应力应变曲线
应力-应变曲线
MA 02139，剑桥
麻省理工学院
材料科学与工程系
David Roylance
2001年8月23日
引言
应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。所有学习材料力学的学生将经
常接触这些曲线。这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑
性材料。在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力
学性能的某些方面有初步的总体了解。本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲
线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer ）编的图集。这里提
到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。
“工程”应力-应变曲线
在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1
了。进行拉伸试验时，
杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以控制的，参见图1。传感器
与试样相串联，能显示与位移对应的载荷)(δP 的电子读数。若采用现代的伺服控制试验机，
则允许选择载荷而不是位移为控制变量，此时位移)(P δ是作为载荷的函数而被监控的。
图1 拉伸试验
在本模块中，应力和应变的工程测量值分别记作e σ和e ε，
它们由测得的载荷和位移值，及试样的原始横截面面积和原始长度按下式确定
0A 0L
1 应力-应变试验及材料力学中几乎所有的试验方法都由制定标准的组织，特别是美国试验和材料学会
(ASTM)作详尽的规定。金属材料的拉伸试验由ASTM 试验E8规定；塑料的拉伸试验由ASTM D638规定；
复合材料的拉伸试验由ASTM D3039规定。
当以应变e ε为自变量、应力e σ为函数绘制图形时，就得到如图2所示的工程应力-应变曲
线。
图2 退火的多晶体铜在小应变区的工程应力-应变曲线
（在许多塑性金属中，这一曲线具有典型性）
在应力-应变曲线的初始部分（小应变阶段），作为合理的近似，许多材料都服从胡克定
律。于是应力与应变成正比，比例常数即弹性模量或杨氏模量，记作E :
随着应变的增大，许多材料的应力与应变最终都偏离了线性的比例关系，该偏离点称为
比例极限。这种非线性通常与试样中由应力引起的“塑性”流动有关。在此阶段，材料内部
的分子或微观结构重新排列或调整，原子移动到新的平衡位置。材料呈现塑性的机理是分子
的活动性，对晶体材料，分子的活动性可由位错运动引起（在随后的模块中将深入讨论）。
若材料内部的分子缺少这种活动性，例如其内部微观结构会阻碍位错运动，则这种材料通常
是脆性而不是塑性的。脆性材料的应力-应变曲线，在其整个变形范围内都近似为直线，最
后试验因断裂而终止，没有明显的塑性流动现象。
在图2中可见，塑性材料的应变超过比例极限后，要使应变再增加，所需的应力必须在
超出比例极限后继续增加，这一现象称为应变硬化。
这些与塑性流动相关的微观结构重新调整通常在卸载后并不能逆转，因此比例极限往往
就是材料的弹性极限，或者至少两者很接近。弹性是指在卸除载荷后、材料完全并立即从强
制的变形状态恢复原形的性能，弹性极限是指这样的应力值：当材料达到此应力值后，卸载
后仍将保留永久的残余变形。要确定由给定应力引起的残余变形，可从该应力在应力-应变
曲线上达到的最高点，向应变轴画一条卸载直线，此直线的斜率与初始弹性加载直线的斜率
相同，直线与应变轴的交点对应的应变值即残余应变值。产生残余变形的原因是：材料卸载
后弹性变形虽然消失，但已没有外力强迫分子结构恢复其初始位置。
与应力-应变曲线密切相关的术语是屈服应力，在这些模块中记作Y σ。屈服应力是试样
产生塑性变形所需的应力。因为往往很难精确确定开始产生塑性变形时的应力值，故通常取
产生特定量的永久应变时（通常为0.2%）的应力为屈服应力。求“条件屈服应力”的作图
过程如图2所示：从应变轴=e ε0.2%处作斜率为E 的直线，这就是会引起特定的永久变形的
卸载线。此直线与应力-应变曲线交点处的应力即条件屈服应力。
图3所示为铜的工程应力-应变曲线，已按比例放大，该图显示了变形从零开始直至试样
断裂的全过程。由图可见，在到达标为UTS （即拉伸强度极限，在这些模块中记为f σ）的
点之前，应变硬化率2
逐渐减少。过了此点后，材料出现应变软化，对新加的应变的每一增
量只需较小的应力。
图3 退火的多晶体铜完整的工程应力-应变曲线
然而，材料从应变硬化到应变软化这一明显的改变，如同在应力-应变曲线的UTS 点看
到的应力极值一样，毕竟是人为的作图过程的产物。材料在屈服点以后，分子的流动使试样
的横截面面积显著减小,因此材料实际承受的应力A A P t /=σ要大于按原始的横截面面积
计算的工程应力(0/A P e =σ)。所加载荷应等于真实应力与实际面积的乘积（A P t σ=），
只要应变硬化引起的t σ的增大足以弥补横截面面积的减小，则载荷及相应的工程应力将
继续随着应变的增大而上升。但最终，由流动造成的横截面面积的减小要超过由应变硬化导
致的真实应力的增大，于是载荷开始下跌。这是一种几何效应，如果试验时画出的是真实应
力、而不是工程应力的话，应力-应变曲线中将不出现最大值。
A 在拉伸强度极限处，载荷P 的微分为零，由此可给出在颈缩时真实应力与横截面面积
之间的解析关系式：
最后的式子表明：当横截面面积的缩减率等于真实应力的增加率时，载荷及相应的工
程应力作为应变的函数，都将达到最大值。
在拉伸试验的实验报告中，记录得最多的材料性能可能就是拉伸强度极限。尽管如此，
由于上述几何尺寸的影响，拉伸强度极限并非对材料的直接测量值,应当慎用。当设计涉及
塑性金属时，通常宁愿用屈服应力Y σ，而不用拉伸强度极限。不过，拉伸强度极限对脆性
材料而言还是有效的设计依据，因为脆性材料不会出现因流动而使横截面面积缩减的现象。 2 应变硬化率是应力-应变曲线的斜率，也称为切线模量。
真实应力值在整个试样上并不是完全相同的，试样上总有一些区域（如表面上的划痕
或某些其他缺陷）的局部应力最大。一旦应力达到工程应力-应变曲线上的最大值时，在该
部位材料的局部流动无法由进一步的应变硬化来弥补，于是该处的横截面面积进一步缩小。
这使局部应力变得更大，从而进一步加速了材料的流动。这种局部的不断增加的材料流动很
快导致在试样标距内的“颈缩”，如图4所示。
图4 拉伸试样的颈缩
直到颈缩形成，整个试样的变形基本上是均匀的，但在颈缩后，所有随后的变形都在
颈缩处发生。颈缩处变得越来越小，局部真实应力不断地增大，直到试样被拉断。这就是大
部分塑性金属的失效模式。当颈部收缩时，颈部变化的几何形状使该处的单轴应力状态变成
复杂的应力状态——除正应力外，还有切应力分量。试样最终常以锥杯状的断口断裂，如
图5所示。由图可见，材料的外层是剪切破坏，而内部是拉伸破坏。当试样断裂时，断裂点
的工程应变（记作f ε）将把颈缩区和非颈缩区的变形包括在一起。由于材料在颈缩区的真
实应变大于非颈缩区，f ε值将取决于颈缩区的长度与试样标距的比值。所以，f ε不仅是材
料性能的函数，而且是试样几何形状的函数，因而它只是对材料塑性的粗略测量值。
图5 塑性金属的锥杯状断裂
图6所示为半晶质的热塑性塑料的工程应力-应变曲线，这种材料的响应与图3所示铜
的响应很相似。在图3中，响应显示了比例极限，随后在曲线的应力最大值处发生颈缩现象。
对塑料，通常称此应力的最大值为屈服应力，虽然塑性流动实际上在达到此应变前就已开始
了。
但聚合物和铜的响应也有显著区别：聚合物的颈部不会持续收缩到试样被拉断，而是颈
缩区的材料被拉长，直至达到“固有伸长比3”（固有伸长比是温度和试样加工工艺的函数）。
超过固有伸长比后，颈缩处的材料停止伸长，靠近颈缩处的新材料开始颈缩。于是颈缩区域
不断扩展变长，直至蔓延到试样的整个标距，这一过程称为冷拉。当拉伸由“六原子小基团”
组成的聚乙烯时,不用试验机就可看到这一过程，如图7所示。
3 固有伸长比是冷拉区的长度与同一材料原始长度之比。——译者注
并非所有聚合物都能持续这一冷拉过程。颈缩过程使材料的微观结构强化，当其破坏载
荷大于使颈缩区外围未变形材料发生颈缩所需的载荷时，才会出现冷拉现象。下文将对此作
进一步的讨论。
图6 聚酰胺（尼龙）热塑性塑料的应力-应变曲线
图7 聚乙烯材料的颈缩和冷拉
“真实”的应力-应变曲线
正如上节所述，超过弹性极限后，由于试样的尺寸与其原始值相比已有明显的改变，对
这部分的工程应力-应变曲线必须谨慎地加以诠释。使用真实应力A P t /=σ、而不是工程
应力0/A P e =σ，可以更直接地度量材料在塑性流动范围内的响应。与真实应力相对应的
常用的应变度量方法，则是取应变的增量为位移的增量除以当前的长度：
dL L
通常称此为“真实”应变或“对数”应变。
在屈服及随后的塑性流动期间，材料流动引起的体积改变可忽略不计，因为长度增加的
影响被横截面面积的减小抵消了。在颈缩前，应变沿整个试样长度仍旧是相同的，体积不变
的约束条件可写成：
比值称为伸长比，记作0/L L λ。应用这些关系式，容易导出拉应力和拉应变的真实值与工
程测量值之间的关系（见习题2）：
在应变达到开始颈缩的值之前，应用这些方程，可从工程应力-应变曲线导出真实的应力-
应变曲线。图8重画了图3，并增添了按上述方程算得的真实的应力-应变曲线，以供对照。
图8 铜的工程应力-应变曲线与真实的应力-应变曲线的比较。箭头
指出了工程曲线上的UTS （拉伸强度极限）在“真实”曲线上的位置。
发生颈缩后，应变在试样的标距内是不均匀的，这时再对更大的工程应变值计算真实的
应力-应变曲线就没有多大意义了。但若在整个拉伸试验过程中，都对颈缩处的横截面面积进行监控，则可画出完整的真实应力-应变曲线。因为由对数应变可得
图9 用幂律表示铜的塑性应力-应变关系
对塑性材料，其真实的应力-应变关系常可用简单的幂律关系来描述，如下式所示：
根据图8所示的关系，用双对数坐标画出铜的真实应力-应变数据4，如图9所示。图中，参数
=0.474称为应变硬化参数,通常作为材料抗颈缩能力的度量。塑性材料在室温下的n 值大
致为0.02到0.5。
n “康西特莱（Considere ）作图法”利用真实应力-应变曲线的形状来量化不同材料在颈
缩和冷拉过程中的差别。该法以真实应力t σ为纵坐标、伸长比0/L L =λ为横坐标，重新画
出拉伸时的应力-应变曲线。在此λσ?t 曲线上找到真实应力为任意值t σ的点，过此点和坐
标原点（原点处0=λ，不是1=λ）作割线，由式（6）可知，与t σ相对应的工程应力e
σ即此割线的斜率。
图10 康西特莱作图法：（a ）真实的应力-应变曲线没有过原点的切线 ——无颈缩或冷拉过程；（b ）有一条过原点的切线——有颈缩而
无冷拉过程；（c ）有两条过原点的切线——有颈缩和冷拉过程。
在真实的应力-应变曲线假设的许多可能形状中，考虑图10所示的向上凹、向下凹和S
形这三种情况。其区别在于过原点的割线与曲线的切点数，由此产生下述的屈服特性：
（a ）无切点：曲线始终向上凹，如图10（a ）所示，因此割线的斜率不断地增大，工程应力
也随之上升，不出现屈服引起的下降阶段。最终材料断裂，因此真实的应力-应变曲线
具有这种形状时，表明材料在屈服前就已断裂。
（b ）只有一个切点：曲线向下凹，如图10（b ）所示。割线在Y λλ=处与曲线相切，因此
割线的斜率（即工程应力）在切点处开始下降。切点对应的工程应力就是屈服应力Y σ，
它在常规的应力-应变曲线中被看作应力的最大值；Y λ就是屈服时的伸长比。屈服过程
在试样标距内的某个随机位置处开始，并在该位置处持续，不会在其他位置处又出现屈
服现象，因为在第一个位置处，割线的斜率已经下降了。试样现在就在这唯一的位置处
流动，抵抗变形的能力不断减弱，最终导致破坏。诸如铝之类的塑性材料就是以此方式
失效的，且可看到在屈服位置的横截面面积明显缩小和最终的断裂。
（c ）有两个切点：对于图10（c ）所示的S形应力-应变曲线，工程应力在伸长比为Y λ时开
4 此处t ε用的百分数应变（如应变为0.05，则百分数为5——译者注），与用实际应变值的情况相比，n 值相
同，但A 值不同。
始下降，但随后在d λ时又重新上升。与上述一个切点的情况类似，当Y λλ=时，某一
处的材料开始屈服并产生颈缩，颈缩反过来使试样标距内的应变分布不均匀。当颈缩处
的材料延伸至d λ时，要继续延伸，必须增大该处的工程应力。但此应力要大于把颈缩
区边缘的材料从Y λ拉伸至d λ时所需的应力，因此已在颈缩区的材料停止延伸，颈缩从
初始的屈服处向外扩展。扩展时，仅邻近颈缩区的材料延伸，颈缩区内部的材料保持不
变的d λ值（即材料的固有伸长比），颈缩区外部的材料保持不变的Y λ值。当所有材料
都被拉伸为颈缩区后，试样内的应力开始均匀地增大，直至最终发生断裂。
在半结晶聚合物内，冷拉过程之所以能持续进行，是因为材料微观结构的显著变化使应
变硬化率不断增加。最初，这些材料的球晶中，平的薄晶片（厚度多半为10纳米（nm ）左
右）在球形范围内呈向外放射状排列。当产生的应变增加时，球晶首先沿应变方向变形。当
应变进一步增大时，球晶破裂，薄晶片的断片重新排列，分子优先沿拉伸轴的方向取向，形
成纤维状的微观结构。强劲的共价键优先沿承受载荷的方向排成直线，材料的强度和刚度明
显高于（可能会提高一个量级）原来的材料。对于这种微观结构，增加应变需要高得多的应
变硬化率，这使真实的应力-应变曲线出现上升趋势并形成第二个切点。
应变能
单位体积的材料变形到某应变值时，所消耗的总机械能就是工程应力-应变曲线下从零
到该应变值范围内的面积。容易证明其值如下式所示：
在分子未发生滑移和其它能量耗散时，此机械能作为应变能可逆地储存在材料内。当应
力足够低、材料的变形仍在弹性范围内时，单位体积的应变能（以下简称应变能密度）就是
图11所示的三角形面积：
图11 应变能密度等于应力-应变曲线下的面积
注意：应变能密度的增加与应力或应变成二次方的关系，即随着应变的增加，由给定的
应变增量储存的应变能密度的增量是应变的二次方倍。由此可得出很重要的结论，比如一把
好弓不应只是一块弯木而已。真正的弓最初应是直的，装上弦后才变弯，这就在弓内储存了
大量应变能。当向后拉箭时，弓进一步弯曲，这与仅把弓加工成弯曲形状、无需真正弯弓射
箭的情况相比，射箭时的能量要大得多。
图12的示意图表明，若在两个不同的原有应变值上，再加上两个相同的应变增量ε?，则将产生不同的应变能密度的增量。
应力-应变曲线下从零到屈服点的面积称为回弹模量；从零到断裂点的总面积称为韧性
2
3
模量，如图13所示。用术语“模量”是因为单位体积应变能的单位为N-m/m或N/m，与应力或弹性模量的单位相同。术语“回弹”隐含下列概念：直到屈服点以前，应力对材料的影响可以消除，卸载后材料将恢复原形。但是一旦应变超过屈服点的应变值，则材料的变形是不可逆的，即使卸载后仍会保留一些残余变形。因而回弹模量反映了材料在不损伤的条件下吸收能量的多少。与此类似，韧性模量是使材料完全断裂所需要的能量。抗冲击能力强
的材料通常韧性模量值大。
图12 与应变增量对应的应变能密度的增量
不同材料吸收能量的性能
表1
图13 回弹模量和韧性模量
表15列出了一些常见材料的能量吸收值。由表可见，对天然材料和聚合物材料，单位重量所吸收的能量值可以非常高。
5 J.E. Gordon, 结构，为何建筑物不再倒塌（Structures, or Why Things Don’t Fall Down）, Plenum, New York, 1978.
在加载时，应力-应变曲线下的面积是材料单位体积吸收的应变能。反过来，卸载曲线
下的面积则是材料单位体积释放的应变能。在弹性范围内，这两块面积相等，材料不吸收任
何能量。但是，如果材料加载后进入如图14所示的塑性区域，则材料吸收的能量将超过释
放的能量，两者之差将以热能的形式耗散。
图14 能量损失等于应力-应变回线包围的面积
压缩
尽管前面的讨论主要只涉及简单拉伸，即只涉及使原子间间距增大的单轴方向加载。但
只要载荷足够小（应力小于比例极限），对许多材料而言，当试样受压而非受拉时，上述的各个关系式同样能很好地适用。例如，变形和给定载荷间的关系式AE PL =δ完全可像拉
伸时一样地应用，不过δ和P 要取负值、以表示受压。而且，拉伸和压缩时的弹性模量E 可
以足够精确地取同一个值，应力-应变曲线也只需简单地将直线延伸到第三象限即可，如图
15所示 。
图15 拉伸和压缩时的应力-应变曲线
压缩时的应力-应变试验有一些实际困难。如果在拉伸试验中，误加了一个极大的载荷
（可能是对试验机的设置错误），就算试样被拉断了，也必定可用新试样重做实验。但在压
缩时，失误很易损坏载荷传感器和其他敏感的零部件，因为即使试样破坏后，载荷也未必卸
除。
若试样所受的载荷周期性地在拉、压之间变化，而且载荷大到足以产生塑性流动的程
度（应力大于屈服应力），则应力-应变曲线中将出现滞后环。图16中环包围的面积就是在
每个加载周期中，单位体积的材料以热能形式释放出来的应变能。众所周知，将一根铁丝前
后弯曲，铁丝的塑性弯曲区就会变得相当热。试样升高的温度与产生内热的多少、材料内部
的热传导率和试样表面的热对流速率有关。
图16 滞后环
压缩减缓了试样因裂纹而引起的失效，因为在压缩应力状态下，裂纹将闭合而不是张开。
由于这一原因，许多重要材料的压缩强度远高于其拉伸强度。例如，混凝土有很高的压缩强
度，故广泛应用于以承压为主的建筑结构。但它基本上没有什么拉伸强度，人行道和建筑物
基础上的裂纹证明：当这些结构下沉时出现了拉应力，而无钢筋的混凝土在很小的拉应变下
就开裂了。
参考文献
1. Boyer, H.F., 应力-应变曲线图集（Atlas of Stress-Strain Curves）, ASM International, Metals Park, Ohio, 1987.
2. Courtney, T.H.,材料的力学行为（Mechanical Behavior of Materials）, McGraw-Hill, New York, 1990.
3. Hayden, H.W., W.G. Moffatt and J. Wulff, 材料的结构和性能（The Structure and Properties
of Materials）:Vol. III 力学行为（Mechanical Behavior）, Wiley, New York, 1965.
习题
1 下图所示为多晶体纯铝的工程应力-应变曲线，此图的数据保存在文件aluminum.txt
内，可输入到电子数据表或其他分析软件中。对这种材料，试求（a）杨氏模量；（b）0.2%
条件屈服强度；（c）拉伸强度极限（UTS）；（d）回弹模量；（e）韧性模量。
题 1 图
2 推导式（6
）给出的关系式：
3 利用式（6）给出的关系，根据题1提供的数据，画出纯多晶体铝变形至颈缩形成时
的真实应力-应变曲线。
4 像图9那样在双对数坐标轴系中重画上题的结果，以求出式（8）中适用于多晶体纯
铝的参数和。
A n 5 设式（8）中的参数= 800 MPa ，= 0.2,试画出材料在应变A n e ε= 0.4前的工程应
力-应变曲线。材料是否已发生颈缩？并解释此曲线为什么在变形至颈缩后仍是可信的（或
变成不可信的）。
6 用上题的参数值及条件（d /e σd e ε）neck =
0，求证：颈缩时的工程应变neck e ,ε= 0.221。 7 用康西特莱作图法画出如图10所示的t σ对λ的曲线，以验证上题的结果。
8
弹性材料（如橡胶）的应力-应变关系为
式中，E 为初始的弹性模量。用康西特莱作图法说明材料是否会出现颈缩或冷拉现象。
9 求证：当真实应变t ε与应变硬化指数相等时，服从式（8）的幂律材料将出现颈
缩现象。
n 10 求证：服从式（8）的幂律材料的拉伸强度极限（开始颈缩时的工程应力值）为
11 求证：应变能d ∫=σU ε可用工程应力-应变值或真实的应力-应变值来计算，所
得的结果相同。
12 求证：服从式（8）的幂律材料出现颈缩现象所需的应变能为
实验六 真实应力—应变曲线的测定(有一张白纸)
实验六 真实应力—应变曲线的测定 一、实验目的 1. 学习掌握测定与绘制真实应力—应变曲线的方法。 2. 掌握简化形式的真实应力—应变曲线的绘制方法。 3. 比较实测曲线与简化曲线，认识简化曲线的误差分布特点。 二、实验条件 1. 实验设备：60T 万能材料试验机； 2. 量具：外径千分尺，游标卡尺，半径规； 3. 材料：20钢和45钢退火状态拉伸试件各一件。 三、实验步骤及方法 1. 测定和绘制真实应力—应变曲线。 真实应力—应变曲线)(εf S = A F S /= ()A A /ln 0=ε 其中，F ——瞬时载荷（kg 或N ）； A ——瞬时断面积（mm 2）； A 0——试件原始断面积（mm 2）。 由此可见，在均匀变形阶段，只需测定瞬时载荷和相应的瞬时断面积，就可作出真实应力—应变曲线。但是，在产生缩颈以后，由于应力状态发生变化，出现了三向拉应力，因而产生了所谓“形状硬化”，使实测曲线失真，为此，需进行修正。按齐别尔修正公式： )81/(ρ d S S + '= 式中，S ——取出形状硬化后的真实应力； S'——包含形状硬化在内的真实应力； d ——缩颈处的瞬时断面直径；
ρ——缩颈处试件外形瞬时曲率半径。 因此，在产生缩颈之后，除以测定瞬时载荷F 、缩颈处瞬时直径d 以外，还需要测定相应瞬时试件外形的曲率半径ρ，才能绘制出实测的真实应力—应变曲线。 2. 绘制简化真实应力—应变曲线 （1）n B S ε=简化真实应力—应变曲线 式中，B ——材料常数； n ——加工硬化指数。 因为b n ε=，b b b S B ε ε/= 于是上式可写为：b b b S S εεε??? ? ??= 式中，S b ——刚产生缩颈时即失稳点的真实应力； b ε——失稳点的真实应力。 由此可见，只要准确测定失稳点的真实应力和真实应变，就能作出该种简化应力应变曲线。 （2）简化真实应力—应变曲线，即真实应力—应变曲线在塑性失稳点上所作的切线。由于该切线斜率为b σ，所以这条直线是很容易作出来的（参照教材有关内容）。 四、实验报告要求 1. 实验前应预习实验指导书和教材有关章节，并按附表格式预先绘制实验用记录表格二张，分别用以记录20钢和45钢试件的测量数据。 2. 实验后，整理记录数据，进行有关计算，最后将记录和计算数据填入实验报告的表格中。 3. 用坐标纸绘制实测的真实应力—应变曲线及两种简化的真实应力—应变曲线。 4. 对上述三种曲线进行分析比较，以实测曲线为基准，讨论其误差分布和适用范围。
ABAQUS真实应力和真实应变定义塑性(最新整理)
在ABAQUS 中必须用真实应力和真实应变定义塑性.ABAQUS 需要这些值并对应地在输入文件中解释这些数据。 然而，大多数实验数据常常是用名义应力和名义应变值给出的。这时，必须应用公式将塑性材料的名义应力（变）转为真实应力（变）。 考虑塑性变形的不可压缩性，真实应力与名义应力间的关系为： ， 00l A lA = 当前面积与原始面积的关系为： 0 l A A l =将A 的定义代入到真实应力的定义式中，得到： 00 ()nom F F l l A A l l σσ===其中 也可以写为。0l l 1nom ε+ 这样就给出了真实应力和名义应力、名义应变之间的关系： (1) nom nom σσε=+真实应变和名义应变间的关系很少用到，名义应变推导如下：0001nom l l l l l ε-= =-上式各加1，然后求自然对数，就得到了二者的关系： ln(1) nom εε=+ ABAQUS 中的*PLASTIC 选项定义了大部分金属的后屈服特性。ABAQUS 用连接给定数据点的一系列直线来逼近材料光滑的应力－应变曲线。可以用任意多的数据点来逼近实际的材料性质;所以，有可能非常逼真地模拟材料的真实性质。在*PLASTIC 选项中的数据将材料的真实屈服应力定义为真实塑性应变的函数。选项的第一个数据定义材料的初始屈服应力，因此，塑性应变值应该为零。 在用来定义塑性性能的材料实验数据中，提供的应变不仅包含材料的塑性应变，而是包括材料的总体应变。所以必须将总体应变分解为弹性和塑性应变分量。弹性应变等于真实应力与杨氏模量的比值，从总体应变中减去弹性应变，就得到了塑性应变，其关系为： /pl t el t E εεεεσ=-=-其中是真实塑性应变，是总体真实应变，是真实弹性应变。 pl εt εel ε
应力-应变曲线
混凝土是一种复合建筑材料，内部组成结构非常复杂。它是由二相体所组成，即粗细骨料被水泥浆所包裹，靠水泥浆的粘接力，使骨料相互粘接成为整体。如果考虑到带气泡和毛细孔隙的存在，混凝土实际是一种三相体的混合物，不能认为是连续的整体。[2] 1. 普通高强度混凝土只能测出压应力-应变曲线的上升段，因为混凝土一旦出现出裂缝，承力系统在加压过程中积累的大量弹性能突然急剧释放，使得裂缝迅速扩展，试件即刻发生破坏，无法测得应力-应变曲线的下降段。[1] 2. 拟合本文的高强混凝土和纤维与混杂纤维增强高强混凝土的受压本构方程的参数结果 图3和图4为掺杂了纤维与混杂纤维的纤维增强高强混凝土的压缩应力一应变全曲线，由曲线可以看出，纤维与混杂纤维增强高强混凝土则能够准确地测出
完整的压应力．应变曲线．纤维增强高强混凝土和混杂纤维增强高强混凝土的这两种曲线具有相同的形状啪，都由三段组成：线性上升阶段、初裂点以后的非线性上升阶段、峰值点以后的缓慢下降阶段．[2] 3.[3]再生混凝土设计强度等级为C20，C25，C30，C40，再生骨料取代率100%。标准棱柱体试件150mm*150mm*300mm，28天强度测试结果。
“等应力循环加卸载试验方法”测定再生混凝土的应力-应变全曲线，即每次加载至预定应力后再卸载至零，再次进行加载，多次循环后达不到预定应力而自动转向包络线时，进行下一级预定应力的加载。 再生粗骨料来源的地域性和差异性使再生骨料及再生混凝土的力学性能有较大差别。 4.通过对普通混凝土和高强混凝土在单轴收压时的应力应变分析发现，混凝土的弹性模量随混凝土的强度的提高而提高，混凝土弹性段的范围随混凝土强度的提高而增大，混凝土应力应变曲线的下降段，随混凝土强度的提高而越来越陡，混凝土的峰值应变与混凝土的抗压强 度无正比关系。
真实应力-真实应变曲线的测定
真实应力-真实应变曲线的测定 一、实验目的 1、学会真实应力-真实应变曲线的实验测定和绘制 2、加深对真实应力-真实应变曲线的物理意义的认识 二、实验内容 真实应力-真实应变曲线反映了试样随塑性变形程度增加而流动应力不断上升，因而它又称为硬化曲线。主要与材料的化学成份、组织结构、变形温度、变形速度等因素有关。现在我们把一些影响因素固定下来，既定室温条件下拉伸退火的中碳钢材料标准试样，由拉力传感器行程仪及有关仪器记录下拉力-行程曲线。实测瞬间时载荷下试验的瞬间直径。特别注意缩颈开始的载荷及形成，缩颈后断面瞬时直径的测量，然后计算真实应力-真实应变曲线。 σ真＝f（ε）＝B·εn 三、试样器材及设备 1、60吨万能材料试验机 2、拉力传感器 3、位移传感器 4、Y6D-2动态应变仪 5、X-Y函数记录仪 6、游标卡尺、千分卡尺 7、中碳钢试样 四、推荐的原始数据记录表格 五、实验报告内容 除了通常的要求（目的，过程……）外，还要求以下内容： 1、硬化曲线的绘制 (1)从实测的P瞬、d瞬作出第一类硬化曲线（σ-ε） (2)由工程应力应变曲线换算出真实应力-真实应变曲线 (3)求出材料常数B值和n值，根据B值作出真实应力-真实应变近似理论硬化
曲线。 2、把真实应力-真实应变曲线与近似理论曲线比较，求出最大误差值。 3、实验体会 六、实验预习思考题 1、 什么是硬化曲线？硬化曲线有何用途？ 2、 真实应力-真实应变曲线和工程应力应变曲线的相互换算。 3、 怎样测定硬化曲线？测量中的主要误差是什么？怎样尽量减少误差？ 附：真实应力-真实应变曲线的计算机数据处理 一、 目的 初步掌握实验数据的线性回归方法，进一步熟悉计算机的操作和应用。 二、 内容 一般材料的真实应力-真实应变都是呈指数型，即σ=B εn 。如把方程的二边取对数： ln σ＝lnB+nln ε， 令 y ＝ln σ；a ＝lnB ；x ＝ln ε 则上式可写成y ＝a+bx 成为一线性方程。在真实应力-真实应变曲线试验过程中，一般可得到许多σ和ε的数据，经换算后，既有许多的y 和x 值，在众多的数值中如何合理的确定a 和b 值使大多数实验数据都在线上，这可用最小二乘法来处理。 已知有测量点σ1，σ2……σk ，ε1，ε2……εk ，既有y 1y 2y 3……y k ，x 1x 2x 3……x k ，把这些数据代入回归后的线性方程y ＝a+bx 中去，必将产生误差△v 。 △v 1＝a+bx 1-y 1 △v 2＝a+bx 2-y 2 · · · △v k ＝a+bx k -y k 即 △V i ＝a+bx i -y i 我们回归得直线应满足 ∑△V ︱i 2 ,最小 △ V ︱i 2 =a 2+b 2 x ︱i 2+y ︱i 2 +2abx i -2ay i -2bx i y i ∑△V ︱i 2 = ka 2+b 2∑x i x i +∑y i y i +2ab ∑x i -2a ∑y i -2b ∑x i y i
混凝土受压应力-应变全曲线方程(描述)
混凝土受压应力－应变 全曲线方程
混凝土受压应力－应变全曲线方程 混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney 通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley 和Mchenry 的试验研究再次证实，1962年，Barnard 在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin ，P.T.Wang ，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。 钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。 1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点 经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。典型的曲线如图1所示，图中采用无量纲坐标。 s c c E E N f y x 0,,=== σ εε 式中，c f 为混凝土抗压强度；c ε为与c f 对应的峰值应变；0E 为混凝土的初始弹性模量；s E 为峰值应力处的割线模量。 此典型曲线的几何特
应力-应变曲线
应力-应变曲线 MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2001年8月23日 引言 应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。所有学习材料力学的学生将经 常接触这些曲线。这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑 性材料。在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力 学性能的某些方面有初步的总体了解。本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲 线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer ）编的图集。这里提 到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。 “工程”应力-应变曲线 在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1 了。进行拉伸试验时， 杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以控制的，参见图1。传感器 与试样相串联，能显示与位移对应的载荷)(δP 的电子读数。若采用现代的伺服控制试验机， 则允许选择载荷而不是位移为控制变量，此时位移)(P δ是作为载荷的函数而被监控的。 图1 拉伸试验 在本模块中，应力和应变的工程测量值分别记作e σ和e ε， 它们由测得的载荷和位移值，及试样的原始横截面面积和原始长度按下式确定 0A 0L 1 应力-应变试验及材料力学中几乎所有的试验方法都由制定标准的组织，特别是美国试验和材料学会 (ASTM)作详尽的规定。金属材料的拉伸试验由ASTM 试验E8规定；塑料的拉伸试验由ASTM D638规定； 复合材料的拉伸试验由ASTM D3039规定。
高分子材料应力-应变曲线的测定
化学化工学院材料化学专业实验报告 实验名称：高分子材料应力-应变曲线的测定 年级： 10级材料化学 日期: 2012-10-25 姓名： 学号： 同组人： 一、 预习部分 聚合物材料在拉力作用下的应力-应变测试是一种广泛使用的最基础的力学试验。聚合物的应力-应变曲线提供力学行为的许多重要线索及表征参数（杨氏模量、屈服应力、屈服伸长率、破坏应力、极限伸长率、断裂能等）以评价材料抵抗载荷，抵抗变形和吸收能量的性质优劣；从宽广的试验温度和试验速度范围内测得的应力-应变曲线有助于判断聚合物材料的强弱、软硬、韧脆和粗略估算聚合物所处的状况与拉伸取向、结晶过程，并为设计和应用部门选用最佳材料提供科学依据。 1、应力—应变曲线 拉伸实验是最常用的一种力学实验，由实验测定的应力应变曲线，可以得出评价材料性能的屈服强度，断裂强度和断裂伸长率等表征参数，不同的高聚物、不同的测定条件，测得的应力—应变曲线是不同的。 应力与应变之间的关系，即：P bd σ= 00100%t I I I ε-= ? E ε σ = 式中 σ——应力，MPa ； ε——应变，％； E ——弹性模量，MPa ； A 为屈服点，A 点所对应力叫屈服应力或屈服强度。 的为断裂点，D 点所对应力角断裂应力或断裂强度 聚合物在温度小于Tg(非晶态) 下拉伸时，典型的应力-应变曲线(冷拉曲线)如下图
曲线分以下几个部分： OA：应力与应变基本成正比(虎克弹性)。--弹性形变 屈服点B：应力极大值的转折点，即屈服应力(sy)；屈服应力是结构材料使用的最大应力。--屈服成颈 BC：出现屈服点之后，应力下降阶段--应变软化 CD：细颈的发展，应力不变，应变保持一定的伸长--发展大形变 DE：试样均匀拉伸，应力增大，直到材料断裂。断裂时的应力称断裂强度( sb )，相应的应变称为断裂伸长率(eb) --应变硬化 通常把屈服后产生的形变称为屈服形变，该形变在断裂前移去外力，无法复原。但如果将试样温度升到其Tg附近，形变又可完全复原，因此它在本质上仍属高弹形变，并非粘流形变，是由高分子的链段运动所引起的。 根据材料的力学性能及其应力-应变曲线特征，可将应力-应变曲线大致分为六类：(a)材料硬而脆：在较大应力作用下，材料仅发生较小的应变，在屈服点之前发生断裂，有高模量和抗张强度，但受力呈脆性断裂，冲击强度较差。 (b)材料硬而强：在较大应力作用下，材料发生较小的应变，在屈服点附近断裂，具高模量和抗张强度。 (c)材料强而韧：具高模量和抗张强度，断裂伸长率较大，材料受力时，属韧性断裂。 (d)材料软而韧：模量低，屈服强度低，断裂伸长率大，断裂强度较高，可用于要求形变较大的材料。 (e)材料软而弱：模量低，屈服强度低，中等断裂伸长率。如未硫化的天然橡胶。 (f)材料弱而脆：一般为低聚物，不能直接用做材料。 注意：材料的强与弱从σb比较；硬与软从E(σ/e)比较；脆与韧则主要从断裂伸长率比较。
真实应力—应变曲线拉伸实验
实验一 真实应力—应变曲线拉伸实验 一、实验目的 1、理解真实应力—应变曲线的意义，并修正真实应力—应变曲线。 2、计算硬化常数B 和硬化指数n ，列出指数函数关系式n S Be =。 3、验证缩颈开始条件。 二、基本原理 1、绘制真实应力—应变曲线 对低碳钢试样进行拉伸实验得到的拉伸图，纵坐标表示试样载荷，横坐标表示试样标距的伸长。经过转化，可得到拉伸时的条件应力—应变曲线。在条件应力—应变曲线中得到的应力是用载荷除以试样拉伸前的横截面积，而在拉伸变形过程中，试样的截面尺寸不断变化，因此条件应力—应变曲线不能真实的反映瞬时应力和应变关系。需要绘制真实应力 —应变曲线。 在拉伸实验中，条件应力用σ表示，条件应变（工程应变）用ε表示，分别用式(1)和(2)计算。 A F = σ (1) 式中，σ为条件应力；F 为施加在试样上的载荷；0A 为试样拉伸前的横截面积。 000 l l l l l ε-?= = (2) 式中，ε为工程应变；l 为试样拉伸后的长度；0l 为试样拉伸前的长度。 真实应力用S 表示，真实应变用∈表示，分别用式(3)和(4)计算。 )1()1(0 εσε+=+== A F A F S (3) 式中，S 为真实应力；F 为施加在试样上的载荷；0A 为试样拉伸前的横截面积；σ为条件应力； ε为工程应变。 )1(ε+=n l e (4) 式中，e 为真实应变；ε为工程应变。 由式(1)和(2)可知，只要测出施加在试样上的载荷以及拉伸前的横截面积，可以计算出条件应力和工程应变；根据式(3)和(4)，就可以计算出真实应力和真实应变。测出几组不同的数据，就可以绘制真实应力应变曲线。 2、修正真实应力—应变曲线 在拉伸实验中，当产生缩颈后，颈部应力状态由单向变为三向拉应力状态，产生形状硬化，使应力发生变化。为此，必须修正真实应力—应变曲线。 修正公式如下：
如何用Origin画应力应变曲线
如何用Origin画应力应变曲线 edited by: jsphnee,2011-11-22 本文是作者从小白开始一步一步学着用excel和origin作应力应变曲线的经验分享，只适于初学者，有不对的地方还请高手多多指教。在此也一并感谢网上提供origin及excel相关技巧解答的同志们。 一、数据导出 1.用Access打开数据库，并将OriginalData导出到excel中（97-03版，否则ori打不 开）； 2.打开导出的OriginalData.xls文件和试验报告文件（实验结果中另一个以日期命名的 excel文件，Tip：为方便统一打开与存放，可将试验报告文件复制到OriginalData的新工作表sheet中，可命名为report）； 3.保存，并更改文件名，（Tip：每次更改后都点一下保存，以免程序卡死时丢失数 据。） 4.新建以试样编号命名的sheet，有几组试样就建几个sheet；
二、数据处理 1.筛选各个试样的拉伸数据 在OriginalData中，选中TestNo列，再点数据工具栏中的筛选。 点击列标题旁的下拉箭头，出现下面左图中的对话框。 取消全选，依次选中一个TestNo后确定，便能筛选出各次拉伸试验的数据，如上图中右边的对话框所示。（一个试样对应一个TestNo）
（虽然一组试样对应多个TestNo，但为后续处理的方便，个人认为此处还是一个一个筛选比较好。） 2、复制LoadValue及ExtendValue值 选中LoadValue及ExtendValue列，并将其复制到相应试验组的sheet中。 然后按照相同的步骤依次筛选该组的各个拉伸试样的数据拷贝到该sheet中。如下图：
真实应力—应变曲线拉伸实验精选文档
真实应力—应变曲线拉伸实验精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-
实验一 真实应力—应变曲线拉伸实验 一、实验目的 1、理解真实应力—应变曲线的意义，并修正真实应力—应变曲线。 2、计算硬化常数B 和硬化指数n ，列出指数函数关系式n S Be =。 3、验证缩颈开始条件。 二、基本原理 1、绘制真实应力—应变曲线 对低碳钢试样进行拉伸实验得到的拉伸图，纵坐标表示试样载荷，横坐标表示试样标距的伸长。经过转化，可得到拉伸时的条件应力—应变曲线。在条件应力—应变曲线中得到的应力是用载荷除以试样拉伸前的横截面积，而在拉伸变形过程中，试样的截面尺寸不断变化，因此条件应力—应变曲线不能真实的反映瞬时应力和应变关系。需要绘制真实应力—应变曲线。 在拉伸实验中，条件应力用σ表示，条件应变（工程应变）用ε表示，分别用式(1)和(2)计算。 A F = σ (1) 式中，σ为条件应力；F 为施加在试样上的载荷；0A 为试样拉伸前的横截面积。 000 l l l l l ε-?= = (2) 式中，ε为工程应变；l 为试样拉伸后的长度；0l 为试样拉伸前的长度。 真实应力用S 表示，真实应变用∈表示，分别用式(3)和(4)计算。 )1()1(0εσε+=+==A F A F S (3) 式中，S 为真实应力；F 为施加在试样上的载荷；0A 为试样拉伸前的横截面积；σ为条件应力； ε为工程应变。 )1(ε+=n l e (4) 式中，e 为真实应变；ε为工程应变。 由式(1)和(2)可知，只要测出施加在试样上的载荷以及拉伸前的横截面积，可以计算出条件应力和工程应变；根据式(3)和(4)，就可以计算出真实应力和真实应变。测出几组不同的数据，就可以绘制真实应力应变曲线。
真应力-真应变曲线
真应力-真应变曲线(true stress-logarithmic strain curves) 表征塑性变形抗力随变形程度增加而变化的图形，又称硬化曲线。它定量地描述了塑性变形过程中加工硬化增长的趋势，是金属塑性加工中计算变形力和分析变形体应力-应变分布情况的基本力学性能数据。 硬化曲线的纵坐标为真应力，横坐标为真应变。试验时某瞬间载荷与该瞬间试件承力面积之比称真应力(或真抗力，即真实塑性变形抗力)。硬化曲线可用拉伸、扭转或压缩的方法来确定，其中应用较广的为拉伸法。根据表示变形程度的公式不同，用拉伸图计算所得硬化曲线有3种，如图1所示。第1种是S-δ曲线，表示真应力与延伸率之间的关系。第2种是S-φ曲线，是真应力与断面收缩率的关系曲线。第3种是S-ε曲线，是真应力与对数变形之间的关系曲线。由于φ与ε的变化范围为0～1，所以第2、3种硬化曲线可直观地看出变形程度的大小，使用时较为方便。 S-δ曲线的制作先作圆柱试件拉伸试验获取拉伸图(拉力P与试件绝对仲长Δl的关系图)，如图2a所示。然后按下述方法计算出曲线上各点的真应力S和对应的断面收缩率φ，根据所获数据绘制S-φ曲线，如图2b所示。
按式(4)与(6)可求出试件出现细颈前的那段曲线，因为该曲线的变形沿试件长度上是均匀的，符合体积不变条件。 当拉伸力达最大时，变形迅速集中并形成细颈，细颈部位受三向拉仲应力作用而逐渐变小，最终发生破断。由于形成细颈后变形发展得极不均匀，每瞬间参加变形的体积不知，故不能用公式计算这个阶段中曲线上任意点处的应力与应变；实用中只能按细颈中断口部位面积F f及断裂时的拉伸力P f来算出断点处的真实断裂应力S K及真实断裂应变φK，然后将该点与出现细颈前所算出的点，用光滑曲线联结即可组成一条完整的曲线(图2b)。
真实应力应变与工程应力应变—区别、换算
真实应力应变与工程应力应变 工程应力和真实应力有什么区别？ 首先请看这张图: 这里面的Stress和Strain就是指的工程应力和工程应变，满足这个关系：
但实际上，从前一张图上就可以看出，拉伸变形是有颈缩的，因此单纯的比例关系意义是不大的，因而由此绘出的图也可能给人带来一些容易产生误解的信息，比如让人误认为过了M点金属材料本身的性能会下降。但其实我们可以看到，在断口处A（这个面积才代表真正的受应力面）是非常小的，因而材料的真实强度时上升了的（是指单位体积或者单位面积上的，不是结构上的）。 因而真实应力被定义了出来： 这个是真实应力，其中Ai是代表性区域（cross-sectional area，是这么翻的吧？）前面的例子中是颈缩区截面积。 然后就可以根据某些数学方法推出真实应变：
但具体怎么推的别问我，因为我也不知道…… 但这两个式子在使用上还是不那么直接，因而我们引入体积不变条件Aili＝A 0l0然后可以得到： 和 但似乎只有在颈缩刚刚开始的阶段这两个式子才成立。 下面这张图是真实应力应变和工程应力引力应变的对照图： 其中的Corrected是指的考虑了颈缩区域复杂应力状态后作的修正。 3.6 真实应力－应变曲线
单向均匀拉伸或压缩实验是反映材料力学行为的基本实验。 流动应力（又称真实应力）——数值上等于试样瞬间横断面上的实际应力，它是金属塑性加工变形抗力的指标。 一.基于拉伸实验确定真实应力－应变曲线 1.标称应力－应变曲线 室温下的静力拉伸实验是在万能材料试验机上以小于的应变速率下进行的。标称应力－应变曲线不能真实地发映材料在塑性变形阶段的力学特征。 2.真实应力－应变曲线 A.真实应力－应变曲线分类 分三类： Ⅰ．Y －ε； Ⅱ．Y －ψ； Ⅲ．Y －∈； B.第三类真实应力－应变曲线的确定 方法步骤如下： Ⅰ．求出屈服点σs（一般略去弹性变形） 式中P s——材料开始屈服时的载荷，由实验机载荷刻度盘上读出； A o——试样原始横截面面积。 Ⅱ．找出均匀塑性变形阶段各瞬间的真实应力Y和对数应变Ε
几个基本常数弹性模量-泊松比-应力应变曲线
全应力-应变曲线 测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。 刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。 强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等 刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。 刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义: 一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。 [C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。 [D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。 对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。 物理概念：杨氏模量和泊松比 在弹性范围内大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨氏模量。而横向应变与纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。 杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物
应力应变曲线
应力应变曲线 stress-strain curve 在工程中，应力和应变是按下式计算的： 应力（工程应力或名义应力）ζ=P/A。，应变（工程应变或名义应变）ε=（L-L。）/L。 式中，P为载荷；A。为试样的原始截面积；L。为试样的原始标距长度；L 为试样变形后的长度。 这种应力-应变曲线通常称为工程应力-应变曲线，它与载荷-变形曲线相似，只是坐标不同。从此曲线上，可以看出低碳钢的变形过程有如下特点：当应力低于ζe 时，应力与试样的应变成正比，应力去除，变形消失，即试样处于弹性变形阶段，ζe 为材料的弹性极限，它表示材料保持完全弹性变形的最大应力。 当应力超过ζe 后，应力与应变之间的直线关系被破坏，并出现屈服平台或屈服齿。如果卸载，试样的变形只能部分恢复，而保留一部分残余变形，即塑性变形，这说明钢的变形进入弹塑性变形阶段。ζs称为材料的屈服强度或屈服点，对于无明显屈服的金属材料，规定以产生0.2%残余变形的应力值为其屈服极限。 当应力超过ζs后，试样发生明显而均匀的塑性变形，若使试样的应变增大，则必须增加应力值，这种随着塑性变形的增大，塑性变形抗力不断增加的现象称为加工硬化或形变强化。当应力达到ζb时试样的均匀变形阶段即告终止，此最大应力ζb称为材料的强度极限或抗拉强度，它表示材料对最大均匀塑性变形的抗力。 在ζb值之后，试样开始发生不均匀塑性变形并形成缩颈，应力下降，最后应力达到ζk时试样断裂。ζk为材料的条件断裂强度，它表示材料对塑性的极限抗力。 上述应力-应变曲线中的应力和应变是以试样的初始尺寸进行计算的，事实上，在拉伸过程中试样的尺寸是在不断变化的，此时的真实应力S应该是瞬时载荷（P）除以试样的瞬时截面积（A），即：S=P/A；同样，真实应变e应该是瞬时伸长量除以瞬时长度de=dL/L。下图是真应力-真应变曲线，它不像应力-应变曲线那样在载荷达到最大值后转而下降，而是继续上升直至断裂，这说明金属在塑性变形过程中不断地发生加工硬化，从而外加应力必须不断增高，才能使变形继续进行，即使在出现缩颈之后，缩颈处的真实应力仍在升高，这就排除了应力-应变曲线中应力下降的假象。 应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。所有学习材料力学的学生将经常接触这些曲线。这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑性材料。在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力学性能的某些方面有初步的总体了解。本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer）编的图集。这里提到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。 “工程”应力-应变曲线 在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1了。进行拉伸试验时，杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以
3-5 应力应变曲线
第17章 材料本构关系 本章内容：本构关系constitutive relations （应 力应变关系stress-strain relations ）的建立 本章重点：增量理论 单向拉伸（或压缩）→屈服应力s σ 继续变形→材料强化→流动应力（真实应力） 真实应力应变曲线true stress strain curve 可以由实验建立 17．1 拉伸试验曲线 单 向 拉 伸 uniaxial tensile ： 2 323211 ,0,εεεσσσ-====存在 等效应力1σσ= 1εε=， 因此εσεσ-?-曲线一致
17.1.1 拉伸图和条件应力——应变曲线 0 0A F = σ l l ?=ε p.比例极限 e.弹性极限 c.屈服极限 b.抗拉强度（颈缩点） b s σσσ,2.0,概念与定义 拉伸失稳tensile instability 拉伸缩颈 tensile necking 17.1.2真实应力——应变曲线true stress strain curve 真实应力()εσε +===+110A F A F S ， 真实应变()ε+∈=1ln 颈缩后断裂点：K K K A F S = K K A A 0ln =∈ 修正correction ：ρ8/ 1S K K S S +=（颈缩处为三向
应力） 17.1.3 失稳点instability 特性（S ：真实应力） () b b d dS S =∈ A A l l SA F 00 ln ln ......=∈== ∈ =∴e A A 0 因此 ∈=e A S F 0 由于失稳点 F 有极大值， dF=0( ) 00=∈-?∈ -∈ -d Se dS e A 化简得dS-Sd ∈=0 17．2 压缩试验compressive test 曲线 拉伸时∈达不到很大（一般∈≤1.0），但压缩时存在摩擦必须解决 方法：1） 直接消除摩擦的圆柱体压缩法 试样D 0=20~30mm ，D 0/H 0=1，压缩
真实应力—应变曲线拉伸实验
实验一 真实应力—应变曲线拉伸实验 一、实验目的 1、理解真实应力—应变曲线的意义，并修正真实应力—应变曲线。 2、计算硬化常数B 和硬化指数n ，列出指数函数关系式n S Be =。 3、验证缩颈开始条件。 二、基本原理 1、绘制真实应力—应变曲线 对低碳钢试样进行拉伸实验得到的拉伸图，纵坐标表示试样载荷，横坐标表示试样标距的伸长。经过转化，可得到拉伸时的条件应力—应变曲线。在条件应力—应变曲线中得到的应力是用载荷除以试样拉伸前的横截面积，而在拉伸变形过程中，试样的截面尺寸不断变化，因此条件应力—应变曲线不能真实的反映瞬时应力和应变关系。需要绘制真实应力 —应变曲线。 在拉伸实验中，条件应力用σ表示，条件应变（工程应变）用ε表示，分别用式(1)和(2)计算。 A F = σ (1) 式中，σ为条件应力；F 为施加在试样上的载荷；0A 为试样拉伸前的横截面积。 00 l l l l l ε-?= = (2) 式中，ε为工程应变；l 为试样拉伸后的长度；0l 为试样拉伸前的长度。 真实应力用S 表示，真实应变用∈表示，分别用式(3)和(4)计算。 )1()1(0 εσε+=+= = A F A F S (3) 式中，S 为真实应力；F 为施加在试样上的载荷；0A 为试样拉伸前的横截面积；σ为条件应力； ε为工程应变。 )1(ε+=n l e (4) 式中，e 为真实应变；ε为工程应变。 由式(1)和(2)可知，只要测出施加在试样上的载荷以及拉伸前的横截面积，可以计算出条件应力和工程应变；根据式(3)和(4)，就可以计算出真实应力和真实应变。测出几组不同的数据，就可以绘制真实应力应变曲线。 2、修正真实应力—应变曲线 在拉伸实验中，当产生缩颈后，颈部应力状态由单向变为三向拉应力状态，产生形状硬化，使应力发生变化。为此，必须修正真实应力—应变曲线。 修正公式如下：
实验三 应力-应变曲线
实验三应力——应变曲线实验 一、实验目的 1．了解高聚物在室温下应力——应变曲线的特点。并掌握测试方法。 2．了解加荷速度对实验的影响。 3．了解电子拉力实验机的使用。 二、实验意义及原理： 高聚物能得到广泛应用是因为它们具有机械强度。应力————应变实验是用得最广泛得力学性能模量，它给塑料材料作为结构件使用提供工程设计得主要数据。但是由于塑料受测量环境和条件的影响性能变化很大，因此必须考虑在广泛的温度和速度范围内进行实验。 抗张强度通常以塑料试样受拉伸应力直至发生断裂时说承受的最大应力（cm）来测量。影响抗张强度的因素除材料的结构和试样的形状外，测定时所用的温度、湿度和拉力速度也是十分重要的因素。为了比较各种材料的强度，一般拉伸实验是在规定的实验温度、湿度和拉伸速度下，对标准试样两端沿其纵轴方向实加均匀的速度拉伸，并使破坏，测出每一瞬间时说加拉伸载荷的大小与对应的试样标线的伸长，即可得到每一瞬间拉伸负荷与伸长值（形变值），并绘制除负荷————形变曲线。如6－1所示： 试样上所受负荷量的大小是由电子拉力机的传感器测得的。试样性变量是由夹在试样标线上的引申仪来测得的。负荷和形变量均以电信号输送到记录仪内自动绘制出负荷——应变曲线。 有了负荷——形变曲线后，将坐标变换，即所得到应力——应变曲线。如6－2所示：
应力：单位面积上所受的应力，用σ表示： 2P KG/cm )S σ＝（ P ——拉伸实验期间某瞬间时施加的负荷 S ——试件标线间初始截面积 应变：拉伸应力作用下相应的伸长率。用Σ表示，以标距为基础，标距试样间的距离（拉伸前引伸仪两夹点之间距离）。 000 L *100*100L L L L -?= ∑ ％＝％ L0——拉伸前试样的标距长度 L ——实验期间某瞬间标距的长度 ΔL ——实验期间任意时间内标距的增量即形变量。除用引申仪测量外还可以用拉伸速度V1记录纸速度V2和记录纸位移Δl 测量，并求得Σ。 0112L L L V *t V *1/V ??＝－＝＝ 若塑料材料为脆性：则在a 点或Y 点就会断裂，所以应是具有硬而脆塑料的应力——应变曲线。此图是具有硬而韧的塑料的应力——应变曲线，由图可见，在开始拉伸时，应力与应变成直线关系即满足胡克定律，如果去掉外力试样能恢复原状，称为弹性形变。一般认为这段形变是由于大分子链键角的改变和原子间距的改变的结果。对应a 点的应力为该直线上的最大应力（σa ），称为为弹性模量用Ε表示： Ε＝Δσ/Δε＝tga Δσ——曲线线性部分某应力的增量 Δε——与Δσ对应的形变增量 对于软而脆的塑料曲线右移直线斜率小，弹性模量小。 Y 点称为屈服点，对应点的应力为屈服极限，定义为在应力——应变曲线上第一次出现增量而应力不增加时的应力。当伸长到Y 点时，应力第一次出现最大值即σ称为屈服极限或
钢筋之应力-应变曲线
二第一章绪论 (1) 1.1 前言................................................................................................... .1 1.2 研究动机.. (2) 1.3 研究目的 (3) 第二章旧桥柱试体.................................................................................4 2.1 桥梁设计规范 (4) 2.1.1 公路桥梁工程设计规范.............................................................4 2.1.2 公路桥梁耐震设计规范.............................................................5 2.2 圆形旧桥柱试体................................................................................7 2.2.1 试体设计.. (7) 2.2.2 BMCL100试验观察.................................................................9 2.2.3 BMCL50试验观察.................................................................10 2.2.4 BMC4试验观察.....................................................................11 2.2.5 圆形旧桥柱试体破坏状况比较.....................................14 2.2.6 圆形旧桥柱试体侧力-位移图比较................................15 2.2.7
真实应力—应变曲线拉伸实验
真实应力—应变曲线拉 伸实验 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020
实验一 真实应力—应变曲线拉伸实验 一、实验目的 1、理解真实应力—应变曲线的意义，并修正真实应力—应变曲线。 2、计算硬化常数B 和硬化指数n ，列出指数函数关系式n S Be =。 3、验证缩颈开始条件。 二、基本原理 1、绘制真实应力—应变曲线 对低碳钢试样进行拉伸实验得到的拉伸图，纵坐标表示试样载荷，横坐标表示试样标距的伸长。经过转化，可得到拉伸时的条件应力—应变曲线。在条件应力—应变曲线中得到的应力是用载荷除以试样拉伸前的横截面积，而在拉伸变形过程中，试样的截面尺寸不断变化，因此条件应力—应变曲线不能真实的反映瞬时应力和应变关系。需要绘制真实应力—应变曲线。 在拉伸实验中，条件应力用σ表示，条件应变（工程应变）用ε表示，分别用式(1)和(2)计算。 A F = σ (1) 式中，σ为条件应力；F 为施加在试样上的载荷；0A 为试样拉伸前的横截面积。 000 l l l l l ε-?= = (2) 式中，ε为工程应变；l 为试样拉伸后的长度；0l 为试样拉伸前的长度。 真实应力用S 表示，真实应变用∈表示，分别用式(3)和(4)计算。 )1()1(0εσε+=+==A F A F S (3) 式中，S 为真实应力；F 为施加在试样上的载荷；0A 为试样拉伸前的横截面积；σ为条件应力； ε为工程应变。 )1(ε+=n l e (4) 式中，e 为真实应变；ε为工程应变。 由式(1)和(2)可知，只要测出施加在试样上的载荷以及拉伸前的横截面积，可以计算出条件应力和工程应变；根据式(3)和(4)，就可以计算出真实应力和真实应变。测出几组不同的数据，就可以绘制真实应力应变曲线。