三角形知识点全面总结
1、三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等,对应角也相等
判定:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL (Rt △≌Rt △)
2、等腰三角形的判定及性质 性质:①两腰相等
②等边对等角(即“等腰三角形的两个底角相等”)
③三线合一(即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”)
判定:①有两边相等的三角形是等腰三角形
②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
结论总结:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
【即:DE+DF=CP ,(D 为BC 上的任意一点)】
3、等边三角形的性质及判定定理
性质:①三条边都相等②三个角都相等,并且每个角都等于60度
③三线合一(即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”) ④等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。
判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
结论总结:① 高=23边【即:AB AD 2
3
=
】 ② 面积=
243边【即:24
3AB S ABC =?】 4、直角三角形的性质及判定
性质:①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。④斜边中线等于斜边一半 判定:①有一个角是直角的三角形是直角三角形
②勾股定理的逆定理(即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。”)
③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形 结论总结:直角三角形斜边上的高=斜边直角边的乘积【即:AB
BC
AC CD ?=】
A
B C
D
A
B
D A
B
C
D
A
B
C
D
E P
F B
5、线段的垂直平分线
(1)线段垂直平分线的性质及判定
性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定:①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(2)三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线:分别以线段的两个端点A 、B 为圆心,以大于AB 的一半长为半径作弧,两弧交于点M 、N ;作直线MN ,则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线。
6、角平分线
(1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;
判定:①定义法②在一个角的部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。
(2)三角形三条角平分线的性质定理
性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。
(3)如何用尺规作图法作出角平分线
结论总结:
①如图,在△ABC 中,O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点,则 A BOC ∠+?=∠2
190 ②如图, 在△ABC 中,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点,则 A BOC ∠=
∠2
1 ③如图, 在△ABC 中,O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点,则 A BOC ∠-
?=∠2
190
④如图1,在△ABC 中,AE 平分∠BAC ,AD ⊥BC ,垂足为D ,则 )(2
1
B C EAD ∠-∠=∠
A
B
P
O
E
P D
A
B
B
A
C
D
E
华师大八上全等三角形复习
知识点梳理:
知识点一:全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
知识点二:全等三角形的性质.
(1)全等三角形的对应边相等. (2)全等三角形的对应角相等.
知识点三:判定两个三角形全等的方法.
(1)SSS (2)SAS (3)ASA (4)AAS (5)HL(只对直角三形来说)知识点四:寻找全等三形对应边、对应角的规律.
①全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.
②全等三角形对应边所对的角是对应角,两个对应边所夹的角是对应角.
③有公共边的,公共边一定是对应边.
④有公共角的,公共角一定是对应角.
⑤有对顶角的,对顶角是对应角.
⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角),最小边(角)是对应边(角).
知识点五:找全等三角形的方法.
(1)一般来说,要证明相等的两条线段(或两个角),可以从结论出发,看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.(常用的办法)
(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等.
(3)可以从已知条件和结论综合考虑,看它们能否一同确定哪两个三角形全等.
(4)如无法证证明全等时,可考虑作辅助线的方法,构造成全等三角形.
知识点六:角平分线的性质及判定.
(1)角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.
(2)角平分线的判定:在角的部到角的两边距离相等的点在角平分线上.
(3)三角形三个角平分线的性质:三角形三条角平分线交于一点,且到三角形三边距离相等. 知识点七:证明线段相等的方法.(重点)
(1)中点性质(中位线、中线、垂直平分线)
(2)证明两个三角形全等,则对应边相等
(3)借助中间线段相等.
知识点八:证明角相等的方法.(重点)
(1)对顶角相等;
(2)同角或等角的余角(或补角)相等;
(3)两直线平行,错角相等、同位角相等;
(4)角平分线的定义;
(5)垂直的定义;
(6)全等三角形的对应角相等;
(7)三角形的外角等于与它不相邻的两角和.
知识点九:全等三角形中几个重要的结论.
(1)全等三角形对应角的平分线相等;
(2)全等三角形对应边上的中线相等;
(3)全等三角形对应边上的高相等.
知识点十:三角形中常见辅助线的作法.(重难点)
(1)延长中线构造全等三角形(倍长线段法);
(2)引平行线构造全等三角形;
(3)作垂直线段(或高);
(4)取长补短法(截取法).
三角形及全等三角形知识点总结
知识点1、三角形的三边关系:1、两边之和大于第三边2、两边之差小于第三边
知识点2、三角形的高线
定义:过一个三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。(即三角形的高的两个端点一个为三角形的顶点,一个为顶点所对边上的垂足)
性质:1、三角形的高线垂直于三角形一边。2、三角形高线与所在边所成角为900
3、三角形面积=?底1×高1= ?底2×高2
另外:锐角三角形三条高线在三角形,直角三角形斜边上的高线在三角形,直角边互为高线。钝角三角形钝角边上的高线在三角形外,钝角所对边上的高线在三角形。三角形的高所在直线交于一点,这一点叫垂心。
知识点3、三角形的中线
定义:三角形中,连接一个顶点和它的对边中点线段叫做三角形的中线。
中线性质:1、平分三角形一边,2、平分三角形的面积
知识点4、三角形的角平分线
定义:三角形一个角的平分线与三角形的一边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
性质:三角形的角平分线平分三角形一角。
知识点5、三角形具有稳定性。
知识点6、与三角形有关的角
(1)三角形三个角的和等于180
(2)直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形。
(3)三角形外角的性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和。
知识点7、多边形
(1)n 边形的对角线条数:n(n-3)/2。 (2)n 边形角和为(n-2) 180 (3)多边形外角和为360
。
一、知识要点:
1.全等形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等形. 2.全等形的性质:(1)形状相同.(2)大小相等.
3.全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 4.全等三角形的表示:
(1)两个全等的三角形重合时:重合的顶点叫做对应顶点;重合的边叫做对应边;重合的角叫做对应角. (2)如图,
和
全等,记作
.通常对应顶点字母写在对应位置上.
5.全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等. (2)全等三角形的周长、面积相等.
6.全等变换:只改变位置,不改变形状和大小的图形变换. 平移、翻折(对称)、旋转变换都是全等变换. 7.全等三角形基本图形
翻折法:找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形,易发现其对应元素
旋转法:两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时,易于找到对应元素
平移法:将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
8.两个三角形全等的条件
(1)全等三角形的判定1——边边边公理
三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”.
“边边边”公理的实质:三角形的稳定性(用三根木条钉三角形木架).
(2)全等三角形的判定2——边角边公理
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
(3)全等三角形的判定3——角边角公理
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写为“角边角”或“ASA”.
(4)全等三角形的判定4——角角边推论
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简称“角角边”或“AAS”.
(5)直角三角形全等的判定——斜边直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边直角边”或“HL”.判定直角三角形全等的方法:
①一般三角形全等的判定方法都适用;
②斜边-直角边公理
9、判定三角形全等方法的选择:
10、一般情况下,证明关于三角形全等的题有以下步骤:
(1)读题:明确题中的已知和求证;
(2)要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角形中
(3)、分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺什么条件。有公共边的,公共边一定是对应边,有公共角的,公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也是对应角
(5)、先证明缺少的条件
(6)、再证明两个三角形全等
(要符合书写步骤:先写在某两个三角形中、然后写条件,再写结论)
第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 2)化边为角: C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: 4. ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b < 第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形 D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是 第一章解三角形 .正弦定理: 2)化边为角: a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 )化边为角: a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 )化角为边: sin A sin B a ; sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 )化角为边:si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ① 已知两个角及任意一边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中,已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时,B 无解; ② a bsinA 或a b 时,B 有一个解; ③ bsinA a b 时,B 有两个解。 如:①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B (有一个解) ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B (有两个解) 注意:由正弦定理求角时,注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径, 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形:1) a b c a sin sin si sin 2R (其中R 是三角形外接圆的半径) b c sin sinC c 2R 沁;求出 sin C 1.正弦定理:在一个三角形中, bsin A 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b第十一章三角形知识点归纳
解三角形知识点归纳总结
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
(完整版)数学四年级下三角形知识点总结