函数的零点与方程的根

考点04 函数的零点与方程的根

一、单选题

1．（2020·云南省保山第九中学月考）已知函数f (x )的图像是连续且单调的，有如下对应值表：

则函数f (x )的零点所在区间是（ ） A ．(1，2) B ．(2，3)

C ．(3，4)

D ．(4，5)

【答案】B 【解析】 【分析】

根据函数f (x )的图像是连续且单调的，(2)(3)0f f ?<，即得解.

【详解】

因为函数f (x )的图像是连续且单调的，(2)(3)10f f ?=-<，

所以函数f (x )的零点所在区间是(2,3).

故选：B 【点睛】

方法点睛：判断一个连续函数的零点所在的区间，一般直接利用零点存在性定理解答，即找到区间(,)a b ，且()()0f a f b <即得解.

2．（2020·长顺县文博高级中学有限公司月考）函数()34x

f x x =+的零点所在的区间是（ ）

A ．(2,1)--

B ．(1,0)-

C ．(0,1)

D ．(1,2)

【答案】B 【解析】 【分析】

结合题中选项，分别计算函数值，根据函数零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】

易知函数()34x

f x x =+是增函数，且1

(1)430f --=-+<，()010f =>，

由函数零点存在性定理可得，函数()34x

f x x =+的零点所在的区间是(1,0)-.

故选：B. 【点睛】 方法点睛：

在判定函数零点所在区间时，一般根据函数零点存在性定理来判断，要求学生要熟记零点存在性定理；另外，在根据判断函数零点时，有时也需要结合函数单调性进行判断.

3．（2020·天津南开中学高三月考）函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()1,2 B ．()2,3

C ．()3,4

D ．()4,5

【答案】B 【解析】 【分析】

函数()f x lnx 2x 6=+-在其定义域上连续，同时可判断f （2）＜0，f （3）＞0；从而可得解． 【详解】

函数f （x ）＝lnx 2x 6+-在其定义域上连续， f （2）＝ln 2+2?2﹣6＝ln2﹣2＜0， f （3）＝ln3+2?3﹣6＝ln3＞0；

故函数()f x lnx 2x 6=+-的零点在区间（2，3）上， 故选B ． 【点睛】

本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是关键，属于基础题． 4．（2020·广西南宁三中高三其他（理））方程22

21,(0)x x a a -=+>的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

将题意转化为2

2y x x =-的图象与2

1y a =+的图象交点的个数即可得结果.

【详解】

∵0a >，∵211a +>.而2

2y x x =-的图象如图，

∵2

2y x x =-的图象与21y a =+的图象总有两个交点，

即方程22

21,(0)x x a a -=+>的解的个数是2， 故选：B. 【点睛】

本题主要考查了方程根的问题，利用数形结合思想是解题的关键，属于基础题.

5．（2020·山西太原五中月考（理））已知函数2log ,0

()2,0

x x x f x x >?=?≤?，且关于x 的方程()0f x a -=有两个

实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1] B ．(0,1)

C ．[0,1]

D ．(0,)+∞

【答案】A 【解析】 【分析】

当0x ≤时，021x <≤，当0x >时，2log x R ∈，由题意可得，函数()y f x =与直线y a =有两个交点，数形结合求得实数a 的范围． 【详解】

当0x ≤时，021x <≤，当0x >时，2log x R ∈．

所以，由图象可知当要使方程()0f x a -=有两个实根，

即函数()y f x =与直线y a =有两个交点，所以，由图象可知01a <≤， 故选：A ．

【点睛】

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

6．（2020·安徽池州一中月考）一元二次方程02=+-k kx x 一根大于0，一根小于0，则实数k 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．(,0)(4,)-∞+∞ C ．(,0)-∞ D ．(4,)+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可． 【详解】

解：方程02=+-k kx x 一根大于0，一根小于0，即函数()2

f x x kx k =-+与x 轴有两个交点，且位于0

的两侧，所以只需()00f < 可得k 0<． 故选：C ． 【点睛】

本题考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．

7．（2020·安徽月考（理））若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，

且当[]0,1x ∈时，

()31x f x =-，若函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-上恰有3个不

同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]3,5

B ．()3,5

C ．

D ．

【答案】C 【解析】 【分析】

判断出()f x 的周期，由()g x 在区间()1,3-上的零点个数，结合图象列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】

函数()f x 是定义在R 上的偶函数，可求得[]1,0x ∈-，函数()()3

1x

f x f x -=-=-，()()2f x f x -=，

即周期为2，又由函数()()()()log 21a g x f x x a =-+>在区间()1,3-恰有3个不同的零点，即函数

()y f x =与()log 2a y x =+的图象在区间()1,3-上有3个不同的交点，又由()()132f f ==，则满足

()log 122

a +<且()log 322a +≥a <≤.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查函数零点，属于中档题.

8．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考（文））若函数|21|,2()3,21

x x f x x x ?-

=?≥?-?，则函数()()2

g x f f x ????=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．4

C ．5

D ．6

【答案】B 【解析】 【分析】

()()2g x f f x ????=-的零点即方程()2f f x =?

???的根，设()t f x =，则()2f t =，先解方程()2f t =的根t ，再根据图像数形结合()t f x =的解的个数即可.

【详解】

函数|21|,2

()3,21

x x f x x x ?-

=?≥?-?，()()2g x f f x ????=-的零点即()2f f x =?

???的根， 设()t f x =，则()2f t =，先解方程()2f t =的根t ，再计算()t f x =的解.

2t <时|21|2t -=得2log 3t =；2t ≥时

321t =-得5

2

t =. 如图所示，函数|21|,2

()3,21

x x f x x x ?-

=?≥?-?的图像，

方程()2()log 31,3f x =∈和方程()5

()1,32

f x =

∈各有两个解，即方程()2f f x =????共有4个解，故()()2g x f f x ????=-的零点有4个.

故选：B. 【点睛】

本题考查了函数的零点个数，考查了数形结合思想，属于中档题.

二、多选题

9．（2020·云南省玉溪第一中学高一月考）已知集合{

}

2

320A x tx x =-+=中至多有一个元素，则t 的值可以是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】ACD 【解析】 【分析】

对t 分成0t =和0t ≠两种情况进行分类讨论，由此确定正确选项. 【详解】

当0t =时，2320,3x x -+==

，23A ??

=????

符合题意.

当0t ≠时，9

980,8

t t ?=-≤≥，所以2,3t =符合. 故选：ACD 【点睛】

本小题主要考查根据一元二次方程根的个数求参数.

10．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知函数()2x

f x e x =--，则下列区间中含()f x 零点的是

（ ） A ．()2,1-- B ．()1,0-

C ．()0,1

D ．()1,2

【答案】AD 【解析】 【分析】

计算出各端点处的函数值，若两端一正一负即可判断出存在零点. 【详解】

22(2)220f e e ---=+-=>，11(1)1210f e e ---=+-=-<， 0(0)0210f e =--=-<，1(1)1230f e e =--=-<， 22(2)2240f e e =--=->，

根据零点的存在性定理可知()2,1--和()1,2存在零点. 故选：AD. 【点睛】

本题考查零点的存在性定理，属于基础题.

11．（2020·江苏扬中市第二高级中学高三开学考试）已知函数())3

f x x π

=+，则下列结论正确的

是（ ）

A ．函数()f x 的最小正周期为π

B ．函数()f x 在[0,]π上有三个零点

C ．当56

x π

=

时，函数()f x 取得最大值

D ．为了得到函数()f x 的图象，只要把函数())3

f x x π

=+图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵

坐标不变) 【答案】AC 【解析】 【分析】

根据各选项分别进行讨论，从而得出结论. 【详解】

A 选项，根据周期公式22

T π

π=

=，故A 正确； B 选项，画出函数图象，根据图象可知函数()f x 在[0,]π上有两个零点，故B 错误；

C 选项，画出函数图象，根据图象可知当56

x π

=

时，函数()f x 取得最大值，故C 正确；

D 选项，为了得到函数()f x 的图象，只要把函数())3

f x x π

=+

图象上所有点的横坐标变为原来的

1

2

倍(纵坐标不变)，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】

本题考查余弦型三角函数的知识点，涉及到函数的周期零点以及函数的图象等，属于基础题型.

12．（2020·邯郸市永年区第二中学高三月考）已知函数()243,1

ln 2,1x x x f x x x ?+-≤=?+>?

，则函数

()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】BCD 【解析】 【分析】

根据题意，得到函数()g x 的零点即是函数()y f x =与直线()10y ax a =+>图像交点的横坐标，画出

()243,1

ln 2,1

x x x f x x x ?+-≤=?+>?的大致图像如下，结合函数图像，即可得出结果.

【详解】

由()()10g x f x ax =--=可得()1f x ax =+，

则函数()g x 的零点即是函数()y f x =与直线()10y ax a =+>图像交点的横坐标，

画出()243,1

ln 2,1x x x f x x x ?+-≤=?+>?

的大致图像如下，

由ln 2y x =+得1

y x

'=

，所以曲线ln 2y x =+在点()1,2处的切线斜率为1

1x k y ='==，

此时的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，恰好过点()0,1， 又直线()10y ax a =+>也过点()0,1，

所以由图像可得，当1a =时，直线1y ax =+与函数()y f x =的图像有两个交点；即函数()g x 有两个零点；

当1a >时，直线1y ax =+只与函数()y f x =在1x <的图像有一个交点，即函数()g x 有一个零点； 当01a <<时，直线1y ax =+与函数()y f x =有三个不同的交点，即函数()g x 有三个零点；

综上，函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为1，2，3. 故选：BCD. 【点睛】

本题主要考查判定函数零点的个数问题，利用数形结合的方法求解即可，涉及导数的方法求曲线的切线方程，属于常考题型.

第II 卷（非选择题）

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三、填空题

13．（2020·定远县育才学校月考）用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1＝________. 【答案】0.25 【解析】 【分析】

由零点存在定理得零点在(0,0.5)上，区间中点即为下一步要计算的自变量的值．

【详解】 ∵f(0)·f(0.5)<0，

∵f(x)在区间(0，0.5)内有零点． 又∵

00.5

2

+＝0.25， ∵第二次应计算f(0.25)，

即x1＝0.25. 故答案为：0.25． 【点睛】

本题考查二分法，掌握二分法的概念是解题基础．在确定零点在区间(,)a b 上后，接着可计算2+??

???

a b f ，即区间中点处的函数值．

14．（2020·湖南岳阳一中高一月考）函数2()log (1)f x x =-的零点为_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】

令2()log (1)0f x x =-=，解方程即可. 【详解】

令2()log (1)0f x x =-=，即11x -=，解得：2x =， 故答案为：2 【点睛】

本题主要考查函数零点的求解，属于基础题.

15．（2020·河南商丘·高三月考（文））已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()2

2x

f x x =-，则函

数()f x 在R 上的零点的个数是______. 【答案】5 【解析】 【分析】

由函数的零点，在0x >时,令220x x -=求零点，根据奇函数的对称性及性质可得其它的零点，即可知

()f x 在R 上的零点的个数.

【详解】

0x >时,令220x x -=，解得2x =，4x =；

根据奇函数的对称性，当0x <时，()f x 的零点是2x =-，4x =-； 又()00=f ，所以()f x 在R 上共有5个零点. 故答案为：5. 【点睛】

本题考查了函数的零点，应用了奇函数的性质：关于原点对称且()00=f ，属于基础题.

16．（2020·江苏月考）函数2log ,1,

()(1),1,x x f x f x x ≥?=?+

若方程()f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，

则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,2)-∞

【解析】 【分析】

根据题意，画出函数图像，利用数形结合法，分别画出()f x 与y x m =-+的图像即可求解 【详解】

令()g x x m =-+，画出()f x 与()g x 的图像，平移()g x 的图像，当直线经过(1,1)时，只有一个交点，此时2m =，向右移，不再符合条件，故2m <

故答案为：(),2-∞ 【点睛】

本题考查函数图像的交点问题，主要考查学生数形结合的能力，属于中档题；

四、解答题

17．（2020·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知关于x 的方程()2

2

210x k x k --+=有两个实数根12,x x ．

（1）求k 的取值范围；

（2）若12121x x x x +=-，求k 的值．

【答案】（1）1,2

??-∞ ??

?

；（2）－3．

【解析】 【分析】

（1）依题意，得0?≥，解出即可；

（2）由韦达定理得，()1221x x k +=-，2

12x x k =，再根据第一问的结论代入即可求出答案．

【详解】

解：（1）依题意，得()2

2414480k k k ?=--=-≥，解得1

2

k ≤

， ∵k 的取值范围是1,2

??-∞ ??

?

；

（2）由韦达定理得，()1221x x k +=-，2

12x x k =，

由1

2

k ≤

得，()12210x x k +=-<， ∵由12121x x x x +=-得，()12121x x x x -+=-， 即()2

211k k --=-，即()()310k k +-=，

解得3k =-，或1k =（舍）， ∵3k =-． 【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，属于基础题．

18．（2020·浙江温州·期中）已知函数()22f x x x =-，x ∈R .

（Ⅰ）在给定的直角坐标系内作出函数()f x 的图象（不用列表）； （Ⅱ）由图象写出函数()f x 的单调区间，并指出单调性（不要求证明）；

（Ⅲ）若关于x 的方程()f x t =有3个不相等的实数根，求实数t 的值（只需要写出结果）.

【答案】（∵）图象见解析；（∵）(],1-∞-减函数：()1,0-增函数；()0,1减函数；[)1,+∞增函数；（∵）0t =. 【解析】 【分析】

（∵）0x ≥时，2

()2f x x x =-，作出二次函数的图象，再把它关于y 轴对称，即可得()f x 的图象，

（∵）根据单调性与图象的关系写出单调区间； （∵）由直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点可得． 【详解】 （∵）如图所示：

（∵）(],1-∞-减函数：()1,0-增函数；()0,1减函数；[)1,+∞增函数. （∵）0t =.

19．（2020·的近似值(精确度0.1). 【答案】1.4375. 【解析】 【分析】

x =,则33x =.令()33f x x =-,()33f x x =-的零点，

利用二分法求出函数的零点的近似值，即可得解.

【详解】

解:x =,则33x =.令

()33f x x =-,()33f x x =-的零点,因为()120f =-<,

()250f =>,所以可取初始区间()1,2,用二分法计算.列表如下:

由于1.5 1.43750.06250.1-=<, 1.4375.

【点睛】

本题考查二分法的应用，关键是合理构造函数将问题转化，属于基础题. 20．（2020·广东中山纪念中学月考）已知函数()121

x

a

f x =+-(a 为常数)是奇函数 （1）求a 的值；

（2）函数2()()log g x f x k =-，若函数()g x 有零点，求参数k 的取值范围.

【答案】（1）2a =；（2）1

(0,)(2,)2

+∞.

【解析】 【分析】 （1）利用()

()0f x f x 列方程，化简求得a 的值.

（2）令()0g x =，转化为221log 21x k +=-，求得2

121

x

+-的值域，由此列不等式，解不等式求得k 的取值范围. 【详解】

（1）函数()f x 的定义域为(,0)

(0,)-∞+∞，

根据奇函数的定义，应有(,0)(0,),()()0x f x f x ?∈-∞+∞-+=，

即1102121

x x a a

-+

++=--，

即()22021212x x x x

a a

-?++=--?， 2201221

x x x a a

?++=--，

22021x

x a a -?+=-，()

122021

x x a -+=-， 20,2a a -==.

所以()2

121

x f x =+

-， （2）22

()1log 21

x

g x k =+

--， 令()0g x =，得2

222

1log 0,1log 2121

x x k k +

-=+=--

方程的根与函数的零点

方程的根与函数的零点 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程： 引入问题 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）： 1．函数零点的定义： 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有 2．一般结论 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。 （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4．注意点 （1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。 （2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。 5．勘根定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点， 即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 例1．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数。 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：

教学案例《方程的根与函数的零点》

《方程的根与函数的零点》教学案例 肃南一中程斌斌 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。 总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 二学生学习情况分析 地理位置：学生大多来自基层，学生接触面较窄，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。 知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。 三、设计思想 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣 教学原则：注重各个层面的学生 教学方法：启发诱导式 四、教学目标

方程的根与函数的零点题型及解析

方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有

高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一

2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出

方程的根与函数的零点练习题

方程的根与函数的零点 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 [答案] D [解析] 对于函数f (x )＝e x ＋3x －6来说 f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2>0 ∴f (1)f (2)<0，故选D. 2．已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] [答案] D [解析] 解法1：取m ＝0有f (x )＝－3x ＋1的根x ＝1 3>0，则m ＝0应符合题 设，所以排除A 、B ，当m ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2它的根是x ＝1符合要求，排除C.∴选D. 解法2：直接法，∵f (0)＝1，∴(1)当m <0时必成立，排除A 、B ， (2)当m >0时，要使与x 轴交点至少有一个在原点右侧， 则??? ?? m >0，Δ＝(m －3)2 －4m >0，－m －32m >0， ∴00.∴选D. 3．函数y ＝f (x )与函数y ＝2x －3的图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f (x )与直线y ＝x 的一个交点位于区间( ) A ．(－2，－1) B ．(2,3)

C ．(1,2) D ．(－1,0) [答案] B [解析] y ＝2x －3的反函数为y ＝log 2(x ＋3) 由图象得：交点分别位于区间(－3，－2)与(2,3)内，故选B. 4．函数f (x )＝lg x －9 x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10) [答案] D [解析] ∵f (9)＝lg9－1<0，f (10)＝1－9 10 >0， ∴f (9)·f (10)<0， ∴f (x )在(9,10)上有零点，故选D. 5．已知f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α、β是函数f (x )的两个零点，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是( ) A ．a <α

方程的根与函数的零点练习答案

方程的根与函数零点综合练习题答案 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．设函数f (x )＝1 3 x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( ) A ．在区间????1e ，1，(1，e )内均有零点 B ．在区间??? ?1 e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间????1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间????1 e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 4．函数y ＝3 x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0) 5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．不确定 6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根 D ．有惟一实数根 7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()(0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 9．函数f (x )＝2x －log 12 x 的零点所在的区间为( ) A.??? ?0，1 4 B.????14，12 C.??? ?1 2，1 D ．(1,2) 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( ) A.(－1,0) B 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )

方程的根与函数的零点教案(新)

《方程的根与函数的零点》教案 一、课题：方程的根与函数的零点 二、课型：新授课 三、课时安排：1课时 四、教学目标：以一元二次函数的图象与对应的一元二次方程的 关系为突破口， 探究方程的根与函数的零点的关系式.发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法，探究过程中体验发现乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生分析问题、解决问题的能力. 五、教学重点：函数零点的概念与函数零点存在性. 六、教学难点：探究函数零点存在性. 七、教学内容分析： 函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的 基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带，也是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程便自然地成为了高考考查的焦点，在整个高中数学中占有非常重要的地位. 八、教学方法：启发诱导式. 九、教学工具：黑板与多媒体. 十、教学步骤： 1.导入新课 解方程比赛： （学生口答） （逐层加深） （无法解） 2.引入课题 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？ （1） （2） (3) 通过一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像可得出结论：一元二次方程的实数根就是与之相应的一元二次函数的图像与X 轴的交点的横坐标. 从而引出函数零点的概念：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点. 注意：（1）“零点”不是一个点； （2）函数零点的意义：就是一元二次方程的实数根，亦是一元二 （3）等价关系：方程y=f(x)的图象与x 函数y=f(x)有零点. 通过上面的关系式的探讨，求函数零点主要方法有：（1）定义法（求方程的实数根）；（2）图象法（利用函数图象确定）. ()1320 x +=求下列方程的根： 032)2(2 =--x x 0 2)3(3=-+x x (4)ln 260 x x +-=0 322=--x x 322--=x x y 0122=+-x x 122+-=x x y 0322=+-x x 322+-=x x y

《方程的根与函数的零点》测试题

《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ).

A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：.

解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.

方程的根与函数的零点说课稿

《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课． 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台． 1.2 教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理． 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础． 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础． 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点． 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位． 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务． 2.3直观体验与准确理解定理的矛盾． 从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．

3.1.1方程的根与函数的零点教案(优秀教案)

《方程的根与函数的零点》的助学案 高一（8）班 授课教师 学习目标：1.掌握函数零点的概念；了解函数零点与方程根的关系； 2零点的概念及零点存在性的判定 学习难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法. 预习案：先来画出几个具体的一元二次方程对应的二次函数的图象，并观察二次函数与x 轴交点个数？○ 1方程0322=--x x 与函数322 --=x x y ;○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ;○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y 填下表？ 函数 322--=x x y 122+-=x x y 322+-=x x y 函数图象 函数与x 轴交点 f(x)=0的根 探究案： 探究1：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点?函数y ＝f(x)有零点． 零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的。 练习：求函数x x y 43 -=的零点

是不是所有的二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都有零点？ ac b 42-=? 02=++c bx ax 的实根 )0(2≠++=a c bx ax y 图像与x 轴交点 0 (2≠++=a c bx ax y 有几个零点 ?>0 ?=0 ?<0 探究2:观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象： ○1在区间()1,2-上有零点吗？______；=-)2(f _______， =)1(f _______,)2(-f ?)1(f _____0 （＜或＞）． ○2 在区间()4,2上有零点______；)2(f ?)4(f ____0 （＜或＞）． 观察下面函数)(x f y =的图象 ○1 在区间()b a ,上______(有/无)零点；)(a f ?)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间()c b ,上______(有/无)零点；)(b f ?)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间()d c ,上______(有/无)零点；)(c f ?)(d f _____0（＜或＞）． ○4()a f ?()c f _____0（＜或＞）．在区间()c a ,上______(有/无)零点？ ○5()()d f a f ? 0（＜或＞）。 思考：若函数)(x f y =满足()()0?n f m f ，在区间],[n m 上一定有零点吗？ 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 训练案

导数函数与零点及交点和方程的根问题

导数函数与零点及交点和方程的根问题 21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f(x)在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ； (2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f(x)与直线y ＝kx －2只有一个交点． 2015年出题动向：利用导数作为解题工具，解决函数的零点问题。同时掌握函数与方程、数形结合、化归的数学思想方法. 练习：1.设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+． （Ⅰ）求()f x 的极值； （Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x = 与x 轴仅有一个交点 变式一、（引入参数） 讨论函数()()R a a x x x x f ∈--+-=109623零点的个数？ 变式二、（方程问题）若方程[]31109623，在a x x x =-+-上有实数解，求a 的取值范围.

2已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t （II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 3.（本小题满分12分）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值， 直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。 4、设函数 321()223 f x x ax ax =-+--（a 为常数），且()f x 在[1,2]上单调递减。 （1）求实数a 的取值范围； （2）当a 取得最大值时，关于x 的方程2()7f x x x m =--有3个 不同的根，求实数m 的取值范围。

必修1《函数的零点与方程的根》(有答案)

《函数的零点与方程的根》专题复习 知识点梳理 函数的零点：对于函数)(x f y =，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。 零点存在性定理：如果函数 )(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(

函数零点与方程的根练习题

方程的根与函数的零点 1、函数()? ? ?>+-≤-=1,341 ,442 x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ） A.?? ? ??41,81 B.?? ? ??21,41 C.?? ? ??1,21 D.(1,2) 3、函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ） A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1x f x e =- D.)2 1 ln()(-=x x f 4．若0x 是方程31 )2 1 (x x =的解，则0x 属于区间（ ） A ．??? ??1,32 . B ．??? ??32,21 . C ．??? ??21,31 D ．?? ? ??31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A ．（0，1）. B ．（1，1.25）. C ．（1.25，1.75） D ．（1.75，2） 6．函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 8.已知0x 是函数()x x f x -+ =11 2的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ） A ．()01x f C ．()01>x f ，()02x f ，()02>x f 9.已知以4T =为周期的函 数(1,1] ()12,(1,3] x f x x x ?∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）

高一数学方程的根与函数的零点教案

高一数学方程的根与函 数的零点教案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

课题: 《方程的根与函数的零点》 一、教学目的: 1、知识与技能： (1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系； (2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个； (3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间； (4)、体会函数与方程和数形结合的思想。 2、过程与方法： 培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。 3、情感态度与价值观： 在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 二、教学重难点 重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法； 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用 三、教学过程 1、创设问题情境，引入新课 问题1 求下列方程的根 (1)、3x +2=0； (2)、0322=--x x ； (3)、062=-+x Inx ；

师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决 设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。 问题2：填写下表，探究一元二次方程的根与相应二次函数与x 轴的交点的关系 师生互动:让学生自主完成表格，观察并总结数学规律 设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。并通过上表得出：一元二次方程的实数根=二次函数图像与x 轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X 轴交点的个数）。 问题3：完成表格，并观察一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根与相应二函数 )0(2≠++=a c bx ax y 图象与x 轴交点的关系 表达。 设计意图: 采用表格有利于帮助学生对知识进行疏理，从而初步体会利用二次函数图像判断相应方程根的存在性和个数，体现数形结合的思想方法。问题2到问题3创设符合学生从特殊到一般的认知过程，注重数形结合。以学生已有的认知为生长点，得到函数零点新知识，使新旧知识顺利的衔接并有机联系起来。并得到结论：一元二次方程的实根就是相应二次函数图像与X 轴的交点的横坐标。 2、建构函数零点概念

方程的根与函数的零点 说课稿

各位评委老师，各位同事，下午好！我是来自富阳二中xxx，今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》第一课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。下面我将从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法与学法分析、教学过程设计五个方面来进行阐述。 【教材分析】 函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。 本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。 因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要． 【教学目标分析】 根据本节课的教学内容以及新课标对本节课的教学要求，结合以上对教材以及学情的分析，我制定以下教学目标： 知识与技能目标：理解方程的根与函数零点之间的关系，学会函数零点存在的判定方法，理解利用函数单调性判断函数零点的个数。 过程与方法目标：经历“类比——归纳——应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟由具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。 能力与情感目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度。 【重难点分析】 教学重点：判定函数零点的存在及其个数的方法。 教学难点：探究发现函数零点的存在性，及利用函数的图像和性质判别函数零点的个数。 【教法分析和学法指导】 结合本节课的教学内容和学生的认知水平： 在教法上，我借助多媒体和几何画板软件，采用“启发—探究—讨论”的教学模式。充分发挥教师的主导作用，引导、启发、充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。 在学法上，我体会到“授人以鱼，不如授人以渔”，因此我以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台。 【教学过程】 为了突出重点，突破难点，在教学上我将用九个环节来达成我的教学目标。 第一环节：牛刀小试、新知引入 问题1：求方程x2－2x－3＝0的实数根，画出函数y＝x2－2x－3的图象；并观察他们之间的联系？ 学生通过观察分析易得：方程x2－2x－3＝0的实数根就是y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点 横坐标。 [设计意图说明]以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得 到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。 初步提出零点的概念：-1、3既是方程x2－2x－3＝0的根，又是函数y＝x2－2x－3在y＝0时x的值，也是函数图象与x轴交点的横坐标。-1、3在方程中称为实数根，在函数中称为零点。

人教版高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计(省一等奖)

课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出来. 【重点难点】

方程的根与函数的零点 教学设计

方程的根与函数的零点 一、设计理念 按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。 二、教材分析 本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。因此本节课内容具有承前启后的作用，地位至关重要。 三、学情分析 本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。 四、教学目标 （一）三维目标： 1 知识和技能目标：理解函数零点的概念；领会函数零点与相应方程根之间的关系；掌 握零点存在的判断条件。 2 过程与方法：由二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破 口，探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件；在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想. 3 情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形结合思想，培养学生的辨证思 维能力，以及分析问题解决问题的能力． （二）重难点： 1教学重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系 2 教学难点：零点存在性的判定条件。 五、教学手段

3.1.1 方程的根与函数的零点练习题及答案解析

1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C.log 5(x －1)＝0，解得x ＝2， ∴函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C. 2x ( ) A.(－1,0) C ．(1,2) D ．(2,3) 解析：选C.设f (x )＝e x －x －2，∵f (1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f (2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f (1)f (2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x －x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C. 3．(2018年高考福建卷)函数f (x )＝? ???? x 2＋2x －3，x ≤0 －2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C.当x ≤0时，由f (x )＝x 2 ＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2，故选C. 4．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________． 解析：由f (x )＝x 2－1，得y ＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2－2x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝2，因此，函数f (x －1)的零点是0和2. 答案：0和2 1．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，－1 2 C ．0，12 D ．2，1 2 解析：选B.由题意知2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， 使g (x )＝0，则x ＝0或－1 2 . 2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥1 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 3．函数f (x )＝ln x －2 x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(e,3) 解析：选B.∵f (2)＝ln2－1＜0，f (3)＝ln3－2 3 ＞0， ∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )在(2,3)内有零点． 4．下列函数不存在零点的是( ) A ．y ＝x －1 x B ．y ＝2x 2－x －1