二阶微分方程解法

第六节二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程：方程

y'H；Py qy -0

称为二阶常系数齐次线性微分方程.其中p、q均为常数，

如果y i、y是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解.那么y=C1y1?C2y2就是它的通解

我们看看.能否适当选取r使yw rx满足二阶常系数齐次线性微分方程.为此将y=e rx代入方程

y py qy=0

得

(r2Pr q)e rx=0 .

由此可见.只要r满足代数方程r2Pr q -0 .函数y=e rx就是微分方程的解，

特征方程：方程r2pr q -0叫做微分方程y…卩y'qy=0的特征方程，特征方程的两个根r i、r2可用公式

_p +±J p2 _4q

r

1,2 = 2

求出

特征方程的根与通解的关系：

(1) 特征方程有两个不相等的实根

的解

这是因为.

函数y i =e l^ix、

y e「i X

y2=e r2x是方程的解?又-e rx -e(ri -r2)x不是常数，y2 e2

因此方程的通解为

y =C i e rix C2e r2x.

(2) 特征方程有两个相等的实根r i=Γ2时?函数y i =e rix、y2 =xe rix是二阶常系数齐次线性微分

r i、—时.函数y1 =e"x、y2 =e r2χ是方程的两个线性无关

方程的两个线性无关的解

这是因为.y 1=e r ιx 是方程的解.又

(Xe rI X ) - P(Xe rlX ) ? q(xe l ^ιx ) = (2r 1 ? xr 12)e l ^ιx ? p(1 ■ xr 1)e rlx ■ qxe r ι = e l ^ιx (2r 1 亠 P)亠Xe rI X (r 12 亠 pr 1 亠q) =O

y

护

所以y 2 =xe r M 也是方程的解 且竺=空一

X 不是常数.

y 1

e r1x

因此方程的通解为

y =C I e r1X C 2xe r1x

⑶特征方程有一对共轭复根

r 1,2二〉L 时.函数以y=e c J)X 是微分方程的两个线性无

关的复数形式的解，函数y=e ：X CoS x > y w ：X Sin X 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解

函数y^e cJ )X 和y 2=e (H)X 都是方程的解.而由欧拉公式.得 y 1 =e (Cr fr *=eE(cos βx4isinPx). y 2=e (C ?i ^*=e c x (cosβx4sinPx).

y 1 4y 2=2e c x cosPx . e" cos Px=1

(y 1 +y 2).

2

y 1-y 2=2ie c x si nβ×.e c x sin βx=?y 1-y 2),

2i

故e^cosPx 、y 2=e 0?nβ×也是方程解，

可以验证$1 =e"cos ：x 、y2=e "sin ：X 是方程的线性无关解，

因此方程的通解为

y=e c x (C 1cosβx 4C 2sinPx ), 求二阶常系数齐次线性微分方程 / p/ q^0的通解的步骤为：

第一步 写出微分方程的特征方程

2

r Pr q=0

第二步求出特征方程的两个根

「1、匕，

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况

.写出微分方程的通解.

例1求微分方程y …~2,?3y=0的通解 解所给微分方程的特征方程为

2

r -2r-3=0 .即(r 1)(r-3^0 .

其根「1—1「2 =3是两个不相等的实根.因此所求通解为

yQef C 2e 3x .

例2求方程y=2y?yp 满足初始条件y ∣x=o=4、y]χ=o=…2的特解

解所给方程的特征方程为

2 2

r 2r Go .即(r 1) =0 I

其根r12 “1是两个相等的实根.因此所给微分方程的通解为

y=(CιC2x)e-x I

将条件yh虫代入通解.得C i虫.从而

y-(4 C2x)e*,

将上式对X求导.得

y pC2W2x)e jx.

再把条件y]x z o=2代入上式.得C2=2 ,于是所求特解为

x=(4 2x)e,

例3求微分方程厂~2y'5y=0的通解

解所给方程的特征方程为

2 r -2r 5二0 I

特征方程的根为r i =1 2 .r2=l -2i .是一对共轭复根.

因此所求通解为

X

y=e (C I CoS2x C2sin2x).

n阶常系数齐次线性微分方程：方程

y(A)P I y(AJ)p2 y(2 亠亠P nJ y P n y =0 .

称为n阶常系数齐次线性微分方程.其中P1 . p2 . .p n^ P n都是常数.

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式.可推广到

n阶常系数齐次线性微分方程上去.

引入微分算子 D .及微分算子的n次多项式：

L(D)=D n P I D nJ P2 D n R . . -.'P n4D P n .

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(D n P I D n' P2 D n^ 亠亠p n4D P n)y=0 或L(D)y=0 .

注:D叫做微分算子D0yτ.Dy-/. D2y弓D3y弓S …D n y弓(n\

分析：令y =e rx.则

rx Z n n-1 n-2 I I?rx rx

L(D)y=L(D)e =(r p1r p2 r 亠亠P nM r P n)e L(r)e .

因此如果r是多项式L(r)的根.则yw rx是微分方程L(D)y=0的解

n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程：

n丄n/丄n-2丄丄丄

L(r)=r p1r p2 r p n4r p∏=0

称为微分方程L(D) y=0的特征方程，

特征方程的根与通解中项的对应：

单实根r对应于一项:Ce rX

一对单复根rι 2 <■ i『-对应于两项：e-x(Cιcos F x Q2sin F x) ?

k重实根r对应于k项:e rx(CιC2x C k X J) ■

一对k重复根rι2-L i!：:；对应于2k项

e"[(Cι亠C2X亠-C k X kJ)COS L X ( D i D2X亠-D k X kJ)Sin :x] I

例4求方程y⑷一2y…5y…=0的通解

解这里的特征方程为

r4-2r35r2d0 .即r2(r2-2r 5)=0 .

它的根是「1才2=0和「3 .4=1V2 I

因此所给微分方程的通解为

X

y￡i 亠C2X e (C3cos2x C4sin2x) I

例5求方程y⑷? -4y=0的通解.其中1 0 .

解这里的特征方程为

4 - 4

r - =0 .

IB

它的根为r1 2=—^(1 ±i) . r34

J2

因此所给微分方程的通解为

βR

—2 x' ■- 2 x : :

y =e (C I cos X 亠C2 sin x) ^e (C3cos . X 亠C4sin x) I

√2 √2 √2 √2

二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程：方程

y py qy =f(x)

称为二阶常系数非齐次线性微分方程.其中P、q是常数

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程

的通解y=Y(χ)与非齐次方程本身的一个特解y=y*(χ)之和

y ≡Y(x) y*(x).

当f(x)为两种特殊形式时.方程的特解的求法：

一、f(x) =P m(X)e X型

当f(x) ≡P m(x)e x时.可以猜想.方程的特解也应具有这种形式?因此.设特解形式为y* =Q (x)e 'x.将其代入方程.得等式

2

Q (X) (^ P)Q (X) C p ?q)Q(x)=P m(x).

2 2

(1)如果入不是特征方程r ÷pr4q=0的根.则丸4pλ?+q≠0 ,要使上式成立.Q(x)应设为m次多

项式

Q m(X^b O X m bf …b m/X b m .

通过比较等式两边同次项系数.可确定b°.b1.b m .并得所求特解

y* =Q m(x)e 每

2 2

(2) 如果，是特征方程r ?pr?q=0的单根.则??p? ?q=0.但2??p=0.要使等式

乙乙2 、

Q (x) (2- P)Q (x) C P q)Q(X)=P m(X).

成立.Q(x)应设为m4l次多项式：

Q(X) =XQ m(X).

Q m(X)=b o X ?'b i^ ' ' b m JX ,' b m .

通过比较等式两边同次项系数.可确定b o b i . ?….b m .并得所求特解

y* $Q m(x)e'X“

O O __

(3) 如果丸是特征方程r ÷prR≡0的二重根.则丸齐)內=0 .2λΛpm.要使等式

2

Q (X) (2，P)Q (X) ( P q)Q(X)=P m(X).

成立Q(X)应设为m 2次多项式：

2

Q(X) =X Q m(X).

m m A

Q m(X)=b o x b i x 亠亠b m」X b m .

通过比较等式两边同次项系数.可确定b o b i . ?….b m .并得所求特解

y* =x2Q m(x)e'x,

综上所述.我们有如下结论：如果f(x)=P m(x)e'x.则二阶常系数非齐次线性微分方程

y py qy =f(x)有形如

y* =X k Q m (x)e X

的特解.其中Q m(X)是与P m(X)同次的多项式.而k按，不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 .

例1求微分方程-2/-3^^X 1的一个特解.

解这是二阶常系数非齐次线性微分方程.且函数f(x)是P m(x)e'x型(其中P m(X)=3χ?1 '=0).

与所给方程对应的齐次方程为

/ -2∕-3y=0 .

它的特征方程为

2

r -2r -3二0 I

由于这里■ =0不是特征方程的根.所以应设特解为

y* =b0x b1 I

把它代入所给方程.得

-3b0X-2b0-3b1 =3X ' 1 .

比较两端X同次幂的系数?得

—3b° =3

.-3b°弋.-2b°~3b1 =1 ,

—2 b° —3b〔=

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 12 2-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程：

①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到 )(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0 ),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 0 2、 022 1 1≠b a b a ，?? ?=++=++00 222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5 --+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 71+=- ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy

二阶微分方程解法知识讲解

二阶微分方程解法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ), y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ), y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2 1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解. 可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为

一阶常微分方程的奇解

摘要.................................................... 错误!未定义书签。 1.何谓奇解.............................................. 错误!未定义书签。 2.奇解的产生............................................ 错误!未定义书签。 3.包络跟奇解的关系...................................... 错误!未定义书签。 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法................. 错误!未定义书签。 克莱罗微分方程 ..................................... 错误!未定义书签。 5.奇解的基本性质........................................ 错误!未定义书签。 定理１ ............................................. 错误!未定义书签。 定理２ ............................................. 错误!未定义书签。 定理３ ............................................. 错误!未定义书签。 6.小结.................................................. 错误!未定义书签。参考文献：.............................................. 错误!未定义书签。

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程

全微分方程及积分因子

全微分方程及积分因子

全微分方程及积分因子 内容：凑微分法，全微分方程的判别式，全微分方程的公式解，积分因子的微分方程，只含一个变量的积分因子和其他特殊形式的积分因子。由于有数学分析多元微积分的基础，本节的定理1可以简化处理。对课本中第三块知识即全微分方程的物理背景可以留到后面处理，对第四块知识增解和失解的情况要分散在本章各小节，每次都要重视这个问题。关于初等积分法的局限性可归到学习近似解法时一起讲解。 重点：全微分方程的公式解和积分因子的计算，难点为凑微分法和积分因子的计算。 习题1(1,3,5)，2，3 思考题：讨论其他特殊形式的积分因子。 方程：0),(),(=+dy y x N dx y x M 判定：全微分?x N y M ??≡?? 解法：C dy y x N dx y x M y y x x =+??00),(),(0 初值问题0=C 积分因子：x N y M y M x N ??-??=? ???????-??μμμ1

)(x μ： N x N y M dx d ?? -??=μμ1 )(y μ： M x N y M dy d ??- ??-=μμ1 1．解下列方程： 1）0)(222=-+dy y x xydx 解：x N y M ?? ≡??=x 2 ??=-+x y C dy y xydx 002 )0(2既 C y y x =-3/32 2）0)2(=+---dy xe y dx e y y 解：x N y M ??≡??=y e -- ??=-+-y x y C dy y dx e 00)2(既C y xe y =--2 3）0)1(222=---+dy y x dx y x x 解：x N y M ??≡??=y x --221 ??=---+x y C dy y dx y x x 002)1(2 C y y y x x =-+---+23 232322)(32 )(32 )(32 既C y x x =-+23 2 2)(32 4）0)ln (3 =++dy x y dx x y

一阶常微分方程解法总结

页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x

页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

二阶常微分方程解

二阶常微分方程解

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第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其

22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。

各种类型的微分方程及其相应解法教程文件

各种类型的微分方程及其相应解法 专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102 微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。 一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或)()(y g x f dx dy = 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。 例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1112-=- 两端积分??-=-dx x dy y y 1112得 ||ln |1|ln |1|ln 2 112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程 （1）)(x y f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0） 例2求解微分方程.2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222?? ? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得?? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1)2ln(23)1ln(C x u u u +=----

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

各类微分方程的解法大全

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐 式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］ =dx/x两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程 解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1

y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1) 即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y”+py’+qy=f(x) 先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解 求y”+py’+qy=f(x)特解的方法: ①f(x)=P m(x)eλx型 令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数 ②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型

一阶常微分方程的奇解

摘要 (2) 1.何谓奇解 (2) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (4) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5) 4.1 克莱罗微分方程 (9) 5.奇解的基本性质 (12) 5.1 定理１ (12) 5.2 定理２ (14) 5.3 定理３ (14) 6.小结 (14) 参考文献： (15)

一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解

)(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

[整理]一阶微分方程解的存在定理.

第三章 一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性 和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）

二阶常微分方程的几种解法

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐 次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系 数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程 通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成 '''1212()()y k k y k k y f x --+= 即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程 '1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公 ()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -? ?=+?[5] (3) 知其通解为 1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+?这里0()x h t dt ?表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx --==+? 解得

12212()()340012 [(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-?? 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()3400121212 1[()()]k k x k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---?? 1122121200 121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-?? (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为 '''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---= 由公式(3) 得到 '10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+? 再改写为 '10()x kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+? 即10()()x kx kt d e y e f t dt c dx --=+? 故120()()x kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++? (5) 例1 求解方程'''256x y y y xe -+= 解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3 2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是 33222232 1200x x x t t x t t x x y e e te dt e e te dt c e c e --=-++?? 32321200x x x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++?? 2 232132x x x x x e c e c e ??=--++???? 这里321c c =-. 例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=