二阶非齐次线性微分方程的解法

目 录

待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法

关键词：微分方程，特解，通解，

二阶齐次线性微分方程

常系数微分方程 待定系数法

解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1)

d x dx

L x a a x dt dt

≡++=

12,.

a a 这里是常数

特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1)

(1)特征根是单根的情形

设

12,,,n λλλ是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如

下2个解：

12,t t e e λλ (1.2)

如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程

(1)的通解可表示为

1212t t x c e c e λλ=+

如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设

i

λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解

(i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+

(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=-

它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根

i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解

cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形

若10λ=特征方程的

k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21

1,t,t ,k t -。 若这个

k 重零根10,

λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为

1212,,,k (k 2)m m k k k k ++

=。方程 (1)的解为

11112222111,t ,t ;,t ,

t ;

;,t ,

t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ---

对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解

2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin ,

,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ--

例1 求方程

220d x

x dt -=的通解。

解 特征方程

210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通

解为

12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。

例2 求解方程 220d x

x dt +=的通解。

解 特征方程

210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根，

均是单根，故方程的通解

为

12sin cos ,x c t c t =+

这里12,c c 是任意常数。

某些变系数线性齐次微分方程的解法 （一）化为常系数

1.在自变量变换下，可化为常系数的方程 一类典型的方程是欧拉方程

22

1

220d y dy

x a x a y dx dx ++= (2)

12(0),.

a y a 这里为常数，它的特点是的k 阶导数（k=0,1,2,规定y =y ）的系数是x 的k 次方乘以常数

我们想找一个变换，使方程(2)的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系

数。根据方程x 本身的特点，我们选取自变量的变换(t)x ?=，并取(t)e t

?=，即

变换

e (t ln )t x x == (2.1)

就可以达到上述目的（这里设

0x >，当0x <时，取t

x e -=-，以后为确定起见，认为0x >）。 事实上，因为

t dy dy dt dy e dx dt dx dt -==

22222()()t t d y d dy dt d y dy e e dx dt dt dx dx dt --==-

代入方程

(2)，则原方程变为

2122(1)d y dy

a a y o dt dt +-+=(2.2)

方程

(2.2)

常系数二阶线性微分方程，由 上可求得方程的通解。再变换

(2.1)，

代回原来的变量，就得到原方程(2)的通解。

例 求方程22

2

540d y dy

x x y dx dx ++=的通解

解 此方程为欧拉方程，令

e t x =，则由(2.2)知，原方程化为

2244d y dy

y o dt dt ++= (2.3)

其特征方程为

2440λλ++=

特征根为122λλ==-，故方程(2.3)的通解为

212(c c t)e t y -=+

换回原自变量x ，则原方程的通解为

212(c c ln )y x x -=+

2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程 现在考虑二阶变异系数线性方程

2122()()0d y dy

P x P x y dx dx ++= (2.4)

的系数函数

12(),()P x P x 满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换

()z y a x =(2.5)

化为常系数方程。这里()a x 是待定函数。 为此，把(2.5)代入方程(2.4)，可得到

'''''''112()z [2P ()()][()P ()()P ()()]0a x a x x a x z a x x a x x a x z +++++=(2.6)

欲使(2.6)为常系数线性齐次方程，必须选取()a x 使得'''z z 、及z 的系数均为常数。特别地，令'

z 的系数为零，即

'12()0a P x a += 可求得

11

()d 2

()e P x x a x -

?

=

再代入(2.6)，整理之，得到

''2'

21111[P ()()()]0

42z x P x P x z +--= (2.7)

由此可见，方程

(2.4)可经线性齐次变换

11

()dx 2

p x y e z -

?

=(2.8)

化为关于z 的不含一阶导数项的线性齐次方程(2.7)，且当z 的系数

2'

21111()P ()()()

42I x x P x P x =--

为常数时，方程

(2.7)为常系数方程。

因方程(2.4)在形如(2.8)的变换下，函数()I x 的值不会改变，故称()I x 为方程

(2.4)的不变式。因此，当不变式()I x 为常数时，方程(2.4)可经变换(2.8)化为常

系数线性齐次方程。

例求方程2'''2

1()04x y xy x y ++-=的通解

解 这里

12211

(),()14P x P x x x =

=-，因

22211111()1()()1442I x x x x =-

---=

故令

112dx x

z y e

z x -

?

==

就可把原方程化为常系数方程

''0z z +=

可求得其通解为

12cos sin z c x c x =+

代回原变量y ，则得原来方程的通解为

1

2cos sin x x

y c c x x =+

（二）降阶的方法 处理一般高阶微分方程的基本原则是降 阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。

已知22(t)(t)0d x dx

p q x dt dt ++=的一个特解10

x ≠，试求该方程的通解

解 作变换1x x ydt

=?，则原方程可化为一阶线性微分方程 '

1112(t)0,dy x x p x y dx ??++=??

求解，得

(t)dt

1

21

1,p y c e x -?=

所以原方程的通解为

(t)dt 121211.

p x x c c e dt x -???=+????? 法二

设2x 是方程的任一解，则有刘维尔公式得

()12''

12p t dt

x x ce x x -?=

其中常数

0c ≠，亦即

()''1212.

p t dt

x x x x ce -?-=

以积分因子2

11

x 乘上式两端，就可推出

(t)dt

2211

(),p x d c e dt x x -?=

积分上式可得到

(t)dt 121211.p x x c c e dt x -???=+????

?

例 求方程'''0xy xy y -+=的通解 解 由观察知方程有一特解1()y x x =，令

y xz =

则''''''',2y z xz y z xz =+=+，代入方程，得

2''2'(2)0x z x x z +-=

再令'

z u =，得一阶线性齐次方程

2'(2)0x u x xu +-=

从而可得

112

22,x x

e e u c z c dx c x x ==+?

取

121,0,c c ==便得原方程的另一解

22x e y x dx

x =?

显然，解

12,y y 线性无关，故方程的通解为

122x

e y c x c x dx

x

=+?

幂级数法

考虑二阶线性微分方程22(x)(x)y 0 (1)d y dy

p q dx dx ++=及初值

00(x )y y =及''00(x )y y =的情况 可设一般性，可设

00

x =，否则，我们引进新变量0t x x =-，经此变换，方程的

形式不变，但这时对应于0x x =的就是00t =了.因此总认为00x =.

定理 若方程(1)中的系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为x R

<,

则方程(1)有形如

0n

n n y a x ∞

==∑

的特解，也以x R

<为级数的收敛区间.

定理 若方程(1)中的系数()p x 和()q x 都能展成x 的幂级数，且收敛区间为x R

<,

则方程(1)有形如

0n

n n y a x ∞

==∑

的特解，也以

x R

<为级数的收敛区间.

定理 若方程

(1)中的系数()p x 和()q x 具有这样的性质，即()xp x 和2()x q x 都能展

成x 的幂级数，且收敛区间为x R <,若00a ≠，则方程(1)有形如

(1.1)

n

n n y x

a x

α∞

==∑

的特解，

α是一个待定的常数.级数 (1.1)

也以

x R <为级数的收敛区间.

例 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解

解 设

2012n n y a a x a x a x =+++???++

(1.2)

为方程的解.利用初值条件，可以得到

010,1,a a ==

因而

22n n y x a x a x =++???+

+

'2123123n n y a x a x na x -=+++???+

+ ''223232(n 1)n n y a a x n a x -=++???+-+

将

''',,y y y 的表达式代入原方程，合并x 的同次幂的项，并令各项系数等于零，得到

23422

0,1,0,

,1

n n a a a a a n -====

-

因而

56789111

1,0,,0,,

2!63!4!

a a a a a ======

最后得

212111

,0,

(k 1)!!k k a a k k +=

==-

对一切正整数

k 成立.

将(i 0,1,2,)i a =的值代回(1.2)就得到、

2

521

3

422

2!! (1)2!!

=e ,

k k x x x y x x k x x x x k x +=+++++

=+++++

这就是方程满足所给初值条件的解.

例用幂级数解法求解方程'''0y xy y ++=

解 因为012()1,p (),()1p x x x p x ===，所以在00x =的邻域内有形如00

n

n n y a x ∞

==∑的

幂级数解.将

'''000,,y y y 代入原方程，得

22023

(2)[n(n 1)(n 1)]0.

n n n n a a a a x ∞

--=++-+-=∑

比较

x 的同次幂的系数，得

203120,620,a a a a +=+= 2(n 1)(n 1)0 (n 4).n n n a n a --+-=≥ 解得

012320,

1,,(1)232!n n n a a a a a a n =-=-=-

121(1).

13(2n 1)n n a a +-=???+ 所以，原方程的通解为

22101001(1)(),

!213(2n 1)n

n n n n x y a a x n ∞

∞

+==-=-+???+∑∑

即

2212

010(1).

13(2n 1)x n

n n y a e

a x ∞

-

+=-=+???+∑

方程组的消元法 在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解 例 求解线性微分方程组

5,2.dx

x y dt dy x y dx ?=-???

?=-??

解 从第一个方程可得

1(),5dy y x dx =- (1.2)

把它代入第二个方程，就得到关于

x 的二阶方程式

2290.d x

x dt +=

不难求出它的一个基本解组为

12cos3,sin3,x t x t ==

把1x 和2x

分别代入

(1.2)式，得出y 的两个相应的解为 1211

(cos33sin 3),(sin 33cos3).

55y t t y t t =+=- 由此得到原来微分方程组的通解为

125cos35sin 3,cos33sin 3sin 33cos3x t t c c y t t t t ??????

=+ ? ? ?+-??????

其中1

c 和

2

c 为任意常数

二阶非齐次线性微分方程

待定系数法

常用于解决常系数非齐次线性微分方程[]()2122,(2)

d x dx

L x a a x f t dt dt

≡++=

()12,a a f t 这里是常数，为连续函数

类型一

()()1011()e ,(i 0,1,

m)1m m t m m i f t b t b t b t b b λλ--=+++=设其中及为实常数，

那么方程有形如

1011(B )k m m t

m m x t t B t B t B e λ--=+++

的特解，其中k 为特征方程()=0F λ的根λ的重数(单根相当于1k =；当λ不是

特征根时，取0k =),而01,,

m B B B 是待定常数，可以通过比较系数来确定.

类型二

()()()()()()cos t sin t ,2at f t A t B t t t m ββαβ=+????设e 其中是常数,而A ,B 是带实系数的t

的多项式，其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过,那么我们有如下结论：方程有形如

()()cos t sin t k at

x t P t Q t ββ=+????e

的特解，其中k 为特征方程()=0F λ的根

a i β+的重数，而()()

,P t Q t 均为待定

的带实系数的次数不高于

m 的t 的多项式，可以通过比较系数来确定.

求方程222331

d x dx

x t dt dt --=+的通解

解 先求对应的齐次线性微分方程

22230d x dx

x dt dt --=

的通解.这里特征方程

2230λλ--=有两个根123,1λλ==-.

因此，通解为312t t

x c e c e -=+，其中12,c c 为任意常数.再求非齐次线性微分方程的

一个特解.这里()31,0,f t t λ=+=又因为

0λ=不是特征根，故可取特解形如

x A Bt =+,其中,A B 待定常数.为了确定A,B,将x A Bt =+代入原方程，得到

23331B A Bt t ---=+，

比较系数得

33,231,B B A -=--=

由此得

11,,3B A =-=从而1

,

3x t =-因此，原方程的通解为 3121e t .

3t t x c e c -=+-+

求方程的224

4cos 2d x dx

x t dt dt ++= 通解.

解 特征方程

2440λλ++=有重根122λλ==-，因此，对应的齐次线性微分方程的

通解为

212(c c t)e ,t x -=+

其中

12

,c c 为任意常数.现求非齐次线性微分方程的一个特解.因为2i ±不是特征

根，我们求形如cos 2t Bsin 2x A t =+的特解，将它代入原方程并化简得到

8cos 28sin 2cos 2,B t A t t -=

比较同类项系数得10,,8A B ==从而1sin 2,8x t =因此原方程的通解为

2121

(c c t)e sin 2.

8t x t -=++ 方法二

由方法一知对应的齐次线性的通解为

212(c c t)e .t x -=+为求非齐次线性微分方程的一个特解，我们先求方程

22244it

d x dx x

e dt dt ++=的特解.这是属于类型一，而2i 不是特征根，故可设特解为21cos 2t sin 2t,888it i i x e =-=-+分出它的实部{}

1Re sin 2t,

8x =于是原方程的通解为 2121

(c c t)e sin 2t

8t x -=++

注：对于

()()()()()22122122212

21212 (3)(t),,, (4)

,,.

d x dx

a a x f t d x dx dt dt

a a x f t g f t dt dt d x dx a a x g t dt dt g t x x x x x ?++=??++=+??++=??=+可分解为并且均满足类型一或者类型二.若(3),(4)的特解分别为则原方程的特解为

这是因为()211

1

212d x dx a a x f t dt dt

++=，222

1

222(t)d x dx a a x g dt dt

++=，

()2212121212122222112212112222

()()() =+ =(t),

d x x d x x d x d x

a a x a a x x dt dt dt dt

d x d x d x d x a a x a a x dt dt dt dt

f t

g ++++=++++++++（）（）

求'''2441t t

x x x e e -+=++的通解.

对应的齐次方程的特征方程为

2440,λλ-+=

即得特征根为12 2.λλ==

(1)对应方程'''44t x x x e -+=，设其特解为,t x A e =代入方程则的

1,A =

即方程

'''44t x x x e -+=的一个特解为.t x e = (2)对应方程'''244t x x x e -+=，设其特解为22,t x Bt e =代入方程则的

1

,

2B = 即方程

'''244t

x x x e -+=有一个特解为221.2t

x t e =

(3)对应方程'''441x x x -+=，设其特解为,x C =代入方程则的

1,

4C = 即方程'''244t

x x x e -+=有一个特解为1.4x =

所以原方程的通解为

2221211

(c c t)e ,

24t t t x e t e =++++

这里12,c c 是任意常数.

升阶的方法

升阶是常微分方程很少提到的一种方法，这是因为随着阶数的升高，一般会使得求解更为繁琐，但适当运用这种方法，在有些情况下也可以受到事半功倍的效果.升阶法往往用于求常系数非齐次线性微分方程，具体分析见参考文献【9】

例 用升阶法求方程'''

2331x x x t --=-+的一个特解

解 两边同时逐次求导，直到右边为常数，得

''''''233,x x x --=-

令

'1x =-，则'''''0x x ==代回原方程，得2331x t --=-+，解之，有1x t =-，该表达式几位方程的一个特解.

例 用升阶法求方程'''25sin 2t

x x x e t -+=的一个特解

解 先求解方程'''(12i)25t y y y e +-+=， 令(12i)t

(t)e y u +=，代入方程，得

'''41u iu +=， 取'

1144u i i =

=-，进一步取1

4u it =-，则

(12i)t t 11

(cos 2t isin 2t)

4411

sin 2cos 2,

44t t y ite ite te t ite t +=-=-+=-

其虚部函数为原方程的一个特解，即可求得原方程的一个特解为

1

cos 2.

4t x te t =-

常数变易法

定理 如果

12(t),(t),

(t),(t)n a a a f 是区间a t b ≤≤上的连续函数，12(t),(t),

(t)

n x x x 是区间

a t

b ≤≤上齐次线性微分方程

()()

11(t)(t)0n

n n x a x a x -++

+= 的基本解组，那么，非齐次线性微分方程

()(

)

11(t)(t)(t)n

n n x a x a x f -++

+=

的满足初值条件

'(n 1)0000()0,()0,()0,t [a,b]t t t φφφ-===∈

的解有下面公式给出

0121

12[(s),(s),,(s)](t)(t)(s)ds,

[(s),(s),,(s)]t

n

k n k k n t W x x x x f W x x x φ=??

=?

??

?∑?

这里

12[(s),(s),

,(s)]n W x x x 是12(s),(s),,(s)n x x x 的朗斯基行列式，

12[(s),(s),

,(s)]k n W x x x 是在12[(s),(s),,(s)]n W x x x 中的第k 列代以(0,0,

,0,1)

T

后得到的行列式，而且非齐次方程的任一解(t)u 都具有形式

1122(t)c (t)c (t)c (t)(t),n n u x x x φ=++++

这里12,,,n c c c 是适当选取的常数.

特别地，当

2n =时'''1(t)(t)0n x a x a x ++

+=的特解为

00112212121212[(s),(s)][(s),(s)](t)(t)(s)ds (t)(s)ds.

[(s),(s)][(s),(s)]t

t

t t W x x W x x x f x f W x x W x x φ????

=+??????????

其中

21122'20

()

[(s),(s)](),

1()

x s W x x x s x s ==-

12121'

1

()0[(s),(s)](),

()1

x s W x x x s x s =

=

因此，

当2n =时，常数变易公式变为

211212(t)()(t)(s)

(t)(s)ds.

[(),(s)]

t

t x x s x x f W x s x φ-=?

而通解就是

1122(t)(t)(t).x c x c x φ=++ 法二 设12(t),(t),,(t)n x x x 是方程()()11(t)(t)0n n n x a x a x -+++=的基本解组，当满足以

下

条件

时

，

1122(t)(t)(t)(t)(t)(t)

n n x c x c x c x =++

+是

方

程

()()

11(t

)

(t )(t )

n

n n

x a x a x f -+++=的通解

'''1122''''''

1122(n 2)

'(n 2)'(n 2)'1

122(n 1)'(n 1)'(n 1)'1122(t)c (t)(t)c (t)(t)c (t)0

(t)c (t)(t)c (t)(t)c (t)0(t)c (t)(t)c (t)(t)c (t)0(t)c (t)(t)c (t)(t)c (t)(t)n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x f ------?+++=?+++=??+++=??+++=

??

?

2n =特别地，当，满足条件''1122'

'''

1122(t)c (t)(t)c (t)0(t)c (t)(t)c (t)(t)x x x x f ?+=?+=?

的12(t),c (t)c ，则1122(t )(t )(t )(t )x c

x c x =+为二阶非齐次线性微分方程'''12(t)(t)(t)x a x a x f ++=的通解 例 试求方程

''tan x x t +=的一个解

解 易知对应的齐次线性微分方程''

0x x +=的基本解组为

12(t)cos t,(t)sin t.x x ==我们直接利用公式0

211212(t)()(t)(s)

(t)(s)ds.

[(),(s)]

t

t x x s x x f W x s x φ-=?

来求方程的一个的一个解。这时

12cos sin [x (t),x (t)]1

sin cos t t

W t t ==-

取

00t =

(t)(sin t cos cos t sin s)tan s =sin t sin s cos sin s tans =sin t(1-cos t)+cos t(sin t-ln sec tan ) =sin t-cos t ln sec tan t

t

t

s ds

ds t ds

t t t t

φ=?-?-++???

sin t 注意，因为是对应的齐次线性微分方程的一个解，所以函数

cos ln sec tan t t t

φ=-+也是原方程的一个解。

218页13题 165页6题

参考文献

1王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社 常微分方程第三版 2丁同仁，李承志.常微分方程教程 .北京： 高等教育出版社 3都长清 焦宝聪 焦炳照编著 北京师范大学出版社

4 孙清华 李金兰 孙昊 华中科技大学出版社 常微分方程内容、方法与技巧 5.孙肖丽 杨艳平著，山东大学出版社 116-119页常微分方程的思想与方法 6. 李青、徐崇志、胡汉涛，用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解，塔里木农垦大学学报，Vol.15,No.1,2003,24-25

第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法1

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程 式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx (3.20)

其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1 T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2, ,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组 (3.20)化为 1 dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型 1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0 n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ ---= =- 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.

高阶线性微分方程常用解法介绍

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根

第三章 一线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n ==L det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-L L M M M L

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλL 这时 12100 n T AT λλλ-??????=?????? 方程组(3.20)变为 11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ??????????????????????=???????????????? ?????? M M (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=????????M 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ????????????????==???????????????? L M M 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ???? ??==?????? M (1,2,,)i n =L

线性微分方程组

第五章 线性微分方程组 [教学目标] 1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构， 2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法， 4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [考核目标] 1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。 §5.1 存在唯一性定理 5.1.1记号和定义 考察形如 1 11112211221122222 1122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++?? ??'=++++? （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n = 和()(1,2,,)i f t i n = 在区间a t b ≤≤上 上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及1 2,,,n x x x ''' 是线性的. 引进下面的记号： 1112121 22 212()() ()()() ()()()() ()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=?? ? ? ?? （5.2） 这里()A t 是n n ?矩阵，它的元素是2 n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n = . 12()()()()n f t f t f t f t ??????=?????? 12n x x x x ??????=?????? 1 2n x x x x '????'??'=???? '?? （5.3）

一阶线性微分方程组

第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。

二阶线性微分方程的解法

二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念

设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).

第八节二阶常系数齐次线性微分方程

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种 情况，通解的三种不同形式。 教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。 教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 教学内容： 若 22()()0d y dy P x Q x y dx dx ++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。 记： '''0y py qy ++= （2） 将rx y e =代入（2）中有2()0rx r pr q e ++=，称20r pr q ++=为（2）的特征方程。 20r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。 （1）当12r r ≠即240p q ->时，1 212r x r x y C e C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即240p q -=时， （3）只有一个解rx y Ce =。 （3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x y e αβ±=是解。 利用欧拉公式可得实解，故通解为 12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。 求二阶常系数齐次线性微分方程 '''0y py qy ++= （2） 的通解的步骤如下： 1． 写出微分方程（2）的特征方程 2 0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。

3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 2230r r --= 其根121 ,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为 312x x y C e C e -=+ 例2 求方程222 0d s ds s dt dt ++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。 解 所给方程的特征方程为 2210r r ++= 其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 ()12t s C C t e -=+ 将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而 ()24t s C t e -=+ 将上式对t 求导，得 ()224t s C C t e -'=-- 再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。于是所求特解为 ()42t s t e -=+ 例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

二阶线性微分方程解的结构

附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ?

注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

齐次微分方程

1 第二讲一阶微分方程 【教学内容】 齐次微分方程、一阶线性微分方程 【教学目的】 理解齐次微分方程的概念，掌握齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法。 【教学重点与难点】 齐次微分方程、一阶线性微分方程的解法 【教学过程】 、齐次微分方程: 形如 凹f （-）的微分方程；叫做齐次微分方程 dx x u ■y 原方程便化为可分离变量的微分方程来求解。 x 此方程是可分离变量的微分方程。按可分离变量微分方程的解法，求出方程的通解，再将变量 为y ，所得函 数就是原方程的通解。 x 解：方程可化为 1 C)2 X 2(乂) x 分离变量，则有 u 1 u 2 两边积分，得 例1、 求微分方程（x )dx 2xydy ，满足初始条件y x 1 0的特解。 它是齐次方程。令u ，代入整理后，有 du dx 2xu 对它进行求解时，只要作变换 于是有 dy y ux,亠 u dx du dx du x 一 dx f(u) u x pl ，从而原方程可化为 u x —— f （u ）， dx u 还原 dy dx 2 x_ 2xy du 2x dx

(2)ln(1 u 2) (2)ln x (1 )ln c cx(1 u 2) 1 将u y 代入上式，于是所求方程的通解为 x x 2 二、一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程，其中 P （x ）、Qx ）都是连续函数。 当Qx ） = 0时，方程 y P (x)y 0 称为一阶线性齐次微分方程; 当Qx ）工0，方程称为一阶线性非齐次微分方程。 1. 一阶线性齐次微分方程的解法 将方程 P(x)y 0 分离变量得 两边积分得 方程的通解为 求微分方程 y 2xy 0的通解。 c(x 2 y 2 ) x 2 把初始条件y 0代入上式，求出c 1，故所求方程的特解为 y P (x)y Q(x) dy P(x)dx In y P(x)dx InC Ce P （x ）dx （C 为任意常数） 解法1 （分离变量法）

线性微分方程的解法

§12.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程: 方程)()(x Q y x P dx dy =+叫做一阶线性微分方程. 如果Q (x )≡0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dx dy x =-) 2(?021=--y x dx dy 是齐次线性方程. (2) 3x 2+5x -5y '=0?y '=3x 2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y '+y cos x =e -sin x , 是非齐次线性方程. (4)y x dx dy +=10, 不是线性方程. (5)0)1(32=++x dx dy y ?0)1(23=+-y x dx dy 或3 2)1(x y dy dx +-, 不是线性方程. 齐次线性方程的解法: 齐次线性方程 0)(=+y x P dx dy 是变量可分离方程. 分离变量后得 dx x P y dy )(-=, 两边积分, 得 1)(||ln C dx x P y +-=? , 或 )( 1)(C dx x P e C Ce y ±=?=-, 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）. 例1 求方程y dx dy x =-)2(的通解. 解 这是齐次线性方程, 分离变量得 2 -=x dx y dy ,

两边积分得 ln|y |=ln|x -2|+lnC , 方程的通解为y =C (x -2). 非齐次线性方程的解法: 将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x ), 把 ?=-dx x P e x u y )()( 设想成非齐次线性方程的通解. 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =?+?-?'---, 化简得 ?='dx x P e x Q x u )()()(, C dx e x Q x u dx x P +?=?)()()(, 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=? -, 或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ? ??+?=--)()()()(. 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 例2 求方程25)1(1 2+=+-x x y dx dy 的通解. 解 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次线性方程 012=+-x y dx dy 的通解. 分离变量得 1 2+=x dx y dy , 两边积分得 ln y =2ln (x +1)+ln C , 齐次线性方程的通解为 y =C (x +1)2. 用常数变易法. 把C 换成u , 即令y =u ?(x +1)2, 代入所给非齐次线性方程, 得

高阶线性微分方程常用解法简介

高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)

高阶齐次线性微分方程

第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳

1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构

1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构

解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ).

,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：

一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

二阶非齐次线性微分方程的解法

目 录 待定系数法 常数变异法 幂级数法 特征根法 升阶法 降阶法 关键词：微分方程，特解，通解， 二阶齐次线性微分方程 常系数微分方程 待定系数法 解决常系数齐次线性微分方程[]21220, (1) d x dx L x a a x dt dt ≡++= 12,. a a 这里是常数 特征方程212()0F a a λλλ=++= (1.1) (1)特征根是单根的情形 设 12,,,n λλλ是特征方程的 (1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程 (1)有如 下2个解： 12,t t e e λλ (1.2) 如果(1,2)i i λ=均为实数，则 (1.2)是方程 (1)的2个线性无关的实值解，而方程 (1)的通解可表示为 1212t t x c e c e λλ=+ 如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设 i λαβ=+是一特征根，则i λαβ=-也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程 (1)有两个复值解 (i)t (cos t sin ),t e e i t αβαββ+=+

(i)t (cos t sin ).t e e i t αβαββ-=- 它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根 i λαβ=±，我们可求得方程 (1)的两个实值解 cos ,sin .t t e t e t ααββ （2）特征根有重跟的情形 若10λ=特征方程的 k 重零根，对应于方程 (1)的k 个线性无关的解21 1,t,t ,k t -。 若这个 k 重零根10, λ≠设特征根为12,,,,m λλλ其重数为 1212,,,k (k 2)m m k k k k ++ =。方程 (1)的解为 11112222111,t ,t ;,t , t ; ;,t , t ;m m m m t t k t t t k t t t k t e e e e e e e e e λλλλλλλλλ--- 对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i λαβ=+是k 重特征根，则i λαβ=-也是k 重特征根，可以得到方程 (1)的2k 个实值解 2121cos ,cos ,cos ,,cos ,sin ,sin ,sin , ,sin .t t t k t t t t k t e t te t t e t t e t e t te t t e t t e t ααααααααββββββββ-- 例1 求方程 220d x x dt -=的通解。 解 特征方程 210λ-=的根为121,1λλ==-有两个实根，均是单根，故方程的通 解为 12,t t x c e c e -=+ 这里12,c c 是任意常数。 例2 求解方程 220d x x dt +=的通解。 解 特征方程 210λ+=的根为12,i i λλ==-有两个复根， 均是单根，故方程的通解 为 12sin cos ,x c t c t =+