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有理数的运算技巧

有理数的运算

有理数的加法

将一个或多个有理数的值相加的过程叫有理数的加法，如：23+64+52=139

分析理解

与小学加法的联系

有理数的加法与小学的加法大有不同,小学的加法不涉及到符号的问题,而有理数的加

法运算总是涉及到两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值.

法则理解

在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号:是同号还是异号,是否有0.从而确定用那一条法则.在应用过程中,一定要牢记"先符号,后绝对值",熟练以后就不会出错了.

法则拓广

多个有理数的加法,可以从左向右计算,也可以用加法的运算定律计算,但是在下笔前一定要思考好,哪一个要用定律哪一个要从左往右计算.

有理数加法法则

Ⅰ.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.

[

Ⅱ.异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值

Ⅲ.一个数与0相加,仍得这个数.

运算律

1、有理数的加法同样拥有交换律和结合律(和整数得交换律和结合律一样)用字母表示为: 交换律:a+b=b+a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。

结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。

2、三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

有理数的加法解析

一般地，同号两数相加有下面的法则：

同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

一般地，异号两数相加有下面的法则：

异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

另外，有理数相加还有以下法则：

互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数。

有理数相加的例子：

两个有理数相加，有多少种不同的情形

为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题：

。

足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”，打平为“0”．比如，赢3球记为+3，输1球记为-1．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：

(1)上半场赢了3球，下半场赢了1球，那么全场共赢了4球．也就是

(+3)+(+1)=+4．

(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球．也就是

(-2)+(-1)=-3．

现在，请同学们说出其他可能的情形．

答：上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是

(+3)+(-2)=+1；

上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是

(-3)+(+2)=-1；

上半场赢了3球下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是

(+3)+0=+3；

上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是

(-2)+0=-2；

上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是

0+0=0．

上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在请同学们仔细观察比较这7个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗也就是结果的符号怎么定绝对值怎么算

1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；

3．一个数同0相加，仍得这个数．

有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。

在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记"先符号，后绝对值",熟练以后就不会出错了。

多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

要点

￥

同号相加不变,异号相加变减.欲问符号怎么定,绝对值大号选。

在进行有理数加法运算时，一般采取：

1.是互为相反数的先加（抵消）；

2.同号的先加；

3.同分母的先加；

4.能凑整数的先加;

5.异分母分数相加,先通分,再计算.

6.几个数相加能得到整数的可以先相加。

。

记忆口诀

有理加法不含糊

同号异号分清楚

如果两数号相同

绝对相加号相从

如果两数号相异

大绝来把小绝去

结果符号大绝替

（

有理数减法

有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。其中：两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数。一不变：被减数不变。可以表示成：a－b=a+（－b）。

表达式: a-b=a+(-b)

例题1：

计算：1、（-3）-（-5）=

2、0-7=

3、（）=

[

4、0-（-8）=

例2：数轴上A、B、C、D所表示的有理数分别是+1、+3、-2、-4，用有理数减法的算式分别表示以下两点间的距离。

（1）A、B两点。（2）C、D两点。

（3）A、D两点。（4）D、C两点。

例3、世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度大约是8844米，吐鲁番盆地的海拔高度大约是－155米．两处高度相差多少米

解：8844-（-155）=8844+155=8999（米）

答：两处高度相差8999米

（强调解题格式）

：

练习

1.两个有理数相减，是否存在“不够减”的问题呢差一定小于被减数吗

2.若a与b两数相减，差是负数，则a

小结

有理数乘法

有理数乘法法则即两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何一个数与0相乘，积仍为0。有理数乘法运算律即分配律、结合律、交换律。用字母表示为：ab=ba、a(bc)=(ab)c、a(b+c)=ab+ac。

符号法则: 两数相乘，同号得正，异号得负

特殊运用: 任何数与0相乘，积仍为0

具体步骤：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例：（-5）×（-3）= +（5 x 3）=15 （-6）×4= - （6 x 4）= -24

（2）任何数与0相乘，积为0. 例：0×1=0

（3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负数；当负因数有偶数个数时，积为正数。并把其绝对值相乘。例：（-10）×〔-5〕×（）×（-6)=积为正数，而（-4）×（-7）× (-25）=积为负数

（4）几个数相乘，有一个因数为0时，积为0. 例：3×（-2）×0=0 （5）乘积为一的两个有理数互为倒数（reciprocal）。例如，—3与—1/3，—3/8与—8/3

(5)0没有倒数

(6)如果有两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数为另一个数的倒数（reciprocal)，也称这两个有理数互为倒数。例如：3与3分之一互为倒数，负八分之三与负三分之八互为倒数。

]

[同号得正，异号得负]

重点：运用有理数乘法法则正确进行计算。

难点：有理数乘法法则的探索过程，符号法则及对法则的理解。

1、创设问题情景：由于长期干旱，水库放水抗旱。每天放水2米，已经放了3天，现在水深20米，问放水抗旱前水库水深多少米学生：26米。教师：能写出算式吗学生：……教师：这涉及有理数乘法运算法则，正是我们今天需要讨论的问题（教师板书课题）

2、小组探索、归纳法则

（1）出示以下问题，学生以组为单位探索。以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西的方向为负方向。a. 2 ×3看作向东运动2米，×3看作向原方向运动3次。结果：向运动米2 ×3= b. -2 ×3-2看作向西运动2米，×3看作向原方向运动3次。结果：向运动米-2 ×3= c. 2 ×（-3）2看作向东运动2米，×（-3）看作向反方向运动3次。结果：向运动米2 ×（-3）= d. （-2）×（-3）-2看作向西运动2米，×（-3）看作向反方向运动3次。结果：向运动米（-2）×（-3）= e．被乘数是零或乘数是零，结果是人仍在原处。

（2）学生归纳法则a.符号：在上述4个式子中，我们只看符号，有什么规律（+）×（+）=（）同号得（-）×（+）=（）异号得（+）×（-）=（）异号得（-）×（-）=（）同号得 b.积的绝对值等于。c.任何数与零相乘，积仍为。

（3）师生共同用文字叙述有理数乘法法则。

（

3、运用法则计算，巩固法则。

（1）教师按课本P75 例1板书，要求学生述说每一步理由。

（2）引导学生观察、分析例1中

（3）小题两因数的关系，得出两个有理数互为倒数，它们的积为1 。

（4）学生做P76 练习1的①、③两题，教师评析。

（5）教师引导学生做P75 例2，让学生说出每步法则，使之进一步熟悉法则，同时让学生总结出多因数相乘的符号法则。多个因数相乘,积的符号由决定,当负因数个数有,积为；当负因数个数有,积为；只要有一个因数为零,积就为。

4、讨论对比，使学生知识系统化。有理数乘法有理数加法同号得正取相同的符号把绝对值相乘（-2）×（-3）=6 把绝对值相加（-2）+（-3）=-5 异号得负取绝对值大的加数的符号把绝对值相乘（-2）×3= -6 （-2）+3=1用较大的绝对值减小的绝对值任何数与零得零得任何数

5、分层作业，巩固提高。

六、教学反思：本节课由情景引入，使学生迅速进入角色，很快投入到探究有理数乘法法则上来，提高了本节课的教学效率。在本节课的教学实施中自始至终引导学生探索、

归纳，真正体现了以学生为主体的教学理念。本节课特别注重过程教学，有利于培养学生的分析归纳能力。教学效果令人比较满意。如果是在法则运用时，编制一些训练符号法则的口算题，效果可能更好。。

(完整版)有理数的大小比较的方法与技巧

有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧． 1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝987654321×987654324，B＝ 987654323×987654322，试比较A和B的大小．解：设987654321＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2) ∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2) ＝m2+3m-m2-3m-2 ＝-2＜0。 ∴A＜B。 2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．

3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小． 4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311 444＝(44)11＝25611 533＝(53)11＝12511

∴ 444＞355＞533 5、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7 特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8 解： 6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：

有理数混合运算简便算法与技巧

有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。一、四个原则： ①整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 ②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 ③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 ④分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。二、运算技巧 ①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) = (－0.5 + 2.75) + (3 41－721) = 2.25－4 41 =－2

解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) =－0.5 + 341+ 2.75－72 1 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －2 1)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法． ②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例：计算：--+-+-116223445513116 38. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。解：原式=-++--+-()()(.)116116223513445 38 =-+=-81 7 例：计算：19＋299＋3999＋49999 解：19＋299＋3999＋49999 =20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316．

初中七年级有理数的混合运算的技

一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键例1.计算：3＋50÷22×(51-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2.计算： () []23 2 3 1 5.0 1 1- - ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? - - ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）；例3：计算： ?? ? ? ? ? - + ?? ? ? ? ? - ÷ ?? ? ? ? ? - - 3 8 8 7 12 7 8 7 4 3 1 二、应用四个原则： 1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。例4.计算：-0.252÷(－1 2 )4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2

有理数运算技巧

有理数运算技巧山西省朔州市朔城区四中贾孝伟学习目标能够运用运算律对现有的计算进行简便运算．学习重点（难点）：运算律的灵活运用．教学过程：一、学前准备：有理数的乘法运算法则；（两数相乘，同号得正，异号得负，同零、同1相乘）小学学过的有关的乘法的运算律：（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）二、自学指导计算：____)3()5(____)5()3(=-?+=+?-；　 ____)]3()6[()4(____)3()]6()4[(=-?+?-=-?+?-； ____)3 1()6()21()6(____)]31()21[()6(=-?-++?-=-++?-；　概括：有理数的乘法仍满足交换率、结合律和乘法分配律．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． ba ab = 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变． )()(bc a c ab = 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． ac ab c b a +=+)( 根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．

三、例题讲解：（一）、巧用交换律与结合律（二）、逆用乘法的分配律 1、互为倒数的两数结合例1、-3×（-57）×（-31）× 74 解：原式=【-3×（-31）】【（-57）×74】=1×（-54）=-5 4 2、能互相约分的两数结合例2、-23×（-78）×415×52×（-89）× 15 11 解：原式=（-23×52）×【（-78）×（-89）】×（415× 15 11 ） =-53×79×411=-140 297=-2 140173、能凑成整数、十、百等两数结合例3、-125×（-25）×（-5）×2×（-4）×（-8）解：原式=-（125×8）×（25×4）×（5×2） =-1000×100×10

有理数运算的几种特殊方法

有理数运算的几种特殊方法王尧兴有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。一、倒序相加法例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。解：用字母S表示所求算式，即 S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。① 再将S各项倒过来写为 S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。② 将①，②两式左右分别相加，得从而有说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用表示；最后一项叫末项，通常用表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数用 n表示（），则该题也可以用等差数列的求和（）公式：来计算。二、错位相减法例2 计算的值。分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。解：设，① 所以②

②－①，得，所以。说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。三、裂项相减法例3 计算分析：一般情况下，分数计算是先通分，但本题通分计算很繁。由1＋2＋ (100) 到等差数列求和公式：，所以，又有想到，从而把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法。解：原式说明：本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相抵消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用。四、换元法在有理数运算及其他代数式的运算中，我们常常把式中出现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。例4 计算：分析：四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示它以简化计算。解：设，则

七年级有理数的混合运算的技巧

2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。例4.计算：÷(－12 )4 -(-1)101＋(-2)2×(-3)2

有理数运算常用的技巧

有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 1 1 例1、计算：一(0.5) —( —3 — ) + 2.75 —(7—) 4 2 变式：计算：-2 3 1 ：〔：；：-3 - 2^1-4 二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率. 例2、计算：19 + 299 + 3999+ 49999. 变式：计算：36.54 22 -82 63.46 三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算. 5 1 2 7 例3、计算：[4 - + (—丄)]+ [( —2) + 6 —]. 12 7 7 12 ’’ f 4) 变式：计算：-12.5 31 0.1 I 5丿四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征, 妙地逆用分对此加以灵活变形，便可巧配律，使解题简洁明快. 例4、计算：17.48 X 37+ 174.8 X 1.9 + 8.74 X 88. 3 3 2 3 3 25 12 3 3 3 3 3 变式1： (-一) 0.75 0.5 (-―)(1 )(—) 4 "(-一) 4 4 37 2 5 4 4 2 2 变式2：472634 +472635 - 472633X 472635 -472634X 472636 五、巧拆项(裂项相消) 把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷. 常见的裂项相消： ①亠丄丄

有理数混合运算的解题方法和技巧

精心整理一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键。例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。例2：计算：()[]232315.011--??? ???????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。例3 1234段呢?(1) (2) (3) (4)例（1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。（2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。（3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。（4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。（5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。例3计算2+4+6+…+2000 （6）、正逆用运算律：正难则反,逆用运算定律以简化计算。乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。例3计算：

(1)-32÷(-8×4)+2.52+(+－－)×24 (2)(－)×(－)－×(－)＋×(－) 四、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于我们抓住数学内在的本质问题。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式。若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了。例4计算：如果a 如果c 如果例，试求x2 例计算：。应分为三段：, 参加计算较为方便。解：原式 “减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率。例2 计算：。分析：此题运算顺序是：第一步计算和；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法。解：原式

有理数运算技巧

有理数运算技巧山西省朔州市朔城区四中贾孝伟学习目标能够运用运算律对现有的计算进行简便运算．学习重点（难点）：运算律的灵活运用．教学过程：一、学前准备：有理数的乘法运算法则；（两数相乘，同号得正，异号得负，同零、同1相乘） ? 小学学过的有关的乘法的运算律：（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）二、自学指导计算：____)3()5(____)5()3(=-?+=+?-；　 ____)]3()6[()4(____)3()]6()4[(=-?+?-=-?+?-；　 ____)3 1()6()21()6(____)]31()21[()6(=-?-++?-=-++?-；　概括：有理数的乘法仍满足交换率、结合律和乘法分配律．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． ba ab = : 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变． )()(bc a c ab = 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． ac ab c b a +=+)(

根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．三、例题讲解：（一）、巧用交换律与结合律 /1、互为倒数的两数结合例1、-3×（- 5 7 ）×（- 3 1 ）× 7 4 解：原式=【-3×（- 3 1 ）】【（- 5 7 ）× 7 4 】=1×（- 5 4 ）=- 5 4 2、能互相约分的两数结合例2、- 2 3 ×（- 7 8 ）× 4 15 × 5 2 ×（- 8 9 ）× 15 11 解：原式=（- 2 3 × 5 2 ）×【（- 7 8 ）×（- 8 9 ）】×（ 4 15 × 15 11 ） =- 5 3 × 7 9 × 4 11 =- 140 297 =-2 140 17 # 3、能凑成整数、十、百等两数结合例3、-125×（-25）×（-5）×2×（-4）×（-8）解：原式=-（125×8）×（25×4）×（5×2） =-1000×100×10

有理数简便运算技巧(十五法)

有理数简便运算技巧（十五法）有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。例1 计算：()()()231324-+++-++-。解：原式()()()()312234=+++-+-+-???? ()69=+- 3=-。二、凑整将和为整数的数结合计算。例2 计算：36.54228263.46+-+。解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。三、对消将相加得零的数结合计算。例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。原式()()()4453263=-+++-+-++???????? 009=++ 9=。四、组合将分母相同或易于通分的数结合。例4 计算：。解：原式55511125210624918? ???=-+-- ? ????? 517 1386=- 13 524 =-。五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。例5 计算：1111 2 5434236 -+-+。原式()111125434236?? =-+-++- +-+ ?? ? 3642212121212?? =+- +-+ ???

11221212 =+ = 六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。例 6：计算：例 8 计算： ()()()412.5310.15?? -?+?- ?- ??? 解：原式412.50.1315? ? =-? ?? ?? ? 13131=-?=-。 11 221212 =+ = 七、变序运用运算律改变运算顺序。例8 计算：()()()412.5310.15?? -?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315?? =-? ?? ??? 。。 13131=-?=- 八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。解：原式88815 59158??=---? ?? ? 8158158155898158?? =-? -?-? ??? 5313??=--- ?? ? 13 =-。九、逆用正难则反，逆用运算律改变次序。例11 计算： 2283210.2555214???? ÷--?-- ? ????? 。解：原式258715122144 ????= ?--?-- ? ????? 21811 34344 =-?+?- 1281433??= ?-+- ???

有理数加减法法则及简便运算(教师版)

有理数加减运算中的结合技巧有理数的加减混合运算是七年级数学的重点，也是同学们难以掌握，常常出错的地方，如能根据题目特征选择适当的方法，则可简化运算过程，提高解题速度与准确度。现举例如下，供同学们学习参考。一、把符号相同的加数相结合计算：（+5）+（-6）+（+4）+（+9）+（-7）+（-8）解：原式=[（+5）+（+4）+（+9）]+[（-6）+（-7）+（-8）] =（+18）+（-21） =-3 二、把和为零的加数结合例2 计算：（-15.43）+（-4.15）+（+15.20）+（+4.15）+（+0.23）+（-5）解：原式=[（-15.43）+（+15.20）+（+0.23）]+[（-4.15）+（+4.15）]+（-5） =0+0+（-5） =-5 三、把和为整数的加数相结合例3 计算：（+6.4）+（-5.1）-（-3.9）+（-2.4）-（+4.9）解：原式=（+6.4）+（-5.1）+（+3.9）+（-2.4）+（-4.9） =6.4-5.1+3.9-2.4-4.9 =（6.4-2.4）+（-5.1-4.9）+3.9 =4-10+3.9 =-2.1 四、把整数与整数，分数与分数分别相结合例4 计算：-42 3 -3 1 3 +6 1 2 -2 1 4 解：原式=（-4-3+6-2）+（-2 3 - 1 3 + 1 2 - 1 4 ） =-3-1 4 =-33 4 点评：在分拆带分数时，要注意符号。如：-42 3 =-4- 2 3 ，而不是-4+ 2 3 。五、统一形式后再结合例5 计算：（-0.125）+（-0.75）+（3 4 ）+ 1 8 +1 解：原式=（-1 8 ）+（- 3 4 ）+（- 3 4 ）+ 1 8 +1 =[（-1 8 ）+ 1 8 ]+[（- 3 4 ）+（- 3 4 ）]+1 =0+（-6 4 ）+1 =-1 2 点评：当同一个算式中既有分数，又有小数时，一般要先统一形式，具体统一成分数还是统一成小数要看哪一种计算简便。六、把分母相同或便于通分的加数相结合例6 计算：（+ 3 7 ）+（- 5 13 ）+（+ 4 7 ）+（+ 15 26 ）+（- 1 7 ）+（+3）解：原式=[（+ 3 7 ）+（+ 4 7 ）+（- 1 7 ）]+[（- 5 13 ）+（+ 15 26 ）]+（+3）= 6 7 + 5 26 +3 = 737 182 七、分组后再结合例7 计算：2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69 解：原式=（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+…+（66-67-68+69） =0+0+0=0 八、巧添辅助数后再结合例8 计算： 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 解：原式= 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 + 1 64 - 1 64 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 32 - 1 64 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 16 - 1 64 = 1 2 + 1 2 - 1 64 =1- 1 64 = 63 64 九、先拆项后结合例9 计算： 1 12 ? + 1 23 ? + 1 34 ? +…+ 1 9697 ? 解：原式=（1- 1 2 ）+（ 1 2 - 1 3 ）+（ 1 3 - 1 4 ）+…+（ 1 96 - 1 97 ） =1+（- 1 2 + 1 2 ）+（- 1 3 + 1 3 ）+…+（- 1 96 + 1 96 ）- 1 97 =1- 1 97 = 96 97 第 1 页共1 页

有理数混合运算的解题方法和技巧

1 一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键。例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。例2：计算：()[]232315.011--??? ???????? ???-- ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。例3：计算：???? ??-+???? ??-÷???? ??--388712787431 二、应用四个原则： 1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和。即（先乘方、后乘除、再加减。）把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法。 (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算。 (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。例2计算：÷(－12 )4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2 说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。三、掌握运算技巧（1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。（2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。（3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。（4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。（5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。例 3 计算2+4+6+…+2000 （6）、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。乘法分配律a(b+c)=ab+ac 在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。例3计算：

有理数简便运算技巧(十五法)

六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。例 6：计算：例 8 计算： ()()()412.5310.15?? -?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315?? =-? ?? ??? 13131=-?=-。 11221212 =+ = 七、变序运用运算律改变运算顺序。例8 计算：()()()412.5310.15??-?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315?? =-? ?? ??? 。。 13131=-?=- 八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。解：原式88815 59158??=---? ?? ? 8158158155898158?? =-? -?-? ??? 5313??=--- ?? ? 13 =-。九、逆用正难则反，逆用运算律改变次序。例11 计算： 2283210.2555214???? ÷--?-- ? ????? 。解：原式258715122144 ????= ?--?-- ? ????? 2181134344 =-?+?- 1281433??= ?-+- ??? 14 = 。

有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。例1 计算：()()()231324-+++-++-。解：原式()()()()312234=+++-+-+-???? 3=-。二、凑整将和为整数的数结合计算。例2 计算：36.54228263.46+-+。解：原式()36.5463.462282=++- 40=。三、对消将相加得零的数结合计算。例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。解：原式()()()4453263=-+++-+-++???????? 9=。四、组合将分母相同或易于通分的数结合。例4 计算：551155 21012249186---+。解：原式55511125210624918? ???=-+-- ? ?????

135 24=-。五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。例5 计算：111125434236 -+-+。解：原式()111125434236??=-+-++- +-+ ??? 11221212 =+=。例6 计算：20082009200920092009200820082008?-?。解：原式2008200910001000120092008100010001=??-?? 0=。六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。例7 计算：()23420.2534?????-+-÷- ? ????? 。解：原式312844????=-+- ÷- ? ????? 25=-。七、变序运用运算律改变运算顺序。例8 计算：()()()412.5310.15??-?+?-?- ??? 解：原式412.50.1315? ?=-??? ??? 13131=-?=-。例9 计算：38871159158????--?- ? ?? ???。解：原式8881559158 ??=---? ???

有理数的计算技巧难题【七年级上】

七年级数学：有理数计算技巧难题例1．计算 11111111 1 2344950262750????-+-++-÷+++ ? ????? 例2．计算1998×19991999?1999×19981998 例3．已知a=1166+1267+1368+1469+1570 100 1165+1266+1367+1468+1569 ????? ? ????? ，问a的整数部分是多少？例4．比较S n＝1234 +++++ 248162n n 与2的大小。例5．定义n!=1×2×3×?×n(n为正整数)，计算1×1!+2×2!+?+2007×2007!

A 卷一、填空题 01．()()()231998 12111212411154????-?---÷--?? ?????????-÷-? ???＝___________。 02．211×555+445×789+555×789+211×445＝___________。 03．1?2+3?4+?+(?1)2003?2002＝___________。 04．224690123461234512347 -?＝___________。 05．(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)＝___________。 06．2+4+6+?+2000+2002＝___________。 07．111112233420012002 ++++????＝___________。 08．1999×20002000?2000×19991999＝___________。

09．a 1＝111232+??＝23，a 2＝112343+??＝38，a 3＝113454+??＝415，a 4＝114565+??＝524 ??按上述规律a 999＝___________。 10．1 111+++133913402007的整数部分是___________。二、解答题 11．求证：()()()11111323+++++1324354624212n n n n n +=-????+++ 12．计算21001111222 + +++

有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

例4 计算：55115521012249186 ---+。解：原式555111252106 24918????=-+-- ? ????? 13524 =-。五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。例5 计算：111125434236 -+-+。解：原式()111125434236??=-+-++-+-+ ??? 11221212 =+=。例6 计算：20082009200920092009200820082008?-?。解：原式2008200910001000120092008100010001=??-?? 0=。六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。例7 计算：()23420.2534?????-+-÷- ? ????? 。解：原式312844????=-+-÷- ? ????? 25=-。七、变序运用运算律改变运算顺序。例8 计算：()()()412.5310.15??-?+?-?- ???

冀教版-数学-七年级上册-有理数计算的技巧

有理数计算的技巧 1．倒序配式相加解设原式的值为S，按各括号的例序构造配式：则S＋S′=1＋2＋3＋4＋…＋59 显然S=S′ ∴ S=885． 2．拆项正负相消例2 已知|a－1|＋（ab－2）2=0，解由已知非负数性质，得a=1，b=2，故 3．添项配对加减例3 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998=______．解添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2依次与原式各数配对，则原式=20＋200＋2000＋...＋200000000－（9＋8＋ (2)

=222222220－44=222222176． 4．逐次分解计算 5．字母代替数例5 计算：1993·19951995－1995·19931992．解设1995=a，则原式=（a－2）（a·104＋a）－a =a=1995 6．局部换元例6 计算：2－22－23－24－…－218－219＋220=_______．解－22－23－24－…－218－219=x，则2x=－23－24－…－219－220 =（－22－23－24－…－219）＋22－220 =x＋22－220，即2x=x＋22－220，∴x=4－220．故原式=2＋x＋220=2＋（4－220）＋220=6． 7．整体换元

解设所求式的值为x，则 8．分组配对 ___． 9．提取公因数例9 计算17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88=________．解原式=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44=17.48（37＋19＋44）=17.48×100=1748．10．交错约分

有理数混合运算方法技巧

有理数混合运算的方法技巧怀宁县独秀初中汪邢志有理数的混合运算是加、减、乘、除、乘方的综合应用，既复习旧知识，又为今后的学习打下基础，对这一单元的知识一定要学好，用活，切实掌握运算法则、运算律、运算顺序。有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜券。单元学习目标 1．进一步掌握有理数的运算法则和运算律。 2．能够熟练地按有理数运算顺序进行混合运算,并会用运算律简化运算。。 3．能用计算器进行较繁杂的有理数混合运算,注意培养自己的运算能力及综合运用知识解决问题的能力。二、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键例1：计算：3＋50÷22×(5 1-)－1 解：原式= ············(先算乘方) = ···············(化除为乘) = ···(先定符号，再算绝对值) ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2：计算：()[]232315.011--??? ??? ????? ? ??-- 解原式= ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行；例3：计算：23)2 3 (942-?÷-

有理数混合运算的技巧

有理数混合运算的技巧有理数的混合运算是在我们学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算的基础上进行的，是对前面所学的各种有理数运算的复习和巩固，也是学习其他运算的基础．因而是本章的重点，下面就有理数混合运算的三种常见形式进行分析．一、算式中只含加减运算例1 11323243--+．分析本题中的加减运算属于同一级运算，应从左至右运算，但考虑到加减运算可统一成加法运算，因此先将算式全部化为加法运算，然后再运用加法的交换律和结合律，将加数进行适当组合，进行简便计算．解原式＝1 21351()()1332444 +-+=-=-．在有理数的混合运算中，若只含有加减运算，一般是先把减法变为加法，然后再运用加法的运算律，将加数进行组合，进行简便计算，在组合时可采用：①把正、负数分别相加；②把互为相反数相加；③把整数、小数、分数分别相加；④把分母有倍数关系的数相加．二、算式中只含有乘除运算例2 ()191520.8442????-÷-??÷- ? ??? ??．分析本题中的乘除运算属于同一级运算，应从左至右运算．但根据除法法则可将算式统一成乘法运算，然后再运用乘法的交换律和结合律，将因数进行适当组合，进行简便计算．

在有理数的混合运算中，一般是先把除法变为乘法，然后再运用乘法的运算律，将因数进行组合，以简便计算．在组合时可采用：①把互为倒数结合相乘；②乘积为整数的因数相乘；③便于约分的因数相乘，只含有乘除运算的计算中要优先注意不漏掉积的符号．三、算式中含有不同级的混合运算例3 775 82412 ?? +- ? ?? ×24＋5.65×18－6.15×18．分析本题若按运算顺序进行计算，显得比较繁琐，观察算式的形式发现，算式中的第一部分可运用乘法的分配律较方便，结果为18，恰好与后面的都含有相同的因数18，故可再将乘法的分配律逆用，从而使复杂的运算变为简捷．解原式＝775 242424 82412 ?+?-?＋5.65×18－6.15×18 ＝18＋5.65×18－6.15×18 ＝18×(1＋5.65－6.15) ＝18×0.5＝9．在有理数的混合运算中，除遵守运算顺序的规定外，还应注意灵活运用运算律，使计算准确而快捷，乘法的分配律有两种用法： (1)把积的形式化为和的形式，即a(b＋c)＝ab＋ac； (2)逆用，把和的形式化为积的形式，即ab＋ac＝a(b＋c)．灵活运用好这两种形式往往使运算变得简捷．希望同学们通过以上的学习，在遇到有理数混合运算时要做到：一认真观察式子的形式；二巧用有理数的运算律，这样可以提高运算的速度和准确性．

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