三角函数对称轴与对称中心

三角函数对称轴与对称

中心

集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

三角函数对称轴与对称中心

y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)

y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)

y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)

两角和与差的三角函数

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

积化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α

tan(2α)=2tanα/(1-tan²α)

cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)

n倍角公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…

半角公式

sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))

csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))

辅助角公式

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))

Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))

万能公式

sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))

cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))

tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))

降幂公式

sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

三角和的三角函数

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t

角的三角函数值

幂级数

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,.....及a都是常数, 这种级数称为幂级数.

泰勒展开式

泰勒展开式又叫幂级数展开法

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……

实用幂级数：

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)

sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞

cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞

arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)

在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

傅立叶级数

傅里叶级数又称三角级数

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

三角函数的数值符号

正弦第一，二象限为正，第三，四象限为负

余弦第一，四象限为正第二，三象限为负

正切第一，三象限为正第二，四象限为负

编辑本段相关概念

三角形与三角函数

1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径)

2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC

3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA

4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)

5、三角形中的恒等式：

对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明:

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有

tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

三角函数图像：

定义域和值域

sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕

tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R

cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域为 [ c-√(a²+b²) ,

c+√(a²+b²）]

初等三角函数导数

三角函数图像

y=sinx---y'=cosx

y=cosx---y'=-sinx

y=tanx---y'=1/cos^2x =sec^2x

y=cotx---y'= -1/sin^2x = - csc^2x

y=secx---y'=secxtanx

y=cscx---y'=-cscxcotx

y=arcsinx---y'=1/√(1-x²)

y=arccosx---y'= -1/√(1-x²)

y=arctanx---y'=1/(1+x²)

y=arccotx---y'= -1/(1+x²)

倍半角规律

如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2

反三角函数

三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y 为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在

0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).

反三角函数主要是三个：

y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；

sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】

证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得

其他几个用类似方法可得。

编辑本段高等数学内容

总体情况

高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)

cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2

tanx=[e^(iz)-e^(-iz)]/[ie^(iz)+ie^(-iz)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… ≦

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数－－双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

:

复数域内正余弦函数的性质

（1）对于z为实数y来说，复数域内正余弦函数的性质与通常所说的正余弦函数性质是一样的。

（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的。

（3）在复数域内不能再断言|sinz|≦1,|cosz|≦1。

（4）sinz、cosz分别为奇函数，偶函数，且以2π为周期。

编辑本段三角函数的性质定理

三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。

正弦定理

于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：

sinA / a = sinB / b = sinC/c

也可表示为：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

其中R是三角形的外接圆半径。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sin A)/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。

余弦定理

对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：c^2=a^2＋b^2－

2ab·cosC.

也可表示为：

cosC=（a^2＋b^2－c^2）/ 2ab.

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。

正切定理

对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：

(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]

编辑本段三角函数在解三次方程中的应用

一元三次方程的解是三个不相等的实根时，可用三角函数知识求出方程的解。

一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）

重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd。

总判别式：Δ=B^2－4AC。

当Δ=B^2－4AC＜0时，盛金公式④：

X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；

X(2，3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，

其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A＞0，－1＜T＜1)。

在利用卡尔丹公式解三次方程时，对于x^3+px+q=0，有

x1=√(-p/3)cos(Φ/3)

x2=√(-p/3)cos(Φ/3+2π/3)

x3=√(-p/3)cos(Φ/3+4π/3)

对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0，只需令x=y-b/(3a)即可化为上式求解。

例：一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为（为了减少占用楼顶面积，取长＞高＞宽），满储水量为(dm)^3，立体对角线为，问：如何施工才能达到设计要求

解：设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶，依题意：

X⑴＋X⑵＋X⑶=；

X⑴·X⑵·X⑶=；

X⑴^2＋X⑵^2＋X⑶^2=。

解这个方程组。

根据韦达定理，得一元三次方程：

X^3－^2＋－=0

a=1，b=－，c=，d=－。

A=；B=－；C=，

根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。

应用盛金公式④求解。

θ=90°。

把有关值代入盛金公式④，得：

X⑴=(dm)；X⑵=(dm)；X⑶=(dm)。

经检验，结果正确。

因为取长＞高＞宽，

所以，应取长为；高为；宽为来进行施工。

函数对称中心

函数图像的中心对称性 一、结论 结论1. y = f (x) 为奇函数函数?f (x)的图像关于原点O对称?f (x) + f (－x) = 0 结论2. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称? f (x) + f (2a－x) = 2b f(x) + f(2a – x)=2b?f(x+a) + f(a – x)=2b； 结论3. 函数y = f (a x+b)为奇函数，则有f (－ax+b) + f (ax+b) = 0 结论4.函数 a y k x h -= - 的对称中心为（h, k） 二、练习： 1.若函数f(x)= (x+ a)3对任意的实数x都有f(1+x) = - f(1- x), 则f(2) + f( - 1)的值是_____________. 2.函数f(x)的定义域为x∈R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x< 1进,f(x)= 2 x2– x + 1, 则当x > 1时f(x)的递减区间是________________. ３．设y = f ( 2 x + 1 ) 是一个奇函数，则y = f ( x ) 的对称中心是_______________. ４.已知函数f(x)的定义域为x∈R，且满足f(x)=- f(4 –x),当x > 2 时f ( x) 单调递增，已知m+n < 4, (m - 2) ( n – 2 ) < 0, 则f ( m) + f (n ) 的值是（） （A）恒小于0（B）恒大于是0 (C) 可以为0 (D) 可正可负 ５.已知f (x) + f (2 – x) + 2 = 0 对任意实数恒成立，则函数f (x) 图像关于_______对称 ６．函数 23 1 x y x + = + 的图像的对称轴是___________, 对称中心___________. ７.设x 是整数，给出一个流程如图，按此流程图计算，刚好处理3次，则输入的x的值是___________

三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导

三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα

高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结

三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数

二次函数的对称轴(学练结合)

二次函数的对称轴 二次函数的图像是关于某条直线对称的抛物线，这条直线就叫做对称轴。我们用公式这样表示对称轴，直线x=-b/2a，有图像可知，当二次函数图像上两点的纵坐标相等时，那么这两点必然关于对称轴对称，且对称轴为这两点横坐标之和的一半。形如：点 A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数的图像上，若y1=y2，那么图像的对称轴为 (x1+x2)/2。抛物线的顶点必然通过对称轴。所以可以根据顶点坐标直接求出对称轴。例如已知二次函数的顶点坐标为（x1，y1），那么二次函数的对称轴为直线x=x1。 在平面直角坐标坐标系中，已知两点坐标便可求其连线的中点坐标，例如：已知点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则两点连线的中点为 C((x1+x2)/2,(Y1+Y2)/2),一般情况，出题者会结合一次函数，中垂线，三角形，二次函数进行综合考查。

例题演练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（） A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴 C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2、已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 3、如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b． （1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标； （2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围； （3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

三角函数图像的对称轴与对称中心

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称， 它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ， 且平行于y 轴的无数条直线； 它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。 三角函数图像的对称轴与对称中心 特级教师 王新敞 对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和 tan()y A x ωφ=+的简图容易画错， 一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心． 1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为2x k π π=+、对称中心为(,0) k k Z π∈． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即2x k π ωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2x k π πφω=+- ()k Z ∈，这就是函数 sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1 ()x k πφω=- ()k Z ∈， 这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1 ((),0) k k Z πφω-∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心： 对称轴为x k π=、对称中心为(,0)2k π π+ k Z ∈． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出1()x k πφω= - ()k Z ∈，这就是函数cos() y A x ωφ=+的图象的对称轴方程． 对于函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令2x k πωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2x k π πφω=+- ()k Z ∈，这就是函数cos()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1((),0) 2k k Z π πφω+-∈．

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题

函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －

初中数学二次函数题型-对称轴、顶点、最值

1 二次函数题型-对称轴、顶点、最值测试 教学目标: 二次函数的对称轴、顶点、最值 二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b 2 4a 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2 －m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14 5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。 8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。 9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

二次函数的对称性

(一)、教学内容 1.二次函数得解析式六种形式 ①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0) ②顶点式（a≠０已知顶点) ③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点） ④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点） ⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上) ⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点) 2.二次函数图像与性质 对称轴: 顶点坐标: 与y轴交点坐标(0,c) 增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大 ?当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小 ☆二次函数得对称性 二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴: 与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0) 与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0） 当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大； 当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大; 【典型例题】 题型 1 求二次函数得对称轴 1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。 2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D) 3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。 4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求 它与x轴得另一个交点得坐标( , ) 5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( ) A、 B、 C、或 D、或 6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ） A、0 B、－1 C、 1 D、２ 题型2 比较二次函数得函数值大小 1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为 ( ) (A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ 2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物 线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y 1 与ｙ ２ 得大小关系就是( ) Ａ．y 1 <ｙ 2 Ｂ、 y １ =y ２ Ｃ、 y 1 ＞y ２ Ｄ、不确定 点拨:本题可用两种解法y x O –1 1 3 O –1 3 3 1

三角函数对称性习题

k (k Z)，则 x - ，所以函数y Acos( )的图象的对称轴方程 习题: 最大负值是 n 8、f (x ) =sin2x+acos2x 关于 x= 对称，求 a 的值 8 、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 y Asin( x )对称轴方程的求法是：令 sin( x ) 1，得 k i (k Z)，则x (2k 2 2 ，所以函数 Asin( x )的图象的 (2k 1) 2 对称轴方程为x 2 y Acos( x )对称轴方程的求法是：令 cos( x ) 1，得 1、 函数 y 3si n(2x R 图象的对称轴方程为 2、 函数 5 y=s in (2x+q n) 图象的对称轴方程为 3、 函数 4、 函数 1 f (x) cos(3x 2 n y=cos(2x-—) 3)的图象的对称轴方程是 的图象的对称轴方程是 5、 n y=sin(2x+ )的一条对称轴为( 4 n n n A.x=- B.x= ■ C.x=- 4 8 8 D.x= 6、 n y=cos(2x-—)的一条对称轴为 n 5 n n x=§ B.x= 了C.x= 12 71 7、 y =sin(2x+ $ )的一条对称轴为 n x=- y ,贝打= ，y 的最小正值是

、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 y Asin( x )的对称中心求法是：令sin( x ) 0,得x k (k Z), nt k k 则x (k Z)，所以函数y Asin( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称； y Acos( x )对称中心的求法是：令cos( x ) 0，得 (2k 1) 2 x k -(k Z) ，则x ---------------------------- 扌------ (k Z)，所以函数y Acos( x )的 图象关于点(__ ,0) (k Z)成中心对称； 2 习题： 1、函数y 4sin(2x -)的图象的一个对称中心是_____________________________ 6 1 2、函数y 2cos(—x —)的图象的对称中心是____________________________ 2 8 n 3、y=sin(2x+ —)的一个对称中心为( ) n 5 n n n A.( — ,0) B.( 石,0) C.( 12 ,0) D.( ,0) n 4、y=2cos(2x- ■—)的一个对称中心为( ) 3 n n n A. (n ,0 ) B. (,0 ) C. ( — ,0 ) D.(乜,0) n 5、y=cos(2x+ $ )的对称中心为(■— ,0) 则$ = ___________ , y的最小正值是___________ , y的最大负值是__________ 。 三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 k k 2 y Atan( x )对称中心的求法是：令x (k Z)，则x ，所 k 2 以函数y Atan( x )的图象关于点(，0) (k Z)成中心对称；

三角函数的两角和差及倍角公式练习题

三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。

三角函数的奇偶性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的奇偶性（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 2.下列函数中是奇函数的是( )

A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 4.函数，( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 5.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 6.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的奇偶性 7.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 8.已知函数，，则( )

A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 9.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：C 解题思路：

二次函数对称轴经典问题

高中数学二次函数对称轴典型问题练习题 二次函数在闭区间上一定存在最大值和最小值，此类问题与区间和对称轴有关，一般分为三类： ①定区间，定轴； ②定区间，动轴， ③动区间，动轴．要认真分析对称轴与区间的关系，合理地进行分类讨论，特别要注意二次项系数是否为0. 第一类问题 二次函数中的动轴定区间 例一已知函数2 142+-+-=a ax x y 在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a 的值。 〖解答〗.3 106,310,2)1(,]1,0[,2,12/;,20,32,2)2 (,20,120;6,2)0(,]1,0[,0,02 ,2,42)2(max max max 22或综上上单调递增函数在即时当故舍去矛盾与或得有即时当得有上单调递减函数在即时当对称轴为-==∴==∴>>≤≤-===≤≤≤≤-===<<=+-+--=a a f y a a a a a f y a a a f y a a a x a a a x y 第二类问题 二次函数中的定轴动区间 例二 函数f (x )＝142-+-x x 在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值记为g (t )． (1)求g (t )的解析式；(2)求g (t )的最大值 (1)对区间[t ，t ＋1](t ∈R)与对称轴x ＝2的位置关系进行讨论： ①当t ＋1<2，即t <1时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上递增，

此时g (t )＝f (t ＋1)＝－t 2＋2t ＋2； ②当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上先增后减， 此时g (t )＝f (2)＝3； 例三 已知f (x )＝)(2)34(2R a a x x a ∈+--a ∈R)，求f (x )在[0,1]上的最大 值 ()()()()()()2222[1]4122(1)3(12)241(2) 3. t f x t t g t f t t t t t t g t t t t t g t >?-++? ③当时，函数在区间，＋上递减，此时＝＝－＋－，综上，＝利用图象解得的最大值是()()()[]()()()()[]()()max max 4430342.30,140.34430341()43003430,10.12a a f x x f x f x f a a a a x a f x f x f a ????≠≠ <><-????若－＝，则＝，所以＝－＋由于在上是减函数，所以＝＝若－，即，分两种情况讨论：ⅰ若－，即，因为对称轴＝，所以在上是减函数，所以＝【】＝解析()()()()()[]max max 41()4300343112043231221124<<<0.243330,12a a x a a a f x f a a f x f a a f x ><>-<≤≤-????????-?ⅱ若－，即，因为对称轴＝ ，故又分两种情况讨论： ①当，即时，＝＝－；②当，即时，＝＝综上所述，在上的最大值是关

三角函数的对称性

三角函数的对称性 一、对称性规律： 1、 对称轴： 若 x a =是 ()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ的对 称轴，则 ()f a A =± 2、 对称中心： 若 (,0) a 是 ()sin()f x A x ω=+Φ或()cos()f x A x ω=+Φ或 ()tan()f x A x ω=+Φ的对称中心，则()0f a = 解题思路：解选择题的思路即代入法。 二、基础检测 （会考说明）1、 ）（62sin 3π +=x y 的一条对称轴可以是： （ ） A ．Y 轴； B ． 6π = x .； C ．12π -=x . D ．. 3π =x .。 （会考说明）2、）（43sin 3π -=x y 的一个对称中心可以是： （ ） A ．），（012π -； B ．），（0127π-.； C ．. ），（012 7π； D ．），（01211π. 3、已知函数（文）函数y = cos （2x -4π ）的一对称方程是 （ ） A ．x = 2π - B ．x = 4π - C ．x = 8π - D ．x = π 4、函数πsin 23y x ? ?=+ ? ? ?的图象（ ） Ａ．关于点π03?? ???，对称 Ｂ．关于直线π4x =对称

Ｃ．关于点π04?? ???，对称 Ｄ．关于直线π3x =对称 5、22.（山东卷）已知函数)12cos()12sin(π -π-=x x y ，则下列判断正确 的是（ ） （A ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(π （B ）此函数的最小正周期为 π ，其图象的一个对称中心是) 0,12(π （C ）此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π （D ）此函数的最小正周期为 π ，其图象的一个对称中心是) 0,6(π 6、(4) 给定性质：①最小正周期为π，②图象关于直线3x π =对称， 则下列函数中同时具有性质①、②的是 （ ） (A) sin()26x y π=+ (B) sin(2)6y x π =- (C) sin y x = (D) sin(2)6y x π =+

三角函数和差与二倍角公式测试试题

三角函数和差与二倍角公式试题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

三角函数和差与二倍角单元检测题 一．选择题 1. 已知x x 2sin ,31 )4sin( 则=-π 的值为 A.97 B.95 C.94 D.9 2 2. =+οοοο55cos 10cos 35cos 80cos A ． 22 B ．2 2- C ． 2 1 D ．21- 3. 已知βαβαβαcos cos ,3 1 )cos()cos(则=-++的值为 A.21 B.31 C.41 D.61 4. 已知3(,),sin ,25 παπα∈=则tan()4π α+等于 A.17 B.7 C.1 7 - D.7- 5. (文)0000 sin15cos75cos15sin105+等于 A.0 B. 1 2 C.32 D.1 6. 设α是第四象限角，53sin -=α，则=+)4 cos(2π α A.57 B.51 C .57- D.5 1 - 7. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A.-1 B. 12 - C. 1 2 D.1 8. 已知4 sin 5 θ= ，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ= A.2425- B.1225- C.45 - D.2425 9. 的值是0 15cot 15tan + 3 3 4. 4. 32. 2.D C B A + 10. 已知3 1)4sin(=- π α，则)4cos(απ +的值等于 A. 232 B.－23 2 C.31 D.－31

三角函数和差及倍角公式讲义.docx

教育学科教师辅导讲义 教学内容 一、 上次作业检查与讲解； 二、 学习要求及方法的培养： 三、 知识点分析、讲解与训练: Mite 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin (° ± 0) = sin QCOS 0 土 cos osin 0 —令空?》sin 2a = 2 sin a cos a (o±0) = cosfzcos^ + sinc^sin p — cos2a = cos?(7-sin 2 a -2cos 2 a-\ = l-2sin 2 a 7 1+COS 2Q n cos 「a= ---------- 2 .9 l — cos2o sirr a= ---------- 2 r 2 tan a tan 2a = ------- - l-tarr a 二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有： (1) 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.如 G = (Q + 0)-0 = (Q -0) + 0, 2Q = (G + 0) + (Q -0) , 2a = (0 + a)-(0-a), 心=2?呼,呼十号俘") ⑵三角函数名互化(切割化弦)， ⑶公式变形使用(tana 土tan0 = tan (仅±0)(1^tanotan")。 1 I y zy I / cos 等),

(4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2 6Z = —-—, sin%= —与升幕公式： 2 2 1+ cos 2a = 2 cos2a , 1-cos 2a = 2 sin2a)。

三角函数对称性习题

一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 )sin(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)sin(±=+?ωx ，得 )(2Z k k x ∈+=+π π?ω，则ω ?π22)12(-+=k x ，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω ?π22)12(-+=k x ； )cos(?ω+=x A y 对称轴方程的求法是：令1)cos(±=+?ωx ，得 π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω?π-= k x ，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象的对称轴方程为ω? π-=k x 。 习题： 1、函数)62sin(3π +=x y 图象的对称轴方程为 2、函数y=sin （2x+52 π）图象的对称轴方程为 3、函数)3 3cos(21)(π+=x x f 的图象的对称轴方程是 4、函数y=cos(2x- π4 ) 的图象的对称轴方程是 5、y=sin(2x+π4 )的一条对称轴为（ ） =-π4 =π8 =-π8 =π3 6、y=cos(2x-π6 )的一条对称轴为（ ） A ．x=π3 =5π12 =π12 D.π4 7、y=sin(2x+φ)的一条对称轴为x=-π8 ,则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。 8、f （x ）=sin2x+acos2x 关于x=π8 对称，求a 的值

二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 )sin(?ω+=x A y 的对称中心求法是：令0)sin(=+?ωx ，得π?ωk x =+)(Z k ∈，则ω? π-=k x )(Z k ∈，所以函数)sin(?ω+=x A y 的图象关于点)0,(ω? π-k )(Z k ∈成 中心对称； )cos(?ω+=x A y 对称中心的求法是：令0)cos(=+?ωx ，得 )(2Z k k x ∈+ =+ππ?ω，则ω?π22)12(-+=k x )(Z k ∈，所以函数)cos(?ω+=x A y 的图象关于点)0,22)12(( ω ?π-+k )(Z k ∈成中心对称； 习题： 1、函数)62sin(4π -=x y 的图象的一个对称中心是 2、函数)8 21 cos(2π-=x y 的图象的对称中心是 3、y=sin(2x+π6 )的一个对称中心为（ ） A.( π3 ,0) B.(5π12 ,0) C.(π12 ,0) D.(π6 ,0） 4、y=2cos(2x-π3 )的一个对称中心为（ ） A.（π,0）B.（π3 ,0）C. (π6 ,0）D. (π12 ,0) 5、y=cos(2x+φ)的对称中心为(π6 ,0) 则φ=________，y 的最小正值是________，y 的最大负值是________。 三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形 )tan(?ω+=x A y 对称中心的求法是：令)(2Z k k x ∈= +π?ω，则ω?π22-=k x ，所以函数)tan(?ω+=x A y 的图象关于点)0,22(ω ?π-k )(Z k ∈成中心对称；

三角函数的对称性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的对称性（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.函数在上对称轴的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案：B 解题思路： 令，解得，． ∴，解得，, ∴，即共2条对称轴． 故选B． 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性 2.方程（是参数，）表示的曲线的对称轴的方程为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： ∵， ∴．

∴方程表示的曲线为：． 令，解得，． ∴对称轴的方程为． 故选B． 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性 3.已知，函数的一条对称轴为直线，一个对称中心为 ，则有( ) A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 答案：A 解题思路： 由题意， （1）， 则，解得，． ∴可取： （2）， 则，解得，． ∴可取： 由题意知，必须同时满足（1）（2）， 则有最小值2．

故选A． 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的对称性 4.函数（）图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 由题意， 令，解得． ∴对称轴为直线，， ∵该对称轴在内， ∴， 解得，． 又， ∴当时，，可取，满足题意， 故选A． 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性

5.已知函数图象在区间上仅有两条对称轴，且，那么符合条件的值有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 解题思路： 由题意，，作出的大致图象如下： 由图知， ①，②， 由①得，；由②得，． ∵， ∴． 故选D． 试题难度：三颗星知识点：正弦函数的对称性 6.设函数与函数的对称轴完全相

三角函数和差公式

1、同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系: sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系: sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) ⒉两角与与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα ·tanβ) tan(α－β)＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ) 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦与正切公式(升幂缩角公式) sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦与正切公式(降幂扩角公式) 1－cosα sin^2(α/2)＝————— 2 1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2 1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2)

sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 万能公式推导 附推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))、、、、、、*, (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1) 再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦与正切公式 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 3tanα－tan^3(α) tan3α＝—————— 1－3tan^2(α) 三倍角公式推导 附推导: tan3α＝sin3α/cos3α ＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α),得: tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα ＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα ＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α) ＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα ＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) ＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α)) ＝4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 三倍角公式联想记忆