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高中数学等差数列提高题(含答案解析)

等差数列提高题

第I卷

徐荣先汇编一．选择题（共20小题）

1．记S

n 为等差数列{a

}的前n项和．若a

=24，S

=48，则{a

}的公差为（）

A．1 B．2 C．4 D．8

2．等差数列{a

n }中，a

，a

是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a

}的前9

项和等于（）

A．﹣18 B．9 C．18 D．36

3．已知S

n 为等差数列{a

}的前n项和，若a

=10，则S

等于（）

A．30 B．45 C．60 D．120

4．等差数列{a

n }中，a

=5，a

=22，则{a

}的前8项的和为（）

A．32 B．64 C．108 D．128

5．设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

=24，则S

=（）

A．36 B．72 C．144 D．70

6．在等差数列{a

n }中，a

+3，则数列{a

}的前11项和S

=（）

A．24 B．48 C．66 D．132

7．已知等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=24，S

=63，则a

=（）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．一已知等差数列{a

n }中，其前n项和为S

，若a

=42，则S

=（）

A．98 B．49 C．14 D．147

9．等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=6，a

=1，则公差d等于（）

A．B．C．D．2

10．已知等差数列{a

n }的前n项和S

，其中且a

=20，则S

=（）

A．60 B．130 C．160 D．260

11．已知S

n 是等差数列{a

}的前n项和，若4S

+3S

=96，则S

=（）

A．48 B．24 C．14 D．7

12．等差数列{a

n }的前n项和为S

，且满足a

=20，则S

=（）

A．6 B．130 C．200 D．260

13．在等差数列{a

n }中，S

为其前n项和，若a

=25，则S

=（）

A．60 B．75 C．90 D．105

14．等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=﹣15，a

=﹣2，则公差d等于（）

A．5 B．4 C．3 D．2

15．已知等差数列{a

n }，a

=50，d=﹣2，S

=0，则n等于（）

A．48 B．49 C．50 D．51

16．设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若S

=﹣4，S

=6，则S

=（）

A．1 B．0 C．﹣2 D．4

17．设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

，a

是方程x2﹣18x+p=0的两根，那

么S

=（）

A．9 B．81 C．5 D．45

18．等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=15，a

=5，则公差d等于（）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2

19．等差数列{a

n }中，a

=39，a

=27，则数列{a

}的前9项的和S

等

于（）

A．66 B．99 C．144 D．297

20．等差数列{a

n }中，a

=3，S

为等差数列{a

}的前n项和，则S

=（）

A．3 B．4 C．5 D．6 二．选择题（共10小题）

21．设S

n 是等差数列{a

}的前n项和，已知a

=3，a

=11，则S

= ．

22．已知等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

=4，S

=3，则公差d= ．

23．已知等差数列{a

n }中，a

=1，a

=8，则数列{a

}的前n项和S

= ．

24．设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若公差d=2，a

=10，则S

的值是．

25．设{a

n }是等差数列，若a

=21，则S

= ．

26．已知等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

=9﹣a

，则S

= ．

27．设数列{a

n }是首项为1的等差数列，前n项和S

，S

=20，则公差为．

28．记等差数列{a

n }的前n项和为S

，若，则d= ，S

= ．

29．设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

=4，则S

= ．

30．已知等差数列{a

n }中，a

=2，a

=﹣2，则{a

}的前10项和为．

I卷答案

一．选择题（共20小题）

1．（2017?新课标Ⅰ）记S

n 为等差数列{a

}的前n项和．若a

=24，S

=48，则

}的公差为（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【解答】解：∵S

n 为等差数列{a

}的前n项和，a

=24，S

=48，

∴，

解得a

=﹣2，d=4，

∴{a

}的公差为4．故选：C．

2．（2017?于都县模拟）等差数列{a

n }中，a

，a

是函数f（x）=x2﹣4x+3的两

个零点，则{a

}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36

【解答】解：∵等差数列{a

n }中，a

，a

是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，

∴a

3+a

=4，

∴{a

n }的前9项和S

===．

故选：C．

3．（2017?模拟）已知S

n 为等差数列{a

}的前n项和，若a

=10，则S

等于（）

A．30 B．45 C．60 D．120

【解答】解：由等差数列的性质可得：．故选：C．

4．（2017?尖山区校级四模）等差数列{a

n }中，a

=5，a

=22，则{a

}的前8项

的和为（）

A．32 B．64 C．108 D．128

【解答】解：a

4+a

=2a

=22?a

=11，a

=5，

∴，

故选：B．

5．（2017?三模）设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

=24，则S

=（）

A．36 B．72 C．144 D．70 【解答】解：在等差数列{a

}中，

由a

2+a

=24，得：3a

+12d=24，即a

+4d=a

=8．

∴S

9=9a

=9×8=72．

故选：B．

6．（2017?一模）在等差数列{a

n }中，a

+3，则数列{a

}的前11项和S

=（）

A．24 B．48 C．66 D．132

【解答】解：在等差数列{a

n }中，a

+3，

∴，

解a

+5d=6，

∴数列{a

n }的前11项和S

=（a

）=11（a

+5d）=11×6=66．

故选：C．

7．（2017?三模）已知等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=24，S

=63，则a

（）

A．4 B．5 C．6 D．7

【解答】解：∵等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=24，S

=63，

∴，

解得a

=﹣1，d=2，

∴a

=﹣1+2×3=5．故选：B．

8．（2017?一模）一已知等差数列{a

n }中，其前n项和为S

，若a

=42，则

=（）

A．98 B．49 C．14 D．147

【解答】解：等差数列{a

n }中，因为a

=42，

所以3a

4=42，解得a

=14，

所以S

7==7a

=7×14=98，

故选A．

9．（2017?南关区校级模拟）等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=6，a

=1，则

公差d等于（）A．B．C．D．2

【解答】解：∵等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=6，a

=1，

∴，

解得，d=．故选：A．

10．（2017?一模）已知等差数列{a

n }的前n项和S

，其中且a

=20，则S

=（）

A．60 B．130 C．160 D．260

【解答】解：∵数列{a

}为等差数列，

∴2a

3=a

，即a

又∵a

=20，

∴d=S

13=?（a

）=?（a

）=?20=130

故选B．

11．（2017?龙门县校级模拟）已知S

n 是等差数列{a

}的前n项和，若4S

+3S

=96，

则S

=（）

A．48 B．24 C．14 D．7

【解答】解：设等差数列{a

}的公差为d，

∵4S

6+3S

=96，∴+=96，

化为：a

1+3d=2=a

．

则S

7==7a

=14．

故选：C．

12．（2017?模拟）等差数列{a

n }的前n项和为S

，且满足a

=20，则S

=（）

A．6 B．130 C．200 D．260

【解答】解：∵等差数列{a

n }的前n项和为S

，且满足a

=20，

∴S

13=（a

）=（a

）=20=130．

故选：B．

13．（2017?大东区一模）在等差数列{a

n }中，S

为其前n项和，若a

=25，

则S

=（）

A．60 B．75 C．90 D．105

【解答】解：∵等差数列{a

n }中，S

为其前n项和，a

=25，

∴3a

+12d=25，∴，

∴S

9==9a

=9×=75．

故选：B．

14．（2017?延边州模拟）等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=﹣15，a

=﹣2，

则公差d等于（）

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：∵等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=﹣15，a

=﹣2，

∴，

解得a

=﹣2，d=4．故选：B．

15．（2017?金凤区校级四模）已知等差数列{a

n }，a

=50，d=﹣2，S

=0，则n等

于（）

A．48 B．49 C．50 D．51

【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0 整理可得，n2﹣51n=0

∴n=51

故选D

16．（2017?一模）设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若S

=﹣4，S

=6，则S

=（）

A．1 B．0 C．﹣2 D．4

【解答】解：设等差数列{a

n }的公差为d，∵S

=﹣4，S

=6，∴d=﹣4，d=6，

解得a

=﹣4，d=2．

则S

=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．

17．（2017?南关区校级模拟）设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

，a

是方

程x2﹣18x+p=0的两根，那么S

=（）A．9 B．81 C．5 D．45

【解答】解：∵等差数列{a

n }的前n项和为S

，

a 4，a

是方程x2﹣18x+p=0的两根，那

∴a

4+a

=18，

∴S

===81．故选：B．

18．（2017?模拟）等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=15，a

=5，则公差d等

于（）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2

【解答】解：∵等差数列{a

n }的前n项和为S

，且S

=15，a

=5，

∴，

解得a

=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．

19．（2017?模拟）等差数列{a

n }中，a

=39，a

=27，则数列{a

}的前

9项的和S

等于（）

A．66 B．99 C．144 D．297

【解答】解：∵等差数列{a

n }中，a

=39，a

=27，

∴3a

3=39，3a

=27，解得a

=13，a

=9，

∴数列{a

}的前9项的和：

===．

故选：B．

20．（2017?二模）等差数列{a

n }中，a

=3，S

为等差数列{a

}的前n项和，

则S

=（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：∵等差数列{a

n }中，a

=3，

S n 为等差数列{a

}的前n项和，

∴a

2+a

=3a

=3，

解得a

=1，

∴S

5==5a

=5．

故选：C．

二．选择题（共10小题）

21．（2017?一模）设S

n 是等差数列{a

}的前n项和，已知a

=3，a

=11，则S

49 ．

【解答】解：∵a

2+a

∴

故答案是49

22．（2017?宝清县校级一模）已知等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

=4，S

=3，

则公差d= 3 ．

【解答】解：由等差数列的性质可得S

===3，

解得a

2=1，故公差d=a

﹣a

=4﹣1=3

故答案为：3

23．（2017?费县校级模拟）已知等差数列{a

n }中，a

=1，a

=8，则数列{a

}的

前n项和S

= n2．

【解答】解：设等差数列{a

}的公差为d，

∵a

1=1，a

=8，

∴2×1+3d=8，解得d=2．

则数列{a

n }的前n项和S

=n+=n2．

故答案为：n2．

24．（2017?四模）设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若公差d=2，a

=10，则S

的值是110 ．

【解答】解：∵等差数列{a

n }的前n项和为S

，若公差d=2，a

=10，

∴a

5=a

+4×2=10，

解得a

=2，

∴S

=10×2+=110．故答案为：110．

25．（2017?一模）设{a

n }是等差数列，若a

=21，则S

= 63 ．

【解答】解：∵{a

n }是等差数列，a

=21，

∴a

4+a

=3a

=21，解得a

=7，

∴=63．

故答案为：63．

26．（2017?三模）已知等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

=9﹣a

，则S

= 72 ．

【解答】解：由题意可得a

3+a

=18，

由等差数列的性质可得a

1+a

=18

故S

8=（a

）=4×18=72

故答案为：72

27．（2017?凉山州模拟）设数列{a

n }是首项为1的等差数列，前n项和S

，S

=20，

则公差为．

【解答】解：设等差数列{a

n }的公差为d，∵a

=1，S

=20，

∴5+d=20，解得d=．故答案为：．

28．（2017?鹿城区校级模拟）记等差数列{a

n }的前n项和为S

，若，则d= 3 ，

= 48 ．

【解答】解：设等差数列{a

}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．

∴S

==48．

故答案为：3，48．

29．（2017?金凤区校级一模）设等差数列{a

n }的前n项和为S

，若a

=4，则S

28 ．

【解答】解：∵等差数列{a

n }的前n项和为S

，a

=4，

∴S

7=（a

）=7a

=28．

故答案为：28．

30．（2017?三模）已知等差数列{a

n }中，a

=2，a

=﹣2，则{a

}的前10项和为

6 ．

【解答】解：∵等差数列{a

n }中，a

=2，a

=﹣2，

∴，

解得a

=2.4，d=﹣0.4，

∴{a

}的前10项和为：

=6．

故答案为：6．

第II卷

一、选择题

1．在等差数列{a n}中，a2＝1，a4＝5，则{a n}的前5项和S5＝( )

A ．7

B ．15

C ．20

D.25

2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9

S 5等于( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D.12

3．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11

D.12

4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )

A.172

B.192

C ．10

D.12

5．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D.－15

二、填空题

6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________.

7．{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝________.

8．若数列???

???

n ＋1

的前n 项和为S n ，且S n ＝19

，则n ＝________.

[能力提升]

1．如图2-2-4所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )

图2-2- 4

A.3n2

n n＋1

C.3n n－1

n n－1

3．(2015·高考)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋1

(n≥2)，则数列{a n}

的前9项和等于________．

资*源%库https://www.sodocs.net/doc/ad15385436.html,4．(2015·全国卷Ⅰ)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n＞0，a2n＋2a n＝4S n＋3.

(1)求{a n}的通项公式；

(2)设b n＝

n＋1

，求数列{b n}的前n项和．

第III卷

1．已知{a n}为等差数列，a1＝35，d＝－2，S n＝0，则n等于( ) A．33 B．34

C．35 D．36

【答案】 D

【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由S n＝na1＋n n－1

d＝

35n＋n n－1

×(－2)＝0，可以求出n＝36.

2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )

A ．13

B ．26

C ．52

D ．156

【答案】 B

【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24?6a 4＋6a 10＝24?a 4＋a 10＝4?S 13

＝

13a 1＋a 132

＝

13a 4＋a 102

＝

13×4

＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90

【解析】等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.

4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28.

【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；

(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设

S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；

(3)由S n ＝d

2n 2

＋n (a 1－d

2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d

2)，故??????

????S n n 是一个等差数列，又2×

20＝12＋28，∴2×

S 2020＝S 1212＋S 2828

，可求得S 28.

【解析】方法一：设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋

n n －1

d .

由已知条件得：???

12a 1＋12×11

d ＝84，20a 1

＋20×19

2d ＝460，

整理得??

2a 1＋11d ＝14，

2a 1＋19d ＝46，

解得??

a 1＝－15，d ＝4.

所以S n ＝－15n ＋

n n －1

×4＝2n 2

－17n ，

所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.

方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，

所以??? 122

a ＋12

b ＝84，202

a ＋20

b ＝460，

整理得??

12a ＋b ＝7，

20a ＋b ＝23.

解之得a ＝2，b ＝－17，所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列，所以S n ＝na 1＋

n n －1

d ，

所以S n n ＝a 1－d 2＋d

2n ，所以?

?????????S n n 是等差数列．

因为12,20,28成等差数列，所以

S 1212，S 2020，S 2828

成等差数列，

所以2×

S 2020＝S 1212＋S 2828

，解得S 28＝1 092.

【规律方法】基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400

【答案】 B 【解析】 d ＝

a 4－a 24－2

＝

15－72

＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.

2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( )

A ．27

B ．24

C ．29

D ．48

【答案】 C

【解析】由已知??

2a 1＋5d ＝19，

5a 1＋10d ＝40.

解得??

a 1＝2，d ＝3.

∴a 10＝2＋9×3＝29.

3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列【答案】 B

【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.

∴a n ＝??

2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，

这不是等差数列．

4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【答案】 A

【解析】 ??

a 1＝－11，

a 4＋a 6＝－6，∴??

a 1＝－11，d ＝2，

∴S n ＝na 1＋

n n －1

d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n .

＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．

5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )

A ．22

B ．21

C ．19

D ．18

【答案】 D

【解析】∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，a

＋a n－1＋a n－2＋a n－3＋a n－4＝146，

∴5(a1＋a n)＝180，a1＋a n＝36，

S n ＝

n a

＋a n

＝

n×36

＝234.

∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.

6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( ) A．8 B．7

C．6 D．5

【答案】 D

【解析】S奇＝6a1＋6×5

×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋

5×4

×2d＝5(a1

＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.

7．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知S

＝

n＋3

，则

等于( )

A．7 B.2 3

C.27

【答案】 D

【解析】a

＝

2a5

2b5

＝

＋a9

＋b9

＝

＋a9

＋b9

＝

8．已知数列{a n}中，a1＝－60，a n＋1＝a n＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )

A．445 B．765

C．1 080 D．1 305

【答案】 B

【解析】a n＋1－a n＝3，∴{a n}为等差数列．

∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.

∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21.

S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30| ＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.

二、填空题(每小题10分，共20分)

9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n

＝________.

【答案】 2n

【解析】设等差数列{a n }的公差d ，则 ??

a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4

，∴??

a 1＝2d ＝2

，∴a n ＝2n .

10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．

【答案】 10

【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.

即132－120＝132＋120

2n ＋1

，求得n ＝10.

【规律方法】利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷．

三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．在等差数列{a n }中，

(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .

【分析】在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出

a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．

【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴??

a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.

解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，

S 8＝

8a 1＋a 82

＝44.

(2)由S n ＝

n a 1＋a n

＝

n －512＋1

＝－1 022，

解得n ＝4.

又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.

【规律方法】一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．

12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？

【解析】方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝

a 1＋a n n 2

＝

36＋40－4n 2

·n ＝－2n 2＋38n

＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋19

＝－2(n －192)2＋192

令n －

192＝0，则n ＝19

＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，

∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋192

2＝180.

方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，

a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，

S n ＝na 1＋

n n －1

d ＝36n ＋

n n －1

·(－4)＝－2n 2

＋38n ，

点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－

382×

－2

＝

＝9.5， ∴当n ＝10或9时，S n 最大．

∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，

a 2＝40－4×2＝32，

∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令??

? a n ≥0，a n ＋1≤0，有??

40－4n ≥0，40－4n ＋1

≤0，

∴??

n ≤10，n ≥9，

即9≤n ≤10.

当n ＝9或n ＝10时，S n 最大． ∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝

a 1＋a 10

×10＝

36＋0

×10＝180. 【规律方法】对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m

－1

＝S m 同为S n 的最值．

高中数学等差数列性质总结大全

等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=．从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。？（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

等差数列基础习题精选附详细答案

等差数列基础习题精选一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（） A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．

(word完整版)高中数学等差数列练习题

一、过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、典例赏析：例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中，（1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值；（2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值作业 A 组： 1、在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根，求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和

高中数学等差数列教案3篇

高中数学等差数列教案3篇教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。等差数列教案一【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊

到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重

引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】一：创设情境，引入新课

(完整版)高中数学等差数列教案

等差数列教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6）数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1）数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1）由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

高一数学等差数列知识点及练习题

高一数学等差数列知识点及练习题专题九等差数列一．等差数列基本概念 1．等差数列定义 2.等差数列通项公式 n a =______________或n a =___________. 3.等差数列前n 项和 1)n S =________________2).n S =_________________ 4.等差中项：如果 ,,a b c 成等差数列，么b 叫做,a c 的等差中项，则有_________________ 5.等差数列的判定方法 1) 定义法： 2)中项公式法： 3)通项法：已知数列n a 的通项公式为n a pn q =+，则n a 为等差数列，其中首项为1a =________，公差d=________。 4)前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和2n S An Bn =+，则n a 为等差数列，其中首项为 1a =________，公差d=________， 6.等差数列性质 1) 1212n n a a a a a -+=+=n L 2)当*,, ,m n p k N ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a +=+；特别当 2m n p +=时 2m n p a a a += 特别注意“m n p +=时，m n p a a a +=”是不正确的. 3) 数列n a 的前n 项和为n S ，则232...,,m m m m m S S S S S --成大差数列

4）当n 为奇数时，12 n n S na += 二．例题分析【类型1】求等差数列通项【例1】.等差数列n a 中，5 1210,31a a ==，求1,,n d a a . 【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数. 【例2】等差数列n a 中，381312a a a ++=，381324a a a ??=，求通项公式n a . 【变式1】等差数列{}n a 中，51510,25,a a ==则25a 的值是．【变式2】已知等差数列{}中．61018a a += 31a =，则13a = ．

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为（） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（）等差数列一．等差数列知识点：知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数），则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列，等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ，则 S 2n n a n a n 1 ，且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ，奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇等差数列的前 n 项和的性质： 10、，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ，等于（）

(完整word版)高中数学必修五等差数列测试题

等差数列测试题一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____

高中数学等差数列教案

课题：2.2 等差数列（一）教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子: 2. 小明目前会100个单词，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为： 100，98，96，94，92 ① 3. 小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为 5，15，25，35，45 ② 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课：通过练习2和3 引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。 (二) 新课探究 1、由引入自然的给出等差数列的概念：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 来表示。强调： ① “从第二项起”满足条件； ②公差d 一定是由后项减前项所得； ③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调“同一个常数” ）；在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

高中数学等差数列练习题

一、过关练习： 1、在等差数列 {}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++ = 二、典例赏析：例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中，（1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值；（2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++= 21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值作业 A 组： 1、在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根，求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和等差数列性质

高中数学等差数列教学设计

等差数列一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。二、学生学习情况分析我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。三、设计思想 1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。五、教学重点与难点

高二数学等差数列基础练习题

高二数学等差数列基础练习题一、填空题 1. 等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = . 2. 等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = . 3. 在等差数列中已知13 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=?a a a ，则前10项的和S 10= 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 二、选择题 8、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 9、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 10、已知等差数列{}n a 的公差12d = ，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 11、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 12、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 13、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 14、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 三、计算题 15.求集合{}|21,*60M m m n n N m ==-∈<，且中元素的个数，并求这些元素的和

重点高中数学等差数列教案

~~重点高中数学等差数列教案~~

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课题：3.1 等差数列（一）教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程：一、复习引入：上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】

高中数学必修等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义: ①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示知识点2、等差数列的判定方法: ②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式: ④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和: ⑤2 )(1n n a a n S += ⑥d n n na S n 2) 1(1-+ = 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项: ⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2 b a A += 或b a A +=2 在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质: ⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= ⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列如下图所示： 4444444444484444444444476443 4421Λ4434421Λ444344421Λk k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为() *2n n ∈N ，则 ()21n n n S n a a +=+，且 S S nd -=偶奇， 1 n n S a S a +=奇偶．②若项数为() *21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶， 1 S n S n = -奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为（） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）

高中数学优质课程《等差数列》教案

高中数学优质课程《等差数列》教案等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。下面就是小编给大家带来的高中数学优质课程《等差数列》教案，希望能帮助到大家! 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展.

(完整版)高中数学数列基础知识与典型例题

~~数学基础知识例题~~

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2 = 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 3 22111=== a S b , ∴ 21 2 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 212)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3n n n a (1)(2)n n =≥,1 2)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ΛΛ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n Λ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n Λ 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ΛΛ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132ΛΛ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211ΛΛ，当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111∴()() 21111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++=ΛΛ 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+2732354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918=== a a a a 例16. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略注：法二利用了等差数列前n 项和的性质例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列 ∴ b 1b 3=b 22,∴ b 23=81,∴ b 2=21,∴ 1312178 14 b b b b ? +=????=??,∴ 13218b b =???=??或 12182b b ?=?? ?=? ∴ 13212()24n n n b --== 或 1251 428n n n b --=?= ∵ 1 ()2n a n b =,∴ 12 log n n a b =,∴ a n =2n -3 或 a n =-2n +5 例20. 2392 n n +

高中数学《等差数列》教学设计

《等差数列》教学设计一、教学目标【知识与技能】能够复述等差数列的概念，能够学会等差数列的通项公式的推导过程及蕴含的数学思想。【过程与方法】在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，提高知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高分析问题和解决问题的能力。【情感态度与价值观】通过对等差数列的研究，具备主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。二、教学重难点【重点】等差数列的概念、等差数列的通项公式的推导过程及应用。【难点】等差数列通项公式的推导。三、教学过程环节一：创设情境、导入新课教师PPT展示几道题目： 1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5一个数，可以得到数列：0，5，15，20，

2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92。 3.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中交情的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63。教师提问学生这几组数有什么特点?学生回答从第二项开始，每一项与前一项的差都等于一个常数，教师引出等差数列。环节二：师生互动、探索新知 1.等差数列的概念学生阅读教材，同桌讨论，类比等比数列总结出等差数列的概念如果一个数列，从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。问题1：等差数列的概念中，我们应该注意哪些细节呢? 强调：“从第二项起”满足条件;公差d一定是由后项减前项所得;每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数”);数学表达式：问题2：判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。 (1)9，8，7，6，5，4，……; (2)0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……; (3)0，0，0，0，0，0，……; 引导学生发现第一个数列公差小于0,第二个数列公差大于0，第三个数列公差等于0。由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是0。

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