数学实验mathematica圆周率Pi的计算方法

1.祖冲之的圆周率

N 22 7,10

N 355 113,10

3.142857143

3.141592920

无理数的最佳分数逼近

Α Pi;Ε0 1;list ;

Do

p Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α q;

If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,100000 ;list

3,227,333106,355113,10399333102,10434833215,20834166317,31268999532

Α Pi;Ε0 1;list ;

Do

p Floor q Α 0.01 ;Ε Abs p q Α ;

Print "p ",p,";q ",q,";Ε ",Ε N ;

If Ε Ε0,AppendTo list,p q ;Ε0 Ε , q,1,10 ;list

p 3;q 1;Ε 0.141593

p 6;q 2;Ε 0.283185

p 9;q 3;Ε 0.424778

p 12;q 4;Ε 0.566371

p 15;q 5;Ε 0.707963

p 18;q 6;Ε 0.849556

p 22;q 7;Ε 0.00885142

p 25;q 8;Ε 0.132741

p 28;q 9;Ε 0.274334

p 31;q 10;Ε 0.415927

3,227 乐音的频率比

k 2.0^ 1 12 ;

music 1.0,k^2,k^4,k^5,k^7,k^9,k^11,k^12

1.,1.12246,1.25992,1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,

2.

2数学实验圆周率Pi的计算方法.nb

freq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2

freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,2

1,21 6,21 3,25 12,27 12,23 4,211 12,2

1,98,54,43,32,53,179,2

freq freq2;

m 512;

Play Sin 2Pi m t freq 2 , t,0,0.8 ,PlayRange 0,1

Sound SampledSoundFunction Function Play`Time3 ,

Block t 0. 0.000125Play`Time3 , Sin 2Πm t freq 2 0.5 2. ,6400,8000 m 512;

freq1 1,2^ 2 12 ,2^ 4 12 ,2^ 5 12 ,2^ 7 12 ,2^ 9 12 ,2^ 11 12 ,2 ;

freq2 1,9 8,5 4,4 3,3 2,5 3,17 9,2 ;

freq freq2;

Playmusic song_ : Do Play Sin 2Pi m t freq song i ,

t,0,0.8 ,PlayRange 0,1 , i,1,Length song ;

music 1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2,1 ;

Playmusic music

Playsong song_ :

Do x song i,1 ;

w Which x 0,freq x 2,x 10,freq x 10 2,True,freq x ;

y song i,2 ;

Play Sin 2Pi m t w , t,0,0.4y ,PlayRange 0,1 , i,1,Length song

song2 3,4 , 5,3 , 6,1 , 1,3 , 2,1 , 6,1 ,

1,1 , 5,2 , 5,3 , 11,1 , 6,1 , 5,1 , 3,1 , 5,1 , 2,8 ,

2,3 , 3,1 , 7,2 , 6,2 , 5,3 , 6,1 , 1,2 , 2,2 ,

3,2 , 1,2 , 6,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,8 ,

3,3 , 5,1 , 7,2 , 2,2 , 6,1 , 1,1 , 5,3 , 3,1 ,

3,1 , 5,1 , 3,2 , 5,1 , 6,1 , 7,1 , 2,1 , 6,4 ,

1,2 , 1,1 , 2,1 , 5,2 , 5,1 , 3,1 , 2,2 , 3,1 , 2,1 , 1,2 ,

6,1 , 5,1 , 3,4 , 1,4 , 6,1 , 1,1 , 6,1 , 5,1 ,

3,1 , 5,1 , 6,1 , 1,1 , 5,4 ;

Playsong song2

song1 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 ,

2,2 , 3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,3 ,

3,1 , 5,1 , 6,1 , 6,0.5 , 5,0.5 , 6,1 , 3,1 , 2,2 ,

5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,

6,1 , 2,2 , 5,1 , 3,3 , 2,0.5 , 1,0.5 , 6,4 ,

5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ,

5,1 , 3,1 , 2,0.5 , 3,0.5 , 2,0.5 , 1,0.5 , 2,1 , 6,3 ;

Playsong song1

4.单位圆的面积等于Π

数学实验圆周率Pi的计算方法.nb3

f x_ : 1 x2;

fig Plot f x ,0 , x,0,1 ,AspectRatio 1

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.20.40.60.8 1.0

4数学实验圆周率Pi的计算方法.nb

n 10;fig1 ;fig2 ;

Do AppendTo fig1,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i ,

AppendTo fig2,Line 1 n i 1 ,f 1 n i , 1 n i,f 1 n i , Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig2

fig3 ;fig4 ;

Do AppendTo fig3,Line 1 n i,0 , 1 n i,f 1 n i 1 ,

AppendTo fig4,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i 1 , i,1,n ;Show fig,Graphics fig3 ,Graphics fig4

Do s1 N 4 Sum f k 10^m 10^m, k,1,10^m ;

s2 N 4 Sum f k 1 10^m 10^m, k,1,10^m ;

Print s1,s2, s1 s2 2 , m,1,4

fig5 ;

Do AppendTo fig5,Line 1 n i 1 ,f 1 n i 1 , 1 n i,f 1 n i ,

i,1,n ;Show fig,Graphics fig1 ,Graphics fig5

Do m 10^t;

s3 N 4 f 0 f 1 2 m Sum f k m m, k,1,m 1 ,20 ;

s4 N 4 f 0 f 1 m 2 Sum f k m m, k,1,m 1

4 Sum f k 1 2 m m, k,0,m 1 6,20 ;Print s3,s4 , t,3,4 3.1415554669110276837,3.1415875189122776906

3.1415914776113222011,3.1415924912201998162

5.数值积分法

数学实验圆周率Pi的计算方法.nb5 a b f x x b a n f a f b 2 i 1n 1f x i ,x i a b a n i

Clear a,b,x,n ;

a 0;

b 1;n 100;

y x_ : 4 1 x^2 ;

p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50

p2 N b a 6 n

y a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,50

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

a b f x x b a6n f a f b 4 i 1n f x i 0.5 2 i 1n 1f x i ,x i 0.5 a b a n（i 0.5 ，为 x i 1,x i 的中点

Clear a,b,x,n ;

a 0;

b 1;n 100;

y x_ : 4 1 x^2 ;

p1 N b a n Sum y a i b a n , i,1,n 1 y a y b 2 ,50

p2 N b a 6 n

y a y b 2 Sum y a i b a n , i,1,n 1 4 Sum y a i 1 2 b a n , i,1,n ,50 N Pi,50

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

6.级数展开法

T x_,n_ : Sum 1 ^ k 1 x^ 2k 1 2k 1 , k,1,n ;

N 4 T 1,10000 ,20

N Pi,20

3.1414926535900432385

3.1415926535897932384626433832795028842`20.

N 4 4T 1 5,100 T 1 239,40 ,150

N Pi,150

3.1415926535897932385

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 62803482534211706798214808651328230664709384460955058223172511332356

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998 62803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940813

7.蒙特卡罗法（随机模拟法）

fig Plot 1 x2, x,0,1 ,AspectRatio 1,PlotStyle RGBColor 1,0,0 ;

fig0 Graphics Line 0,1 , 1,1 , 1,0 ;

Show fig,fig0

6数学实验圆周率Pi的计算方法.nb

n 1000;fig1 ;temp 0;

Do x Random ;y Random ;

AppendTo fig1,Point x,y ;

If x2 y2 1,temp , , i,1,n ;

Show fig,fig0,Graphics fig1

N temp 4 n

n 10000;p ;

Do m 0;Do x Random ;y Random ;If x^2 y^2 1,m m 1 , k,1,n ;

AppendTo p,N 4m n , t,1,5 ;

Print p ;

Sum p t , t,1,5 5

3.1312,3.142,3.1276,3.1124,3.1448

3.1316

Mathematica数学实验——随机变量的概率分布

教师指导实验7 实验名称：随机变量的概率分布 一、问题：求二项分布、几何分布、正态分布在给定区间上的概率。 二、实验目的： 学会使用Mathematica求二项分布、几何分布、正态分布在给定区间上的概率及期望和方差。 三、预备知识：本实验所用的Mathematica命令提示 1、BinomialDistribution[n,p] 二项分布； GeometricDistribution[p] 几何分布； NormalDistribution[μ,σ] 正态分布； 2、Domain[dist] 求分布dist的定义域； PDF[dist,x] 求点x处的分布dist的密度值； CDF[dist,x] 求点x处的分布dist的函数值； Mean[dist] 求分布dist的期望；Quantile[dist,x] 求x，使CDF[dist,x]=q Variance[dist] 求分布dist的方差；StandardVariance[dist] 求分布dist的标准差； 四、实验的内容和要求： 1、取50个在1到20的随机整数，求这组数的极差、中位数、均值、方差及标准差； 2、对以上数据绘制样本频率分布直方图； 3、data1={1, 3, 4, 5, 3.5, 3}, data2={3, 2, 5, 3}，在同一图表中绘制data1和data2的条形图，并作一定的修饰。 五、操作提示 1、取50个在1到20的随机整数，求这组数的极差、中位数、均值、方差及标准差； In[1]:=<

数值分析实验报告1

实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法

计算方法上机实验报告

《计算方法》上机实验报告 班级：XXXXXX 小组成员：XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXX 任课教师：XXX 二〇一八年五月二十五日

前言 通过进行多次的上机实验，我们结合课本上的内容以及老师对我们的指导，能够较为熟练地掌握Newton 迭代法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、Newton 插值法、Lagrange 插值法和Gauss 求积公式等六种算法的原理和使用方法，并参考课本例题进行了MATLAB 程序的编写。 以下为本次上机实验报告，按照实验内容共分为六部分。 实验一： 一、实验名称及题目： Newton 迭代法 例2.7(P38):应用Newton 迭代法求 在 附近的数值解 ，并使其满足 . 二、解题思路： 设'x 是0)(=x f 的根,选取0x 作为'x 初始近似值,过点())(,00x f x 做曲线)(x f y =的切线L ,L 的方程为))((')(000x x x f x f y -+=,求出L 与x 轴交点的横坐标) (') (0001x f x f x x - =,称1x 为'x 的一次近似值,过点))(,(11x f x 做曲线)(x f y =的切线,求该切线与x 轴的横坐标) (') (1112x f x f x x - =称2x 为'x

的二次近似值,重复以上过程,得'x 的近似值序列{}n x ,把 ) (') (1n n n n x f x f x x - =+称为'x 的1+n 次近似值，这种求解方法就是牛顿迭代法。 三、Matlab 程序代码： function newton_iteration(x0,tol) syms z %定义自变量 format long %定义精度 f=z*z*z-z-1; f1=diff(f);%求导 y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0);%向函数中代值 x1=x0-y/y1; k=1; while abs(x1-x0)>=tol x0=x1; y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0); x1=x0-y/y1;k=k+1; end x=double(x1) K 四、运行结果： 实验二：

太原理工大学数值计算方法实验报告

本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日

y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"

心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。

数值计算实验报告

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩：

数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)

1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #includeMAX_N) { printf("the input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; } if(n<=0) { printf("please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N); return 1; } printf("now input the (x_i,y_i)i=0,...%d\n",n); for(i=0;i<=n;i++) { printf("please input x(%d) y(%d)\n",i,i);

mathematica数学实验报告

高等数学实验报告 实验一 一、实验题目 1：作出各种标准二次曲面的图形 ParametricPlot3D Sin u Sin v,Sin u Cos v,Cos u ,u,0,Pi ,v,0,2Pi,P Graphics3D ParametricPlot3D u Sin v,u Cos v,u^2,u,0,2,v,0,2Pi,PlotPoints30

Graphics3D ParametricPlot3D u,v,u^2v^2,u,2,2,v,2,2,PlotPoints30 Graphics3D ParametricPlot3D Sec u Sin v,Sec u Cos v,Tan u,u,Pi4,Pi4,v,0,2

Graphics3D t1ParametricPlot3D u^21Sin v,u^21Cos v,u,u,1,5,v,0,2Pi t2ParametricPlot3D u^21Sin v,u^21Cos v,u,u,5,1,v,0,2 show t1,t2 Graphics3D

Graphics3D show Graphics3D,Graphics3D ParametricPlot3D u Cos v,u Sin v,u,u,6,6,v,0,2Pi,PlotPoints60 Graphics3D 2：作出曲面所围的图形 t1ParametricPlot3D Sin u Sin v,Sin u Cos v,Cos u, u,Pi2,pi2,v,0,2Pi,PlotPoints60 t2ParametricPlot3D0.5Cos u12,0.5Sin u, u,0,2Pi,v,0,2Pi,PlotPoints60 t3Plot3D0,PlotPoints60 show t1,t2,t3

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

mathematica 数学实验报告 实验一

数学实验报告 实 验 一 数学与统计学院 信息与计算科学(1)班 郝玉霞 0107

数学实验一 一、实验名：微积分基础 二、实验目的：学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的几个基本理论。 三、实验环境：学校机房，工具：计算机,软件：Mathematica。 四、实验的基本理论和方法：利用Mathematica作图来验证高中数学知识与大学数学内容。 五、实验的内容和步骤及结果 内容一、验证定积分 dt t s x ?= 1 1 与自然对数 x b ln= 是相等的。 步骤1、作积分 dt t s x ?= 1 1 的图象； 语句：S[x_]:=NIntegrate[1/t,{t,1,x}] Plot[S[x],{x,,10}] 实验结果如下： 图1 dt t s x ?= 1 1 的图象 步骤2、作自然对数 x b ln= 的图象 语句：Plot[Log[x],{x,,10}]实验结果如下： 图2 x b ln= 的图象 步骤3、在同一坐标系下作以上两函数的图象语句：Plot[{Log[x],S[x]},{x,,10}] 实验结果如下： 图3 dt t s x ?= 1 1 和 x b ln= 的图象

内容二、观察级数与无穷乘积的一些基本规律。 （1）在同一坐标系里作出函数和它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数，，的图象，观察这些多项式函数的图象向的图像逼近的情况。 语句1： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,2]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}] 实验结果如下： 图4和它的二阶Taylor展开式的图象 语句2： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,3]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,1]}] 实验结果如下： 图5和它的三阶Taylor展开式的图象 语句3： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,4]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,1,0]}] 实验结果如下： 图6和它的四阶Taylor展开式的图象 语句4： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,5]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[1,0,0]}] 实验结果如下： 图7和它的五阶Taylor展开式的图象 语句5： s[x_,n_]:=Sum[(-1)^(k-1)x^(2k-1)/((2k-1)!),{k,1,n}] Plot[{Sin[x],s[x,2],s[x,3],s[x,4],s[x,5] },{x,-2Pi,2Pi}] 实验结果如下： 图8 和它的二、三、四、五阶Taylor展开式的图象 （2）分别取n=10，20，100，画出函数在区间[-3π，3π]上的图像，当n→∞时，这个函数趋向于什么函数 语句1： f[x_,n_]:=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}] Plot[f[x,10],{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle->{RGB[0,0,1]}]

数学实验报告

《数学实验》报告 题目：根据数值积分计算方法计 算山东省面积 学生姓名： 学号： 专业班级：机械工程17-1班

2019年4月15日

一、问题背景与提出 图1是从百度地图中截取的山东省地图，试根据前面数值积分计 算方法，计算山东省面积。 图 1 二、实验目的 1、 学会运用matlab 解决一些简单的数学应用问题。 2、 学会运用matlab 建立数学模型。 3、 学会运用一些常见的数值积分计算方法结算实际问题，并 了解其实际意义，建立积分模型。 三、实验原理与数学模型 将积分区间 [a , b] n 等分，每个区间宽度均为h = (b - a) / n , h 称 为积分步长。记 a = x 0 < x 1 < … < x k … < x n = b , 在小区间上用小矩形面积近似小曲边梯形的面积，若分别取左端点和右端点的函数值为小矩形的高，则分别得到两个曲边梯形的面积的近似公式： Ln = h ∑f (x k )n=1k=0 , h = b?a ?

R n =?∑f (x k )n k=1 , h = b?a ? 如果将二者求平均值，则每个小区间上的小矩形变为小梯形，整 个区间上的值变为： Tn =?∑f (X k )n=1 k=1+?2[f (x 0)+f (x n )] 将山东省边界上的点反映在坐标化，运用梯形公式积分计算得山 东省的面积。 四、实验内容（要点） 1、将山东省的地图区域在matlab 中画出 。 2、在坐标系上运用积分方法将所求区域的面积求出。 3、通过比例尺将山东省的实际面积求出。 五、实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等） 1、 在百度地图中标识出山东省的区域范围，标明对应的比例： 图 2 2、 取出所截取图片中山东的边界的坐标，即将边界坐标化： （1） 运用imread 函数和imshow 函数导入山东省的区域 图片。

计算pi

一、实验目的 探索精确计算π值的方法，并且比较不同方法之间的不同之处和优缺点。掌握数值积分的辛普森公式。 二、问题描述 1. 任务1 1) 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式求π，若要精确到40位、50位数 字，试比较简单公式和Machin 公式所用的项数。 2) 验证公式 111=arctan arctan arctan 4 258π ++ 试试此公式右端做幂级数展开完成任务1所需要的步数。 2. 任务2 用数值积分计算π，分别用梯形法和Simpson 法精确到10位数字，用Simpson 法精确到15位数字。 3. 任务3 用Monte Carlo 法计算π，除了加大随机数，在随机数一定时可重复算若干次后求平均值，看能否求得5位精确数字？ 设计方案用计算机模拟Buffon 实验 4. 任务4 利用积分 2 0(1)!!sin !!2 n n xdx n π π-=? ，n 为奇数 推导公式 224422213352121 n n n n π=-+ ……… 用此公式计算π的近似值，效果如何？ 5. 任务5 利用学过的知识（或查阅资料），提出其他计算π的方法（先用你学过的知识证明），然后实践这种方法。 对你在实验中应用的计算π的方法进行比较分析。 6. 任务6 e 是一个重要的超越数 1e lim 1)n n n →∞=+（ 1111...2!!(1)! e e n n θ =++++++ 试用上述公式或其他方法近似计算e 。

三、问题解法 1. 任务1 1) 根据幂级数展开的相关知识，易知： 24122211(1)1n n x x x x --=-+-+-++……… 因为2 1(arctan )'1x x =+，故可以求得arctan x 的幂级数展开式为： 35 211arctan (1)3521 n n x x x x x n --=-+-+-+-……… 当x=1时， -11111--(-1)4352-1 n n π=+??++? 当叠加了十万次以后得到结果π=3.141582654…只有五位有效数字，可见其精度与效率极低。如果想要精确计算π的数值的话，非常有必要寻找改进以后的方法，这就引出了两个能够提高计算效率的公式—— 简单公式： 11=arctan arctan 4 23 π + Machin 公式： 11=4arctan arctan 45239 π- 对以上两式进行arctan 的幂级数展开可以非常快速的求得π比较精确的数值。下面比较π精确到40位和50位数字时两个公式各需要计算多少项。 用简单公式得到40位有效数字需要叠加62项： 3.141592653589793238462643383279502884197 用简单公式得到50位有效数字需要叠加79项： 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 用Machin 公式得到40位有效数字需要叠加27项： 3.141592653589793238462643383279502884197 用Machin 公式得到50位有效数字需要叠加35项： 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 从上面简单的对比可以看出Machin 公式要优于简单公式，简单公式要优于不用公式的arctan 幂级数展开。在得到相同精度的条件下，Machin 公式所需要的叠加步数要显著少于简单公式，并且在计算精度越高的情况下，优势越明显。道理很简单，因为 Machin 公式计算的收敛速度要显著快于普通公式。简单公式决定收敛速度的是12n ?? ??? ，而Machin 公式决定收敛速度的是15n ?? ???，因为15n ?? ???的收敛速度快于12n ?? ??? ，故Machin 公式计算pi 的时候收敛速度要快于普通公式。所以Machin 公式比普通公式更加精确，并且在计算高精度的时候有更大优势。 2) 根据三角函数公式有：

数学计算方法实验报告

数学计算方法实验报告 习题二 2.估计用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间[1,2]内根的近似值，为使方程不超过10时所需的二分次数。f(x k) 程序过程： function two (tolerance) a=1;b=2;counter=0; while (abs(b-a)>tolerance) c=(a+b)/2; fa=a^3+4*a^2-10;

fb=b^3+4*b^2-10; fc=c^3+4*c^2-10; if ((fa==0|fb==0)) disp(counter); elseif (fa*fc<0) b=c;counter=counter+1; elseif (fb*fc<0) a=c;counter=counter+1; elseif (fb==0) disp(counter); end end solution=(a+b)/2; disp(solution); disp(counter); 实验结果： 6.取x0=1.5,用牛顿迭代法求第三中的方程根.f(x)=x3+4x2-10=0的近似值（精确到||x k+1-x k|≦10-5,并将迭代次数与3题比较。 程序过程： function six (g) a=1.5; fa=a^3+4*a^2-10;

ga=3*a^2+8*a; b=a-fa/ga; k=1; while(abs(b-a)>g) a=b; fa=a^3+4*a^2-10; ga=3*a^2+8*a; b=a-fa/ga; k=k+1; end format long; disp(a); disp(k); 实验结果：程序结果计算结果 8.用弦割法求方程f(x)=x3-3x2-x+9=0在区间[-2,-1]内的一个实根近似值x k,|f(x k)|≦10-5. 程序过程： function eight (t) a=-2; b=-1; fa=a^3-3*a^2-a+9; fb=b^3-3*b^2-b+9; c=b-fb*(b-a)/(fb-fa); k=1; while(abs(c-b)>t) a=b; b=c; fa=a^3-3*a^2-a+9; fb=b^3-3*b^2-b+9; c=b-fb*(b-a)/(fb-fa); k=k+1; end

(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告

实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。

Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;

%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);

《数学软件》实验报告-符号计算基础与符号微积分

实验报告 课程名称：数学软件姓名： 学院： 专业： 年级： 学号： 指导教师： 职称： 年月日

实验项目列表

附件三： 实验报告（二） 系：专业：年级：姓名学号：实验课程： 实验室号：_ 实验设备号：实验时间： 指导教师签字：成绩： 1. 实验项目名称：符号计算基础与符号微积分 2. 实验目的和要求 1.掌握定义符号对象的方法 2.掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算 3.掌握求符号函数极限及其导数的方法 4.掌握求符号函数定积分和不定积分的方法 3. 实验使用的主要仪器设备和软件 方正商祺N260微机；MATLAB7. 0或以上版本 4. 实验的基本理论和方法 （1）符号函数;sym(x)；syms a b …… （2）平方根：sqrt(x) （3）分解因式：factor（s） （4）符号表达式化简：simplify（s） （5）逆矩阵：inv(x) （6）下三角矩阵：tril（x） （7）矩阵行列式的值:det(x)

（8）符号函数求极限：limit （f ，x ，a ）；limit （f ，x ，a ，‘right ’） （9）符号函数求导：diff （f ，v ，n ） （10）符号函数求不定积分：int （f ，v ） （11）符号函数求定积分：int （f ，v ，a ，b ） 5. 实验内容与步骤 （描述实验中应该做什么事情，如何做等，实验过程中记录发生的现象、中间结果、最终得到的结果，并进行分析说明） （包括：题目，写过程、答案） 题目： 1. 已知x=6，y=5，利用符号表达式求 y x x z -++= 31。 提示：定义符号常数)'5(')'6('sym y sym x ==，。 >> x=sym('6'); >> y=sym('5'); >> z=(x+1)/(sqrt(3+x)-sqrt(y)) z = 7/(3-5^(1/2)) 2. 分解因式：44y x - >> syms x y; >> A=x^4-y^4; >> factor(A) ans = (x-y)*(x+y)*(x^2+y^2) 3. 化简表达式 (1)2121sin cos cos sin ββββ- (2) 123842+++x x x (1) >> syms x y; >> f1=sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y);

数学实验：怎样计算圆周率

怎样计算 姓名： 学号 班级：数学与应用数学4班

实验报告 实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。 实验环境：Mathematica软件 实验基本理论和方法： 方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值） 其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形， 由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图

图一 扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值： n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。 方法二：泰勒级数法 其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数 计算。 方法三：蒙特卡罗法

其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。 实验内容、步骤及其结果分析： 问题1：在方法一中，取n=1000，通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。 分析：图一中的扇形面积S实际上就是定积分。 与有关的定积分很多，比如的定积分

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve =

数值分析实验报告

实验五 解线性方程组的直接方法 实验5.1 （主元的选取与算法的稳定性） 问题提出：Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss 消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss 消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的Gauss 消去过程。 实验要求： （1）取矩阵?? ? ?? ?? ?????????=????????????????=1415157,6816816816 b A ，则方程有解T x )1,,1,1(* =。取n=10计算矩阵的 条件数。让程序自动选取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。重复上述实验，观察记录并分析实验结果。 思考题一：（Vadermonde 矩阵）设 ?? ??????????????????????=? ? ? ?????????????=∑∑∑∑====n i i n n i i n i i n i i n n n n n n n x x x x b x x x x x x x x x x x x A 0020 10022222121102001111 ，， 其中，n k k x k ,,1,0,1.01 =+=， （1）对n=2,5,8，计算A 的条件数；随n 增大，矩阵性态如何变化？ （2）对n=5，解方程组Ax=b ；设A 的最后一个元素有扰动10-4，再求解Ax=b （3）计算（2）扰动相对误差与解的相对偏差，分析它们与条件数的关系。 （4）你能由此解释为什么不用插值函数存在定理直接求插值函数而要用拉格朗日或牛顿插值法的原因吗？ 相关MATLAB 函数提示： zeros(m,n) 生成m 行，n 列的零矩阵 ones(m,n) 生成m 行，n 列的元素全为1的矩阵 eye(n) 生成n 阶单位矩阵 rand(m,n) 生成m 行,n 列(0,1)上均匀分布的随机矩阵 diag(x) 返回由向量x 的元素构成的对角矩阵 tril(A) 提取矩阵A 的下三角部分生成下三角矩阵

离散数学实验报告()

《离散数学》实验报告 专业网络工程 班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一六年十二月

目录 实验一联结词的运算 实验二根据矩阵的乘法求复合关系 实验三利用warshall算法求关系的传递闭包实验四图的可达矩阵实现

实验一联结词的运算 一．实验目的 通过上机实验操作，将命题连接词运算融入到C语言的程序编写中，一方面加强对命题连接词运算的理解，另一方面通过编程实现命题连接词运算，帮助学生复习和锻炼C语言知识，将理论知识与实际操作结合，让学生更加容易理解和记忆命题连接词运算。二．实验原理 (1) 非运算, 符号: ,当P=T时，P为F, 当P=F时，P为T 。 (2) 合取, 符号: ∧ , 当且仅当P和Q的真值同为真，命题P∧Q的真值才为真；否则，P∧Q的真值为假。 (3) 析取, 符号: ∨ , 当且仅当P和Q的真值同为假，命题P∨Q的真值才为假；否则，P∨Q的真值为真。 (4) 异或, 符号: ▽ , 当且仅当P和Q的真值不同时，命题P▽Q的真值才为真；否则，P▽Q的真值为真。 (5) 蕴涵, 符号: →, 当且仅当P为T,Q为F时，命题P→Q的真值才为假；否则，P→Q 的真值为真。 (6) 等价, 符号: ?, 当且仅当P,Q的真值不同时，命题P?Q的真值才为假；否则，P→Q的真值为真。 三．实验内容 编写一个程序实现非运算、合取运算、析取运算、异或运算、蕴涵运算、等价运算。四．算法程序 #include void main() { printf("请输入P、Q的真值\n"); int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); int c,d; if(a==1) c=0; else c=1; if(b==1) d=0;

数值计算方法实验报告

差值法实验日志 实验题目：插值法 实验目的： 1．掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。 2．对四种插值结果进行初步分析。 实验要求： （1）写出算法设计思想； （2）程序清单； （3）运行的结果； （4）所得图形； （5）四种插值的比较； （6）对运行情况所作的分析以及本次调试程序所取的经验。如果程序未通过，应分析其原因。 实验主要步骤： 1．已知函数) f满足： (x x0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5 f(0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 x ） 0.35206 （1）用分段线性插值； 打开MATLAB，按以下程序输入： x0=-5:5; y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:5; y=1./(1+x.^2); y1=lagr(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=spline(x0,y0,x);

for k=1:11 xx(k)=x(46+5*k); yy(k)=y(46+5*k); yy1(k)=y1(46+5*k); yy2(k)=y2(46+5*k); yy3(k)=y3(46+5*k); end [xx;yy;yy2;yy3]' z=0*x; plot(x,z,x,y,'k--',x,y2,'r') plot(x,z,x,y,'k--',x,y1,'r') pause plot(x,z,x,y,'k--',x,y3,'r') 回车得以下图形:

（2） 拉格朗日插值。 创建M 文件，建立lagr 函数： function y=lagr1(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end 新建一个M 文件，输入： x0=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5]; y0=[0.39894 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206]; x=0.0:0.01:0.5; y1=lagr1(x0,y0,x); 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1