2017第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题和答案

第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答

2017年9月16日

一、（40分）一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内

底部附近作无滑滚动。 解： （1）如图，θ为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得

sin F mg ma θ-= ①

式中，a 是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1θ（规定小圆柱在最低点时10θ=）与θ之间的关系为

1()R r θθθ=+ ②

由②式得，a 与θ的关系为

22122()d d a r R r dt dt

θθ

==- ③

考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得

21

2d rF I dt

θ-= ④

式中，I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量

21

2

I mr = ⑤

由①②③④⑤式及小角近似

sin θθ≈ ⑥ 得

22203()

θθ+=-d g

dt R r ⑦

由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为

f =

⑧

（2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。

对于小圆柱，由转动定理得

2

21

212θ??-= ???d Fr mr dt

⑨

对于圆筒，同理有

222

2()θ=d FR MR dt

⑩

由⑨⑩式得

22122221θθ??

-+=- ???

d d F r R m M dt dt ?

设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有

12()θθθθ=+-R r R ? 由?式得

22212

222()θθθ-=-d d d R r r R dt dt dt

?

设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a ，由质心运动定理得 sin F mg ma θ-= ? 由?式得

22()θ

=-d a R r dt

?

由????式及小角近似sin θθ≈，得

22203d M m g

dt M m R r

θθ++=+- ?

由?式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为

f =

?

评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩?式各2分，?式3分，???式各2分，?式3分，?式2分。 二、（40分）星体P （行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线

1cos k

r εθ

=+ 式中，r 是P 到太阳S 的距离，θ是矢径SP 相对于极轴SA 的夹角（以逆时针方向为正），22

L k GMm =, L 是P 相对于太阳的角动量，

113126.6710m kg s G ---=???为引力常量，301.9910kg M ≈?为太阳的质量，

εm 和E 分别为P 的质量

和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C 、D 两点，如图所示。已知地球轨道半径11E 1.4910m R ≈?，彗星轨道近日点A 到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星

（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间； （2）经过C 、D 两点时速度的大小。

已知积分公式()()3/21/2

223

x a a x a C =+-++，式中C 是任意常数。

解：

（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故

1, 0E ε== ① 彗星绕太阳运动的轨道方程为：

1c o s

k

r θ=+ ②

彗星绕太阳运动过程中，机械能守恒

()2

22

1022L mr V r E mr ++==& ③ 式中

()Mm

V r G r

=- ④

当彗星运动到近日点A 时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为min r ，由③式得 ()2min 2

min min

2L Mm

V r G mr r =-= ⑤ 由⑤式和题给条件得

2E

min

223

L R r GMm == ⑥ 由③式得

dr dt = 或

dt = ⑦

设彗星由近日点A 运动到与地球轨道的交点C 所需的时间为t ?，对⑦式两边积分，并利用⑥式得

E E R R r t ?==? ⑧ 对⑧式应用题给积分公式得

3/21/2

E E E E E 22 3333 R t R R R R R ?=??????=

-+-?? ? ??????=

⑨ 由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为

2T t =?= ⑩

将题给数据代入⑩式得

66.4010s T ≈? ? （2）彗星在运动过程中机械能守恒

2102GMm

m E r

-==v ?

式中v 是彗星离太阳的距离为r 时的运行速度的大小。由?式有

=

v ? 当彗星经过C 、D 处时

C D E r r R == ? 由??式得，彗星经过C 、D 两点处的速度的大小为

C D =v v ?

由?式和题给数据得

4C D 4.2210m/s ==?v v ?

评分参考：第（1）问28分，①式4分，②式2分，③式4分，④式2分，⑤式4分，⑥⑦⑧⑨⑩?式各2分；第（2）问12分，?式4分，????式各2分。

三、（40分）一质量为M 的载重卡车A 的水平车板上载有一质量为m 的重物B ，在水平直公路上以速度0v 做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L （0L >）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡

车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为1μ，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为2μ（21μμ<）。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g 。

（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B 与车厢前壁不发生碰撞的条件；

（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。 解：

（1）若重物和车厢前壁不发生碰撞。

卡车在水平直公路上做匀减速运动，设其加速度大小为1a 。由牛顿第二定律有

121()M m g mg Ma μμ+-= ①

由①式得

1121()M m

a g M

μμμ+-=

由匀减速运动公式，卡车从制动开始到静止时所用的时间1t 和移动的距离1s 分别为

0011112()M

t a M m g

μμμ==+-v v ，22

00111122()2M s a M m g μμμ==+-v v ② 重物B 在卡车A 的车厢底板上做匀减速直线运动，设B 相对于地面的加速度大小为2a 。

由牛顿第二定律有

22mg ma μ= ③

由③式得

222mg

a g m

μμ=

=

从卡车制动开始到重物对地面速度为零时所用的时间2t 和重物移动的距离2s 分别为 00222t a g

μ==v v ， 2

2

0022222v v

μ==s a g ④

由于21μμ<，由②④二式比较可知，12t t >，即卡车先停，重物后停。 若21s s L ≤+，重物B 与车厢前壁不会发生碰撞，因此不发生碰撞的条件是

222

000

1221212112()()22[()]2M m L s s a a M m g

μμμμμμ-+≥-=-=+-v v v ⑤ （2）由⑤式知，当满足条件

2

12212112()()2[()]M m L s s M m g

μμμμμμ-+<-=+-v

时，重物B 与车厢前壁必定发生碰撞。

设从开始制动到发生碰撞时的时间间隔为t ，此时有几何条件

21()()s t s t L =+ ⑥

这里又可分为两种情况：12t t t >>（重物在卡车停下后与车厢前壁发生碰撞）和1t t ≤（重物在卡车停下前与车厢前壁发生碰撞）。

（i ）12t t t >>，即卡车A 在1t 时停下，重物B 继续运动，在t 时与车厢前壁发生碰撞。

卡车停下的时间和向前滑动的距离是②给出的1t 和1s ，同时重物相对于地面向前滑动的距离是

[][]22

01212

121202

1121

2

(2)2() 2()s t a t M M m g M m μμμμμμμ'=--+-=

+-v v ⑦ 重物相对于车厢向前滑动的距离是

[][][]22

121200212

11211220

122112(2)2()2()2()()() 2()M M m M

s s g M m g M m M m M g

M m μμμμμμμμμμμμμμμ-+-'-=-

+-+--+=

+-v v v

如果

2121s s L s s '-<<-， 即当

22

1200

1221122112()()()()2[+()]2[()]v v μμμμμμμμμμμ-+-+<<-+-m M M M m L M m g M m g

满足时，在车已停稳后重物仍会向前运动并且撞上车厢前壁。

从制动到重物B 与车厢前壁碰撞前，重物B 克服摩擦力做功。设在碰撞前的瞬间重物B 相对地面的速度为2v ，由动能定理有 22

202111()22

m m mg s L μ=-+v v ⑧ 由⑧式得

2=v

设碰撞后瞬间重物B 与卡车A 的速度均为v ，由于碰撞时间极短，碰撞前后动量守恒 2()m m M =+v v ⑨ 由⑨式得

2m m M =

=+v v

碰撞过程中重物B 对车厢前壁的冲量为

0I M =-v ⑩

碰撞后，卡车和重物又一起运动了一段时间

()2

11m t g m M g μμ'==+v v ? 再移动了一段路程

2

2

2

12012211112()()222()()M m m s gL g m M g M m μμμμμμμμ??-+'=-??++-??

v v = ? 才最终停止下来（对于卡车而言，这是第二次停下来）。

重物撞上车厢前壁的时间是

0222t g

μ-'=v v ?

所以，从卡车制动到车和重物都停下所用的总时间为

(i)020222

21221021()() m m

t t t g g M m g g g M m g μμμμμμ??-''=+=+=--??++??

=v v v v v v ?

卡车移动的总路程则为

22

2(i)

112021112

11121[()()]=+2()[()]()M m M m m L s s s m M M m g m M μμμμμμμμμ++-'=-++-+v ? （ii ）1t t ≤，即卡车还未停下，重物就与车厢前壁发生碰撞 由⑨式的推导可知，条件1t t ≤可写成

2120

2112()()2[()]

v μμμμμ-+≤+-m M M L M m g

由匀减速运动学公式，⑥式成为

22020111

()22

v v -=-+t a t t a t L

解得碰撞发生的时间

==t

在碰撞前的瞬间，卡车A 的速度1'v 和重物B 的速度2'v 分别为

1010v v v '=-=-a t a

，2020v v v '=-=-a t a ?

由碰撞前后动量守恒，可得碰撞后重物B 和卡车A 的共同速度'v 为

2100m M m M μ''+'==-+=-v v v v v ?

由冲量定理和以上两式得碰撞过程中重物B 对车厢前壁的冲量为

1()I M '''=-=v v ?

卡车运动时间为碰撞前后的两段时间之和，由t =?式可得

(ii)011t t g g

μμ'

=+

=v v ? 卡车总路程等于碰前和碰后两段路程之和

22(ii)

20101111222mL s t a t g g M m

μμ'=++=-+v v v ?

[另解，将卡车和重物视为一个系统，制动过程中它们之间的摩擦力和碰撞时的相互作用力

都是内力，水平外力只有地面作用于卡车的摩擦力

1)M m g μ+（。在此力作用下系统质心做加速度大小为g 1μ的匀减速运动，从开始到卡车和重物都停止时所经历的时间为

(ii)01t g

μ=v

?

系统质心做匀减速运动的路程为

20

12c x =g μ?v

设制动前卡车和重物的质心分别位于1x 和2x ；制动后到完全停下卡车运动了路程(ii)1s ，两个

质心分别位于(ii)111x x s '=+和(ii)

2

21+x x s L '=+。于是有 2(II)

0121211()=2c Mx mx Mx mx M m s mL

x M m M m M m g

μ''++++?-==+++v

由此解得

2(ii)

0112mL s g M m

μ=-+v ? ]

评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤式各2分；第（2）30分，⑥式2分，⑦⑧⑨⑩?????式各2分，?????式各2分。

四、（40分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O 点与O 1点为圆心的导电半圆弧内切于M 点，半圆O 的半径为2a ，半圆O 1的半径为a ；两个半圆弧和圆O 的半径ON 围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B ；其余区域没有磁场。

半径OP 为一均匀细金属棒，以恒定的角速度ω 绕O

点顺时针旋转，旋转过程中金属棒OP 与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP 电阻为R ，

两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P 点与M 点重合。在t （π

0t ω

≤≤）时刻，半径OP 与半

圆O 1交于Q 点。求

（1）沿回路QPMQ 的感应电动势；

（2）金属棒OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小。 解：

（1）考虑从初始时刻0t =至时刻π

02t ω

≤≤

，金属棒OP 扫过的磁场区域的面积为 11O QO OPM O QM S S S S ?=--扇形扇形 ①

式中，OPM S 扇形、1O QM S 扇形和1O QO S ?分别是扇形OPM 、扇形O 1QM 和1O QO ?的面积。由几何关系得

2OPM 1

()(2)2S t a ω=扇形 ②

12O QM 1

(2)2S t a ω=扇形 ③

1O QO (sin )(cos )S a t a t ωω?= ④ 由①②③④式得

21

(2sin2)2S t t a ωω=- ⑤

通过面积S 的磁通量为

BS φ= ⑥ 由法拉第电磁感应定律得，沿回路QPMQ 的感应电动势为 d dt

φ

ε=-

⑦ 式中，负号表示感应电动势沿回路逆时针方向（即沿回路QPMQ ）。由⑤⑥⑦式得 2π

(1cos2), 02

t a B t εωωω=--≤≤

⑧

1

当

ππ2t ωω≤≤时，沿回路QPMQ 的感应电动势与π

2t ω

=

时的一样，即 2π

2,

π2

a B t εωω=-≤≤ ⑨ （2）在t 时刻流经回路QPMQ 的电流为 1

i R ε

= ⑩

式中

12L

R R

a

= ? 这里，L 为PQ 的长。由几何关系得 π

22cos , 02

L a a t t ωω=-≤≤ ? π

2,

π2

L a t ω=≤≤ ? 半径OP 所受到的原磁场B 的作用力的大小为

F iLB = ? 由⑧⑩???式得

322π

(1cos2), 02a B F t t R ωωω=-≤≤ ?

由⑨⑩???式得

324π

, π.2a B F t R ωω=≤≤ ?

评分参考：第（1）问22分，①②③④⑤式各2分，⑥⑦式各4分，⑧⑨式各2分；

第（2）问18分，⑩式4分，???式各2分，?式4分，??式各2分。

五、（40分）某种回旋加速器的设计方案如俯视图a 所示，图中粗黑线段为两个正对的极板，其间存在匀强电场，两极板间电势差为U 。两个极板的板面中部各有一狭缝（沿OP 方向的狭长区域），带电粒子可通过狭缝穿越极板（见图b ）；两细虚线间（除开两极板之间的区域）既无电场也无磁场；其它部分存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面。在离子源S 中产生的质量为m 、带电量为q （0q >）的离子，

由静止开始被电场加速，经狭缝中的O 点进入磁场区域，O 点到极板

右端的距离为D ，到出射孔P 的距离为bD （常数b 为大于2的自然数）。已知磁感应强度大小在零到max B 之间可调，离子从离子源上方的O 点射入磁场区域，最终只能从出射孔P 射出。假设如果离子打到器壁或离子源外壁则即被吸收。忽略相对论效应。求 （1）可能的磁感应强度B 的最小值； （2）磁感应强度B 的其它所有可能值； （3）出射离子的能量最大值。 解：

（1）设离子从O 点射入磁场时的速率为v ，由能量守恒得

21

2qU m =v ①

由①式得

v ② 设离子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r ，有

2

qB m r =v v ③

由②③式得

r ④

图a

图b

若

2bD r >

或 22

D bD r << 则离子只能打到器壁或离子源外壁被吸收，不能从P 射出。若离子从O 射出后只运动半个圆周即从P 射出，则

2

bD

r =

⑤ 将⑤式代入④式得，电子能够从P 出射，可能的磁感应强度B 的最小值为

min B = ⑥

（2）若

2

D r <

则离子将穿过上极板进入电场区域，被减速到零后，又重新反向加速至进入时的速率，从进入处再回到磁场区域。设这样的过程进行了k 次，然后离子将绕过两极板右端从下极板进入电场区域被加速，再穿过上极板进入磁场时能量增加到2qU ，运动半径增加到

1r = ⑦ 这样加速n 次后，离子做圆周运动的半径n r 为

n r = ⑧ 当满足条件

)2

n bD

kr r k r +== ⑨ 或

r =

时，离子可从P 处射出。另一方面，显然有1k ≥，且

22(1)kr D k r ≤<+ ⑩

解得

2(1)2

D D

r k k <≤+ ?

由⑨⑩?式有

)

)

2(1)

2

2D bD D k k k k

+<

≤++ ?

解得

222

(1)1[(1)]1b k n b k b --≤<-+- ? 由④?式可得

max

22

D a k r ≤

=

≡

?

式中max r 是当max B B =时由④式定出的。因此k 为不大于

2

a 的最大自然数2a ??????

2a k ??

????

≤ ?

由④⑨式知，磁感应强度B 的其它所有可能值为

B ==

?

式中 {}{}{}2222222222222222

222

2

2

2221(1)1(1)(1)1212

2(1)21(1)2(1)212(1)23

(1)31

(1)3(1)313(1)2

(1)1(1)(1)1

(1)2222

2k n

b b b b b b b b b b b b b b a a a a a b b b b b ----+------+-+-----+-+-??????????

??----+-+??????????????????

??

????

2

2- ?

（3）离子被电场加速了1n +次后，其出射能量为

(1)E n q U =+ ?

对于满足?式的k ，n 可以取到最大值为2[(1)]2b k b -+-，再由?式，可得出射离子的能量最大值为

2

max max

(1)(1)12b b a E n qU qU -+????

????=+=-??????????????

?

评分参考：第（1）问12分，①②③④⑤⑥式各2分；第（2）问23分，⑦⑧式各2分，⑨式4分，??????式各2分，?式3分；第（3）问5分，?式3分，?式2分。

六、（40分）1914年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm 760nm ）内的光谱线。仅考虑一维正碰。 （1）求该氢原子能发出的可见光的波长； （2）求加速后电子动能k E 的范围；

（3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。

已知1240nm eV hc =?，其中h 为普朗克常数，c 为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的1836倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。 解：

（1）由氢原子的能级公式

213.6eV

, 1,2,

n E n n =-= ①

可得氢原子的能级图如图所示。

可见光光子能量的上限1E '和下限2

E '分别为 11

1240nm eV

3.10eV 400nm hc

E λ?'=

== ②

2

2

1240nm eV

1.63eV 760nm

hc

E λ?'==

= ③

要能观察到可见光范围内的光谱线，发生跃迁的两能级的能量之差应在可见光的能量范围

1.63eV ~3.10eV ④

内。要仅能观察到一条可见光范围内的光谱线，由氢原子的能级图可知，只能将氢原子激发到第二激发态，即能级

3n = ⑤ 氢原子第二激发态（3n =）到第一激发态（2n =）的能量差为

3232( 1.51eV)( 3.4eV) 1.89eV E E E =-=---= ⑥ 氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态所发出的可见光的波长为

32

656nm hc

E λ=

= ⑦ （2）要使氢原子能激发到能级3n =，需要提供的能量至少为

3131( 1.51eV)(13.60eV)12.09eV E E E =-=---= ⑧

设电子质量为e m ，电子碰撞前后的速度分别为1v 和2v ，氢原子碰撞前后的速度分别为10u ≈（由题意）和2u ，电子因激发氢原子而损失的能量为E ?（被氢原子吸收为激发能）。由动

-13.6

-3.40

-1.51

-0.850ev

量和能量守恒有

e 1e 22m m Mu =+v v ⑨ 222

e 1e 22111222

m m Mu E =++?v v ⑩ 由⑨⑩式消去2u ，得

222

e e 2e 12e e 1()2()20m M m m m m M M E +-+-+?=v v v v ?

此式是关于2v 的一元二次方程。注意到2v 为实的常量，故方程?的系数应满足条件

222e

1e e e e 1(2)4()[()2]0m m M m m m M M E --+-+?≥v v ? 化简得

2

e e 11(1)2k m E m E M ≡≥+?v ?

要使原子从基态仅激发到第二激发态，E ?应满足

3141E E E ≤?< ? 式中31E 已由⑧式给出，而

4141(0.85eV)(13.60eV)12.75eV E E E =-=---= ? 由???式得

e e 31k 41(1)(1)m m

E E E M M

+≤<+ ? 由?式和题给条件得

k 12.10eV 12.76eV E ≤< ? （3）如果将电子改为质子，?式成为

p p 3141(1)(1)k m m E E E M

M

+

≤<+

?

式中p m 为质子的质量。由?式和题给条件得

k 24.17eV 25.49eV E ≤< ? 设加速质子的加速电压为V 。由

k eV E = （e 为质子电荷） 和?式得

24.17V <25.49V V ≤ ?

评分参考：第（1）问14分，①②③④⑤⑥⑦式各2分；第（2）问20分，⑧⑨式各2分，⑩式各3分，?式2分，?式4分，?式2分，?式1分，??式各2分；第（3）问6分，???式各2分。

七、（40分）如气体压强-体积图所示，摩尔数为ν的双原子理想气体构成的系统经历一正循环过程（正循环指沿图中箭头所示的循环），其中自A 到B 为直线过程，自B 到

A 为等温过程。双原子理想气体的定容摩尔热容为5

2R ， R 为气体常量。

（1）求直线AB 过程中的最高温度；

（2）求直线AB 过程中气体的摩尔热容量随气体体积变化的关系式，说明气体在直线AB 过程各段体积范围内是吸热过程还是放热过程，确定吸热和放热过程发生转变时的温度c T ； （3）求整个直线AB 过程中所吸收的净热量和一个正循环过程中气体对外所作的净功。 解：

（1）直线AB 过程中任一平衡态的气体压强p 和体积V 满足方程 0

000

00

222

V V P P P V P V -

-=

-- 此即

000

3

2P P P V V =

- ① 根据理想气体状态方程有

PV RT ν= ②

式中T 是相应的绝对温度。由①②式得

2

20000

000013392416P P PV T V PV V V R V RV R ννν??-??=-+=-+ ? ?????

③ 由③式知，当

03

4V V = ④

时，气体达到直线AB 过程中的最高温度 00

max 916PV T R

ν=

⑤ （2）由直线AB 过程的摩尔热容量m C 的定义有

m dQ C dT ν= ⑥ 由热力学第一定律有

dU dQ PdV =- ⑦ 由理想气体内能公式和题给数据有

P 0P

52

V R

dU C dT dT νν== ⑧ 由①⑥⑦⑧⑨式得

0m 0053

122V P P dV dV C C R P V dT V dT νν??=+=+- ?

??

⑨ 由③式两边微分得

0002(34)

RV dV

dT P V V ν=

- ⑩ 由⑩式代入⑨式得

0m 02124342

V V R

C V V -=

- ?

由⑥⑩?式得，直线AB 过程中， 在V 从

02V 增大到03

4

V 的过程中，m 0C >，0dT dV >，故0dQ dV >，吸热 ? 在V 从03

4V 增大到02124V 的过程中，m 0C <，0dT dV <，故0dQ dV >，吸热 ?

在V 从

02124

V 增大到0V 的过程中，m 0C >，0dT dV <，故0dQ

dV <，放热 ?

由???式可知，系统从吸热到放热转折点发生在

c 021

24

V V V ==

处。由③式和上式得

2000

c 001335264P PV T V PV R V R νν??=

-+= ???

? （3）对于直线AB 过程，由⑥⑩式得 0m

0000

212421644V V dT V

dQ C dV P dV P dV dV V V ν-??

===- ???

? 将上式两边对直线过程积分得，整个直线AB 过程中所吸收的净热量为 0

00

20

0000

0/2/22162133448V V V V V

V Q P dV P V PV V V ????

=-

=-= ? ??

????直线 ? 直线AB 过程中气体对外所作的功为

00000013

()()2228P V W P V PV =+-=直线 ?

等温过程中气体对外所作的功为

000

/2

/2

0000

ln 222

V V V V V PV

dV W PdV P V =

=

=-?

?

等温 ?

一个正循环过程中气体对外所作的净功为

003ln2

()82W W W PV =+=-直线等温 ?

评分参考：第（1）问10分，①②式各3分，④⑤式各2分；第（2）问20分，⑥⑦⑧⑨⑩?????式各2分；第（3）问10分，?????式各2分。

八、（40分）菲涅尔透镜又称同心圆阶梯透镜，它是由很多个同轴环带套在一起构成的，其迎光面是平面，折射面除中心是一个球冠外，其它环带分别是属

于不同球面的球台侧面，其纵剖面如右图所示。这样的结构可以避免普通大口径球面透镜既厚又重的缺点。菲涅尔透镜的设计主要是确定每个环带的齿形（即它所属球面的球半径和球心），各环带都是一个独立的（部分）球面透镜，它们的焦距不同，但必须保证具有共同的焦点（即图中F 点）。已知透镜材料的折射率为n ，从透镜中心O （球冠的顶点）到焦点F 的距离（焦距）为f （平行于光轴的平行光都能经环带折射后会聚到F 点），相邻环带的间距为d （d 很小，可忽略同一带内的球面像差；d 又不是非常小，可忽略衍射效应）。求 （1）每个环带所属球面的球半径和球心到焦点的距离； （2）该透镜的有效半径的最大值和有效环带的条数。 解：

（1）考虑单个球面的折射。如图，设某一与光轴距离为h 的光线平行于光轴Z 从折射率为n 的介质中射向半径为R 、球心位于C 点的球面，入射点为球面上的A 点，CA 为球面半径，入射角为α，球面

外是空气，折射角为β，折射线与Z 轴交点为F 。由A 作Z 轴的垂线，垂足为O 。由折射定律，有

sin sin n βα=， ① 在ACF ?中，由正弦定理有

α

βsin AF

sin CF = ② 在AOF ?中，由勾股定理有

F

Z

22OF AO AF +=

③

22AO CO CA +==R ④

又

OF CF CO -=，h =AO ，f =OF ， ⑤ 由①②③④⑤式得

2

2

CF f h n += ⑥

R == ⑦

在制作给定焦点和焦距的菲涅尔透镜时，应按⑥⑦式来确定各环带球面的球心位置和球半径，即对第k （0,1,2,

k =）个环带球台，其球心在光轴上与焦点的距离应为

C F k = ⑧ 球半径则为

k R = ⑨

特别地，位于透镜中心的环带（0k =）球心与焦点距离为

0C F nf = ⑩ 球半径为

0(1)R n f =- ?

（2）当f 不变而h 取某一值m h 时，图中CAF ∠成为直角，这意味着光线的入射角达到全反射的临界角C α。在此情况下有

C 1sin n α= ?

由?式得

m h = ?

这就是透镜能够达到的最大有效半径。透镜的最大有效环带数m k

的最

大整数

m k = ? 评分参考：第（1）问27分，①式5分，②③④⑤⑥⑦⑧式各2分，⑨式4分，⑩?式各2分；第（2）问13分，?式5分，??式各4分。

26全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(全Word版)

最新全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 说明：所有答案 （包括填空）必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。 一、（12分）2013年6月20日，“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目标飞行器里成功进行了我国首次太空授课. 授课中的一个实验展示了失重状态下液滴的表面张力引起的效应. 视频中可发现漂浮的液滴处于周期性的“脉动”中（平时在地球表面附近，重力的存在会导致液滴下降太快，以至于很难观察到液滴的这种“脉动”现象）. 假设液滴处于完全失重状态，液滴的上述“脉动”可视为液滴形状的周期性的微小变化（振动），如图所示. （1）该液滴处于平衡状态时的形状是__________； （2）决定该液滴振动频率f 的主要物理量是________________________________________； （3）按后面括号中提示的方法导出液滴振动频率与上述物理量的关系式.（提示：例如，若认为,,a b c 是决定该液滴振动频率的相互独立的主要物理量，可将液滴振动频率f 与,,a b c 的关系式表示为αβγ∝f a b c ，其中指数,,αβγ是相应的待定常数.） 二、(16分) 一种测量理想气体的摩尔热容比/p V C C γ≡的方法（Clement-Desormes 方法）如图所示：大瓶G 内装满某种理想气体，瓶盖上通有一个灌气（放气）开关H ，另接出一根U 形管作为压强计M ．瓶内外的压强差通过U 形管右、左两管液面的高度差来确定. 初始时，瓶内外的温度相等，瓶内气体的压强比外面的大气压强稍高，记录此时U 形管液面的高度差i h ．然后打开H ，放出少量气体，当瓶内外压强相等时，即刻关闭H . 等待瓶内外温度又相等时，记录此时U 形管液面的高度差f h ．试由这两次记录的实验数据i h 和f h ，导出瓶内 气体的摩尔热容比γ的表达式．（提示：放气过程时间很短，可视为无热量交换；且U 形管很细，可忽略由高差变化引起的瓶内气体在状态变化前后的体积变化） 三、（20分）如图所示，一质量为m 、底边AB 长为b 、等腰边长为a 、质量均匀分布的等腰三角形平板，可绕过光滑铰链支点A 和B 的水平轴x 自由转动；图中原点O 位于AB 的中点，y 轴垂直于板面斜向上，z 轴在板面上从原点O 指向三角形顶点C . 今在平板上任一给定点000M (,0,)x z 加一垂直于板面的拉 振动的 液滴 M 0 A B x Q ? O y z C

第24届全国中学生物理竞赛复赛试题(WORD版)

第24届全国中学生物理竞赛复赛试卷 （本题共七大题，满分160分） 一、（20分）如图所示，一块长为m L 00.1=的光滑平板PQ 固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期s T 00.2=。一小球B 放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P 端的正上方，到P 端的距离为m h 80.9=。平板静止在其平衡位置。水球B 与平板PQ 的质量相等。现给小球一水平向右的速度0μ，使它从水平台面抛出。已知小球B 与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ 发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，0μ的值应在什么范围内？取2 /8.9s m g = 二、（25分）图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与AB 杆和CD 杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示） 三、（20分）如图所示，一容器左侧装有活门1K ，右侧装有活塞B ，一厚度可以忽略的隔板M 将容器隔成a 、b 两室，M 上装有活门2K 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为P 0、温度为T 0的大气中。

第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(精美word版)

第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 2014年9月20日 一、（12分） （1）球形 （2）液滴的半径r 、密度ρ和表面张力系数σ（或液滴的质量m 和表面张力系数σ） （3）解法一 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为αβγρσ=f k r ① 式中，比例系数k 是一个待定常数. 任一物理量a 可写成在某一单位制中的单位[]a 和相应的数值{}a 的乘积{}[]=a a a . 按照这一约定，①式在同一单位制中可写成 {}[]{}{}{}{}[][][]αβγαβγρσρσ=f f k r r 由于取同一单位制，上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式，因而 [][][][]αβγρσ=f r ② 力学的基本物理量有三个：质量m 、长度l 和时间t ，按照前述约定，在该单位制中有 {}[]=m m m ，{}[]=l l l ，{}[]=t t t 于是 [][]-=f t 1 ③ [][]=r l ④ [][][]ρ-=m l 3 ⑤ [][][]σ-=m t 2 ⑥ 将③④⑤⑥式代入②式得[][]([][])([][])αβγ---=t l m l m t 132 即[][][][]αββγγ--+-=t l m t 132 ⑦ 由于在力学中[]m 、[]l 和[]t 三者之间的相互独立性，有 30αβ-=， ⑧ 0βγ+=， ⑨ 21γ= ⑩ 解为311 ,,222αβγ=-=-= ?将?式代入①式得 σρ=f k r 3 解法二 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为αβγρσ=f k r ① 式中，比例系数k 是一个待定常数. 任一物理量a 可写成在某一单位制中的单位[]a 和相应的数值{}a 的乘积{}[]=a a a . 在同一单位制中，①式两边的物理量的单位的乘积必须相等[][][][]αβγρσ=f r ② 力学的基本物理量有三个：质量M 、长度L 和时间T ，对应的国际单位分别为千克（kg ）、米（m ）、秒（s ）. 在国际单位制中，振动频率 f 的单位[]f 为s -1 ，半径r 的单位[]r 为m ，密度ρ的单位[]ρ为 3kg m -?，表面张力系数σ的单位[]σ为1 2 1 2N m =kg (m s )m kg s ----????=?，即有 []s -=f 1 ③ []m =r ④ []kg m ρ-=?3 ⑤ []kg s σ-=?2 ⑥ 若要使①式成立，必须满足 () ()s m kg m kg s (kg)m s β γ αβγαβγ ---+--=??=??13232 ⑦ 由于在力学中质量M 、长度L 和时间T 的单位三者之间的相互独立性，有 30αβ-=， ⑧ 0βγ+=， ⑨

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案(word版)

第28届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年。1986年它过近日点P0时，与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离。经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°.已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10-11m3?kg-1?s-2，太阳质量m S=1.99×1030kg.试求P到太阳S的距离r P及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。 二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA， B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆A B和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l. （1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。 （2）若μA=1.00，μC=0.866，θ=60.0°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

三、（25分）人造卫星绕星球运行的过程中，为了保持其对称轴稳定在规定指向，一种最简单的办法就是让卫星在其运行过程中同时绕自身的对称轴旋转。但有时为了改变卫星的指向，又要求减慢或者消除卫星的旋转。减慢或者消除卫星旋转的一种方法是所谓的“YO—YO”消旋法，其原理如图。 设卫星是一半径为R、质量为M的薄壁圆筒，其横截面如图所示。图中O是圆筒的对称轴。两条足够长的不可伸长的结实的长度相等的轻绳的一端分别固定在圆筒表面上的Q、Q'（位于圆筒直径两端）处，另一端各拴有一质量为m/2的小球。正常情况下，绳绕在圆筒外表面上，两小球用插销分别锁定在圆筒表面上的P0、P0'处，与卫星形成一体，绕卫星的对称轴旋转。卫星自转的角速度为ω0.若要使卫星减慢或停止旋转（消旋），可瞬间撤去插销释放小球，让小球从圆筒表面甩开，在甩开的整个过程中，从绳与圆筒表面相切点到小球的那段绳都是拉直的。当卫星转速逐渐减小到零时，立即使绳与卫星脱离，接触小球与卫星的联系，于是卫星停止转动。已知此时绳与圆筒的相切点刚好在Q、Q'处。试求： （1）当卫星角速度减至ω时绳拉直部分的长度l； （2）绳的总长度L； （3）卫星从ω0到停转所经历的时间t. m /2

第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题(含答案)

第十九届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（20分）某甲设计了1个如图复19-1所示的“自动喷泉”装置，其中A 、B 、C 为3个容器，D 、E 、F 为3根细管，管栓K 是关闭的．A 、B 、C 及细管D 、E 中均 盛有水，容器水面的高度差分别为1h 和1h 如图所示．A 、B 、C 的截 面半 径为12cm ，D 的半径为0.2cm ．甲向同伴乙说：“我若拧开管栓K ，会有水从细管口喷出．”乙认为不可能．理由是：“低处的水自动走向高外，能量从哪儿来？”甲当即拧开K ，果然见到有水喷出，乙哑口无言，但不明白自己的错误所在．甲又进一步演示．在拧开管栓K 前，先将喷管D 的上端加长到足够长，然后拧开K ，管中水面即上升，最后水面静止于某个高度处． (1)．论证拧开K 后水柱上升的原因． (2)．当D 管上端足够长时，求拧开K 后D 中静止水面与A 中水面的高度差． (3)．论证水柱上升所需能量的来源． 二、 (18 分) 在图复19-2中，半径为R 的圆柱形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸外， 磁感应强度B 随时间均匀变化，变化率/B t K ??=(K 为一正值常量),圆柱形区外空间没有磁场，沿图中AC 弦的方向画一直线，并向外延长，弦AC 与半径OA 的夹角/4απ=．直线上有一任意点，设该点与A 点的距离为x ，求从A 沿直线到该点的电动势的大小． 三、（18分）如图复19-3所示，在水平光滑绝缘的桌面上，有三个带正电的质点1、2、3，位于边长为l 的等边三角形的三个顶点处。C 为三角形的中心，三个质点的质量皆为m ，带电量皆为q 。质点 1、3之 间和2、3之间用绝缘的轻而细的刚性杆相连，在3的连接处为无摩擦的铰链。已知开始时三个质点的速度为零，在此后运动过程中，当质点3运动到C 处时，其速度大小为多少？ 四、（18分）有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数．在图复19-4-1中，E 为电压可调的直流电源。K 为开关，L 为待测线圈的自感系数，L r 为线圈的直流电阻，D 为理想二极管，r 为用电阻丝做成的电阻器的电阻，A 为电流表。将图复19-4-1中a 、b 之间的电阻线装进图复19-4-2所示的试管1内，图复19-4-2中其它装置见图下说明．其中注射器筒5和试管1组成的密闭容器内装有

22全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

最新 全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量； 2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件. 三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令m L λ= 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 k E k L αβγλω= 式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g . 提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为

第37届全国中学生物理竞赛复赛试题解析,附试卷及答案

总评 这套题作为复赛题的难度还是比较大的。从这套题我们大概可以看出来，计算量增大、基础知识向大学普通物理靠拢（甚至直接用普通物理作为最底层的基础）、微积分作为最基本的数学工具、题目模型直接采用现实科研前沿模型已经成为物理竞赛的趋势。这一套题从题型、模型新颖程度、计算量和阅读分析能力上来看逐渐向国际比赛的风格靠拢，是一套非常优秀的考题（虽然对于基础不扎实的考生来说并不友好）。 第一题 热学题，采用了现实生活中的装置作为模型，比较考验抽象出模型的能力。该题计算量较大，加上需要自己理解模型，对于未经过此类建模计算题目训练的同学难度较大。较有区分度。 第二题 这套卷子为数不多的较为常规的题目。第一问考察刚体的动力学，第二题运动学分析。考查基础知识，对刚体力学基础扎实的同学来说应该不难。但要注意计算的仔细程度，第二问的运动学量矢量运算稍显复杂。 第三题 考察交流电路系统。需要对交流电路的微分方程有一个扎实的基础知识。虽然这道题给出了解的形式降低了一部分难度，但是具体的计算量还是较大的。对于理解谐振系统的解的物理意义的要求也很高。同时交流电也是一个冷门考点，如果考生在备赛的时候忽略了这一部分知识的复习，那么这道题拿到高分的希望渺茫。 第四题 基础的高能粒子物理题目。回旋加速器应该是很常见的模型，具体原理应该要求考生掌握。这套卷子中的常规送分题目，要把握好。 第五题

相对论题目，内容比较基础，但涉及到繁杂的参照系变换。对于在平时学习中弄不清参照系变换的考生有极大的考验。并且由于过程繁杂，这道题对考生的细心程度和阅读理解能力造成了了不小的考验。 第六题 光学题，并且和相对论结合。这道题的模型和科研前沿结合较为紧密，并考察了光在介质中的传播的相对论变换。计算量相对不大，但对于平时只练习常规题目的考生来说是个很大的挑战。 第七题 引力波。这直接用了近年来的科研最前沿的模型。但冷静分析后在这道题里面引力波只是一个“能量损失的原因”，并不需要分析引力波的具体物理机制。第一问考察量纲分析的基础知识，后两问是一个能量逐渐损失的二体运动，需要由能量损失计算角速度随时间的关系然后积分求角位移。物理实质实际上很简单，但计算量较大。 第八题 实际上如果学过光的偏振的话，这道题实际上很简单，都是基础知识，除了阅读量比较大。但问题是……它考的是偏振。光的偏振是比较难的知识，在竞赛中也是新加入考纲，以前考的并不多（或者是复赛从来没考过？），加上这是最后一题，考虑到紧张等其他因素，没学好这一部分知识的同学基本上不会得到很多分数…… 试卷

第届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案

第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题 一、（15分）一半径为R 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v (00≠v ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 二、（20分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m 的小物块D 和一质量为m α（α为常数）的小物块B ，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m 的小环C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l ，劲度系数为k ，两端分别与小环C 和物块B 相连. 一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D ，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C 恰好静止在距轴为r （r >l ）处. 1. 若碰前滑块A 的速度为0v ，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量； 2. 若碰后物块D 、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v 应满足的条件.

三、（25分）一质量为m 、长为L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆， 1. 令m L λ= 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度ω绕过其一端的光滑水平轴O 在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为 k E k L αβγλω= 式中，k 为待定的没有单位的纯常数. 已知在同一单位制下，两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相等. 由此求出α、β和γ的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k 的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O 点为r 处的横截面两侧部分的相互作用力. 重力加速度大小为g . 提示：如果)(t X 是t 的函数，而))((t X Y 是)(t X 的函数，则))((t X Y 对t 的导数为 d (())d d d d d Y X t Y X t X t = 例如，函数cos ()t θ对自变量t 的导数为 dcos ()dcos d d d d t t t θθθθ= 四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为R 、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成. 质量为m 、带电量为 q 的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总 是只有一滴液滴）. 液滴开始下落时相对于地面的高度为h . 设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g . 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势max V .

全国高中物理竞赛复赛试题及答案

第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷 全卷共七题，总分为140分。 一、（15分）图中a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心．己知取无限远处 的电势为零时，球表面处的电势为U =1000 V ．在 离球心O 很远的O ′点附近有一质子b ，它以 E k ＝2000 eV 的动能沿与O 'O 平行的方向射向a ．以l 表示b 与O 'O 线之间的垂直距离，要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求l 的最大值．把质子换成电子，再求l 的最大值． 二、（15分）U 形管的两支管 A 、B 和水平管C 都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为 2A 1.010S -=?cm 2， 2B 3.010S -=?cm 2，2C 2.010S -=?cm 2，在 C 管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度 为127t =℃时，空气柱长为l ＝30 cm （如图所示），C 中气柱两侧的水银柱长分别为 a ＝2.0cm ，b ＝3.0cm ，A 、B 两支管都很长，其中的水银柱高均为h ＝12 cm ．大气压强保持为 0p ＝76 cmHg 不变．不考虑温度变化时管和水 银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 t ＝97℃时空气的体积． 三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处A 和B ，分别将质量为M 的物体和质量为m 的待发射卫星同时自由释放，只要M 比m 足够大，碰撞后，质量为m 的物体，即待发射的卫星就会从通道口B 冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚 离开出口B 时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知M ＝20m ，地球半径0R ＝6400 km ．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．

33届全国中学生物理竞赛复赛真题2016年(整好)

第33届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。一束在真空中波长为λ的可见 光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为0 1.00n =。试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。 已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b. sin , 1x x x ≈<<当。 二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C ?，一加水员到实验园区给一内径为2.00 m 、高为2.00 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m 。 （1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C ?，问此时观察柱内 水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。 （2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。 已知罐外气压始终为标准大气压50 1.0110Pa p =?，水在4.0C ?时的密度为330 1.0010kg m ρ-=??，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为4 1 3.0310K κ--=?，重力加速度大小为29.80m s g -=?，绝对零度为 273.15C -?。 三、（20分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的318倍）。假设地球与木星均沿圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为s m 和j m ，引力常量为G 。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是e r 和j r 。假设在某个时刻，地球与太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为θ。这时若太阳质量突然变为零，求 （1）此时地球相对木星的速度大小ej v 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率0v 。 （2）试讨论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（1）中结果和数据30s 2.010kg m ≈?、27j 1.910kg m ≈?、木星公转周期j 12 y T ≈。 四、（20分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长为L 、质量为m 、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性绳的一端系在桥沿b ，绳的另一端系一质量为M 的小物块（模拟蹦极者）；假设M 比 m 大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和蹦极者的重力向下拉时 会显著伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为g 。 （1）求蹦极者从静止下落距离y （y L < ）时的速度和加速度的大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。 （2）求蹦极者从静止下落距离y （y L < ）时，绳在其左端悬点b 处张力的大小。 五、（20分）一种拉伸传感器的示意图如图a 所示：它由一半径为2r 的圆柱形塑料棒和在上面紧密缠绕N （1N >>）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为1r ，外表面均匀涂有厚度为t （12t r r <<<<）、电阻率为ρ的石墨烯材料；传感器两端加有环形电 极（与绳保持良好接触）。未拉伸时，缠绕的绳可视为N 个椭圆环挨在一起放置；该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹角为θ（见图a ），相邻两圈绳之间的接触电阻为c R 。现将整个传感器沿塑料棒轴向朝两端拉伸，绳间出现n 个缝隙，每个缝隙中刚好有一整圈绳，这圈绳被自动调节成由一个未封闭圆环和两段短直线段（与塑料棒轴线平行）串接而成（见图b ） 。假设拉伸前后

第33届全国物理竞赛复赛试题试题

第33届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 2016年9月17日 说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。 一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的 半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平 面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各 自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O 为 直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。一束在真空中波长为λ的可见光沿Z 轴负 方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为0 1.00n =。试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。 已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b. sin , 1x x x ≈<<当。 二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C ?，一加水员到 实验园区给一内径为2.00 m 、 高为2.00 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为 4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接 处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后， 加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水， 与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水 员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m 。 （1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C ?，问此时 观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。 （2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。

第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案

2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共八题，满分160分 一、（15分） 1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是0.033s 。假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量 113126.6710G m kg s ---=???，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下 限是 3 kg m -?。 2、（5分）在国际单位制中，库仑定律写成12 2 q q F k r =，式中静电力常量9228.9810k N m C -=???，电荷量q 1和q 2的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力F 的 单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式12 2q q F r = ，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式122q q F r =，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为1新单位= C 。 3、（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化规律为0cos(2/)B B t T π=，其中T 为磁场变化的周期。B 0为大于0的常量。当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向纸外。若持续地将初速度为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到t= 。

2017第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题和答案

第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 2017年9月16日 一、（40分）一个半径为r 、质量为m 的均质实心小圆柱被置于一个半径为R 、质量为M 的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g 。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内 底部附近作无滑滚动。 解： （1）如图，θ为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F ，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得 sin F mg ma θ-= ① 式中，a 是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度1θ（规定小圆柱在最低点时10θ=）与θ之间的关系为 1()R r θθθ=+ ② 由②式得，a 与θ的关系为 22122()d d a r R r dt dt θθ ==- ③ 考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 21 2d rF I dt θ-= ④ 式中，I 是小圆柱绕其自身轴的转动惯量 21 2 I mr = ⑤ 由①②③④⑤式及小角近似 sin θθ≈ ⑥ 得 22203() θθ+=-d g dt R r ⑦ 由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 f = ⑧ （2）用F 表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，1θ和2θ分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置120θθ==）。 对于小圆柱，由转动定理得 2 21 212θ??-= ???d Fr mr dt ⑨ 对于圆筒，同理有 222 2()θ=d FR MR dt ⑩

第26届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案.doc

第26届全国中学生物理竞赛复赛试卷 一、填空（问答）题（每题5分，共25分） 1．有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示。这种分布的静电场是否可能存在？试述理由。 2．海尔-波普彗星轨道是长轴非常大的椭圆，近日点到太阳中心的距离为0.914天文单位（1天文单位等于地日间的平均距离），则其近日点速率的上限与地球公转（轨道可视为圆周）速率之比约为（保留2位有效数字） 。 3．用测电笔接触市电相线，即使赤脚站在地上也不会触电，原因是 ；另一方面，即使穿绝缘性能良好的电工鞋操作，测电笔仍会发亮，原因是 。 4．在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为E 0，所有电阻器的电阻值均为R 0，所有电容器的电容均为C 0，则图示电容器A 极板上的电荷量为 。 5．如图，给静止在水平粗糙地面上的木块一初速度，使之开始运动。一学生利用角动量定理来考察 此木块以后的运动过程：“把参考点设于如图所示的地面上一点O ，此时摩擦力f 的力矩为0，从而地面木块的角动量将守恒，这样木块将不减速而作匀速运动。”请指出 上述推理的错误，并给出正确的解释： 。 二、（20分）图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A 、B 、C 、D 处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O 至角A 的连 线OA 上某点P 施加一竖直向下的力F ，令c OA OP ，求桌面对桌腿1的压力F 1。 三、（15分） 1．一质量为m 的小球与一劲度系数为k 的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问在一沿此弹簧长度方向以速度u 作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。 A

全国中学生物理竞赛复赛真题

精品文档 . 第33届全国中学生物理竞赛复赛试题 一、（20分）如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为1R 、2R ，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O 为直角坐标系O-XYZ 的原点，下侧柱面过切点O 的母线为X 轴，上侧柱面过切点O 的母线为Y 轴。一束在真空中波长为λ的可见 光沿Z 轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z 轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y 平面的投影。1R 和2R 远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为0 1.00n =。试推导第k 级亮纹在X-Y 平面的投影的曲线方程。 已知：a. 在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为π的相位突变。b. sin , 1x x x ≈<<当。 二、（20分）某秋天清晨，气温为4.0C ?，一加水员到实验园区给一内径为2.00 m 、高为2.00 m 的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为4.00 cm 的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为1.00 m 。 （1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0C ?，问此时观察柱内 水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。 （2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容量。 已知罐外气压始终为标准大气压50 1.0110Pa p =?，水在4.0C ?时的密度为330 1.0010kg m ρ-=??，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为4 1 3.0310K κ--=?，重力加速度大小为29.80m s g -=?，绝对零度为 273.15C -?。 三、（20分）木星是太阳系内质量最大的行星（其质量约为地球的318倍）。假设地球与木星均沿圆轨道绕太阳转动，两条轨道在同一平面内。将太阳、地球和木星都视为质点，忽略太阳系内其它星体的引力；且地球和木星之间的引力在有太阳时可忽略。已知太阳和木星质量分别为s m 和j m ，引力常量为G 。地球和木星绕太阳运行的轨道半径分别是e r 和j r 。假设在某个时刻，地球与太阳的连线和木星与太阳的连线之间的夹角为θ。这时若太阳质量突然变为零，求 （1）此时地球相对木星的速度大小ej v 和地球不被木星引力俘获所需要的最小速率0v 。 （2）试讨论此后地球是否会围绕木星转动，可利用（1）中结果和数据30s 2.010kg m ≈?、27j 1.910kg m ≈?、木星公转周期j 12 y T ≈。 四、（20分）蹦极是年轻人喜爱的运动。为研究蹦极过程，现将一长为L 、质量为m 、当仅受到绳本身重力时几乎不可伸长的均匀弹性绳的一端系在桥沿b ，绳的另一端系一质量为M 的小物块（模拟蹦极者）；假设M 比m 大很多，以至于均匀弹性绳受到绳本身重力和蹦极者的重力向下拉时 会显著伸长，但仍在弹性限度内。在蹦极者从静止下落直至蹦极者到达最下端、但未向下拉紧绳之前的下落过程中，不考虑水平运动和可能的能量损失。重力加速度大小为g 。 （1）求蹦极者从静止下落距离y （y L < ）时的速度和加速度的大小，蹦极者在所考虑的下落过程中的速度和加速度大小的上限。 （2）求蹦极者从静止下落距离y （y L < ）时，绳在其左端悬点b 处张力的大小。 五、（20分）一种拉伸传感器的示意图如图a 所示：它由一半径为2r 的圆柱形塑料棒和在上面紧密缠绕N （1N >>）圈的一层细绳组成；绳柔软绝缘，半径为1r ，外表面均匀涂有厚度为t （12t r r <<<<） 、电阻率为ρ的石墨烯材料；传感器两端加有环形电极（与绳保持良好接触）。未拉伸时，缠绕的绳可视为N 个椭圆环挨在一起放置；该椭圆环面与圆柱形塑料棒的横截面之间的夹角为θ（见图a ），相邻两圈绳之间的接触电阻为c R 。现将整个传感器沿塑料棒轴向朝两端拉伸，绳间出现n 个缝隙，每个缝隙中刚

第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案

第届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

2008年第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷 本卷共八题，满分160分 一、（15分） 1、（5分）蟹状星云脉冲星的辐射脉冲周期是。假设它是由均匀分布的物质构成的球体，脉冲周期是它的旋转周期，万有引力是唯一能阻止它离心分解的力，已知万有引力常量113126.6710G m kg s ---=???，由于脉冲星表面的物质未分离，故可估算出此脉冲星密度的下限是 3kg m -?。 2、（5分）在国际单位制中，库仑定律写成122 q q F k r =，式中静电力常量9228.9810k N m C -=???，电荷量q 1和q 2的单位都是库仑，距离r 的单位是米，作用力 F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式122q q F r = ，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式1 22q q F r =，式中距离r 的单位是米，作用力F 的单位是牛顿，由此式可这义一种电荷量q 的新单位。当用米、千 克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为1新单位= C 。 3、（5分）电子感应加速器（betatron ）的基本原理如下：一个圆环真空室处于分布在圆柱形体积内的磁场中，磁场方向沿圆柱的轴线，圆柱的轴线过圆环的圆心并与环面垂直。圆中两个同心的实线圆代表圆环的边界，与实线圆同心的虚线圆为电子在加速过程中运行的轨道。已知磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化B 0为大规律为0cos(2/)B B t T π=，其中T 为磁场变化的周期。 于0的常量。当B 为正时，磁场的方向垂直于纸面指向 纸外。若持续地将初速度为v 0的电子沿虚线圆的切线方向注入到环内（如图），则电子在该磁场变化的一个周期内可能被加速的时间是从t= 到 t= 。

32届中学生物理竞赛复赛试题(含答案)

第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 说明：所有解答必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。 一、（15分）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。图中p 、+e 和e ν分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始，质子p 与12C 核发生反应生成13N 核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环。已知+e 、p 和He 核的质量分别为0.511 MeV/c 2、1.0078 u 和4.0026 u （1u≈931.494 MeV/c 2），电子型中微子e ν的质量可以忽略。 （1）写出图中X 和Y 代表的核素； （2）写出一个碳循环所有的核反应方程式； （3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。 二、（15分）如图，在光滑水平桌面上有一长为L 的轻杆， 轻杆两端各固定一质量均为M 的小球A 和B 。开始时细杆 静止；有一质量为m 的小球C 以垂直于杆的速度0v 运动， 与A 球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。 （1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C 碰后的速度表 出）； （2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C 的速度和系统的动能。 三、（20分）如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成θ（π3π22 θ<<）角，并同时以角速度0ω（0ω的正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k ，重力加速度大小为g 。忽略空气阻力。 （1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度； （2）求使圆环在与地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度； （3）若让θ角可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、0v 和0ω应满足的条件。 四、（25分）如图，飞机在距水平地面（xz 平面）等高的航线KA （沿x 正方向）上，以大小为v （v 远小于真空中的光速c ）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P 点（其x 坐标为P x ）发射扇形无线电波束（扇形的角平 分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC （BC 随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P 点），取K 点在地面的正投影O 为坐标原点。已知BC 与航线KA 的距离为0R 。天线发出的无线电波束是周期性的等 幅高频脉冲余弦波，其频率为0f 。 （1）已知机载雷达天线经过A 点（其x 坐标为A x ）及 此后朝P 点相继发出无线电波信号，由P 反射后又被机 载雷达天线接收到，求接收到的回波信号的频率与发出 信号的频率之差（频移）。 （2）已知BC 长度为s L ，讨论上述频移分别为正、零 或负的条件，并求出最大的正、负频移。