任意角的三角函数及诱导公式

——任意角的三角函数及诱导公式

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的

角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，6

5π]。 3．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角α的弧度数的绝对值是：r

l

=

α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。 角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π?

=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π

180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180

π≈0.01745（rad ）。

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2

1

21r r l S α==。 4．三角函数定义

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:

(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；

（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）

y

x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x

α=≠。 5．三角函数线 6．同角三角函数关系式

（1）平方关系：2

2

2

2

2

2

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示

)

同理可以由sin α－cos α或sin α·cos α推出其余两式。 7．诱导公式

可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈

诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； c o s (180)α+

=-c o s α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-

诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=

x

x x x x x x

x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- x x x x x x x

x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ x x x x x

x x

x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ

x

x x x x x x

x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ α

απsin )21

cos(-=+α

απcos )21

sin(=+α

απcot )2

1

tan(-=+ααπsin )2

1cos(=-α

απcos )21

sin(=-ααπcot )2

1tan(=-

sin cos cos 444x x x πππ??????+=-=- ? ? ???????；cos sin 44x x ππ????

+=- ? ?????

。

8．几种终边在特殊位置时对应角的集合为

9．α、2

α

、2α之间的关系 若α终边在第一象限则2α

终边在第一或第三象限；2α

终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。 若α终边在第二象限则2α

终边在第一或第三象限；2α

终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。 若α终边在第三象限则2α

终边在第二或第四象限；2α

终边在第一或第二象限或y 轴正半轴。 若α

终边在第四象限则2

α

终边在第二或第四象限；2α

终边在第三或第四象限或y 轴负半轴。

10．学习本节内容时要注意如下几点

（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。 三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离

r =,那么

sin α=

,cos α=

,tan y

x

α=

。 题型1：象限角

例1．已知角?=45α，在区间]0,720[??-内找出所有与角α有相同终边的角β；解析：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈??+?，

则令 ?≤??+?≤?-036045720k ，

得 ?-≤??≤?-45360765k 解得 360

45

360765-

≤≤-

k 从而2-=k 或1-=k 代回?-=675β或?-=315β

例2．若sin θcos θ＞0，则θ在（ ）

A ．第一、二象限

B ．第一、三象限

C ．第一、四象限

D ．第二、四象限 解析：答案：B ；∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号。

当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B 。

例4．已知“α是第三象限角，则

3

α

是第几象限角? 解法一：因为α是第三象限角，所以()Z k k k ∈+

<<+ππαππ2

3

22， ∴

()Z k k k ∈+<<+2

323332π

παππ，

∴当k=3m （m ∈Z ）时，3α

为第一象限角；

当k= 3m ＋1（m ∈Z ）时，3α

为第三象限角，

当k= 3m ＋2（m ∈Z ）时，3

α

为第四象限角，

故3

α

为第一、三、四象限角。 解法二：把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，

并依次循环一周，则α原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为

3

α

的终边所在的区域。 由图可知，

3

α

是第一、三、四象限角。 点评：已知角α的范围或所在的象限，求n

α

所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何

法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为n

α

(n ∈N *)的终边所在的区域。 题型2：三角函数定义

例5．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

解析：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以||r a =

，,2x a y a ==。

当0sin

5y a r α>=

===时，cos x r α===

，2tan =α。

当0sin

y a r α<=

===时，cos x r α===2tan =α。

例6．已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4

α=

，求cos ,sin αα的值。

解析：由题设知x =y m =，所以2222

||(r OP m ==+，

得r =

从而sin

4α=

m r ==，

解得0m =或2

1662m m =+?=

当0m =时，r x == cos 1,tan 0x y

r x αα=

=-==；

当m =r x == cos tan 43x y r x αα=

===；

当m =r x == cos tan 43

x y r x αα==== 题型3：诱导公式

例7．()2

tan cot cos x x x +=( )

（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x

【解】：∵()222

2

2sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +??+=+=

? ???

cos cot sin x

x x

=

= 故选D ； 【点评】：此题重点考察各三角函数的关系；

【突破】：熟悉三角公式，化切为弦；以及注意22sin cos sin cos 1,tan ,cot cos sin x x

x x x x x x

+==

=

例8．化简：

sin(180)sin()tan(360)

tan(180)cos()cos(180)

αααααα-++--+++-+-；

解析：原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααα

αααα

--==-=-+-。

§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

1.A ={小于90°的角}，B ={第一象限的角}，则A ∩B = （填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③{第一象限的角}

④以上都不对答案 ④

2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是 .答案

3

π 3.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2

，则扇形的中心角的弧度数是 .答案 1或4 4.已知角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin α= .答案 -cos2 5. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且cos α=x 4

2

,则sin α= . 答案 4

10

例1 若α是第二象限的角，试分别确定2α,

2α ,2

α

的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角，

∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.

（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2

α

＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜

2

α

＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2

α

＜n ·360°+270°. ∴

2

α

是第一或第三象限的角. （3）∵k ·120°+30°＜3

α

＜k ·120°+60°（k ∈Z ）， 当k =3n （n ∈Z ）时， n ·360°+30°＜

3

α

＜n ·360°+60°； 当k =3n +1（n ∈Z ）时，n ·360°+150°＜3

α

＜n ·360°+180°； 当k =3n +2（n ∈Z ）时，n ·360°+270°＜3

α

＜n ·360°+300°. ∴

3

α

是第一或第二或第四象限的角

. 基础自测

例2 （1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 （1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ, 所以扇形的周长是2r +r θ. 依题意，得2r +r θ=πr ,

∴θ=π-2=(π-2)×?

??

?

??π180

≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′, ∴扇形的面积为S =21r 2

θ=2

1（π-2）r 2

.

（2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =20, 即l =20-2r (0＜r ＜10) ① 扇形的面积S =2

1lr ，将①代入，得 S =2

1(20-2r )r =-r 2

+10r =-(r -5)2

+25, 所以当且仅当r =5时，S 有最大值25.此时 l =20-2×5=10,α=r

l =2.

所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.

例3 （14分）已知角α的终边在直线3x +4y =0上，求sin α,cos α,tan α的值. 解 ∵角α的终边在直线3x +4y =0上，

∴在角α的终边上任取一点P （4t ,-3t ） (t ≠0), 2分

则x =4t ,y =-3t , r =t t t y x 5)3()4(2222=-+=+, 4分

当t ＞0时，r =5t , sin α=

5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x ,tan α=4

343-=-=t t x y ; 8分

当t ＜0时，r =-5t ,sin α=5

3

53=--=t t r y , cos α=5

4

54-=-=t t r

x , tan α=

4

343-=-=t t x y .

12分

综上可知，t ＞0时，sin α=5

3

-,cos α=5

4,tan α=4

3-; t ＜0时，sin α=5

3,cos α=-5

4,tan α=4

3-.

14分

例4 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥

2

3

;(2)cos α≤21-.

解 （1）作直线y =

2

3

交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的

区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为

α|2k π+

3π≤α≤2k π+3

2

π，k ∈ . （2）作直线x =

2

1

-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为

α|2k π+

32π≤α≤2k π+3

4

π，k ∈Z .

1.已知α是第三象限角，问

3

α

是哪个象限的角？ 解 ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜

3

α

＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜

3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）.故3

α

的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜

3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ).故3

α

的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3

α

的终边在第四象限. 综上可知，

3

α

是第一、第三或第四象限的角. 2.已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6,

（1）求 的弧长； （2）求弓形OAB 的面积. 解 （1）∵α=120°=3

2π

rad ，r =6， ∴ 的弧长为l =

32π

×6=4π. (2)∵S 扇形OAB =2

1lr =2

1×4π×6=12π， S △ABO =2

1r 2

·sin

32π=2

1×62

×23=93，

∴S 弓形OAB =S 扇形OAB -S △ABO =12π-93.

3.已知角α的终边在y 轴上，求sin α、cos α、tan α的值.

解 ∵角α的终边在y 轴上，

∴可在α的终边上任取一点（0,t )(t ≠0),即x =0，y =t . ∴r =22y x +=220t +=|t |.

当t ＞0时，r =t ,sin α=

r y =t t =1,cos α=r x =t 0

=0,tan α=x y 不存在；

当t ＜0时，r =-t ，sin α=

r y =t t -=-1,cos α=r x

=t -0=0,tan α=x

y 不存在.

综上可知：sin α=±1,cos α=0,tan α不存在.

4.求下列函数的定义域：

（1）y =1cos 2-x ；（2）y =lg(3-4sin 2

x ）. 解 （1）∵2cos x -1≥0，∴cos x ≥2

1

.

由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).

∴x ∈??

???

?+-32,3

2ππππk k （k ∈Z ）.

（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2

x ＜4

3

,

∴-23＜sin x ＜2

3. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x ∈（k π-3π,k π+3

π）（k ∈Z ).

一、填空题

1.已知cos θ·tan θ＜0,那么角θ是第 象限角. 答案 三或四

2.若0＜x ＜

2π

，则sin x 24π

x 2（用“＞”,“＜”或“=”填空）. 答案 ＞

3.与610°角终边相同的角表示为 . 答案 k ·360°+250°(k ∈Z )

4.已知（2

1）

sin2θ

＜1,则θ所在象限为第 象限.

答案 一或三

5.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 答案 二

6.已知θ∈??

?

??-2,2π

π且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可

能正确的是 （填序号）. ①-3 ②3或3

1

③-3

1

④-3或-3

1

答案 ③

7.已知角α的终边落在直线y =-3x (x ＜0)上，则=-α

αα

αcos cos sin sin .

答案 2

8.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］. 答案 10sin 60

t

π 二、解答题 9.已知sin θ=

a a

+-11,cos θ=a

a +-113,若θ是第二象限角，求实数a 的值. 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0,

∴???

????

<+-=<-<+-=<0

113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.

又∵sin 2θ+cos 2

θ=1,

∴1113112

2

=??

? ??+-+??? ??+-a a a a , 解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为9

1.

10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；

（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解 设扇形半径为R ，中心角为θ，所对的弧长为l .

（1）依题意，得??

???=+=,102,

42

12

R R R θθ ∴2θ2

-17θ+8=0,∴θ=8或2

1

. ∵8＞2π,舍去,∴θ=2

1.

(2)扇形的周长为40,∴θR +2R =40，

S =21lR =21θR 2=41

θR ·2R ≤41100222

=??

? ??+R R θ. 当且仅当θR =2R ,即R =10, θ=2时面积取得最大值，最大值为100. 11.设θ为第三象限角，试判断2

cos

2sin θ

θ的符号. 解 ∵θ为第三象限角， ∴2k π+π＜θ＜2k π+2

3π

(k ∈Z ), k π+

4

32

2π

πθ

π

+

<<

k (k ∈Z ). 当k =2n (n ∈Z )时，2n π+ππθ

π

4

3

222

+<<

n , 此时

2

θ

在第二象限.

∴sin

2

θ

＞0,cos

2

θ

＜0.

因此

2

cos

2sin θ

θ＜0. 当k =2n +1(n ∈Z )时，

(2n +1)π+

2

π

＜2θ＜(2n +1)π+43π(n ∈Z ), 即2n π+23π＜2θ＜2n π+4

7π

(n ∈Z )

此时

2

θ

在第四象限. ∴sin

2

θ

＜0,cos

2

θ

＞0,因此

2

cos

2sin θ

θ＜0, 综上可知：

2

cos

2sin θ

θ＜0. 12.角α终边上的点P 与A （a ，2a ）关于x 轴对称（a ≠0），角β终边上的点Q 与A 关于直线y =x 对称，求sin α·cos α+sin β·cos β+tan α·tan β的值. 解 由题意得，点P 的坐标为（a ,-2a )， 点Q 的坐标为（2a ，a ）. sin α=2

2

2

52)

2(2a a a a a -=-+-, cos α=22

2

5)

2(a

a a a a =

-+,

tan α=22-=-a

a

, sin β=2

2

2

5)2(a a a a a =+, cos β=222

52)2(2a

a a a a =

+,

tan β=

2

12=a a , 故有sin α·cos α+sin β·cos β+tan α·tan β =

2

1

)2(5255522

2

2

2

?

-+?+

?

-a a a a a a a a =-1.

§4.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式

1.（2008·常州模拟）sin 2

(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1的值为 .答案 2 2.sin210°= .答案 2

1- 3.已知tan α=2

1

,且α∈??

?

?

?2

3,

ππ，则sin α的值是 .答案 55- 4.若

θ

θθ

θcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin

??

?

??-θπ23= .答案 103 5.已知sin α=5

5，则sin 4α-cos 4

α的值为 .答案 53-

例1 已知f (α)=

)

sin()tan()

tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;

(1)化简f (α);

(2)若α是第三象限角，且cos 5

1

23=??? ?

?-

πα，求f (α)的值. 解 （1）f （α）=α

ααααsin tan )

tan (cos sin -??=-cos α.

(2)∵cos ??

?

??-

2

3πα=-sin α, ∴sin α=-5

1

,cos α=-65

2

51522-=-, ∴f (α)=

65

2

. 例2 （14分）已知-

2

π

＜x ＜0,sin x +cos x =51.

(1)求sin x -cos x 的值； （2）求

x

x 22sin cos 1-的值.

解 （1）方法一 联立方程：

??

??

?

=+=+　

x x x x 1cos sin 51cos sin 22 ②① 2分

由①得sin x =5

1-cos x ,将其代入②，整理得 25cos 2

x -5cos x -12=0. 4分

∵-2

π

＜x ＜0, ∴??????

?

=-=54cos 53sin x x

, 基础自测

所以sin x -cos x =-5

7.

7分

方法二 ∵sin x +cos x =5

1,

∴(sin x +cos x )2

=2

51??

?

??,

即1+2sin x cos x =25

1, ∴2sin x cos x =-25

24

.

2分

∵(sin x -cos x )2

=sin 2

x -2sin x cos x +cos 2

x =1-2sin x cos x =1+2524=25

49 ① 4分

又∵-2

π

＜x ＜0,∴sin x ＜0,cos x ＞0, ∴sin x -cos x ＜0

② 由①②可知：sin x -cos x =-5

7.

7分

(2)由已知条件及（1）可知

???????-=-=+57cos sin 51cos sin x x x x ,解得???

????=-=54cos 53sin x x , 9分

∴tan x =-4

3

.

11分

又∵

x

x x x x

x 222222sin cos cos sin sin cos 1

-+=

-

=

x

x

x x x

x 222222cos sin cos cos cos sin -+ =

x

x 22tan 11tan -+ 13分

=7254311

4

322

=??

?

??--+???

??-.

14分

例3 已知tan α=2,求下列各式的值： （1）α

αα

αcos 9sin 4cos 3sin 2--;

(2)

α

ααα2222cos 9sin 4cos 3sin 2--;

(3)4sin 2

α-3sin αcos α-5cos 2

α. 解 （1）原式=

19

243

229tan 43tan 2-=-?-?=--αα.

（2）

7

59

243229

tan 43tan 2cos 9sin 4cos 3sin 222222222=

-?-?=

--=

--ααα

ααα. (3)∵sin 2

α+cos 2

α=1,

∴4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2

α =α

αα

ααα2222cos sin cos 5cos sin 3sin 4+--

=11

45

23441

tan 5

tan 3tan 422=+-?-?=

+--ααα.

1.化简)

sin()cos(23sin )2cos()tan(αππαπααπαπ----?

?? ?

?

+---.

解 原式=[][]

)sin()cos(2sin )(cos )tan (απαπαππαππα+-?+?

?

?

??-+?-+?-

=[]α

ααπαπαsin )cos (2sin )cos()tan (?-?

??

?????? ??--?--?-

=

αααααsin cos )cos (cos tan ?--??-=αα

αsin cos tan ?-

=α

αsin cos cos sin a a ?-

=-1. 2.已知sin θ +cos θ=

5

1

,θ∈(0,π).求值： （1）tan θ;(2)sin θ-cos θ;(3)sin 3

θ+cos 3

θ. 解 方法一 ∵sin θ+cos θ=5

1,θ∈(0,π), ∴(sin θ+cos θ)2

=25

1

=1+2sin θcos θ， ∴sin θcos θ=-25

12

＜0. 由根与系数的关系知， sin θ,cos θ是方程x 2

-51x -25

12

=0的两根， 解方程得x 1=5

4,x 2=-5

3.

∵sin θ＞0,cos θ＞0,∴sin θ=5

4,cos θ=-5

3. ∴(1)tan θ=-3

4. (2)sin θ-cos θ=57

.

(3)sin 3θ+cos 3

θ=

125

37

. 方法二 （1）同方法一.

（2）（sin θ-cos θ）2

=1-2sin θ·cos θ =1-2×??

? ??-

2512=2549

. ∵sin θ＞0,cos θ＜0,∴sin θ-cos θ＞0, ∴sin θ-cos θ=5

7.

(3)sin 3

θ+cos 3

θ=(sin θ+cos θ)(sin 2

θ-sin θcos θ+cos 2

θ) =5

1

×??? ??+

25121=

125

37

. 3.已知sin(θ+k π)=-2cos(θ+k π) (k ∈Z ). 求:(1)

θ

θθ

θsin 3cos 5cos 2sin 4+-;

(2)4

1sin 2

θ+5

2

cos 2

θ.

解 由已知得cos(θ+k π)≠0,

∴tan(θ+k π)=-2(k ∈Z ),即tan θ=-2. （1）

10tan 352

tan 4sin 3cos 5cos 2sin 4=+-=+-θ

θθθθθ.

(2) 41sin 2θ+52cos 2θ=θθθθ2222cos sin cos 52

sin 41++

=2571

tan 52tan 412

2=++

θθ.

一、填空题

1.α是第四象限角，tan α=12

5

-，则sin α= . 答案 13

5-

2.（2008·浙江理）若cos α+2sin α=-5,则tan α= . 答案 2

3.（2008·四川理）设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 . 答案 ??

?

??34,

3ππ

4. α是第四象限角，cos α=

13

12

，则sin α= . 5.sin 2

(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .答案 2

6.若sin α+cos α=tan α ??

? ?

?<<20πα，则α的取值范围是 .答案 ??

?

??3,4ππ

7.如果cos α=5

1,且α是第四象限的角,那么cos ??

? ?

?+2πα= .答案

5

62 8.化简:

)

2sin()2

(

sin )tan()2cos()cos()(sin 3

2πααπ

αππααππα--?+?+--?+?+= .答案 1

二、解答题

9.已知cos(π+α)=-2

1,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α); (2)

[][])

2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -?++-+++ (n ∈Z ).

解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=2

1, 又∵α是第四象限角，∴sin α=-2

3cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=2

3. （2）[][])

2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -?++-+++

=)

2cos()2sin()

2sin()2sin(απαπαππαππ+-?++--+++n n n n

=α

ααπαπcos sin )

sin()sin(?+-++

=

αααπαcos sin )sin(sin ?---=αααcos sin sin 2?-=α

cos 2-=-4.

10.化简：

α

ααα6644sin cos 1sin cos 1----.

解 方法一 原式=α

ααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+

=

3

2

)

sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+?αααααα. 方法二 原式=

α

αααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-

解 方法一 当k 为偶数时，设k =2m (m ∈Z ),则

方法二 由(k π+α)+(k π-α)=2k π, ［(k -1)π-α］+［(k +1)π+α］=2k π, 得sin(k π-α)=-sin(k π+α),

cos ［(k -1)π-α］=cos ［(k +1)π+α］ =-cos(k π+α),

sin ［(k +1) π+α］=-sin(k π+α).

12.已知sin(π-α)-cos(π+α)=??

?

??<<παπ23

2.求下列各式的值： （1）sin α-cos α;

任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是

一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<

任意角的三角函数一

. 1.2.1 任意角的三角函数（一）2015.12 【预习案】 目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 特别地，r =1时，sin= ___ ,cos= ___ ,tan= _____ （）. 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8、三角函数在坐标轴上的取值情况 角 0 90180270360 弧度数 sin cos tan

【课堂案】 例1、已知角的终边经过点P(-3,4),求角的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角的终边经过点P(12,-5),求角的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角的终边经过点P(6m,-8m)，其中m0，求角的三角函数值. 强化3：已知角的终边在直线y = 3x上，求角的三角函数值。 例 2.确定下列三角函数值的符号. (1) cos 250(2)sin(- ) (3) tan(-672) (4)tan3 强化：1.若角的终边过点(-3，-2)则( ) A.sin tan0 B. cos tan0 C.sin cos0 D.sin cos0 强化：2. 若sin0,tan0则是第象限角? 反之成立吗?

强化：3.设是三角形的一个内角，则sin,cos, tan, tan中，哪些可以取负值？

强化2、 2cos +tan(- 7 )+cos 2 13 +sin 3 2 4 6 2 巩固案】 1、角 的终边上有一点P （a ,a ） ， a 0，则sin 的值是（ ） 2、已知角 的终边经过点 p （—1, 3 ）,则sin + cos 的值是（ ） 已知角 的终边上一点P （- 3,m ），且sin = 2m ，求cos 的值. 5、若cos 0,tan 0则在( ) 6、若sin cos 0 ，则 在（ ） A. 第一、四象限 B. 第一、三象限 7、下列命题中，正确命题的个数是（ ） （1）终边相同的角的同名三角函数的值相同 （3）若sin 0则 是第一、二象限的角 （2）终边不同的角的同名三角函数的值不等 4）若 是第二象限的角,且 p （x,y ）是其终边 A.第一象限 B.第一、二象限 C.第三象限 D. 第四象限 上一点，则 cos = -x 例 3、求值： (1) sin1485 (2)cos 9 强化 1、(1)cos1140 (2)tan 19 (3)sin(-1050) (4)tan(-31) 3、 已知角的终边经过点 P （ x ,1）,且 cos = 25 5 则x 的值是（ 4、 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限

任意角的三角函数定义

任意角的三角函数定义 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

教材：任意角的三角函数（定义） 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同 名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义： 1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222 2>+=+=y x y x r （图示见P13略） 2．比值 r y 叫做的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做的余弦 记作： r x = αcos 比值x y 叫做的正切 记作： x y = αtan 比值 y x 叫做的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做的正割 记作： x r =αsec 比值 y r 叫做的余割 记作： y r =αcsc 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名 三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例 子说明） ③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号 应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域： αααtan cos sin ===y y y )(2 Z k k R R ∈+≠π πα αααcsc sec cot ===y y y ) ()(2) (Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ παπα 二、例一 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 解：13)3(2,3,22 2=-+=-==r y x ∴sin=13133 cos=1313 2 23 cot=32 213 csc=3 13 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ⑶ 2 3π ⑷ 2 π 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当=2 π 时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π=0 sec 2π不存在 csc 2 π =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数x x x x y tan tan cos cos + =的值域 解： 定义域：cosx0 ∴x 的终边不在x 轴上

任意角的三角函数练习题及答案详解

任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋6 π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋2 3π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7．点P 是角α终边上的一点，且 ，则b 的值是（ ） A 3 B －３ C ±3 D 5 8.在△ABC 中，若最大的一个角的正弦值是 ，则△ABC 是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 9．若α是第四象限角，则 是（ ） A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 10．已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ）

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

高中数学任意角的三角函数经典例题1

例1下列说法中，正确的是 [] A．第一象限的角是锐角 B．锐角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．0°到90°的角是第一象限的角 【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键． 【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)． (90°－α)分别是第几象限角？ 【分析】由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα ＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的 【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，

的角． (2)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角． (3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 所以－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)． 故－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)． 因此90°－α是第四象限的角． 解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限． 将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内． 【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的． 例3已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间 [] 【分析】解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易． 【解法一】由正、余弦函数的性质，

巩固练习_任意角的三角函数_基础

【巩固练习】 1．角θ的终边经过点12? ? ? ??? ，那么tan θ的值为（ ） A ．12 B ．- C ． D ．2．若角0420的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ） A ．34 B ．34- C ．34± D ．3 3．下列三角函数值结果为正的是（ ） A ．cos100° B ．sin700° C ．2tan 3π??- ??? D ．9sin 4π??- ??? 4．化简0sin 390的值是（ ） A ． 12B ．12-C ．5．若42π π θ<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．sin θ＞cos θ＞tan θ B ．cos θ＞tan θ＞sin θ C ．sin θ＞tan θ＞cos θ D ．tan θ＞sin θ＞cos θ 6．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7．若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4 8．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。 10．若α为第二象限角，则|sin |cos sin |cos | αααα-=________。 11．已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ，则cos α=。 12．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin α=。

必修四任意角的三角函数(一)(附答案)

任意角的三角函数(一) [学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等． 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？ 答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 思考 三角函数在各象限的符号由什么决定？ 答案 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．

任意角三角函数练习题

1-2-1任意角的三角函数 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋6π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋2 3π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ．22 B ．-22 C ．±22 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点( P x ，且cos 4x α= ，则sin α的值为（ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且cos cos 22αα=- ，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7.若α是第四象限角，则 2α 是（ ） A.第二象限角 B.第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 8.若α 为第二象限角，则下列各式恒小于0的是（ ） A.sin cos αα+ B.tan sin αα+ C cos tan αα- D sin tan αα- 9.已知角α的终边落在直线y ＝3x 上，则sin α＝________． 10.已知P (-3，y )为角α的终边上一点，且sin α＝1313 ，那么y 的值等于________． 11.已知锐角α终边上一点P (1，3)，则α的弧度数为________．

任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)

任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ） A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中，角 3πα+ 的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ） 3.若5sin 13α=- ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??，则 sin(12)α?-=（ ） A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 0>θ B ．cos 0<θ C ．tan 0>θ D ．sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知tan 2α ，其中α为三角形内角，则cos α=（） A. 5 - D.

二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3，则 sin β=_________． 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度． 15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54，5 3-)． (1)求 sin α的值． (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的 半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为 9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最 大值？

任意角的三角函数一

【预习案】 目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值 3、课本如何定义的任意角的三角函数？ 4、三角函数定义：设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P （y x ,），它与原点的距离 r = ，则 )._____( tan ____,cos ____,sin ===ααα 特别地，r =1时，)._____(tan ____,cos ____,sin ===ααα 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 6、三角函数在各象限的符号 αsin αcos αtan 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8、三角函数在坐标轴上的取值情况 y o x y o x y o x

【课堂案】 例1、已知角α的终边经过点P(4,3-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角α的终边经过点P(5,12-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角θ的终边经过点P )8,6(m m -，其中0≠m ，求角θ的三角函数值. 强化3：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的三角函数值。 例2.确定下列三角函数值的符号. (1) 250cos (2))4 sin(π - (3) )672tan( - （4）tan π3 强化：1.若角α的终边过点（-3，-2）则（ ） A.0tan sin >αα B.0tan cos >αα C.0cos sin >αα D.0cos sin <αα 强化：2. 若0tan ,0sin ><θθ则θ是第 象限角? 反之成立吗? 强化：3.设α是三角形的一个内角，则2 tan ,tan ,cos ,sin α ααα中，哪些可以取负值？

任意角的三角函数典型例题精析

任意角的三角函数·典型例题精析 例1下列说法中，正确的是 [] A．第一象限的角是锐角 B．锐角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．0°到90°的角是第一象限的角 【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键． 【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)． (90°－α)分别是第几象限角？ 【分析】由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的 【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 的角． (2)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角． (3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 所以－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)．

故－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)． 因此90°－α是第四象限的角． 解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限．将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内． 【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论；②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的． 例3已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩F是区间 [] 【分析】解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易． 【解法一】由正、余弦函数的性质， 【解法二】由单位圆中的正弦线和正切线容易看出，对于二、四象限的角，AT＜MP，即tanα＜sinθ，由正弦线和余弦线可看出，当 应选(A)． 可排除(C)，(D)，得(A)． 【说明】本题解法很多，用三角函数线还可以有以下解法：因为第一、三象限均有AT＞MP，即tanθ＞sinθ，所以(B)，(C)，(D)均不成立．用排除法也有些别的方法，可自己练习． 例 4 (1)已知角α终边上一点P(3k，－4k)(k＜0)，求sinα，cosα，tanα的值； 【分析】利用三角函数的定义进行三角式的求值、化简和证明，是 三两个象限，因此必须分两种情况讨论．

高中数学典型例题任意角的三角函数1新课标

高中数学新课标典型例题：任意角的三角函数 1 例1下列说法中，正确的是 [ ] A．第一象限的角是锐角 B．锐角是第一象限的角 C．小于90°的角是锐角 D．0°到90°的角是第一象限的角 【分析】本题涉及了几个基本概念，即“第一象限的角”、“锐角”、“小于90°的角”和“0°到90°的角”．在角的概念推广以后，这些概念容易混淆．因此，弄清 楚这些概念及它们之间的区别，是正确解答本题的关键． 【解】第一象限的角可表示为｛θ|k·360°＜θ＜90°＋k·360°，k∈Z｝，锐角可表示为｛θ|0°＜θ＜90°｝，小于90°的角为｛θ|θ＜90°｝，0°到90°的角为｛θ|0°≤θ＜90°｝．因此，锐角的集合是第一象限角的集合当k=0时的子集，故(A)，(C)，(D)均不正确，应选(B)． (90°－α)分别是第几象限角？ 【分析】由sinα·cosα＜0，所以α在二、四象限；由sinα·tanα＜0，所以α在二、三象限．因此α为第二象限的角，然后由角α的 【解】(1)由题设可知α是第二象限的角，即 90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，

的角． (2)因为180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α是第三、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角． (3)解法一：因为90°+k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)， 所以－180°－k·360°＜－α＜－90°－k·360°(k∈Z)． 故－90°－k·360°＜90°－α＜－k·360°(k∈Z)． 因此90°－α是第四象限的角． 解法二：因为角α的终边在第二象限，所以－α的终边在第三象限． 将－α的终边按逆时针旋转90°，可知90°－α的终边在第四象限内． 【说明】①在确定形如α＋k·180°角的象限时，一般要分k为偶数或奇数讨论； ②确定象限时，α＋kπ与α－kπ是等效的． 例3已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤２π｝，F=｛θ|tanθ＜sinθ｝，那么E∩Ｆ是区间 [ ] 【分析】解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函 数值随角的变化而递增或递减的变化情况．可由三角函数的性质判断，也可由三角函数 线判断．用代入特殊值排除错误答案的方法解答本题也比较容易． 【解法一】由正、余弦函数的性质，

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数 课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解： 任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等 于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出： 当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 （Ⅳ） （Ⅲ）

任意角的三角函数练习题及标准答案详解

任意角的三角函数练习题及答案详解

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任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋ 6π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋ 2 3 π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为（ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7. 已知集合E=｛θ|cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tan θ＜sin θ｝，那么E ∩F 是区间( )

任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式同步测试(含答案)

任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式同步测试 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么的值 为（） A． B． C． D． 2．若为第二象限角，那么的值（） A．正值 B．负值C．零 D．不能确定 3．已知的值（） A．-2 B．2 C． D．－ 4．函数的值域是（） A．{－1，1，3} B．{－1，1，－3} C．{－1，3} D．{－3，1} 5．已知锐角终边上一点的坐标为（则= （）

A． B．3 C．3－ D．－3 6．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（）A． B．－ C．或－ D． 7．若那么2的终边所在象限为（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象 限 D．第四象限 8．、、的大小关系为（） A． B． C． D． 9．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状 为（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形

10．若是第一象限角，则中能确定为正值有（） A．0个 B．1个 C．2 个 D．2个以上 11．化简（是第三象限角）的值等于（） A．0 B．－ 1 C． 2 D．－2 12．已知，那么的值为（） A． B．－ C．或－ D．以上全错 二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 13．已知则 . 14．函数的定义域是_________. 15．已知，则=______. 16．化简 .

三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．已知 求证：. 18．若, 求角的取值范围. 19．角的终边上的点P和点A（）关于轴对称（）角的终边上的点Q与A关于直线对称. 求 的值. 20．已知是恒等式. 求a、b、c 的值.

(精心整理)任意角的三角函数一

目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值 3、课本如何定义的任意角的三角函数？ 4、三角函数定义：设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P （y x ,），它与原点的距离 r = ，则 )._____( tan ____,cos ____,sin ===ααα 特别地，r =1时，)._____(tan ____,cos ____,sin ===ααα 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 6 、三角函数在各象限的符号 αsin αcos αtan 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8 y o x y o x y o x

例1、已知角α的终边经过点P(4,3-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角α的终边经过点P(5,12-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角θ的终边经过点P )8,6(m m -，其中0≠m ，求角θ的三角函数值. 强化3：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的三角函数值。 例2.确定下列三角函数值的符号. (1) 250cos (2))4 sin(π - (3) )672tan( - （4）tan π3 强化：1.若角α的终边过点（-3，-2）则（ ） A.0tan sin >αα B.0tan cos >αα C.0cos sin >αα D.0cos sin <αα 强化：2. 若0tan ,0sin ><θθ则θ是第 象限角? 反之成立吗? 强化：3.设α是三角形的一个内角，则2 tan ,tan ,cos ,sin α ααα中，哪些可以取负值？ 例3、求值：

(完整版)任意角的三角函数练习题及标准答案详解

任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋ 6π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋ 2 3 π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为（ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7. 已知集合E=｛θ|cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tan θ＜sin θ｝，那么E ∩F 是区间( )

二、填空题 1．已知角α的终边落在直线y ＝3x 上，则sin α＝________． 2．已知P (-3，y )为角α的终边上一点，且sin α＝ 13 13 ，那么y 的值等于________． 3．已知锐角α终边上一点P (1，3)，则α的弧度数为________． 4．（1）sin 49πtan 3 7π _________ 5. 三、解答题 1．已知角α的终边过P (-3 ，4)，求α的三角函数值 2．已知角β的终边经过点P (x ，-3)(x >0)．且cos β＝2 x ，求sin β、cos β、tan β的值． 3.(1)已知角α终边上一点P(3k ，－4k)(k ＜0)，求sin α，cos α，tan α 的值；

任意角的三角函数公开课教案(精.选)

任意角的三角函数（第一课时） 教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、重点、难点、关键 重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）. 二、教学过程 [执教线索： 回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关

系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业] （一）复习引入、回想再认 开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？ 探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下： （情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？ 让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调： 传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域. 现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： f（x），x∈A ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域. （情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习