函数模型及其应用

函数模型及其应用

[考纲传真]1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

【知识通关】

1．常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．

(2)反比例函数模型：y＝k

x＋b(k，b为常数且k≠0)．

(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．

(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．

(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．

(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．

2．三种函数模型之间增长速度的比较

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

[常用结论]

形如f(x)＝x＋a

x(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0]和(0，a]上单调递减．

(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，

当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.

【基础自测】

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点．()

(2)幂函数增长比直线增长更快．()

(3)不存在x0，使ax0＜x n0＜log a x0.()

(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√

2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表，则x，y最适合的函数是()

x 0.500.992.013.98

y －0.990.010.982.00

C．y＝2x－2 D．y＝log2x

D

3．一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是()

A．70台B．75台

C．80台D．85台

B

4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A ．减少7.84% B ．增加7.84% C ．减少9.5% D ．不增不减

A

5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/k m ，如果超过100 k m ，超过100 k m 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________． y ＝???

0.5x ，0＜x ≤1000.4x ＋10，x ＞100

【题型突破】

用函数图象刻画变化过程

1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )

A B C D

D

2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )

A B C D

B

3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

D

[方法总结]判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

应用所给函数模型解决实际问题

【例1】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动

成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝1

3x

2＋x(万元)．在年产量不小

于8万件时，W(x)＝6x＋100

x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，

小王生产的商品能当年全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

[解](1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，

依题意得，当0＜x ＜8时，

L (x )＝5x －? ????

13x 2＋x －3＝－13

x 2＋4x －3；

当x ≥8时，L (x )＝5x －? ????6x ＋100x －38－3＝35－? ????

x ＋100x .

所以L (x )＝???

??

－13x 2

＋4x －3，0＜x ＜8，

35－? ??

??

x ＋100x ，x ≥8.

(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－1

3

(x －6)2＋9.

此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元， 当x ≥8时，L (x )＝35－? ??

??

x ＋100x ≤35－2

x ·100

x ＝35－20＝15，此时，当且仅当

x ＝100

x ，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． [方法总结] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.

易错警示：(1)解决实际问题时要注意自变量的取值范围.

(2)利用模型f (x )＝ax ＋b

x 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可

食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟

D ．4.25分钟

(2)(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． (1)B (2)16

构建函数模型解决实际问题

【例2】 某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115. 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤6，x ∈N *. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.

令[50－3(x －6)]x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0. 又x ∈N *，∴6＜x ≤20(x ∈N *)，

故y ＝?

??

50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈N *). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185. 对于

y ＝－3x 2＋68x －115＝－3?

?

???x －

3432＋8113

(6＜x ≤20，x ∈N *)， 当x ＝11时，y max ＝270.又∵270＞185，

∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多． [方法总结] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法 (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．

(3)构建f (x )＝x ＋a

x (a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．

该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )

A ．2018年

B ．2019年

C ．2020年

D ．2021年

B

函数模型的选择

【例3】 (2019·沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋7；③f (x )＝log q (x ＋p )．其中p ，q 均为常数且q ＞1.(注：x 表示上市时间，f (x )表示价格，记x ＝0表示4月1号，x ＝1表示5月1号，…，以此类推x ∈[0,5])

(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；

(2)对(1)中所选的函数f (x )，若f (2)＝11，f (3)＝10，记g (x )＝f (x )－2x －13x ＋1，经过

多年的统计发现，当函数g (x )取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？

[解] (1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势， 故应该选择②f (x )＝px 2＋qx ＋7.

(2)由f (2)＝11，f (3)＝10解得f (x )＝－x 2＋4x ＋7. g (x )＝

f (x )－2x －13

x ＋1

＝－x 2－2x ＋6x ＋1

＝－????

??9x ＋1＋(x ＋1)－4.

因为－??????

9x ＋1＋(x ＋1)－4≤－2，

当且仅当x ＋1＝3，即x ＝2时等号成立． 所以明年拓展外销的时间应为6月1号．

[方法总结] 根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：

(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择. (2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx

＋c(a，b，c均为常数，a＜0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数，a＞0).

(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快.

列四个函数中，能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)＝8，f(3)＝2的函数为()

A．f(x)＝20×?

?

?

?

?1

2

x

B．f(x)＝－6log3x＋8

C．f(x)＝x2－12x＋19

D．f(x)＝x2－7x＋14

D

高一数学必修1-函数模型及其应用

高一数学必修1 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解解实际应用题的一般步骤； 2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法； 3．渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键． 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 【精典范例】 例1．写出等腰三角形顶角y （单位：度）与底角x 的函数关系． 【解】1802y x =- ()090x << 点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义． 例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C (万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.

分析：销售利润()L x =销售收入()R x -成本()C x ,其中成本()C x = (固定成本+可变成本). 【解】总成本与总产量的关系为 2000.3,C x x N *=+∈. 单位成本与总产量的关系为 200 0.3,P x N x *= +∈. 销售收入与总产量的关系为 0.5,R x x N *=∈. 利润与总产量的关系为 0.2200,L R C x x N *=-=-∈ ． 例3．大气温度()y C 随着离开地面的高度()x km 增大而降低，到上空11km 为止，大约每上升1km ，气温降低6C ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C ）． 求：（1）y 与x 的函数关系式； （2） 3.5x km =以及12x km =处的气温． 【解】（1）由题意， 当011x ≤≤时，226y x =-， ∴当11x =时，2261144y =-?=-， 从而当11x >时，44y =-． 综上，所求函数关系为 []226,0,1144,(11,) x x y x ?-∈? =? -∈+∞??； （2）由（1）知， 3.5x km =处的气温为 226 3.51y =-?=C ， 12x km =处的气温为44C -． 点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题． 追踪训练一 1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企

高一数学函数模型及其应用练习题2

函数模型及其应用测试题 一、选择题 1．某工厂的产值月平均增长率为P，则年平均增长率是（） A．11 +-D．12 (1)1 P P +- (1)P +B．12 (1)P +C．11 (1)1 答案：Ｄ 2．某人2000年7月1日存入一年期款a元（年利率为r，且到期自动转存），则到2007年7月1日本利全部取出可得（） A．7 a r +元 (1) (1) a r +元B．6 C．7 (1)(1)(1) +++++++ …元 a a r a r a r (1) a a r ++元D．26 答案：Ａ 3．如图1所示，阴影部分的面积S是h的函数(0) ≤≤，则该函数的图象可 h H 能是（） 答案：Ｃ 4．甲、乙两个经营小商品的商店，为了促销某一商品（两店的零售价相同），分别采取了以下措施：甲店把价格中的零头去掉，乙店打八折，结果一天时间两店都卖出了100件，且两店的销售额相同，那么这种商品的价格不可能是（）A．4.1元B．2.5元C．3.75元D．1.25元 答案：Ａ 5．某厂工人收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年该工厂工人收入3150元（其中工资性收入1800元，其他收入1350元）．预计该地区自2004年开始的5年内，工人的工资性收入将以每年6％的年增长率．其他收入每年增加160元．据此分析，2008年该厂工人人均收入将介于（） A．42004400 元 元B．44004600 C．46004800 元D．48005000 元 答案：Ｂ 二、填空题 6．兴修水利开渠，其横断面为等腰梯形，如图2，腰与水平线夹角为60 ，要求浸水周长（即断面与水接触的边界长）为定值l，同渠深h=，可使水渠量最大．

函数模型及其应用

2021年新高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》 函数模型及其应用 1．几类函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型f(x)＝ k x＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝ba x＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝b log a x＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝a x(a>1) y＝log a x(a>1) y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表 现为与y轴平行 随x的增大逐渐表 现为与x轴平行 随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x

题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × ) (2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)不存在x 0，使0x a 0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 题组二 教材改编 2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( ) A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B ．结余最高的月份是7月 C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D ．前6个月的平均收入为40万元 答案 D 解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为1 6 ×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．

函数模型的应用实例练习题及答案解析

1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系，则可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意； 二次函数在对称轴的两侧有增也有降； 而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”； 因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢． 2 A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x 2 －1 C ．y ＝2x －1 D ．y ＝－＋2 解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D. 3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时； ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； ③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者． 其中正确信息的序号是( ) A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①② 解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了小时后，追上了骑自行车者，正确． 4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少x 2 时面积最大，此时x ＝________， 面积S ＝________. 解析：依题意得：S ＝(4＋x )(3－x 2)＝－12 x 2 ＋x ＋12 ＝－12(x －1)2 ＋1212，∴当x ＝1时，S max ＝1212 . 答案：1 121 2 1 ( ) A ．指数函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示． 2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A ．14400亩 B ．172800亩

考点12 函数模型及其应用(教师版)单元检测系列(基础类) 备战2021年高考

考点12 函数模型及其应用 1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2 B ．（p ＋1）（q ＋1）－12 C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1 【答案】D 【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D. 2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋ ])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH － ])的乘积等于常数10 －14 .已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋ ]，健康人体 血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋ ] [OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( ) A.12 B ．1 3 C ．16 D ．110 【答案】C 【解析】∵[H ＋ ]·[OH － ]＝10－14 ，∴[H ＋ ][OH －] ＝[H ＋]2× 1014，∵7.35<－lg [H ＋ ]<7.45， ∴10 －7.45 <[H ＋ ]<10 －7.35 ，∴10 －0.9 <[H ＋ ][OH －] ＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9 >110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2，10 －0.7 <13<12，∴110<[H ＋ ][OH －]<1 3 .故选C. 3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示． 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③

高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型．．．． 归纳及应用 一． 常数函数y=a 判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。 例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+ 3 π )=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[ 3,2] C.( 3,2] D.( 3,2) 解析；令y=2sin(x+3π ), y=a 画出函数y=2sin(x+3 π )，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点， 由图象知( 3,2)，选D 二． 一次函数y=kx+b (k ≠0) 函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归 为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。 例2．不等式2x 2 +1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ） A ．-2≤x ≤2 B. 4 31- ≤x ≤0 C.0≤x ≤ 4 71+ D. 4 71-≤x ≤ 4 1 3- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2 +1 若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需? ? ?≥-≥0)2(0 )2(f f ，解之可得答案D 三． 二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。 例3．（1）.若关于x 的方程x 2 +ax+a 2 -1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2 +ax+a 2 -1由题意得f(0)= a 2 -1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。 一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。

函数模型及其应用教案

Modeling and Problem Solving ——函数模型及其应用教案 中澳课程部王晓叶 学情分析：澳方MathB每次的Paper Test都分为两部分，其中Knowledge and Procedures（知识与过程）这个和普通高中数学相似，学生A/B率比较高，但是另外一部分Modeling and Problem Solving（建模与实际问题的解决）学生的A／B率不高。这一部分内容题目普遍很长、生词量较多，并且都是将数学知识应用于实际生活中，所以大多数学生遇到此类题目都是放弃不做。MathB这门课又特别注重实际生活问题的解决，而我们的学生这方面意识比较薄弱，抽象概括能力较弱。所以，我们的教学任务是提高学生的考试成绩等级，提高OP成绩。但是另一方面，12年级的学生大多数能灵活的使用图形计算器，具有一定的英语语言基础。 教学目标：1.了解函数模型在现实生活中的运用。 2.能够建立恰当的函数模型，并对函数模型进行简单的分析。 3.利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。 教学重难点：1.建立合适的函数模型 2.利用得到的函数模型解决实际问题 教学过程 一、引入案例、探索新知（如何确定最合适的函数模型）（18分钟） 案例：根据《Daily Mail》报道，上个月一名中国留学生将自己车速飙到180公里／小时的录像传到了Instagram个人网页上，并以配以中文：“从Albany开回Perth，一路180公里／小时，将4.5小时的车程缩短到3.5小时。” 目前，他正在接受警方调查。 警察表示，视频显示这名男子在限速110公里／小时的高速公路开到了180公里／小时，他将面临巨额罚款、吊销驾照以及拘留。 Example1:The table below shows the relationship between the velocity of a car and the Velocity 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Distance 2 10 15 20 27 38 47 60 75 a. Use the calculator to find the relationship between the velocity of a car and the distance after it braking. b. What’s the minimum safe following distance for a car travelling at 110 km/h on the motor way? 项目罚款扣分超速少于10km/h 163澳元扣2分超速10km/h－20km/h 357澳元扣3分 超速20km/h－30km/h 726澳元扣5分 超速30km/h－40km/h 866澳元扣7分未系安全带341澳元扣3分闯红灯437澳元扣3分开车使用手机315澳元扣3分

函数模型及其应用教案

适用学科 高中数学
适用年级
高一
适用区域 通用
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 1.几类不同增长的函数模型的特点
2.用已知函数模型解决实际问题
3.建立函数模型解决实际问题
教学目标 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上
升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2．了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）
的实例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【教学建议】 本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程
中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华.本课内容是课本必修 1 中第三章 的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。 通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及 其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题， 函数 模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知 识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成. 【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状
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态。
导入的方法很多，仅举两种方法：
① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学
生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：
环节
教学内容设计
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群
喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳
大利亚伤透了脑筋．1859 年，有人从欧洲
创
带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧
草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断
设
增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳
大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的兔子变
情
得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75
亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降
境
低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使
澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消
灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科
学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的
野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
师生双边互动 师：指出：一般而言，在理想条件 （食物或养料充足，空间条件充裕， 气候适宜，没有敌害等）下，种群 在一定时期内的增长大致符合“J” 型曲线；在有限环境（空间有限， 食物有限，有捕食者存在等）中， 种群增长到一定程度后不增长，曲 线呈“S”型．可用指数函数描述一 个种群的前期增长，用对数函数描 述后期增长的
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2019年高考数学总复习 课时作业(12)函数模型及其应用 理.doc

2019年高考数学总复习课时作业（12）函数模型及其应用理 基础热身 1.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则蜡烛燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为() 图K12-1 2.某公司招聘员工,面试对象人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y=其中x代表拟录用人数, y代表面试对象人数.若面试对象人数为60,则该公司的拟录用人数为() A.15 B.40 C.25 D.70 3.据统计,每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系y=a log3(x+2),观察发现2012年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只,估计到2018年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为 () A.4000只 B.5000只 C.6000只 D.7000只 4.某品牌平板电脑投放市场后第1个月销售100台,第2个月销售200台,第3个月销售400台,第4个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y与投放市场的月数x之间的关系的是() A.y=100x B.y=50x2-50x+100 C.y=50×2x D.y=100log2x+100 5.[2017·河北武邑中学调研]“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应 为.(用常数a表示) 能力提升

6.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,包装费用、销售价格如下表所示: 型号小包装大包装 重量100克300克 包装费0.5元0.7元 销售价格3.0元8.4元 则下列说法中正确的是() ①买小包装实惠;②买大包装实惠;③卖3小包比卖1大包盈利多;④卖1大包比卖3小包盈利多. A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.[2017·北京丰台区测试]血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图K12-2所示. 图K12-2 根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是 () A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用 B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒 8.[2017·南昌二模]某商场2017年1月份到12月份销售额呈现先下降后上升的趋势,下列四个函数中,能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)=8,f(3)=2的函数为() A.f(x)=20×

知识讲解_函数模型的应用举例_基础---

函数模型的应用实例 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识. 【要点梳理】 【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】 要点一：解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程： 实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答). 要点二：解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它. 其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系. 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题

高三数学一轮复习课时作业12 函数模型及其应用 文 北师大版

[时间：45分钟 分值：100分] 基础热身 1．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度 单位是℃，t ＝0表示中午12时，其后t 值取为正，则上午8时的温度是( ) A ．8℃ B．112℃ C．58℃ D．18℃ 2 则x ，y ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2 ＋b D ．y ＝a ＋b x 3．f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )>g (x )>h (x ) B ．g (x )>f (x )>h (x ) C ．g (x )>h (x )>f (x ) D ．f (x )>h (x )>g (x ) 4．某工厂生产一种仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知该仪器的每台售价P (元)与每月生产量x 台的关系为P ＝500－x .为使该厂每月所获利润最大，则该厂每月生产这种仪器的台数为________．(注：利润＝销售收入－总成本) 能力提升 5．下列所给4 图K12－1 (1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A ．(1)(2)(4) B ．(4)(2)(3) C ．(1)(2)(3) D ．(4)(1)(2) 6．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时) 图K12－ 图K12－3 7．有一批材料可以围成200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用材料隔成三个面积相等的矩形(如图K12－3)，则围成的矩形场地的最大面积为( ) A ．1000 m 2 B ．2000 m 2 C ．2500 m 2 D ．3000 m 2 8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：

几个常见函数模型的应用

高三数学复习小专题 几个常见函数模型的应用 一、函数x e x y = 的性质应用 1.（2014年天津理）已知函数()x f x x ae =-)(R a ∈，R x ∈.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <. （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：21 x x 随着a 的减小而增大； （Ⅲ）证明：12x x +随着a 的减小而增大. 二、函数x e y x =的性质应用 2.（2014年山东理）设函数22()(ln )x e f x k x x x =-+（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数）. （Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.

三、函数x xe y =的性质应用 3.已知函数x e x f x +=)(，2)(-=x a x g . (1)若0>x 时)()(x g x f >恒成立，求a 的取值范围； (2)讨论函数)()()(x g x f x F -=的零点的个数. 四、函数x x y ln =的性质应用 4.（2014年湖北理）π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数. （Ⅰ）求函数x x x f ln )(=的单调区间； （Ⅱ）求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数中的最大数与最小数. （Ⅲ）将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

5.(2013年北京理科)设L 为曲线C ：x x y ln =在点（1,0）处的切线. （1）求L 的方程； （2）证明：除切点（1,0）之外，曲线C 在直线L 的下方. 6.求证：3≥n 时，).()1(1*+∈+>N n n n n n 五、函数x x y ln = 的性质应用

2015届高考数学一轮复习 课时跟踪检测12 函数模型及其应用 文 湘教版

课时跟踪检测(十二)函数模型及其应用第Ⅰ组：全员必做题 1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为() 2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是() A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示． 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是() A．①B．①②C．①③D．①②③ 4.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示 为函数y＝f(x)的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时， 治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二 次服药最迟的时间应为() A．上午10：00 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00 5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是() A．7层B．8层C．9层D．10层 6.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满

第07讲 函数模型及其应用

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座7）—函数模型及其应用 一．课标要求： 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 二．命题走向 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 预测2007年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 （1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。 三．要点精讲 1．解决实际问题的解题过程 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间 的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模 型一般都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择 函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示：

函数模型及其应用

函数模型及其应用 [考纲传真]1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 【知识通关】 1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函数模型：y＝k x＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：

[常用结论] 形如f(x)＝x＋a x(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0]和(0，a]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a， 当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a. 【基础自测】 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x与函数y＝x2的图象有且只有两个公共点．() (2)幂函数增长比直线增长更快．() (3)不存在x0，使ax0＜x n0＜log a x0.() (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√ 2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表，则x，y最适合的函数是() x 0.500.992.013.98 y －0.990.010.982.00 C．y＝2x－2 D．y＝log2x D 3．一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是() A．70台B．75台 C．80台D．85台 B

高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用文

第十二节函数模型及其应用 一、基础知识批注——理解深一点 1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x (a >0)． (1)形如f (x )＝x ＋a x (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． ②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x (a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增． 2．三种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减 性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大，逐渐表现为与y 轴平行 随x 的增大，逐渐表现为与x 轴平行 随n 值变化而各有不 同 值的比较 存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x

函数模型的应用实例

对应学生用书P 121 基础达标 一、选择题 1．某产品的利润y (元)关于产量x (件)的函数关系式为y ＝3x ＋4，则当产量为4件时，利润y 等于( ) A ．4元 B ．16元 C ．85元 D ．不确定 解析：当x ＝4时，y ＝34＋4＝85(元)． 答案：C 2．今有一组数据，如下表所示： ( ) A ．指数函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 解析：画出散点图，如下图所示． 观察散点图，可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示． 答案：C 3．某种放射性元素的原子数y 随时间x 的变化规律是y ＝1024e －5x ，则( ) A ．该函数是增函数 B ．该函数是减函数 C ．x ＝－15lg y 1024 D ．当x ＝0时，y ＝1 答案：B 4．某旅店有客床100张，各床每天收费10元时，全部客满，若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出，这样，为了减少投入多获利，每床每天收费应提高( )

A．2元B．4元 C．6元D．8元 解析：设每床每天收费提高2x元(x∈N*)，则收入为y＝(10＋2x)(100－10x)＝20(5＋x)(10－x)． ∴当x＝2或x＝3时，y取得最大值． 当x＝2时，y＝1120，当x＝3时，y＝1120， 为满足减少投入要求应在收入相同条件下多空出床位，故x＝3，∴2x＝6. 答案：C 5．某商场在元旦促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为() A．130元B．330元 C．360元D．800元 解析：由题意可知，标价1000元，则消费金额为800元，∴优惠额为1000×0.2＋130＝330元． 答案：B 6．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又上升了，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烧了．则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是() 解析：从0时到6时，体温上升是增函数，图象是上升的，排除A；从6时到12时，体温下降是减函数，图象是下降的，排除B；从12时到18时，体温上升是增函数，图象是

高考数学一轮复习专题12函数模型及其应用押题专练文!

专题12 函数模型及其应用 1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )． 【解析】 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x . 【答案】 D 2．甲、乙两人沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1212,()v v v v ．甲一半路程使用速度1v ，另一半路程使用速度2v ，乙一半时间使用速度1v ，另一半时间使用速度2v ，甲、乙两人从A 地到B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴S 表示路程），其中正确的图示分析为（ ）． A ．(1) B ．(3) C ．(1)或(4) D. (1)或(2) （1） （2） （3） （4） 【解析】 根据题目描述分析图像可知D 正确 【答案】 D 3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2 和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为

( )． A．45.606万元B．45.6万元 C．45.56万元D．45.51万元 【答案】 B 4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 ( )． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 C 5．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是 ( )．

(通用版)202x高考数学一轮复习 2.12 函数模型及其应用讲义 文

第十二节函数模型及其应用 一、基础知识批注——理解深一点 1．常见的8种函数模型 (1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x (a >0)． (1)形如f (x )＝x ＋a x (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． ②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x (a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增． 2．三种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的增减 性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大，逐渐表 随x 的增大，逐渐表 随n 值变化而各有不