→x 错误！未找到引用源。时，x x ~sin ，易知N n ∈?,()22~sin x x ,两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为3
1
.为什么是3
1？到底是什么因素造成错误！未找到引用源。这一结果？假如是()???
?
??-→n n x x x 1sin 1lim 0,情况会怎么样？ 对其进行讨论有，当0→x ,+∈N n 错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。时，有：
(1)当3≥n 错误！未找到引用源。时,
()
n
n x x 1
sin 1-错误！未找到引用源。是关于x 错误！未找到引用源。的)2(-n 错误！未找到引用源。阶无穷大；
(2)当2=n 错误！未找到引用源。时，()311sin 12
2→-x
x ; (3)当1=n 错误！未找到引用源。时，
x
x 1
sin 1-错误！未找到引用源。是关
于x 错误！未找到引用源。的一阶无穷小；
(4)当0=n 错误！未找到引用源。时，
()
01
sin 1x x -; 证明：(2)在上题已经证明了，(4)是显然成立的，这里只证明(1)、(3). 先证明(3)：
当错误！未找到引用源。时,
30200sin lim sin sin lim 11sin 1
lim x x x x x x x x x x x x x -=-=??? ?
?-→→→ 在这里，利用洛必达法则可以解出这个极限，但用泰勒公式则更便捷.因为我们知道：
()
k
k k x o k x x x x x 212153)!12()1(!5!3sin +--+-+-=--
即
()
61!3lim 11sin 1
lim 33
3
0=+=??? ?
?-→→x x o x x x x o x x 在证明(1)：当3≥n 时，有
错误！未找到引用源。 2
01)(sin 1lim -→??????-n n n x x x x n
n
n x x x x x )(sin )(sin lim 2
0-=→ ()20sin lim
+→-=n n
n x x x x
()???
???+++?-=----→112130sin sin sin lim n n n n x x x x x x x x x 错误！未找到引用源。
??
????+++-=--→→11030)(sin sin 1lim sin lim n n x x x x x x x x x
错误！未找到引用源。
6n =
命题得证.
从以上定理可以看到，当0→x 错误！未找到引用源。时，互为等价无穷小的函数的倒数之差(或更一般的说法，这些函数的乘方之差 )的趋向情况，无穷大或无穷小的阶数以及相关的极限的特点，由函数本身在0→x 错误！未找到引用源。处的泰勒展开式决定。同时容易推得，在以上结论中“错误！未找到引用源。”的条件还可以推广为 “0x x →错误！未找到引用源。”，这时相关特点将由函数本身在0x x →错误！未找到引用源。处的泰勒展开式决定.
综上所述，在求未定式极限时，要灵活运用等价无穷小与泰勒公式，并将函数展开至分子分母分别经过简化后系数不为零的阶即可.对于泰勒余项形式的选择，要根据具体题目而定，它不仅可以很方便的算出所要求的极限，而且在一些极限式的证明中，也起着非常重要的作用. 4 结论
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，它不仅仅是在极限的计算中，有着至关重要的作用，在近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用，一个重要的知识点的运用是广泛的，其价值也即凸显得淋漓尽致，而本文最主要的就是泰勒公式在极限计算中的运用，通过本文对极限计算的详细阐述，我们可以很好的了解到高阶（二阶及二阶以上）导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一.只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式再说，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定是具体数值点）.掌握一些必要的知识无疑是有很大帮助的.只
要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧.
参考文献
[1]刘玉琏,傅沛任,刘宁等著.数学分析讲义[M].第五版.北京：高等教育出版社.2008.5：264-275.
[2]吉米多维奇著.李荣湅,李值译.数学分析讲义[M].第二版.北京:高等教育出版社.2010.7：1374-1412
[3]张筑生著.数学分析新讲[M].第一版.北京大学出版社.1990.10:370-375
[4]沈燮昌,邵品琮著.数学分析纵横谈[M].第一版.北京大学出版
社.1991.5:69-71
致谢
本文是在数学与计算机科学学院梁典老师和莫贵圈老师的悉心指导下进行的.从毕业设计题目的选择、到选到课题的研究和论证，再到本毕业设计的编写、修改，每一步都有她们的细心指导和认真的解析，在每次设计遇到问题时老师们不辞辛苦的讲解才使得我的论文得以顺利的进行.在她们的指导下，我在很多方面都有所提高，老师们以严谨求实，一丝不苟的治学态度和勤勉的工作态度深深感染了我，给我巨大的启迪，鼓舞和鞭策，并成为我人生路上值得学习的榜样.使我的知识层次又有所提高.在此向导师们表示衷心地感谢！您们求真务实的态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益终生！同时感谢所有教育过我的专业老师，您们所传授的专业知识，也是我完成本论文的基础.也感谢我同一组的组员和班里的同学，是你们在我遇到难题时，帮我找到大量资料，解决难题.再次真诚感谢所有帮助过我的老师同学.由于经验匮乏，能力有限，论文中难免有许多考虑不周全的地方，希望各位老师多加指教.
泰勒公式的若干问题研究
泰勒公式的若干问题研究
毕业论文 题目泰勒公式的若干问题研究学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0901 学生吕晗 学号20090921073 指导教师徐美荣
- 22 - 二〇一三年 五 月二十五日 摘 要 本文探讨了泰勒公式的若干问题。首先给出了几种不同形式的泰勒公式并 给出了相应的证明。其次我们讨论了泰勒公式的应用问题，主要分析了泰勒公式在计算行列式，判断级数敛散性，判断函数凹凸性等方面的应用，并辅以具体的例子进行说明，另外我们研究了泰勒公式中间点的渐近性问题，主要分区间长度趋于零和区间长度趋于无穷大两种情况进行了讨论，当区间长度趋于零与无穷时中间点ξ分 别满足的条件0 1 lim m m ξ→-= 与1 (1)lim []!(1)x a n x a n β ξββ→+∞-Γ-+=-Γ-。最后讨论了泰勒公式与泰勒级数之间的关系以及泰勒公式与泰勒级数在计算方面的应用。 关键词：泰勒公式；敛散性；行列式；渐近性
ABSTRACT In this paper，we discuss some problems of Taylor formula。Firstly, we discuss the Taylor formula of different types and the corresponding proof。Secondly, we discuss the application of Taylor formula。We mainly analysis of the Taylor formula in the calculation of determinant，judging the convergence of series，determining the application of convex function combined with concrete example to explain。In addition we study the asymptotic properties of intermediate point of Taylor formula and the main partition length tends to zero and the interval length tending to infinity are discussed in two situations when the length of interval tends to zero and infinity of intermediate point condition 0 1 lim m m ξ → - = and 1 (1) lim[] !(1) x a n x a n β ξβ β →+∞ -Γ-+ = -Γ-。 Finally, we discusses the relationship between the Taylor formula and Taylor series and the Taylor formula and Taylor Series in computational applications。 Key words：Taylor formula; convergence;determinant; asymptotic behavior - 22 -
泰勒公式的证明及应用(1)
一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17)
Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同
泰勒公式的应用精选
泰勒公式及其应用 摘要
文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用
一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()! 1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()! 1()(++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 ! 2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得：
高等数学极限计算方法总结
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
泰勒公式及其在解题中的应用
本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制
泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative.
泰勒公式的证明及应用 开题报告
题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；
泰勒公式及其应用
泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项
归纳函数极限的计算方法
归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极
泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文
泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文 【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用 【作者】张廷兵 【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。 2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。那么，我们就可以表示出此函数。若函数是n次多项式 令 .于是 对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式 称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a 的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题( 定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则 其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项.
2.1方法一 证明:将上式改为 ，有 分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2] 其中 其中 其中 (至此已应用了n-1次柯西定理) 当根据右导数定义,有 同法可证: 于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕. 2.2方法二 证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有: ( 是无穷小量), 又 则 (2—1) 从(2—1)式推出: 比较无穷小量与 = = (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有: 将上边代入(2—1)式: 设 .则在处有阶导数,且设当时仍有: + (2—2) 从(2—2)中推出 比较与 :
浅谈泰勒公式及其应用
浅谈泰勒公式及其应用 摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。 关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式 泰勒公式的应用 1、利用泰勒公式求极限 对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。 例1 求2 2 4 0cos lim x x x e x - →- 分析：此题分母为4 x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。 解： 因为 2 211()2! x e x x o x =++ + 将x 换成2 2 x -有 222222 2 11()()(())22!22 x x x x e o - =+-+-+- 又 24 4cos 1()2!4! x x x o x =-++ 所以 24442 111 cos ( )()()2484 x x e x o x o x --=-+-
4 41()12 x o x =- + 故 24 42 4 41() cos 1 12lim lim 12 x x x x o x x e x x - →∞→∞- +-==- 例2 求极限2 2 40cos lim sin x x x e x -→- 解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，2 2 x e -展开到x 的4次幂即可。 24 411cos 1()2!4! x x x o x =-++ 2222 42 11()()22!2 x x x e o x -=-+-+ 故 22 40cos lim sin x x x e x -→- 4 44011( )() 4!8lim x x o x x →-+= 1 12 =- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。 例4 2 128 x x ≈+- []0,1x ∈ 的绝对误差。 解： 设( )f x =,则因为 ()01f = ()()1 2112f x x - '=+ ()102 f '= ()()3 2114f x x - ''=-+ ()104 f ''=- ()()5 2318 f x x - '''=+ 所以 ( )f x =带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：
开题报告浅谈泰勒公式及其应用
附件 7 论文（设计）管理表一 昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告 论文（设计）题目 浅谈泰勒公式及其应用 系（院） 数学系 专业班级 数学与应用数学 B1002 学科 理学 学生 姓名 马尚红 指导教师 姓名 马园媛 学号 1025809043 职称 讲师 一、选题的根据 （ 1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主 要参考文献等。 2、撰写要求： 宋体、小四号 。） 1. 选题的来源及意义 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容， 是一个用函数在某点的信息描述其附近 取值的公式。如果函数足够光滑的话， 在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下， 泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中值。 泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式的初 衷是用多项 式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说，指数函数 e x 在x 0的 附近可以用以 2 3 n 下多项式来近似地表示： e x 1 x x x x 称为指数函数在 0处的 n 阶泰勒 2! 3! n! 展开公式。这个公式只对 0附近的 x 有用， x 离 0越远，这个公式就越不准确。实际 函数值和多项式的偏差称为泰勒公式的余项。对于一般的函数，泰勒公式的系数的选 择依赖于函数在一点的各阶导数值，这个想法的原由可以由微分的定义开始。微分是 函数在一点附近的最佳线性近似： f a h f a f ' a h o h ，其中 o h 是比 h 高 阶 的无穷小。 也就是说 f a h f a f ' a h,或 f x f a f ' a x a .注意到 f x 和 f ' a x a 在a 处的零阶导数和 一阶导数都相同。对足够光滑的函数，如果一个 多 项式在 a 处的前 n 次导数值都与函数在 a 处的前 n 次导数值重合，那么这个多项 式应 该能很好地近似描述函数在 a 附近的情况。对于多元函数，也有类似的泰勒公式。设 a,r 是欧几里得空间 RN 中的开球， f 是定义在 a,r 的闭包上的实值函数，并在 每一点都存在所有的 n 1次偏导数。这时的泰勒公式为：对所有， f x 1 f a x a x x a ，其中的 是多重指标 0 ! x n 1 泰勒公式也是大学数学中的一个重要知识， 由此本文将总结几种泰勒公式的证明 及其应用。其泰勒公式在近似计算，求极限，判断函数凸凹性等方面的应用，除此之 外，它还可应用于行列式，证明不等式，判断无穷级数、无穷积分的收敛性，求函数 导数的中值估计、求曲面的渐进线方程，高阶求导等等。 2. 国内外研究状况 其中的余项也满足不等式：对所有 n 1的 满足 x
《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc
《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极
限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）
极限计算方法总结
极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。
本科毕业设计论文--泰勒公式
目录 一、泰勒公式简介 0 （一）泰勒公式的基本形式 0 （二）泰勒公式余项类型 (1) （三）泰勒公式的定理 (4) 二、泰勒公式的证明 (5) （一）泰勒公式证明初探 (5) （二）证明泰勒公式 (5) 三、泰勒公式的应用 (6) （一）利用泰勒公式求极限 (7) （二）利用泰勒公式判断函数的极值 (8) （三）利用泰勒公式判定广义积分敛散性 (9) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (10) （五）利用泰勒公式求行列式的值 (12) （六）泰勒公式在关于界的估计的应用 (13) 谢辞................................................ 错误！未定义书签。 参考文献 (16) 摘要 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式 函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数，而对泰勒公式的应用方法并未深入讨论，在教学过程中学生常因学用脱离而难以理解。 本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从不同的方面对泰勒公式进行综合论述：利用泰勒公式求极限，求无穷远处极限，证明中值公式，中值点的极限，证明不等式，导数的中值，关于界的估计，方程中的应用，用泰勒公式巧解行列式。对于泰勒公式如何更广泛的应用于高等代数中这一问题，还在进一步的研究中。 关键字：泰勒公式极限函数不等式函数方程
ABSTRACT Taylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polynomial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formula to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching process . This paper discusses some of Taylor's formula for the basic content, and focused on mathematical analysis in some applications. Taylor's formula is the mathematical analysis of the important knowledge, the use of certain topics in Taylor formula to reach the purpose of solving problems quickly. In this paper, different aspects from the Taylor formula for a comprehensive discussion: the use of Taylor's formula for the limit, for infinite distance limit, the proof of the value of the formula in the limit point to prove that inequality in the value of derivatives, it is estimated that the estimates on the sector, equations, using Taylor formula determinant clever solution.Taylor formula for how the wider use of Advanced Algebra with the problem, still further study. Key Words：Taylor formula limit function inequality function equation
利用泰勒公式研究π的计算
工科数学分析开放式讲座 第四次大作业 学院名称：电子信息工程学院 学生学号：16021058 学生姓名：李权州 指导教师：杨小远
利用泰勒公式研究π的计算 1 估算原理 即则， 令,11)(',arctan )(2x x f x x f +== .1)(')1(2=+x f x 对该方程两边求n 介导，利用莱布尼兹公式得到 0)()1()(2)()1()1()()1(2=-+++-+x f n n x nxf x f x n n n . 令x=0得到如下的递推关系式 ).0()1()0()1()1(-+--=n n f n n f 由f ’(x)=1,f ’’(x)=0知 , 12,2),!2()1(,0)0()(+==-=k n k n k f k n 因此 ).(1 2)1(...53arctan 221 253++++-+++-=k k k x o k x x x x x 当x=1时，f(x)=4 π，则可由此估算π的值. 2 估算结果 计算代码如下： #include
unsigned long int i,k; double pi,t; t=0; printf("To estimate the value of pi.\n\n"); printf("Enter a 'k',and we will expand arctanx to the (2k+1)th power of x.\n\n"); scanf("%d",&k); for(i=0;i 泰勒公式及应用论文 Prepared on 22 November 2020 毕业论文 题目：泰勒公式及应用学生姓名：陆连荣 学生学号： 05 系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别： 2012届 指导教师：向伟 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 前言： (1) 1泰勒公式 (2) 带有拉格朗日余项的泰勒公式 (2) 带有佩亚诺余项的泰勒公式 (2) 带有积分型余项的泰勒公式 (2) 带有柯西型余项的泰勒公式 (3) 2 泰勒公式的应用 (3) 利用泰勒公式求极限 (3) 利用泰勒公式证明不等式及中值问题 (5) 利用泰勒公式讨论积分及级数的敛散性 (8) 利用泰勒公式求函数的高阶导数 (11) 研究泰勒公式在近似计算中的应用 (12) 结语 (12) 致谢 (13) 参考文献 (13) 泰勒公式及应用 学生：陆连荣 指导教师：向伟 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要；泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，而且在求极限、证明不等式、讨论级数及积分的敛散性、求函数的高阶导数、证明中值公式、求解导数问题及在近似计算等中都有极其重要的作用.在本文中上述所列的几个作用都有论述，但着重论述泰勒公式在求极限、级数及积分的敛散性判断、证明不等式及中值公式与求解导数问题中的作用。 关键词：泰勒公式；应用；级数；敛散性 Taylor formula and its application Student: Lu Liangrong Instructor : Xiang Wei Department of Mathematics and Computational Science: Huainan Normal University Abstract：Taylor formula in mathematical analysis is a very important content, not only in theory occupies an important position, and in the limit, to prove inequality, discuss the convergence and divergence of ser- ies and integral of function, high order derivative, mean value formula for solving the problem of proof, derivative and approximate calculation are an extremely important role. In this paper the above listed several roles are discussed, but focuses on Taylor's formula in calculating the limit, the series and the in- tegral of the divergence and judge, the proof of inequality and median formula and solving the problem of derivative function. Key words: Taylor formula; Application; Series; Convergence and divergence泰勒公式及应用论文