高中数学解题策略汇总
高中数学解题策略汇总
1 . 适用条件
[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点
所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。
注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在
所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，
右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2 . 函数的周期性问题(记忆三个)
(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，
则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下
(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为
x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2
对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对
称
4 . 函数奇偶性
(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数
没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般
用于选择填空
5 . 数列爆强定律
(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角
标);(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q?mS(n)可以
迅速求q
6 . 数列的终极利器，特征根方程
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，
a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-
x)p?(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数)
7 . 函数详解补充
1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外
2、复合函数单调性：同增异减
3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次
函数曲线其实是中心对称图形。
它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横
坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过
该中心的直线与两旁相切。
8 . 常用数列bn=n×(2?n)求和Sn=(n-1)×(2?(n+1))+2
前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2
9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式
k椭=-{(b?)xo｝/{(a?)yo｝k双={(b?)xo｝/{(a?)yo｝k抛
=p/yo
注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。
10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技
已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且
a1c2≠a2c1[这个条件为了防止两直线重合)
注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀!
11 . 经典中的经典
相信邻项相消大家都知道。下面看隔项相消：对于Sn=1/(1×
3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-
1/(n+2)]
注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草
稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁!
12 . 爆强△面积公式
S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)
注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题
13 . 你知道吗?空间立体几何中：以下命题均错
(1)空间中不同三点确定一个平面(2)垂直同一直线的两直线平行(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)如果一条直线与
平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面(5)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱(6)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥
注：对初中生不适用。
14 . 一个小知识点
所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。
15 . 求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值
答案为：当n为奇数，最小值为(n?-1)/4，在x=(n+1)/2时取到; 当n为偶数时，最小值为n?/4，在x=n/2或n/2+1时取到。
16 . √〔(a?+b?)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b为正数，是统一定义域)
17 . 椭圆中焦点三角形面积公式
S=b?tan(A/2)在双曲线中：S=b?/tan(A/2)
说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。
18 . 爆强定理
空间向量三公式解决所有题目：cosA=|{向量a.向量b｝/[向量
a的模×向量b的模](1)A为线线夹角(2)A为线面夹角(但是公
式中cos换成sin)(3)A为面面夹角注：以上角范围均为[0，派
/2]。
19 . 爆强公式
1?+2?+3?+…+n?=1/6(n)(n+1)(2n+1);1?3+2?3+3?3+…
+n?3=1/4(n?)(n+1)?
20 . 爆强切线方程记忆方法
写成对称形式，换一个x，换一个y
举例说明：对于y?=2px可以写成y×y=px+px再把(xo，yo)带入
其中一个得：y×yo=pxo+px
21 . 爆强定理
(a+b+c)?n的展开式[合并之后]的项数为：Cn+22，n+2在下，2
在上
22 . 转化思想
切线长l=√(d?-r?)d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。
23 . 对于y?=2px
过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。爆强定
理的证明：对于y?=2px，设过焦点的弦倾斜角为A那么弦长可
表示为2p/〔(sinA)?〕，所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)?]
所以求和再据三角知识可知。(题目的意思就是弦AB过焦点，CD
过焦点，且AB垂直于CD)
24 . 关于一个重要绝对值不等式的介绍爆强
∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
25 . 关于解决证明含ln的不等式的一种思路
举例说明：证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)
把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。
解：令an=1/n，令Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，那么只需证an>bn即可，根据定积分知识画出y=1/x的图。an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。当然前面要证明1>ln2。
注：仅供有能力的童鞋参考!!另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln。
26 . 爆强简洁公式
向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的数量积〕/[向量b的模]。记忆方法：在哪投影除以哪个的模
27 . 说明一个易错点
若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-
x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a)=f(-x+a) 牢记
28 . 离心率爆强公式
e=sinA/(sinM+sinN)
注：P为椭圆上一点，其中A为角F1PF2，两腰角为M，N
29 . 椭圆的参数方程也是一个很好的东西，它可以解决一些最值问题。
比如x?/4+y?=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用
三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍!
30 . 仅供有能力的童鞋参考的爆强公式
和差化积sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
积化和差sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ
=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
31 . 爆强定理
直观图的面积是原图的√2/4倍。
32 . 三角形垂心爆强定理
(1)向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心，H为垂心)
(2)若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上，则它的垂心
也在这个函数图象上。
33 . 维维安尼定理(不是很重要(仅供娱乐))
正三角形内(或边界上)任一点到三边的距离之和为定值，这定值
等于该三角形的高。
34 . 爆强思路
如果出现两根之积x1x2=m，两根之和x1+x2=n
我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数再利用△大于等于0，可以得到m、n范围。
35 . 常用结论
过(2p，0)的直线交抛物线y?=2px于A、B两点。
O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度
36 . 爆强公式
ln(x+1)≤x(x>-1)该式能有效解决不等式的证明问题。
举例说明：ln(1/(2?)+1)+ln(1/(3?)+1)+…+ln(1/(n?)+1)<1(n ≥2)证明如下：令x=1/(n?)，根据ln(x+1)≤x有左右累和右边再放缩得：左和<1-1/n<1证毕!
37 . 函数y=(sinx)/x是偶函数
在(0，派)上它单调递减，(-派，0)上单调递增。
利用上述性质可以比较大小。
38 . 函数
y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减。
另外y=x?(1/x)与该函数的单调性一致。
39 . 几个数学易错点
(1)f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件(2)研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称(3)不等式的运用过程中，千万要考虑"="号是否取到(4)研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符
合通项公式，所以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否需要
分项!
40 . 提高计算能力五步曲
(1)扔掉计算器(2)仔细审题(提倡看题慢，解题快)，要知道没有
看清楚题目，你算多少都没用(3)熟记常用数据，掌握一些速算
技(4)加强心算、估算能力(5)检验
41 . 一个美妙的公式
已知三角形中AB=a，AC=b，O为三角形的外心，则向量AO×向
量BC(即数量积)=(1/2)[b?-a?]证明：过O作BC垂线，转化到
已知边上
42 . 函数
①函数单调性的含义：大多数同学都知道若函数在区间D上单调，则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小)，但有些意思可
能有些人还不是很清楚，若函数在D上单调，则函数必连续(分
段函数另当别论)这也说明了为什么不能说y=tanx在定义域内单
调递增，因为它的图像被无穷多条渐近线挡住，换而言之，不连续.还有，如果函数在D上单调，则函数在D上y与x一一对应.
这个可以用来解一些方程.至于例子不举了
②函数周期性：这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期设
f(x)为R上的函数，对任意x∈R(1)f(a±x)=f(b±x)T=(b-
a)(加绝对值，下同)(2)f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)(3)f(x-
a)+f(x+a)=f(x)T=6a(4)设T≠0，有f(x+T)=M[f(x)]其中M(x)满足M[M(x)]=x,且M(x)≠x则函数的周期为2
43 . 奇偶函数概念的推广
(1)对于函数f(x)，若存在常数a，使得f(a-x)=f(a+x)，则称f(x)为广义(Ⅰ)型偶函数，且当有两个相异实数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2(b-a)
(2)若f(a-x)=-f(a+x)，则f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数，当有两个相异实数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2(b-a)
(3)有两个实数a，b满足广义奇偶函数的方程式时，就称f(x)是广义(Ⅱ)型的奇，偶函数.且若f(x)是广义(Ⅱ)型偶函数，那么当f在[a+b/2，∞)上为增函数时，有f(x1)
44 . 函数对称性
(1)若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则函数关于(a+b/2，c/2)成中心对称(2)若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线x=a+b/2成轴对称
柯西函数方程：若f(x)连续或单调(1)若
f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),则f(x)=㏒ax(2)若
f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),则f(x)=x?u(u由初值给
出)(3)f(x+y)=f(x)f(y)则f(x)=a?x(4)若
f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-
y)=2f(x),则f(x)=ax+b特别的若f(x)+f(y)=f(x+y)，则
f(x)=kx
45 . 与三角形有关的定理或结论中学数学平面几何最基本的图形就是三角形
①正切定理(我自己取的，因为不知道名字)：在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC②任意三角形射影定理(又称第一余弦定理)：在△ABC中，
a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA③任意三角形内切圆半径r=2S/a+b+c(S为面积)，外接圆半径应该都知道了吧④梅涅劳斯定理：设A1,B1，C1分别是△ABC三边BC，CA，AB所在直线的上的点，则A1，B1，C1共线的充要条件是
CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1
46 . 易错点
(5)数列求和中，常常使用的错位相减总是粗心算错规避方法：在写第二步时，提出公差，括号内等比数列求和，最后除掉系数;(6)数列中常用变形公式不清楚，如：an=1/[n(n+2)]的求和保留四项
47 . 易错点
(7)数列未考虑a1是否符合根据sn-sn-1求得的通项公式;(8)数列并不是简单的全体实数函数，即注意求导研究数列的最值问题过程中是否取到问题
48 . 易错点
(9)向量的运算不完全等价于代数运算;(10)在求向量的模运算过程中平方之后，忘记开方。比如这种选择题中常常出现2，√2
的答案…，基本就是选√2，选2的就是因为没有开方;(11)复数
的几何意义不清晰
49 . 关于辅助角公式
asint+bcost=[√(a?+b?)]sin(t+m)其中tanm=b/a[条件：a>0]
说明：一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m，个人觉
得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。举例
说明：sinx+√3cosx=2sin(x+m)，因为tanm=√3，所以m=60度，所以原式=2sin(x+60度)
50 . A、B为椭圆x?/a?+y?/b?=1上任意两点。若OA垂直OB，
则有1/∣OA∣?+1/∣OB∣?=1/a?+1/b?
高中数学解题八个思维模式和十个思维策略
高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形
高中数学解题思想之分类讨论思想
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋ b 2＝(a ＋b)2 －2ab ＝(a －b)2 ＋2ab ； a 2 ＋a b ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －ab ＝(a －b)2 ＋3ab ； a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1[(a ＋b)2 ＋(b ＋c) 2＋(c ＋a) 2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c) 2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2 －2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α） ； x ＋ ＝(x ＋ ) －2＝(x － ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。 2. 方程x ＋y －4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 高中数学九大解题技巧 1、配法 通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的 恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常 用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、 几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多， 除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相 乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数 学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子， 使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理 一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别， △=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代 数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算 中都有非常广泛的应用。 韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个 数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数， 计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线 的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法 在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学 中常用的方法之一。 6、构造法 在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从 而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用 构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透， 有利于问题的解决。 7、面积法 平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有 时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题 的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。 用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到 求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数 量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添 置辅助线，也很容易考虑到。 8、几何变换法 在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集 合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变 高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 高中数学解题思维策略文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 第四讲 数学思维的开拓性 一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。 “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在： (1)一题的多种解法 例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义； ④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ?=2||； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，r 的最大值。 (2)一题的多种解释 例如，函数式22 1ax y =可以有以下几种解释： ①可以看成自由落体公式.2 12gt s = ②可以看成动能公式.2 12mv E = ③可以看成热量公式.2 12RI Q = 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -?+，等等。 1． 思维训练实例 例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。 思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ?????? 高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。 十、构造法 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维 方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方 向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。 历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来， 构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提， 根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带， 使解题另辟蹊径、水到渠成。 用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、 数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这 些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结 规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特 点，以便依据特点确定方案，实现构造。 再现性题组 1、求证： 3 10910 22≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则4 2511≥???? ??+??? ??+ y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证： 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a （构造图形、复数） 4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当 c a b 111+=时取等号。（构造图形） 6 、求函数y = 再现性题组简解： 1、解：设)3(92 ≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+==，用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单调递增，令：3≤12t t < 则0)1)((11)()(2 1212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(9 10322=+=≥++= f x x y 高中数学解题的21个典型方法与技巧 2018-12-26 1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有： ①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。 ②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。 ③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。 ④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。 2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→分组分解法→拆项添项法。 3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有： ①()2222a ab b a b ±+=± ②()2 222222a b c ab bc ca a b c +++++=++ ③()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ??+++++=+++++? ? ④222222224224244b b b b b b ac ax bx c a x x c a x x c a x a a a a a a ??-????++=++=+??++-=++ ? ? ??????? 4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的一般步骤是：设元→换元→解元→还元。 5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是：①设②列③解④写 6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。 ①因式分解型：()()0---?---=，两种情况为或型。 ②配成平方型：()()22 0---+---=，两种情况为且型。 7、数学中两个最伟大的解题思路： ①求值的思路 ?????→方程思想与方法列欲求值字母的方程或方程组 ②求取值范围的思路??????→不等式思想与方法欲求范围字母的不等式或不等式组 第2 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范 ［题1］ (2006年赣卷第5题) 对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A. f (0)＋f (2)< 2f (1) B. f (0)＋f (2)≤2 f (1) C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1) D. f (0)＋f (2)>2f (1) ［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目. 其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论. ［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件. (ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件. 综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C. ［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0. ［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. ［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1). 满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0 选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C. ［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3 4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. ［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合 条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1) 高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上； 高中数学经典解题技巧：平面向量 一、向量的有关概念及运算 解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点： （1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。 （2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻 （3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。 例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)= （，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +?= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力. 【思路点拨】根据所给定义逐个验证. 【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙a pn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B. 【方法技巧】自定义型信息题 1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性 二、与平面向量数量积有关的问题 解题技巧：与平面向量数量积有关的问题 1．解决垂直问题：121200,a b a b x x y y a b ⊥?=?+=其中、均为非零向量。这一条件不能忽视。 2．求长度问题：2||a a a =，特别地1122(,),(,),||(A x y B x y AB x =则 3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据 2 22 222cos(,).||||a b a b a b x x y ==++ 例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uuu r 等于（ ） 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． [数学][高中数学解题思维与 思想] 《高中数学解题思维与思想》 导读 数学家G. 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教 学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质 的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实 际情况,从以下四个方面进行讲解:...文档交流仅供参考... 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解，检查思维过程,不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确,运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度 观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变，从而培养他们的思维能力。 《思维与思想》的即时性、针对性、实用性,已在 教学实践中得到了全面验证。 一、高中数学解题思维策略 第一讲 数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化,要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：...文档交流 仅供参考... (1)善于观察 心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。...文档交流 仅供参考... 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路，找到解题方法。...文档交流 仅供参考... 例如，求和) 1(1431321211+++?+?+?n n .q D.当a>1时，p>q；当0
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