线性代数与空间解析几何总总结复习
第一章 矩阵
一、矩阵的定义
由m ×n 个数排成m 行n 列的矩形数表
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????=mn m m n n a a a a a a a a a A K M O M M K K 2
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m 个关于n 个未知量x 1，x 2，…，x n 的一次方程组成的方程组
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n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L L L L 22112
22221211
1212111 线性方程组的系数矩阵
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22221
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线性方程组的增广矩阵
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m m n n b a a a b a a a b a a a B L M M
O
M
M L L 21
222221
111211
矩阵相等 同型矩阵
行矩阵（或称行向量） 列矩阵（或称列向量） n 阶矩阵或n 阶方阵 单位矩阵 上三角矩阵 下三角矩阵 对角矩阵 二、矩阵的运算
1、线性运算
矩阵A 与B 的和：C =A +B
只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
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??+++++++++=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a C L M
O M M L L 2
21
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211112121111
矩阵A 与数λ的乘积（简称矩阵的数乘），记作 λΑ
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??mn m m n n a a a
a a a a a a λλλλλλλλλL M O M M L L 2122221112
11
矩阵的加法及矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。
2 矩阵的乘法
设矩阵A =(a ij )m ×s ， B =(b ij ) s ×n ， 构作一个m ×n 矩阵C = (c ij ) m ×n ，其中
)
,2,1;,,2,1(1
2211n j m i b a b a b a b a c s
k kj
ik sj is j i j i ij L L L ===+++=∑=
那么，矩阵C 称为设矩阵A 与矩阵B 的乘积 ，记作：C = AB
一个1×s 行矩阵与一个s ×1 列矩阵的乘积是一个1 阶矩阵，即一个数。
所以，矩阵C = AB 的第i 行、第j 列元素c ij 就是A 的第i 行与矩阵B 的第j 列的乘积。
左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘 。 矩阵乘法不满足交换律。 矩阵乘法满足的运算规律： (1) (AB )C =A (BC )
(2) (AB )=(λA )B =A (λB ),其中 λ为数
(3) A (B +C )=AB +AC ，(B +C )A =BA +CA
3 线性变换
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?+++=+++=+++=n
mn m m m n
n n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y L L L L L L L 22112222121212121111 表示从变量x 1 ，x 2 ，… ，x n 到变量y 1 ，y 2 ，… ，y m 的线性变换 。
记????
??
????????=??????????????==×m n n m ij y y y x x x a A M
M 2121,,)(y x ，则y = A x 4 矩阵的幂
矩阵的非负整数幂的定义（A 为n 阶方阵）：
A 0=I ， A k +1=A k A
由于矩阵乘法满足结合律，所以
A k A l =A k+l (A k )l =A kl
又由于矩阵乘法不满足交换律，所以，一般
(AB)k≠A k B k
5、矩阵的转置
设矩阵A是一个m×n矩阵，构作一个n×m的矩阵，使它的第i行第j列元素是矩阵A的第j行第i列的元素（i=1,2,…,n，j=1,2,…,m），那么这个矩阵称为A的转置矩阵。记作A T
A T的行为A的（相应）列，A T的列为A的（相应）行。
矩阵的转置满足下列运算规律：
（1）(A T)T = A
（2）(A + B)T = A T + B T
（3）(λA)T = λA T
（4）(A B)T = B T A T
设A为n阶矩阵：
如果满足A T＝A ，则称A为对称矩阵；对称矩阵A的元素满足：
a ij=a ji (i,j=1,2,…,n)
如果满足A T＝-A ，则称A为反对称矩阵。反对称矩阵A的元素满足：
a ij=-a ji (i,j=1,2,…,n)
尤其注意，反对称矩阵A的主对角线元素a ii=0
6、矩阵的逆
设A是一个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得
AB=BA=I
成立，那么矩阵A称为可逆矩阵，并且矩阵B称为A的逆矩阵，简称为矩阵A的逆。如果A的逆矩阵不存在，那么A称为不可逆矩阵。
矩阵的逆满足下列运算规律：
设A、B都是n阶可逆阵，数λ≠0，那么
（1）A-1可逆，且(A-1)-1=A；
（2）λA可逆，且(λA)-1=A-1/ ；
（3）AB可逆，且(AB )-1=B-1A-1 ；
（4）A T可逆，且(A T)-1=(A-1)T 。
7 分块矩阵
对于矩阵A，用若干条纵线和横线分成一些小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
两种常用的分块矩阵：分别以矩阵的行和列为子块。
分块对角矩阵，或称准对角矩阵的概念
分块矩阵的运算方法（了解）。
第二章 线性方程组与矩阵初等变换
1、线性方程组
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????
?=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L L L L 22112
222212********* 可以写成
Ax =b
其中
系数矩阵 A =(a ij )m ×n 常数列 b =(b 1,b 2,…,b m )T 未知量列 x =(x 1,x 2,…,x n )T 增广矩阵 B =(A | b )
如果b 1,b 2,…,b m 全部为零，那么上述方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组。
2、高斯消元法
线性方程组的三种初等变换： (1) 交换两个方程的位置； (2) 以非零数 k 乘一个方程； (3) 把一个方程的 k 倍加到另一个方程上。
任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得到的方程组与原方程组等价；
任意一个线性方程组一定可以经过若干次适当的初等变换得到一个阶梯形的方程组。 一种求解线性方程组的一般方法：
对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而达到求解的目的。——这种求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss)消元法 3、利用矩阵初等行变换解线性方程组 定义1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换： (1)交换两行的位置(交换第i ，j 两行，记作r i ? r j )； (2)以非零数k 乘某一行(以k 乘第i 行，记作k r i )；
(3)把某一行的k 倍加到另一行上(把第j 行的k 倍加到第i 行上，记作r i + k r j )。
三种初等行变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等行变换: 变换r i ? r j 的逆变换就是它(该变换)自身； 变换k r i （k ≠0）的逆变换为 r i / k ； 变换r i + k r j 的逆变换为r i +(-k ) r j 。
任意矩阵A =(a ij )m ×n 都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵。
对于线性方程组，我们先对它的增广矩阵施行若干次初等行变换使它化为行阶梯形矩阵，再写出这个行阶梯形矩阵对应的阶梯形方程组并用“回代”法求解，就可以得到原方程组的解。 ——这就是利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法，是高斯消元法的另一种表现形式。
4、一般的线性方程组解的三种不同情况
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n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L L L L 22112
22221211
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r r d d c c c d c c c c d c c c c c
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(1)
情形1：d r +1≠0，对应一个矛盾方程
0x 1+0x 2+…+0x n =d r +1
方程无解。
(2)
情形2：d r +1=0，r =n ，此时非零行的行数等于未知量的个数，且 c rr x n =d r
使用回代法可得到方程组唯一解。
(3)
情形3：d r +1=0，r 未知量x r +1,x r +2,…,x n 取任意一组数值。再使用回代法可求得x 1,x 2,…,x r -1。 因此方程有无穷多解。 齐次线性方程组： ?? ???? ?=+++=+++=+++0 00221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L L L L L 显然，x =(x 1,x 2,…,x n )T =(0,0,…,0)T 总是方程组的解。所以，齐次线性方程组总是有解的 （相容的），其解只可能出现情形2或情形3。如果出现情形2，方程组有唯一解，即它没有非零解；如果出现情形3，那么它有无数解，即它有非零解。 定理1 对齐次线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换，使其化为行阶梯形矩阵S 。那么齐次线性方程组没有非（只有）零解的充分必要条件是S 中非零行的行数等于方程组未知量的个数； 等价地，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是S 中非零行的行数小于方程组未知量的个数. 5 矩阵的初等变换 矩阵的三种初等列变换： (1)交换两列的位置(交换第i，j两列，记作c i?c j)； (2)以非零数k乘某一列(以k乘第i列，记作k c i)； (3)把某一列的k倍加到另一列上(把第j列的k倍加到第i列上，记作c i+ k c j)。 三种初等列变换也是可逆的，并且其逆变换也是同一类型的初等列变换。 矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换。 如果矩阵A经过有限次初等变换可以化为矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A～B 6 初等矩阵 由单位矩阵I 经过一次初等变换得的矩阵称为初等矩阵。 （1） 交换两行（或列）的位置：把单位矩阵I 中的第i，j行的位置交换(r i?r j)； （2） 以非零数k乘某一行（或列）：以非零数k乘单位矩阵I 的第i行(k r i)； （3） 把某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）上。把单位矩阵I 的第j行的k 倍加到第i行上(r i+k r j)。 用m阶初等矩阵E m(i, j)左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i，j行交换位置(r i?r j)； 用n阶初等矩阵E n(i, j)右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第一种初等列变换：把A的第i，j列交换位置(c i?c j)； 用m阶初等矩阵E m(i(k ))左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第二种初等行变换：以非零数k乘A的第i行(kr i)； 用n阶初等矩阵E n(i(k ))右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第二种初等列变换：以非零数k乘A的第i列(kc i)； 用m阶初等矩阵E m(i, j(k ))左乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第三种初等行变换：把j行的k倍加到第i行(r i+ kr j)； 用n阶初等矩阵E n(i, j(k ))右乘矩阵A=(a)m×n，相当于对矩阵A施行第三种初等列变换：把i列的k倍加到第j列(c j+ kc i)； 定理2 设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。 初等矩阵是可逆的。 定理3（逆矩阵定理） 设A是n阶矩阵，那么下列各命题等价： （1）A是可逆矩阵； （2）齐次线性方程组Ax＝0只有零解； （3）A可以经过有限次初等行变换化为I n； （4）A可表示为有限个初等矩阵的乘积。 7 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 设n阶矩阵A可逆，由定理3可知，存在初等矩阵P1、P2、…、P s，使得 I n＝P s …P2P1 A 即 I n A -1 ＝ P s … P 2 P 1 A A -1 A -1 ＝ P s … P 2 P 1 I n 以上公式表明： A 可以经过一系列初等行变换化为I ； I 经过这同一系列初等行变换化为A -1 。 利用分块矩阵，公式 I n ＝ P s … P 2 P 1 A 和 A -1 ＝ P s … P 2 P 1 I n 可合并表示为： P s … P 2 P 1 (A | I n )=(I n | A -1) 即对n ×2n 矩阵(A | I n )施行初等行变换，当把子块A 化为I n 时，另一子块I n 就化为A -1 。 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可以推广为求矩阵A -1B 的方法，由 A -1(A | B )=(I | A -1B ) 可知，如果对矩阵(A | B )施行初等行变换，当把A 化为I 时，B 就化为A -1B 。 类似地，如果要求CA -1，可以对矩阵(A T ┆C T )T 作初等列变换，当把A 化为I 时，C 就化为CA -1 。 ??? ?????=??????????11CA I A C A 第三章 行列式 1、全排列及其奇偶性 把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列(简称排列)。 对于n 个不同的元素，先规定各元素间有一个标准次序（如：n 个不同的自然数，可规定自小到大排列为标准次序，此时，对应的排列称自然排列），于是，在这n 个元素的任意排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序。 一个排列i 1i 2…i n 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作 t (i 1i 2…i n ) 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。 在排列中，将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新排列的交换称为对换，将相邻两个元素对换，称为相邻对换。 相邻对换使排列的逆序数增加1或减少1。由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现，所以对换改变排列的奇偶性。 2 n 阶行列式定义 设有n 阶矩阵?? ?? ? ? ? ??? ????=nn n n n n a a a a a a a a a A K M M M K K 21 22221 12111，作出矩阵中位于不同行、不同列的n 个数的乘积，并冠以符号) (21) 1(n j j j t ?得到形如 n n nj j j j j j t a a a L L 212121)()1(? 的项，其中j 1j 2…j n 为n 个正整数1，2，…，n 的一个排列，t (j 1j 2…j n )为这个排列的逆序数。 由于这样的排列共有n !个，因此形如上式的项共有n !项，所有这些n !项的代数和 ∑?n n n j j j nj j j j j j t a a a L L L 21212121) () 1( 称为矩阵A 的行列式，记作 nn n n n n a a a a a a a a a A D K M M M K K 21 2222112111det = = （以上下划线部分只需了解即可） 3、行列式按行（列）展开 在n 阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行及第j 列划去后，留下的n -1阶行列式称为元素a ij 的余子式，记作M ij ；M ij 冠以符号(-1)i +j 得A ij = (-1)i+j M ij ，A ij 称为元素a ij 的代数余子式。 交换行列式的两行（列）的位置，行列式变号。 定理1 设A = (a ij)是n阶矩阵，D=det A ，那么 D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in (i=1,2,…,n) (1) D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj (j=1,2,…,n) (2) 于是，行列式等于它们的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。 推论1 如果n阶矩阵A = (a ij) 中有两行（或列）相同，那么行列式D=det A=0。 推论2 设A = (a ij) 是n阶矩阵，D=det A ，i≠j ，那么 (1) D1=a i1A j1+a i2A j2+…+a in A jn=0 D2=a1i A1j+a2i A2j+…+a ni A nj =0 (2) 4、行列式的性质 性质1设A = (a ij) 是n阶矩阵，A T是的转置矩阵，则 det A=det A T 即行列式经过转置后其值不变。 性质2 如果行列式的某一行（或列）的元素都是两元素之和，那么D等于两个行列式的和。 性质3 行列式的初等变换 设A = (a ij) 为n阶矩阵， (1)交换A的第i、j行(或列)的位置得到A1，则 det A1 = - det A； (2)把A的第i行(或列)乘以数k(k≠0)得到A2，则 det A2 = k det A； (3)把A的第i行(或列)的k倍加到第j行(或列)上，得到A3，则 det A3 = det A； 推论1 设A 为任意n阶矩阵，则对n阶初等矩阵都有 det( E A )=(det E )( det A ) det( A E )=(det A )( det E ) 推论2 如果行列式有两行（或列）的对应元素成比例，那么这个行列式为零。 5、行列式的计算 行列式的性质3提供了使用矩阵初等变换计算行列式的简便方法。利用初等变换计算行列式的一个基本程序是通过适当的初等变换把行列式化为上三角行列式，然后利用上三角行列式的计算公式得到行列式的值。 或者通过适当的初等变换把某一行（或列）尽可能化为0，然后按该行（或列）展开，实现降阶。 6、伴随矩阵与矩阵的逆 n阶矩阵A的行列式det A的各个元素的代数余子式A ij构成的矩阵 ?? ?? ? ? ? ???????=nn n n n n A A A A A A A A A A K M M M K K 2122212 12111* 称为A 的伴随矩阵。 引理 设A *为n 阶矩阵A 的伴随矩阵，那么 AA * = A *A = det A I 定理2 矩阵A 可逆的充分必要条件是det A ≠0；当A 可逆时 *1det 1 A A A = ? 其中A *为A 的伴随矩阵。 如果det A ＝0，则称A 为奇异矩阵； 如果det A ≠0，则称A 为非奇异矩阵。因此： 矩阵A 可逆的充要条件是A 为非奇异矩阵 推论1 设A 和B 是两个n 阶矩阵，如果A 是不可逆矩阵，则AB 和BA 都是不可逆矩阵。 推论2 如果AB=I （或BA=I ），那么A 可逆，且A -1=B 。 定理3 设矩阵A 、B 为n 阶矩阵，那么 det(AB )=(det A ) (det B ) 即两个矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积。 设矩阵A 1、 A 2 、…、A r 都是n 阶矩阵，那么 det(A 1 A 2…A r )= (det A 1) (det A 2) …(det A r ) 7、克拉默法则 克拉默法则 定理5 齐次线性方程组Ax =0：?? ?????=+++=+++=+++0 00221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L L L L L ，没有非零解的充分必 要条件是其系数矩阵A 的行列式D ≠0；等价地，该方程组有非零解的充分必要条件是其系 数行列式D =0。 8、矩阵的秩 k 阶子式：在m ×n 矩阵A 中，任取k 行和k 列(1≤k ≤min|m ,n |)，位于这些行列交叉处的k 2个元素，按他们在矩阵A 中的相对位置组成的k 阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。 矩阵的秩的定义： 设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D 称为A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵的秩，记着R (A )，并规定零矩阵的秩等于0。 根据矩阵秩的定义，m ×n 阶矩阵A 的秩满足R (A )≤ min |m ，n | 对于任意矩阵A ， R (A )是唯一确定的，但其最高阶非零子式不一定是唯一的。 由于行列式转置后其值不变，故矩阵A 与其转置矩阵A T 有相同的秩，即 R (A )= R (A T ) 矩阵秩的计算： 对于行阶梯形矩阵，其秩就是其非零行的行数，因此，可通过将一般矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而求取一般矩阵的秩。 用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩。 定理6 初等变换不改变矩阵的秩。 对于n 阶可逆矩阵，因|A |≠0，知A 的最高阶非零子式为|A |，R (A )=n 。由于矩阵的秩等于阶数，故可逆矩阵又称作满秩矩阵，而奇异矩阵又称作降秩矩阵。 对于任意矩阵A m ×n ，总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，然后通过有限次初等列变换便可化成形如 ??? ?????000r I 的矩阵，称为m ×n 矩阵A 的标准形矩阵，其中r =R (A )。 故存在m 阶初等矩阵P 1， P 2，… P s 以及n 阶矩阵Q 1， Q 2，… Q t 使得 ??? ? ??? ?=000r t s I Q Q AQ P P P L L 2112 记P =P 1 P 2 … P s ，Q = Q 1 Q 2 … Q t ，那么P 为在m 阶可逆矩阵， Q 为n 阶可逆矩阵，且 n m r I PAQ ×??????? ?=00 0 矩阵A 的标准形矩阵由m ，n ，r 这三个数确定。 第四章 空间解析几何与向量运算 1、空间直角坐标系 坐标原点 O ，横轴x ，纵轴y ，竖轴z ，相互垂直 ，正方向符合右手规则。 每两条坐标轴确定的平面称成为坐标平面。 三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限 2、点的坐标 过空间中点M ，分别作平行于三个坐标平面的平面，交三个坐标轴于P (x ,0,0) , Q (0,y ,0), R (0,0,z )三点，称序数组(x ,y ,z )为点M 的坐标 ,记作M (x ,y ,z ) ． 3、向量及其线性运算 （1）向量:具有一定大小和方向的量。 （2）向量的表示：以A 为起点，B 为终点的有向线段a 。 （3）自由向量: 不考虑起点位置的向量。 (4) 相等向量:大小相等，方向相同的向量。 (5) 负向量:大小相等方向相反的向量。 (6) 平行向量：方向相同或相反的向量。 （7）向径:以坐标原点O 为起点，终点为M 的向量。 （8）向量的模|a | :向量的大小（或长度） 。 单位向量:模等于1的向量。 零向量0 :模等于零的向量，方向任意。 向量的加（减）法 三角形法则（两向量的和）：设有向量a 与b ，将b 平移使其起点与a 的终点重合，以向量a 的起点为起点，以b 的终点为终点的向量称为向量a 与b 的和，记作 c=a+b . 平行四边形法则：两向量和是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量。 多边形法则（n (n ≥3)个向量的和）：以任何次序相继作向量，使这些向量首尾相连，而第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量即为n 个向量的和． 向量与数量的乘法 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，它的模是|λa|=|λ||a| 。当λ>0时，它与a 方向相同；当λ<0时，它与a 方向相反；当λ=0时， a =0。 设a 0表示与非零向量a 同方向的单位向量，则 a =|a | a 0，从而 a a a 10= 向量的加法与数乘统称为向量的线性运算。 定理1 设向量a 与b ≠0，那么， a 平行于b 的充分必要条件是存在唯一的实数λ，使 a =λb 。 4、向量的分解与向量的坐标 (1)向量OM 过点M (x ,y ,z ) ，分别作平行于三个坐标平面的平面，交三个坐标轴于P 、 Q 、 R 三点。设e 1、e 2、e 3 分别表示沿x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量。则 321ze ye xe OM a ++== 或 起点在原点的向量的坐标就是它的终点的坐标 (2)向量M 1M 2 起点M 1(x 1 , y 1 , z 1)、终点M 2(x 2 , y 2 , z 2). 1221OM OM M M ?= ()()312111322212e z e y e x e z e y e x ++?++= ()()()312212112e z z e y y e x x ?+?+?= 或 ()12121221,,z z y y x x M M ???= （3）向量的线性运算的坐标表示式 设()()222111,,,,,z y x z y x ==b a 则 ()212121,,z z y y x x +++=+b a ， ()212121,,z z y y x x ???=?b a ， ()111,,z y x λλλλ=a （4） 向量在轴上的投影 （5） 两向量的夹角 （6） 空间一点在轴上的投影 （7） 向量在轴上的投影B A AB ′′=u Prj （8） 向量在轴上的投影性质： 向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦； 两个向量a 与b 的和在轴u 上的投影等于向量a 与b 在该轴上的投影的和； 向量a 与数λ的乘积a 在轴上的投影等于向量a 在轴u 上的投影的λ倍。 （9） 向量的模与方向的坐标表示法 方向角 : 非零向量与三条坐标轴的夹角：0≤α、β、γ≤π/2 ()z y x M M ,,21==a α=x ()z y x a ,,= βcos =y γ=z 向量a 的模：222z y x a ++= 方向余弦：???? ? ? ?? ???++=++=++= 2 22222222cos cos cos z y x z z y x y z y x x γβα 方向余弦的关系：1cos cos cos 222 =++γβα 与非零向量a 同方向的单位向量： ()) cos ,cos ,(cos ,,1 10γβα=== z y x a a a a 两点M 1与M 2之间的距离公式 ()()()21221221221||z z y y x x M M d ?+?+?= == 5、向量的数量积 两向量a 与b 的数量积定义为数|a | |b | cos θ , 记作 a · b = |a | |b | cos θ 其中θ为向量a ，b 的夹角。 当向量a ≠0时, a · b = |a | Prj a b 当向量b ≠0时, a · b = |b | Prj b a 向量数量积的运算律 （1）交换律 a ·b = b ·a ； （2 ）分配律 (a +b )·c =a ·c + b ·c ； （3 ）结合律 (λa )·b = (a ·b ) = a ·(λb ), 其中λ 为数． 2个重要结论 （1）a · a = |a |2； （2） a ⊥b 的充分必要条件是a · b = 0。 数量积的坐标表示式：设向量 a = (x 1 , y 1 , z 1) , b = (x 2 , y 2 , z 2) , 则 a · b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。 可以利用向量坐标计算向量的夹角 设 a ≠0 , b ≠0 , 由数量积定义，有 | |||cos b a b a ?= θ22 222221 21 21 212121z y x z y x z z y y x x ++++++= 6、向量的向量积 两向量a 与b 的向量积 a ×b 是一个向量, 满足 （1）模 （2） a ×b 的方向垂直于a 与b 所决定的平面，且a 、 b 、a ×b 符合右手规则。 向量积模的几何意义：以a 、b 为邻边的平行四边形面积。 向量的向量积运算律 （1） a × b = - b × a （2）分配律：(a + b ) × c = a × c +b × c c × (a + b ) = c × a + c × b （3）结合律：( λa )×b =a ×( λb )=λ(a ×b ) 两个重要结论： （1） a × a = 0 （2）0//=×?b a b a 向量积的坐标表示式 设向量 a = (x 1 , y 1 , z 1) , b = (x 2 , y 2 , z 2) , 则 ()()()321212212112121e x y y x e z x x z e y z z y b a ?+?+?=×2 2 2 111 321z y x z y x e e e = 7、向量的混合积 数(a ×b ) · c 为三向量a , b , c 的混合积，记作（a , b , c ）. 混合积绝对值的几何意义：以向量a , b , c 为邻边的平行六面体的体积。 向量混合积的运算律： 对调相邻因子，混合积变号，可通过混合积的坐标表示式理解、证明。即 (a ×b ) · c = - (b ×a ) · c = - (a ×c ) · b= (b ×c ) · a = (c ×a ) · b = - (c ×b ) · a 混合积的坐标表示式 设向量 a = (x 1 , y 1 , z 1) , b = (x 2 , y 2 , z 2) , c = (x 3 , y 3 , z 3) ，则 3 3 3 222 111 ),,(z y x z y x z y x c b a = 一个重要结论：三向量a , b , c 共面0)(=?×?c b a 8、平面的方程 平面的点法式方程：法向量n = (A , B , C )，设π上点 M 0(x 0 , y 0 , z 0)，则 ()()()0000=?+?+?z z C y y B x x A 平面的一般方程：平面方程是一个三元一次方程，其中A , B , C 不全为零。 0=+++D Cz By Ax 任何一个三元一次方程，只要一次项系数不全为零，它的图形就是一个平面。 平面的截距式方程： 设一平面与三坐标轴都相交但不通过原点，三交点分别为P (a , 0 , 0)、Q (0 , b , 0)、R (0 , 0 , c )，其中a 、b 、c 均不为零，称为平面在三坐标轴上的截距。则 1=++c z b y a x 9、平面的位置 设平面的一般方程为 Ax + By + Cz + D =0 （1）A ≠0，B ≠0，C ≠0，D ≠0： 平面不过原点，在 x 轴、y 轴、z 轴、上的截距分别为-D /A 、-D /B 、-D /C ； （2） A ≠0，B ≠0， C ≠0，D = 0：平面过原点； （3）A 、B 、C 中有一个为零 A = 0，平面方程为By +Cz +D =0，平面平行于x 轴； B = 0，平面方程为Ax +Cz +D = 0，平面平行于y 轴； C = 0，平面方程为Ax +B y+ D = 0，平面平行于z 轴； (4) A 、B 、C 中有两个为零 A = 0， B = 0 , 平面方程为Cz +D = 0，平面与z 轴垂直； B = 0， C = 0 , 平面方程为Ax + D = 0，平面与x 轴垂直； A = 0， C = 0 , 平面方程为By +D = 0，平面与y 轴垂直； (5) z = 0，xoy 平面； x = 0，yoz 平面； y = 0，xoz 平面。 10、点到平面的距离 点P 0(x 0 , y 0 , z 0)到平面π :Ax+By+Cz +D =0的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= 11、两平面间的位置关系 π1： A 1x+B 1y+C 1z +D 1=0 法向量：n 1=(A 1, B 1, C 1 ) π2 ： A 2x+B 2y+C 2z+D 2=0 法向量：n 2=(A 2, B 2, C 2 ) （1）两平面的夹角 两平面的法向量之间的夹角 (锐角) 两平面间夹角的公式 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A 线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去， 行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时） 行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5 线性代数公式总结 ()0A r A n A Ax A A οο?? ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ????????? ? ⑤1 11 11 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=??? ? ???? ????? ? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοοο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? 11112222 kk kk A B A B AB A B ο ο ????? ?=????? ? 线性代数学习心得体会 篇一：学习线性代数的心得体会 学习线性代数的心得体会 线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。 线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。在这门课的学习过程中，很多同学遇到了上课听不懂，一上课就想睡觉，公式定理理解不了，知道了知识但不会做题，记不住等问题。我认为，每门课程都是有章可循的，线性代也不例外，只要有正确的方法，再加上自己的努力，就可以学好它。 线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程， 想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。 一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自 己会做也要听一下老师的思路。 上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以 问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。。 线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只 153 自测题七解答 一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中， 方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面． 二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(． 提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ． 三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程． 解 因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)． 又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?． 则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=． 四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程． 线性代数总结归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【 √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? ⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件： 《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -线性代数知识点总结汇总
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