数学建模应用

数学建模在解决实际问题中的应用

新田县茂家乡学校初中部 肖良杰

数学来源于生活，又反作用生活。数学新课程标准告诉我们，数学教学的目的是让学生了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心，学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中的问题。数学建模正是将具有实际意义的应用题通过数学抽象转化为数学模型以求问题的解决。初中阶段，如何构造数学模型解决实际问题？

一、构造全等型解决问题

生活中涉及图形的性质，如测量边长，可构造全等型将其转化，达到解决问题的目的。

例1：如图1，A 、B 两点分别位于池塘的两端，小明想用绳子测量A 、B 间的距离，但绳子不够长，请你帮他出个主意，并说明其中的道理。

解：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的C

点，连结AC 延长到D ，使AC=CD ，连结BC 延长到E ，

A

B

C

E

D

图1

B A

C A' B' C'

图2

使BC=CE 。连结DE 并测量出它的长度。DE 的长度就是A 、B 之间的距离。理由：建模如图1，可证△ABC ≌△ DEC ，则AB=ED 。

二、构造相似型解决问题 生活中物长与影长之间存在比例关系，成像时物像与影像之间成比例，这样可构造相似形，通过线段成比例，求出一些量达到解决问题的目的。

例2：为了测量学校旗杆的高度，身高1.65m 的小明和小刚

来到操场，他让小刚到体育室借来皮尺，量出小明的影长为

0.5m ，旗杆的影长为

2.3m ，求旗杆的高度。

分析：如图2，由于太阳光可以看作是一平行线，小明身体和旗杆都垂直地面，所以由太阳光线、实物及物的影长，构成的三角形是相似的（在同一时刻）。故构造相似三角形利用对应边成比例的性质可解决问题。

解：∵AB ∥A'B' ∠ABC=∠A'B'C' ∠ACB=∠A'C'B'=90° ∴△ABC ∽△A'B'C'

A

B

C

D O

1

2

=

AC=1.65 BC=0.5 B'C'=2.3 ∴A'C'= 0.5 =7.59m 即旗杆的高度为7.59米。 三、构造圆解决问题

圆是生活中最常见的图形，人们生活、生产都离不了，像皮带传动、残破轮的问题就可利用圆解决。

例3、在考古工作中考古工作者发掘了一汉代陶瓷的瓷片，如图3，弓形的弦AB 长是40cm ，高CD 是5cm ，求原陶瓷的直径？

分析：首先要将陶瓷还原成圆，找出其圆心，利用垂经定理可求解

解：如图OC ⊥AB 于C ，交AB 于D ， AC=BC= AB=20cm

设：圆的半径为R ，则OC=R-5 在Rt △OCB 中，R 2=（R －5）2+202 解之得：10R=425

R=42.5 直径为85cm 。

A A 'C '

B B '

C '

图3

四、构造直角三角形利用三角函数解决问题

在涉及到航海、三角测量、坡比计算、河坝、测建筑物高、作物载培等传统型应用题时，可借助直角三角形建立三角模型求解。

例4：如图4，在小山顶上有一电视发射塔，在塔顶B 处测得地面上一点A 的俯角α=60°，在塔底C 处测得A 点的俯角β=45°，已知塔高为BC=72m ，求山高？

分析：山高与地面垂直，且塔高和山高成一直线，

可构造直角三角形，利用三角函数解决问题。

解：∵B 、C 、D 三点成一直线，AD ⊥BC 于D 由题意可知：∠ABD=90°—∠α=30° ∠ACD=90°—∠β=45° 设山高CD=X ，则AD=X ，在Rt △ADB 中， =Cot30° ∴ =

解之得：X=36（ +1）米

B

A X

X 3

3

3

A

⌒

α β

⌒

C

D

B 图4

即山高为36（+1）米。

五、构造方程解决问题

现实生活中存在许多等量关系，如增长率、储蓄利率、浓度配比、工程施工及调配、行程等问题，都可通过引出方程，转化为方程求解。

例5、某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若某月用电超过a度，超过部分按基本价格的70%收费。①某户居民5月份用电84度，共交电费30.72元，求a；②若该户6月份的电费平均每度0.36元，求6

月份用电多少度？应交电费多少元？

解：①∵84×0.40=33.6＞30.72

∴84＞a

0.4a+(84－a)×70%×0.4=30.72

解之得a=60

②设6月份用电X度，

0.40×60+70%×0.40×(X－60)=0.36X

解之得X=90(度)。

应交电费：0.36X=0.36×90=32.4元。

六、构造不等式或不等式组解决问题

生活中，估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等则可挖掘实际问题隐含的数量关系，

转化为构造不等式或不等式组求解。 例6、新新化工厂2004年12月份在制定某种化工产品生产计划时，收集了如下数据：①生产该产品的工人数不能超过300人，②每个工人全年工作时数为2100工时。③预计2005年该产品至少可以销售80000袋。④每生产1袋需要6个工时。⑤每袋需原料20千克。⑥现在库存原料800吨，年末之前还将用去200吨，而2005年可购进1200吨，试根据上述数据确定2005年的产品生产计划。

解：设计划2005年生产X 袋，依题意有：

解之得：80000≤X ≤90000

答：2005年该产品生产的生产计划确定在80000袋至90000袋之间。

七、构造函数解决

6X ≤2

2X ≤(

X ≥8

O (A)

B

y

x

D

E

F C

图5

问题

当变量的变化具有（相似）函数关系，或物体运动的轨迹具有某种规律时，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图像问题求解，而对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用量最少，利润产生最大等，则可透过实际背景建立变量之间的目标函数，转化为函数极值问题。

例7、改革开放后，一些地方用了自动喷灌设备，如图5，设水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自

动旋转喷头，一瞬间喷出水流呈抛行线状。喷头B 与水流最高点

C 的边线与水平面呈45角，水流的最高点C 比喷头高出2m ，为了保证农作物能得到充分的水分，

播种时农作物至多离A 点多远（精确到0.01）？

解：建立平面坐标系，如图5。

过点C 作CF ⊥AD 于F,过B 作BE ⊥CF 于E ，连接BC

OF=BE=CE=2m EF=1.5m CF=3.5m

∴B(0,1.5)C(2,3.5) 设抛物线方程为：y=a(x-2)2+3.5

1

21

2127

77

A

B 30.57%

C

22.12% 其它

图

∴B(0,1.5)在抛物线上，则1.5=a(0-2)2+3.5 ∴a=－

y=－ (x-2)2+3.52

令y=0 － (x-2)2+3.5=0 ∴x 1=2+ , x 2=2－ (负值舍去)

∴D 到A 的距离为（2+ ）m ，约4.64m 。 ∴播种时，农作物至多离A 点4.64m 。 八、建立统计型解决问题

新教材编排上分三个部分，其中一部分就是统计概率知识，所以现实生活中的很多问题，都可借助统计知识来得到解决。

例8：①最近一次购买各种品牌洗衣粉用户的比利

如图6

②用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表 根据上述信息回答下列问题：

1).A 品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？你是怎样看出来的？

2).广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由。

3).你对厂家有何建议？

40.69%

6.62%

内 容 品 质 广 告 价 格 品 牌 A B C A B C A B C 满意的户数 194

121

117

163

172

107

98

96

100

解：1).A品牌洗衣粉主要充分优势是质量，可以从以下看出：①对A品牌洗衣粉的质量满意的用户最多。②对A品牌洗衣粉的广告，价格满意的用户不是最多。

2).广告对用户选择品牌有影响。可以从以下看出：

①对B、C品牌洗衣粉质量价格满意的用户数相差不大；②对B品牌洗衣粉的广告满意的用户数多于C品牌，且相差较大；③购买B品牌洗衣粉的用户比例高于C品牌8.45%。

3).要重视质量，在保证质量的前提下，要注重广告和价格。

尽管生活多姿多彩，千变万化，但万变不离其宗。只要我们抓住实际问题的实质，利用数学知识，建立相应的数学模型，就能顺利地解决生活中出现的各种问题，这也正是数学的魅力。

数学模型应用问题(三)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：应用题的一般处理思路是什么？ 问题2：应用题中建立数学模型常见的关键词和隐含数学关系有哪些？ 数学模型应用问题（三） 一、单选题(共5道，每道20分) 1.今年我市水果大丰收，A，B两个水果基地分别收获水果380箱、320箱，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每箱40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每箱15元和30元，现甲销售点需要水果400箱，乙销售点需要水果300箱． （1）设从A基地运往甲销售点x箱水果，总运费为W元，请用含x的代数式表示W，并写出x的取值范围．( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用 2.（上接第1题）若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200箱，试求出最低运费．( ) A.6000 B.7600 C.18200 D.11200 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用 3.在“十一”期间，某公司组织318名员工外出旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租用甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人． （1）旅行社的租车方案有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：一元一次不等式组的应用 4.（上接第3题）（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，则在租车方案中最少的租金为( ) A.5800元 B.6000元 C.6200元 D.3400元 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用 5.（上接第3，4题）（3）旅行前，一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车恰好坐满，则旅行社的租车方案是( ) A.65座的1辆，45座的5辆，30座的1辆 B.65座的2辆，45座的3辆，30座的2辆 C.65座的3辆，45座的1辆，30座的3辆 D.65座的1辆，45座的4辆，30座的2辆 答案：B 解题思路：

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

数学建模方法及其应用

一、层次分析法 层次分析法[1] (analytic hierarchy process，AHP)是美国著名的运筹学家T．L．Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2，3，4]．该方法是社会、经济系统决策的有效工具，目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用． (一) 层次分析法的基本原理 层次分析法的核心问题是排序，包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5]．下面分别予以介绍．1．递阶层次结构原理 一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素，即目标、准则、方案等．每一个因素称为元素．按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次，上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系．具有这种性质的层次称为递阶层次． 2．测度原理 决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案，而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的．然而对于社会、经济系统的决策模型来说，常常难以定量测度．因此，层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化．

3． 排序原理 层次分析法的排序问题，实质上是一组元素两两比较其重要性，计算元素相对重要性的测度问题． (二) 层次分析法的基本步骤 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]． 1． 成对比较矩阵和权向量 为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高结果的准确度．T ．L ．Saaty 等人的作法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互对比，二是对比时采用相对尺度． 假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1 对上层一个因素O 的影响，每次取两个因素i C 和j C ，用ij a 表示i C 和j C 对 O 的影响之比，全部比较结果可用成对比较阵 ()1 ,0,ij ij ji n n ij A a a a a ?=>= 表示，A 称为正互反矩阵． 一般地，如果一个正互反阵A 满足： ,ij jk ik a a a ?=,,1,2, ,i j k n = （1） 则A 称为一致性矩阵，简称一致阵．容易证明n 阶一致阵A 有下列性质：

浅谈数学模型在各个领域中的应用

浅谈数学模型在各个领域中的应用 发表时间：2018-05-02T11:10:12.163Z 来源：《科技中国》2017年11期作者：丁文[导读] 摘要：当今数学在各个领域蓬勃发展，应用广泛。数学模型是将数学知识应用于实际问题的重要纽带，它将实际问题抽象、简化，使人们利用数学理论和方法简单快速的解决实际问题。建立数学模型并且进行求解、检验、分析的全过程就是数学建模。如今数学模型在社会发展与生活中应用广泛。本文主要介绍了数学模型及其在医学、生物、经济、金融等相关领域的应用。 摘要：当今数学在各个领域蓬勃发展，应用广泛。数学模型是将数学知识应用于实际问题的重要纽带，它将实际问题抽象、简化，使人们利用数学理论和方法简单快速的解决实际问题。建立数学模型并且进行求解、检验、分析的全过程就是数学建模。如今数学模型在社会发展与生活中应用广泛。本文主要介绍了数学模型及其在医学、生物、经济、金融等相关领域的应用。 关键词：数学模型；数学建模；应用引言 数学是一种研究空间形式和数量关系的科学，它学科历史悠久，文化底蕴博大精深，如今发展迅速，在生产生活中发挥着重要的作用。然而，当今社会对数学的需求不只局限在数学理论，而更多是要求数学在实际应用中的作用，数学模型正是将理论知识与实践应用联系起来的桥梁。数学模型是通过运用数学理论和适当的数学工具、将复杂的实际问题不断简化的解题工具。数学建模的主要手段便是通过数学模型这一工具来快速解决实际问题。如今数学模型被应用于医学、生物、经济、金融等各个领域，取得了较好的经济效益和社会效益。 1.数学模型简介 1.1数学模型的定义 数学模型（Mathematical Model）是一种以解决实际问题为目的，运用数学语言和数学方法刻画出的数学结构。它利用数学的理论和方法分析和研究实际问题，并对实际的研究对象进行抽象、简化，进而利用数学知识解决现实生活中的问题。从另一种意义上来讲，它是一种将理论与实践紧密结合、并借此来解决各种复杂问题的最便捷的工具，对社会各个领域的发展都有重要意义。图1为数学建模流程图。 图1 数学建模流程 1.2模型分类 由于数学应用广泛，各领域对数学模型的要求各不相同，可根据不同的分类方法将数学模型分作许多种类。根据系统各量是否随时间的变化而变化可分为静态模型和动态模型，前者一般用代数方程式表达，后者则采用微分方程。分布参数模型和集中参数模型均用来描述动态特性，前者主要用偏微分方程表达，后者通过常微分方程来表达。上述各类用微分方程描述的模型都是连续时间模型，即模型中的时间变量是在一定区间内连续变化，与之相对的是离散时间模型，这是一种用差分方程描述的将时间变量离散化的数学模型。此外，还有根据变量间的关系是否确定区分的随机性模型和确定性模型；根据是否含有参数区分的参数模型和非参数模型；根据变量间的关系是否满足线性关系，是否满足叠加原理区分的线性模型和非线性模型，其中非线性模型中各量之间的关系不是线性的，不满足叠加原理，在某种情况下可转化为线性模型。 1.3数学建模 将实际问题进行抽象、简化，得到数学模型，然后对模型进行求解，再对模型的合理性进行分析、检验，最后将合理的模型应用到实际问题中，这便是数学建模。建立数学模型的过程，大体分为分析问题构建模型、运用数学方法数学工具求解、根据实际问题代入检验、应用于解决实际问题四个步骤，其中由于种种原因前三个步骤常常多次重复已求得最优解决方案。如今数学建模的应用很广，无论是在医学、军事、交通、经济、金融等较大课题，还是在日常计划、工作规划等较小事物中，都取得了较大的成就。 2.数学模型在各领域的应用 2.1数学模型在医学领域的应用

第1章 数学建模与误差分析

第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下

数学模型与数学建模-2

2.1MATLAB MATLAB Matrix Laboratory , MathWorks 20 80 , , MATLAB Simulink .MATLAB 1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) ( ), . 2.1.1MATLAB MATLAB , , . , MATLAB , 2.1.1 . MATLAB “>>” , MATLAB . , Enter ,MATLAB .

·8· 2 ? ? 2.1.1MATLAB 1.help , help . poly?t . help polyfit POLYFIT Fit polynomial to data..P=POLYFIT(X,Y,N)finds the coeffici-ents of a polynomial P(X)of degree N that fits the data Y best in a least-squares sense.P is a row vector of length N+1containing the polynomial coefficients in descending powers,P(1)*X^N+P(2)*X^(N-1) +···+P(N)*X+P(N+1). , MATLAB Help . Help Product Help , ( 2.1.2) 2.1.2Help

2.1MATLAB ·9· Seach , . 2.clear clear . “a=1”, >>a=1. 1 a. a , clear . >>clear a???Undefined function or variable a . 3.format MATLAB format . format short , 5 ; format rational ; format long g 15 ; >>format short>>pi ans=3.1416;>>format rational >>pi ans=355/113; >>format long g>>pi ans=3.14159265358979 2.1.2MATLAB 1. 2.1.1 MATLAB . MATLAB 1 , .MATLAB , B b . 2.1.1MATLAB pi i,j inf . n/0 inf, n 0 ans , . ,MATLAB ans NaN , . 0/0 inf/inf 2. MATLAB , . . MATLAB , , , . A=[1?256?49] A=[1,?2,5,6,?4,9] 6 A.

数学建模在生活中的应用

数学建模在生活中的应用 【摘要】 本文通过数学模型在实际生活中应用的讨论，阐述数学建模理论的重要性，研究其在实践中的重要价值，并把抽象的数学知识放到大家看得见、摸得着、听得到的生活情境中，从而让人们感受到生活中处处有数学，生活中处处要用数学。 【关键词】数学建模；生活；应用；重要性 最早的数学建模教材出现在公元1世纪我国古代的《九章算术》一书中，由此可见，数学建模是人才培养和社会发展的需要。同时，数学建模也是教育改革的需要，现代数学教育改革中越来越强调“问题解决”，而“问题解决”恰恰体现了数学在实际生活应用的重要性，由于数学建模是问题解决的主要形式，所以数学建模在实际生活中发挥着重要的作用。 一、数学建模 数学建模是指根据具体问题，在一定的假设下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。由此可见，数学建模是一个“迭代”的过程，此过程我们可以用下图表示： 二、生活中的数学建模实例 赶火车的策略 现有12名旅客要赶往40千米远的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时4千米，靠步行是来不及了，唯一可以用的交通工具是一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内至多只能乘坐5人，汽车的速度为每小时60千米。问这12名旅客能赶上火车吗？ 【分析】 题中没有规定汽车载客的方法，因此针对不同的搭乘方法，答案会不一样，一般有三种情况：（1）不能赶上；（2）勉强赶上；（3）最快赶上 模型准备 模型假设 模型求解 模型建立 模型分析 模型验证 模型应用

方案1 不能赶上 用汽车来回送12名旅客要分3趟，汽车往返就是3+2=5趟，汽车走的总路程为 5×40=200（千米）， 所需的时间为 200÷60=10/3（小时）>3（小时） 因此，单靠汽车来回接送旅客是无法让12名旅客全部赶上火车的。 方案2 勉强赶上的方案 如果汽车来回接送一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，则可以节省一点时间。 第一趟，设汽车来回共用了X小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以 4X+60X=40×2 解得X=1.25（小时）。此时，剩下的8名旅客与车站的距离为 40-1.25×4=35（千米） 第二趟，设汽车来回共用了Y小时，那么 4Y+60Y=35×2 解得Y=35/32≈1.09（小时） 此时剩下的4名旅客与车站的距离为 35-35/32×4=245/8≈30.63（千米） 第三趟，汽车用了30.63÷60~0.51（小时） 因此，总共需要的时间约为 1.25+1.09+0.51= 2.85（小时） 用这种方法，在最后4名旅客赶到火车站时离开车还有9分钟的时间，从理论上说，可以赶得上。但是，我们在计算时忽略了旅客上下车以及汽车调头等所用的时间，因此，赶上火车是很勉强的。 方案3 最快方案 先让汽车把4名旅客送到中途某处，再让这4名旅客步行（此时其他8名旅客也在步行）；接着汽车回来再送4名旅客，追上前面的4名旅客后也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的4名旅客到火车站，为了省时，必须适当选取第一批旅客的下车地点，使得送最后一批旅客的汽车与前面8名旅客同时到达火车站。 解法1 设汽车送第一批旅客行驶X千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行的路程为 4×X/60=X/15（千米） 在以后的时间里，由于步行旅客的速度都一样，所以两批步行旅客之间始终相差14/15X千米，而汽车要在这段时间里来回行驶两趟，每来回一趟所用的时间为 由于汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行（40-X）千米的时间， 故 2×X/32=40-X/4 解得X=32（千米） 所需的总时间为 32/60+（40-32）/4≈2.53（小时） 这个方案可以挤出大约28分钟的空余时间，足以弥补我们计算时间所忽略的一些时间。

数学模型应用问题(讲义和习题)含答案

数学模型应用问题（讲义） ? 课前预习 1. 填写下列表格，并回忆相关概 念． 2. 解下列方程 [](10)38010(12)1750x x ---= 10(8)200106400.5x x -?? --?= ??? ? 知识点睛 应用题的处理思路 1. 理解题意，梳理信息 通过列表或画线段图等方式，对信息分类整理． 2. 辨识类型，建立模型 根据所属类型，围绕关键词、隐含的数学关系，建立数学

类型常考虑： ①所属的数学模型（方程不等式问题、函数问题、测量问题）； ②实际生活的背景（工程问题、行程问题、经济问题）． 常见关键词： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑方程； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式（组）； ③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值……，考虑函数（一次函数、二次函数）， 根据函数性质求取最值． 隐含的数学关系： ①原材料供应型（使用量≤供应量） ②容器容量型（载重量≥货物量） 3.求解验证，回归实际 ①结果是否符合题目要求； ②结果是否符合实际意义． ?精讲精练 1.某次地震后，政府为安置灾民，准备从某厂调拨用于搭建帐篷的帆布5 600 m2和撑杆2 210 m． （1）该厂现有帆布4 600 m2和撑杆810 m，不足部分计划安排110人进行生产．若每人每天能生产帆布50 m2或撑杆 40 m，则应分别安排多少人生产帆布和撑杆，才能确保同时完成各自的生产任务？ （2）计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的帐篷共100顶，若搭建一顶甲型帐篷和一顶乙型帐篷所需帆布与撑杆的数量及安置人数如下表所示，则这100顶帐篷最多能安置多少灾

数学建模基础(入门必备)

一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果

数学建模背景

数学建模背景： 数学技术 近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、管理、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模（Mathematical Modeling）。[1] 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机）。数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。 建模应用 数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和各种各样的应用问题紧密相关的。数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性，结论的明确性和体系的完整性，而且在于它应用的广泛性，自从20世纪以来，随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及，人们对各种问题的要求越来越精确，使得数学的应用越来越广泛和深入，特别是在21世纪这个知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数理论与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，数学已经成为一种能够普遍实施的技术。培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面。 2建模过程 模型准备 了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。 模型假设 根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。 模型建立 在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。 模型求解 利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。 模型分析 对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。 模型检验 将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

数学模型应用题

数学模型应用题 一．选择题（共14小题） 1．（2011?恩施州）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻12：0013：0014：30 碑上的数是一个两位数，数字 之和为6 十位及个位数字及12：00时所看 到的正好颠倒了 比12：00时看到的两位数 中间多了个0 则12：00时看到的两位数是（） A．24B．42C．51D．15 2．（2012?百色）某县政府2011年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2013年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2011年到2013年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（） A．30%B．40%C．50%D．60% 3．（2011?台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分？（） A．11B．12C．13D．14 4．（2013?资阳）在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同，若按每组人数比预定人数多分配1人，则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人，则总数不够90人，那么预定每组分配的人数是

A．10人B．11人C．12人D．13人 5．（2013?潍坊）对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，若[]=5，则x的取值可以是（） A．40B．45C．51D．56 6．（2012?武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）及乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（） A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③7．（2012?牡丹江）已知等腰三角形周长为20，则底边长y关于腰长x的函数图象是（） A．B．C．D． 8．（2013?绍兴）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）及开机后用时（min）

数学模型的应用

数学建模 数模作业（第一章） P21 第一章 6、利用节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为 4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。 解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由节中的药物中毒施救模型可知: 在胃肠道中药物的量为 0.13861()t x t A e -=，而在血液系统中药物的量为 0.11550.13861()6() t t y t A e e --=-，再令0.11550.13861()()/6()t t y t y t A e e --==-再做出()y t 的图像如下： 《 ; 由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中 毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。于是可以去求这个最小剂量。由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂

量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。 7、对于节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。 解：由题可算得： t=0:2:20 y=275*exp*t)+*exp*t) plot(t,y,'b:') 第二章 3、根据节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。 解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23 ， y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,] x1=0::23; t=sum(y)/24; plot(h,y,'-',x1,t) hold on 02468101214161820 50100150200250300350 400

数学建模案例分析插值与拟合方法建模1数据插值方法及应用

第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。

数学模型在生物学中的应用

数学模型在生物学中的应用 摘要 数学模型是研究生命发展规律，发现和分析生命现状的工具。建立可靠的本文从生物数学的发展、分支了解生物数学的历史，紧接着又在数学模型在生物数学的地位中了解数学模型的地位，最后在数学模型的应用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及稳定性模型.这将有助于在生物数学的研究中，依据数学模型的基础，建立符合规律的数学模型，在生命进程中验证新的规律、新的发现，使在研究生物学时更清晰、更明了. 关键词：数学模型；生物学；应用 Application of mathematical model in Biology Abstract: Mathematical models in biology such as a microscope can be found in biological mysteries, biological research through with the establishment of the mathematical rules of the law of development of life, which launched a new discovery, new rules and in biology established reliable model of the biological status of classified analysis and forecasting.The from the history of mathematical biology development, the branch of the understanding of mathematical biology, followed by another in the mathematical model in Mathematical Biology status in understanding the status of mathematical model. Finally, in the application of mathematical model know differential equation model, the differential equation model and the stability of the model.This will help in mathematical biology research, on the basis of the mathematical model, established in accordance with the law of the mathematical model, in the process of life to verify new rules, new found in biological research clearer, more clear. Keywords: mathematical mode;biology;application 目录 1 引言…………………………………………………………………………………… 2 文献综述……………………………………………………………………………… 2.1 国内外研究现

数学建模模型与应用

Mathematica软件常用功能 【实验目的】 1. 用Mathematica软件进行各种数学处理; 2. 用Mathematica软件进行作图; 3. 用Mathematica软件编写程序. 【注意事项】 Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sin[x],Conjugate[z]等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3＝2*3＝6 ,x y,2 Sin[x]等；乘幂可以用“^”表示，如x^0.5,Tan[x]^y。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但不可以数字开头。当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如 (x+(y^x+1/(2x)));[]方括号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；{}大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如 {2x,Sin[12 Pi],{1+A,y*x}}；[[]]双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。 Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外），否则将输出计算的结果。 命令行“Shift+Enter”才是执行这个命令。

初中数学建模方法及应用

龙源期刊网 https://www.sodocs.net/doc/ab11295896.html, 初中数学建模方法及应用 作者：肖永刚 来源：《新课程·中学》2017年第03期 摘要：在新课标中要求培养学生的创新能力，在初中数学教学中培养学生的建模能力， 是培养数学创新能力的重要方法，也能增强学生利用数学知识解决问题的能力。对培养初中生数学建模方法及应用进行了论述。 关键词：初中数学；建模思想；数学应用 利用数学建模的方法是学习初中数学的新方法，是素质教育和新课标的要求，能为学生的数学能力发展提供全新途径，提高学生运用数学工具解决问题的能力，让学生在用数学工具解决问题中体会到数学学习的意义，从而提高数学学习兴趣。 一、数学建模的概念 数学建模就是对具体问题分析并简化后，运用数学知识，找出解决方法并利用数学式子来求解，从而使问题得以解决。数学建模方法有以下几个步骤：一是对具体问题分析并简化，然后用数学知识建立关系式（模型），二是求解数学式子，三是根据实际情况检验并选出正确答案。初中阶段数学建模常用方法有：函数模型、不等式模型、方程模型、几何模型等。 二、数学建模的方法步骤 要培养学生的数学建模方法，可按以下方法步骤进行： 1.分析问题题意为建模做准备。对具体问题包含的已知条件和数量关系进行分析，根据问题的特点，选择使用数学知识建立模型。 2.简化实际问题假设数学模型。对实际问题进行一定的简化，再根据问题的特征和要求以及解题的目的，对模型进行假设，要找出起关键作用的因素和主要变量。 3.利用恰当工具建立数学模型。通过建立恰当的数学式子，来建立模型中各变量之间的关系式，以此来完成数学模型的 建立。 4.解答数学问题找出问题答案。通过对模型中的数学问题进行解答，找出实际问题的答案。

中考数学模型的常见类型及其应用

中考数学模型的常见类型及其应用 史承灼 【摘要】“联系实际，加强应用”已经成为数学教育改革的一个重要方面，以应用数学的理论和方法解决实际问题的能 力为目标的“问题解决”亦已成为中考一大热点．而“数学模 型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和 主要内容．初中阶段常见的数学模型大致有：数与式、方程、 不等式、函数、三角、几何和统计模型等． 【关键词】初中数学问题解决构建数学模型随着数学教育改革的不断发展和深入，“联系实际，加强应用”已经成为数学 教育改革的一个重要方面，在基础教育中以培养应用数学的理论和方法解决实际问题的能力为目标的“问题解决”越来越引起人们的高度关注，亦已成为国际数学教育的一大热点．而“数学模型”或“数学建模”则是实现“数学问题解决”的基本手段和主要内容．掌握常见的“数学模型”和“数学建模”的方法，将会激发学生的创造能力，有助于应用数学知识解决实际问题能力的提高，从而达到加强“数学问题解决”教育的目的． 在数学的“问题解决”中，应用数学知识去解决实际问题，首先要把实际问题中的数学问题明确地表述出来，也就是说，要通过对实际问题的分析、归纳给出以描述这个问题的数学提法；然后才能使用数学的理论和方法进行分析，得出结论；最后再返回去解决现实的实际问题．由于实际问题的复杂性，往往很难把现成的数学理论直接套用到这些实际问题上，这就必须要在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是“数学模型”，这个桥梁的构建过程就是“数学建模”．一般说来，所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．而“数学建模”的过程 考数学试题中，常见的应用问题按解决问题时建立数学模型所用数学知识和方法的

浅谈数值分析在数学建模中模型求解的应用

浅谈数值分析在数学建模模型求解中的应用 姓名：孙亚丽 学号：2013G0602015 专业：计算机技术 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2.数值分析在模型求解中的应用 2.1．插值法和拟合法在模型求解中的应用 2.1.1．拟合法求解 在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。 假设已建立了数学模型),(c x f y =，其中，T m c c c c ),,,(21 =是模型参数。已有一组已知数据),(1,1y x ，),(22y x ，…，),(,k k y x ，用最小二乘确定参数c ，使 ∑=-=k i i i c x f y c e 12)),(()(最小。 函数),(c x f 称为数据),,2,1)(,(,k i y x i i =的最小二乘拟合函数。如果模型函数),(c x f y =具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c 。最合适的c 应满足必要条件m j c c x f c x f y c c e k i j i i i j ,,2,1,0),()),((2)(1 ==??--=??∑=。 2.1.2．插值法求解 在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数)(x f y =的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据),(1,1y x ，),(22y x ，…，),(,k k y x 。要求一个函数 )(i i x y ?=，k i ,,1,0 =， （2） 这就是插值问题。函数)(i i x y ?=称为)(x f 的插值函数。),,1,0(k i x i =称为插值节点，式（2）称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。 2.2.模型求解中的解线性方程组问题 在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求