2017年广州一模试题及标准答案(文科数学)

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 （1）复数

2

1i

+的虚部是 （A ）2- （B ） 1- （C ）1 （D ）2 （2）已知集合}

{}{

2

001x x ax ,+==，则实数a 的值为

（A ） 1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）已知tan 2θ=，且θ∈0,

2π??

???

，则cos2θ= (Ａ)

45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (Ｄ) （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）（5）已知函数()122,0,

1log ,0,

+?≤=?->?x x f x x x 则()()3=f f

(Ａ)

43 (Ｂ) 23 (Ｃ) 4

3

- (Ｄ) （6）已知双曲线C 22

2:14

x y a -

=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 是双曲线C 的左, 右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且12=PF , 则2PF （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）

（7）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的

（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑,

PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==，4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面 积为

（A ）8π （B ）12π （C ）20π （D ）24π （11）已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ω?ω?ω?πf x x x 是奇函数，直线

y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为

2

π

，则 （A ）()f x 在0,

4π?? ???上单调递减 （B ）()f x 在3,88ππ?? ???上单调递减 （C ）()f x 在0,

4π?

? ??

?上单调递增 （D ）()f x 在3,88ππ?? ???

上单调递增 （12）已知函数()1cos 212x f x x x π+?

?=+- ?-??, 则2016

1

2017k k f =??

???

∑的值为 （A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

（13）已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a ∥()a b -，则a b ?= .

（14）若一个圆的圆心是抛物线2

4=x y 的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的 标准方程是 . （15）满足不等式组()()130,0x y x y x a

?-++-≥?

≤≤?的点(),x y 组成的图形的面积是5,则实数

a 的值为 .

（16）在△ABC 中, 1

60,1,2

ACB BC AC AB ?

∠=>=+

, 当△ABC 的周长最短时, BC

的长是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列{}n S 的前n 项和n T ．

（18）（本小题满分12分）

某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量．．

产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据图１，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；

（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两

质量指标值 频数

(190,195] 9 (195,200] 10

(200,205] 17 (205,210] 8

(210,215] 6 表1：甲流水线样本的频数分布表 图1：乙流水线样本频率分布直方图

A

E D

C

B A

条流水线分别生产出不合格品约多少件？

（Ⅲ）根据已知条件完成下面22?列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？

附：()()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中=+++n a b c d 为样本容量）

（19）（本小题满分12分）

如图1，在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC , 点E 是BC 边的 中点, 将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ,AC ,DE , 得到如 图2所示的几何体.

（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ；

(Ⅱ) 若1,AD =AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B 到平面 ADE 的距离.

图1 图2 （20）（本小题满分12分）

已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>且过点()2,1A .

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程;

(Ⅱ) 若,P Q 是椭圆C 上的两个动点,且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 试判断直线

PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.

（21）（本小题满分12分） 已知函数()()ln 0=+

>a

f x x a x

. (Ⅰ) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围; (Ⅱ) 证明: 当2

a e

≥

时, ()-

>x f x e .

请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,

(1x t t y t

=-??

=+?为参数). 在以坐标原点为极点,

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:.

4?

?=- ??

?πρθC (Ⅰ) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;

(Ⅱ) 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.

（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数()12=+-+-f x x a x a .

(Ⅰ) 若()13

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

文科数学试题答案及评分参考

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 （1）B

（2）A

（3）C （4）B （5）A （6）C （7）B （8）C （9）D （10）C （11）D （12）B

二、填空题 （13）52

- （14）()22

12x y +-= （15）3 （16

）12

+

三、解答题 (17) 解:

（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-， ………………………………………1分 解得12a =． ………………………………………………………2分

当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ………………3分 即12n n a a -=， ………………………………………………………4分 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．……………………………………5分

所以1222n n

n a -=?=（n ∈N *）． ………………………………………………6分

(Ⅱ) 因为1

222

2n n n S a +=-=-， ………………………………………………8分

所以12n n T S S S =++???+ ………………………………………………9分

2312222n n +=++???+- ………………………………………………10分

()412212

n n ?-=

-- ………………………………………………11分

D

A

2242n n +=--． ………………………………………………12分

(18) 解：

（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为

()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++?<<+++?=，

………………………………………1分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++?+?-= ……………………………3分 解得3900

19

x =

． ………………………………………4分 （Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，

则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153

,5010P =

=甲 ………………………5分

乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()1

0.0120.02855

P =+?=乙

， ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产

的不合格品件数分别为：

31

5000=1500,5000=1000105

?

?． …………………………8分 （Ⅲ）

列联表:

分

则()2

2

1003506004 1.3505075253

K ?-==≈???， ……………………………………………11分

因为1.3 2.072,<

所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线

的选择有关”． ……………………………………………………12分 (19) 解：

(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，

又BD ⊥DC ，所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分 因为AB ?平面ABD ，所以DC ⊥AB …………………………………2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ，DC ∩AD D =, …………………………………3分

所以AB ⊥平面ADC . …………………………………4分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD ，

即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角. ……………………………5分

依题意6tan ==

∠AD

CD

CAD ， 因为1AD ,= 所以6=CD . …………………………6分