初中数学方程与不等式之无理方程知识点

初中数学方程与不等式之无理方程知识点

一、选择题

1．4=y = 换元后，整理得关于y 的整式方程是____________________．

【答案】y2-4y+4=0

【解析】

【分析】

y =,则原方程可化为关于y 的一元二次方程即可. 【详解】

解:y =, 则原方程可化为，44y y

+=即y2-4y+4=0,故答案为：y2-4y+4=0. 【点睛】

本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,

.

2．1=的解为 .

【答案】x=1

【解析】

【分析】

方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x 的值，然后把x 的值代入进行检验即可．

【详解】

方程两边平方，得：2-x=1，

解得：x=1．

经检验：x=1是方程的解．

故答案是：x=1．

3．2=的解是_______________．

【答案】2x =

【解析】

试题分析：方程两边平方，得324x -=，解得2x =．代入验根可得方程的根为2x =．

考点：解无理方程．

4．x =-的根是______．

【答案】x=﹣2

【解析】

先把方程两边平方去根号后求解，再根据x ＜0，即可得出答案．

解：由题意得：x ＜0，

两边平方得：x+6=x 2，

解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；

故答案为：x=﹣2．

5．方程(x 30-=的解是______．

【答案】x=2

【解析】

【分析】

求出x 0=，求出即可．

【详解】

解：(x 30-=Q ，

2x 0∴-≥，

x 2∴≤，

x 30∴-≠，

0=Q ，

x 2=，

故答案为：x 2=．

【点睛】

0=是解此题的关键．

6．的解是_________

【答案】14x =-或

【解析】

【分析】方程两边平方可得到整式方程，再解之可得.

【详解】方程两边平方可得

x 2-3x=4,

即x 2-3x-4=0,解得x 1=-1,x 2=4

故答案为：14x =-或

【点睛】本题考核知识点：二次根式，无理方程. 解题关键点：化无理方程为整式方程.

7．如果关于x1k0

+=没有实数根，那么k的取值范围是

___________________．

k>

【答案】1

【解析】

【分析】

根据关于x没有实数根，可知1-k＜0，从而可以求得k的取值范围．

【详解】

∵关于x=1-k没有实数根，

∴1-k＜0，

解得，k>1，

故答案为：k>1．

【点睛】

本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件．

8．=x的解是______．

【答案】x=1

【解析】

【分析】

将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．

【详解】

原方程变形为 4-3x=x2，

整理得 x2+3x-4=0，

∴（x+4）（x-1）=0，

∴x+4=0或x-1=0，

∴x1=-4（舍去），x2=1．

故答案为x=1．

【点睛】

本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．

9．的根是．

【答案】x=3

【解析】

【分析】

方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x的值，然后代入原方程进行检验即可．

【详解】

方程两边同时平方得：x+1=4，

解得：x=3．

检验：x=3时，左边，则左边=右边．

故x=3是方程的解．

故答案是：x=3．

10．3x =的解是___________。

【答案】－3或－2

【解析】

【分析】

将原式移项后，两边平方再进行合并同类项运用因式分解求解即可。

【详解】

+3x

∴3x +=（3x +）2

∴x 2+5x+6=0

∴(x+3)(x+2)=0

∴x 1=-3,x 2=-2检验知x=-3或x=-2是方程的解.

【点睛】

本题考查了无理方程，利用平方将方程转化一元二次方程，选择合适、简便的方法求解二元一次方程是正确解题的关键.

11．3=的解是______．

【答案】4x =

【解析】

【分析】

把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可．

【详解】

3=，

∴2x+1=9，

∴2x=8，

∴x=4，

经检验x=4是原方程的解．

故答案为：x=4．

【点睛】

本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．

12．20

x=化为有理方程_______

【答案】3x2+1=0

【解析】

【分析】

先移项，然后方程两边平方即可去根号，转化为有理方程．

【详解】

=

2x

两边平方得：x2-1=4x2,即3x2+1=0．

故答案是：3x2+1=0．

【点睛】

本题考查了无理方程的解法，利用平方法是转化为整式方程的基本方法．

13．解方程286

-=时，设y=换元后，整理得关于y的整式方

x x

程是___________________．

【答案】y2+y-6=0

【解析】

【分析】

设y=则原方程可化为关于y的一元二次方程即可.

【详解】

解:设y=

则原方程可化为y2+y-6=0,故答案为：y2+y-6=0.

【点睛】

本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,一般是通过观察确定用来换元的式子是解题的关键.

14．请将方程的解写在后面的横线上：______

【答案】x=7

【解析】

【分析】

先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0，求出x的值，再进行检验即可．

【详解】

解：，

x-3=0或x-7=0，

x=3或x=7，

检验：当x=3x=3不是原方程的解；

x=7是原方程的解，

故答案为：x=7．

【点睛】

本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．

15．方程x=_____．

【答案】x＝1

【解析】

【分析】

先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．

【详解】

x=

x2＝4﹣3x，

解得，x＝1或x＝﹣4，

检验：当x＝﹣4不是原方程的根，

故原无理方程的解是x＝1，

故答案为：x＝1

【点睛】

本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要检验．

16．3的解是：x＝_____．

【答案】±2

【解析】

【分析】

对方程左右两边同时平方，可得x2+5＝9，进而可解x的值，答案注意根式有意义的条件【详解】

=，左右两边同时平方可得x2+5＝9；解之，可得：x＝±2．

3

故答案为：±2．

【点睛】

本题的关键是将方程化为二次方程，答案注意根式有意义的条件

17．x

=-的解是_____．

【答案】x＝﹣1．

【解析】

【分析】

把方程两边平方后求解，注意检验．

【详解】

把方程两边平方得x+2＝x2，

整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，

解得：x ＝2或﹣1，

经检验，x ＝﹣1是原方程的解．

故本题答案为：x ＝﹣1．

【点睛】

本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．

18．关于x 25x =-是无理方程，则m 的取值范围是_______．

【答案】0m ≠

【解析】

【分析】

根据无理方程的概念可得结果.

【详解】

解：由题意可得：

∵无理方程的根号下含有未知数，

∴m ≠0.

故答案为：m≠0.

【点睛】

本题考查了无理方程，掌握无理方程的概念是解题的关键.

19．关于x 1k =+无实数根，则k 的取值范围是___________．

【答案】k ＜-1

【解析】

【分析】

根据二次根式的非负性即可知，当10+

【详解】

解：若关于x 1k =+无实数根，则10+

∴k ＜-1,

故答案为：k ＜-1

【点睛】

本题考查了无理方程，解题的关键是熟知二次根式的非负性得到当10+

20．3的解是_____．

【答案】5x =

【解析】

分析：把方程两边平方，去根号后求解.

详解：两边同时平方，得：219,x -=

x=

解得：5,

x=是原方程的解.

经检验，5

x=

故答案为 5.

点睛：考查无理方程的解法，解无理方程通常用的方法是两边平方法或者换元法.

方程与不等式组知识点总结

方程与不等式组知识点总结 方程与方程组 一、一元一次方程的概念 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。 二、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式( ) 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程( )( )的求根公式：( ) 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 四、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程( )的根的判别式，通常用“( )来表示，即( ) 五、一元二次方程根与系数的关系 如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 六、分式方程 1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：

高中不等式知识点总结

1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)?()()()11当时，a f x g x >>； ()()()201当时，<<?（1）当a >1时， g x f x g x ()()()>>?? ???0；（2）当01<在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚 线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式

人教版初中数学方程与不等式之无理方程知识点复习

人教版初中数学方程与不等式之无理方程知识点复习 一、选择题 1．方程20x x -=的解是___________。 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】 将原式两边开方再求解即可. 【详解】 移项得2x x =，两边平方得24x x =，解得x=0或x=4，检验知x=0或x=4. 【点睛】 本题考查了无理方程，利用平方将方程转化整式方程. 2．方程 的解为 ． 【答案】3． 【解析】 首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x 的值． 解：两边平方得：2x+3=x 2 ∴x 2﹣2x ﹣3=0， 解方程得：x 1=3，x 2=﹣1， 检验：当x 1=3时，方程的左边=右边，所以x 1=3为原方程的解， 当x 2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2=﹣1不是原方程的解． 故答案为3． 3．方程2 =x ﹣6的根是______． 【答案】x=12． 【解析】 两边平方，求得一元二次方程的解，进一步利用x ﹣3≥0验证得出答案即可． 解：2=x ﹣6 4（x ﹣3）=x 2﹣12x+36 整理得x 2﹣16x+48=0 解得：x 1=4，x 2=12 代入x ﹣3＞0，当x=4时，等式右边为负数， 所以原方程的解为x=12． 故答案为：x=12． 4．方程1x -______． 【答案】1x = 【解析】

【分析】 两边平方解答即可． 【详解】 原方程可化为：（x-1）2=1-x， 解得：x1=0，x2=1， 经检验，x=0不是原方程的解， x=1是原方程的解 x=． 故答案为1 【点睛】 此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验． 5．0 =的解是_______________ 【答案】x=2 【解析】 【分析】 由题意可知3-x=0或2-x=0，再结合二次根式有意义的条件即可求得答案. 【详解】 =， =， ∴x=3或x=2， 检验：当x=3时，2-x<0x=3舍去， ∴x=2， 故答案为x=2. 【点睛】 本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 6．x =-的解________ x=- 【答案】2 【解析】 【分析】 两边平方后解此无理方程可得. 【详解】 解：两边同时平方可得：2-x=x2, 解得：x1=-2，x2=1， 检验得x2=1不是方程的根， a=-， 故1 a=- 故答案为1 【点睛】

最新初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点

最新初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点 一、选择题 1．a 的一半与b 的差是负数，用不等式表示为( ) A ．102a b - < B ．102a b -≤ C ．()102 a b -< D ．102a b -< 【答案】D 【解析】 【分析】 列代数式表示a 的一半与b 的差，是负数即小于0． 【详解】 解：根据题意得 102 a b -< 故选D ． 【点睛】 本题考查了列不等式，首先要列出表示题中数量关系的代数式，再由不等关系列不等式． 2．如果不等式(2)25a x a ->-的解集是4x <，则不等式251a y ->的解集是（ ）． A ．52 y < B ．25y < C ．52y > D ．25 y > 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质得出20a -<，2542a a -=-，解得32 a =，则2a=3，再解不等式251a y ->即可． 【详解】 解：∵不等式（a-2）x ＞2a-5的解集是x ＜4， ∴20a -<， ∴2542 a a -=-， 解得32 a = ， ∴2a=3， ∴不等式2a-5y ＞1整理为351y ->， 解得：25 y <．

故选：B ． 【点睛】 本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先解不等式，根据解集确定数轴的正确表示方法． 【详解】 解：不等式2x+1＞-3， 移项，得2x ＞-1-3， 合并，得2x ＞-4， 化系数为1，得x ＞-2． 故选C ． 【点睛】 本题考查解一元一次不等式，注意不等式的性质的应用. 4．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( ) A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．8a > D ．8a < 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可． 【详解】 解：由24x <可得：x ＜2；

必修五-不等式知识点总结

不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式

1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组专项训练

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组专项训练 一、选择题 1．如果关于x 的不等式组232x a x a >+?? <-?无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．a≥2 D ．a≤2 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等式组无解，利用不等式组取解集的方法确定出a 的范围即可． 【详解】 ∵不等式组232x a x a +?? -?＞＜无解，∴a +2≥3a ﹣2，解得：a ≤2． 故选D ． 【点睛】 本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键． 2．若a b <，则下列变形错误的是（ ） A ．22a b < B ．22a b +<+ C ．1122a b < D ．22a b -<- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质解答. 【详解】 ∵a b <，∴22a b <，故A 正确； ∵a b <，∴22a b +<+，故B 正确； ∵a b <，∴1122 a b <，故C 正确； ∵a b <，∴2-a>2-b ，故D 错误， 故选：D. 【点睛】 此题考查不等式的性质，熟记性质定理并运用解题是关键. 3．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x 分钟，则列出的不等式为（ ） A ．210x +90（15﹣x ）≥1.8 B ．90x +210（15﹣x ）≤1800 C ．210x +90（15﹣x ）≥1800 D ．90x +210（15﹣x ）≤1.8

初中数学方程与不等式知识点复习汇总

方程与不等式是初中数学学习的巨头，属于基础知识的进阶，难度相对于基础有所提高，并且是今后学习的重中之重，为今后函数等学习奠基。方程是解决问题的必要手段，必须要学好，我们首先来看中考数学方程与不等式复习要求。 1、一元一次方程 了解一元一次方程及其相关概念，掌握等式的性质，了解解方程的基本目标，熟悉解一元 一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法． 掌握列一元一次方程解实际问题中的基本方法，熟悉列一元一次方程解实际问题中的基 本步骤．' 2．二元一次方程组． 了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种 相关的等量关系；了解解二元一次方程组的基本目标，体会"消元"思想，掌握解二兀一次方 程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；进一步认识利 用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能 力． 3．不等式与不等式组． 了解一元一次不等式及其相关概念，能够列出不等式或不等式组表示问题中的不等关 系；掌握不等式的T性，质-，熟悉解一元一次不等式的一般步骤，掌握一元一次不等式的解法，并 能在数轴上表示出解集；了解不等式组及其相关概念，会解由两个一元一次不等式组成的不 等式组，并会用数轴确定解集；会利用不等式解决简单的实际问题· 4．一元二次方程．

认识一元二次方程及其有关概念，抓住"降次''这一基本策略，掌握配方法、公式法和因 式分解法等一元二次方程的基本解法，会列一元二次方程解决实际问题，体会一元二次方程 的数学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力· (一)方程和不等式的基本概念 1．方程．(1)等式和方程；(2)方程的解；(3)解方程 2．等式性质．性质1：等式两边都加上(或减去)同 等式； 性质2：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是O) 3．不等式．(1)不等式；(2)不等式的解集；(3)解不等式· 4．不等式的基本性质，性质1：不等式的两边都加上(或减去)同 不等号的方向不变； 性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 (二)方程和不等式的解法．。 1．方程的解法．' (1)一元一次方程．任何一个一元一次方程，总可以通过变形化为：一=6(o≠o)的形式． 元一次方程有唯一解z=鲁("to)． (2)一元二次方程．任何关于z的一元二次方程，都可以化成：一2+h+c=o(。≠o)的形 一元二次方程的解法有以下几种． ①直接开平方法：这种方法用于解不含 当詈≤o时，则x='√一詈；当詈>o时，则方程无实根·

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题及答案

初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题及答案 一、选择题 1．有一下式子：①0x =；②325+=；③14x =；④29x =；⑤23=x x ；⑥34x -；⑦2(1)2x +=；⑧20x y +=．其中是一元一次方程的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 我们将只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程称之为一元一次方程，据此进一步判断即可. 【详解】 ①0x =，满足定义，是一元一次方程； ②325+=，未含有未知数，故不是一元一次方程； ③14x =，分母含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程； ④29x =，未知数次数为2，故不是一元一次方程； ⑤23=x x ，满足定义，故是一元一次方程； ⑥34x -，不是等式，故不是一元一次方程； ⑦2(1)2x +=，满足定义，故是一元一次方程； ⑧20x y +=，含有两个未知数，故不是一元一次方程； 综上所述，一共有3个一元一次方程， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的判断，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．方程2﹣24736 x x --=-去分母得（ ） A ．2﹣2（2x ﹣4）=﹣（x ﹣7） B ．12﹣2（2x ﹣4）=﹣x ﹣7 C ．12﹣2（2x ﹣4）=﹣（x ﹣7） D ．以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】 两边同时乘以6即可得解. 【详解】 解方程：247236 x x --- =- 去分母得：122(24)(7)x x --=--.

故选C. 【点睛】 本题考查了解一元一次方程的去分母，两边乘以同一个数时要注意整数也要乘以这个数. 3．某书店推出一种优惠卡，每张卡售价为50元，凭卡购书可享受8折优惠，小明同学到该书店购书，他先买购书卡再凭卡付款，结果省了10元。若此次小明不买卡直接购书，则他需要付款（） A．380元B．360元C．340元D．300元 【答案】D 【解析】 【分析】 此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解． 【详解】 解：设小明同学不买卡直接购书需付款是x元， 则有：50+0.8x=x-10 解得：x=300 即：小明同学不凭卡购书要付款300元． 故选：D． 【点睛】 本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 4．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是（） A．4x－5=3(x－5) B．4x+5=3(x+5) C．3x+5=4(x+5) D．3x－5=4(x－5) 【答案】D 【解析】 【分析】 设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，根据5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】 设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，依题意，得： 3x﹣5=4（x﹣5）． 故选D． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

(完整版)方程与不等式的知识点梳理

方程与不等式知识点梳理 1、方程与方程组 一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样 的方程叫一元一次方程。②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代 数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元 一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中 表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次 函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面 直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是 该方程的解了 2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在 上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 (3)公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a 3）解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的 一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中

数与式方程与不等式学习知识点

【第一单元数与式】 第1课时实数 考点一实数的有关概念 1．数轴规定了_______、_______、_______的直线，叫做数轴．_____和数轴上的点是一一对应的． 2．相反数(1)实数a的相反数为_______；(2)a与b互为相反数?_________；(3)相反数的几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，且到原点的距离________. 3．倒数(1)实数a的倒数是____，其中a____0；(2)a和b互为倒数?_______. 4．绝对值在数轴上表示一个数的点离开_____的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝对值等于它_____，0的绝对值是___，负数的绝对值是它的_______. 考点二实数的分类1．按实数的定义分类 即|a|＝ ? ? ?? a(a＞0) 0(a＝0)

实数??? ?????????? 有理数??????? 整数????? ?? ?? ?正整数零自然数 负整数分数???????? ??正分数负分数有限小数或无 限循环小数无理数????? ? ????正无理数负无理数无限不循环小数 考点三 平方根、算术平方根、立方根 1．若x 2＝a(a ≥0)，则x 叫做a 的_______，记作±a ；正数a 的_____________叫做算术平方 根，记作 a. 2．平方根有以下性质 (1)正数有两个平方根，它们_________；(2)0的平方根是0；负数没有平方根． 3．如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a. 考点四 科学记数法、近似数、有效数字 1．科学记数法 把一个数N 表示成a ×10n (1≤|a|＜10，n 是整数)的形式叫科学记数法．当

高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc

1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式 0Ax By C ++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把 直线画成实线。 说明：由于直线0Ax By C ++=同侧的所有点的坐标(,)x y 代入 Ax By C ++，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特 殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负即可判断0Ax By C ++>表示直

1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-=

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及答案

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组分类汇编及答案 一、选择题 1．若关于x 的不等式组21x x a -?无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a <- C ．3a > D ．3a ≥ 【答案】D 【解析】 【分析】 利用不等式组取解集的方法：大大小小找不到即可得到a 的范围． 【详解】 ∵关于x 的不等式组21x x a -? 无解， ∴a-1≥2, ∴a ≥3. 故选:D. 【点睛】 考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 2．若x 2+在实数范围内有意义，则x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得x+2≥0，再解不等式即可． 【详解】 2x + ∴被开方数x+2为非负数， ∴x+2≥0， 解得：x≥-2. 故答案选D. 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件.

3．若关于x 的不等式6234 x x a x x +<+???+>??有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．15＜a ≤18 B ．5＜a ≤6 C ．15≤a ＜18 D ．15≤a ≤18 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a 的范围即可． 【详解】 解不等式组得：23x a x >???

方程、不等式、多项式知识点总结

方程、不等式（组）、多项式知识点总结 一、一元一次方程的概念 1、方程 含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一 次方程，其中方程），（0为未知数0≠=+a x b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未 知数x 的系数，b 是常数项。 二、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 )0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 三、一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

一元一次不等式知识点总结

四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和

初中数学知识点总结：方程与不等式

初中数学知识点总结：方程与不等式 1、方程与方程组 一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。 解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程 1）一元二次方程的二次函数的关系 大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。也就是该方程的解了

2）一元二次方程的解法 大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解 (1）配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2)分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解

方程组与不等式组知识点

第二章 方程（组）与不等式(组) 方程与方程组解法总结 一元一次方程等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。 一元二次方程的解法 (1）配方法 (2)分解因式法 (3)公式法 解一元二次方程的步骤： （1）配方法的步骤： 先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (2)分解因式法的步骤： 把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 (3)公式法 就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c 4）韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=- a b ，二根之积= a c 也可以表示为1x +2x =-a b ,21x x =a c 。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用 5）一元一次方程根的情况 利用根的判别式I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III 当△<0时，一元二次方程没有实数根（在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根） 难点提示: 1.一元二次方程的根的判别式：

△=b 2+4ac ，当△>0 方程有两个不相等的实数根；当△=0 时 方程有两个相等的实数根；当△<0 方程没有实数根。 2.根与系数的关系： 若一元二次方程2ax +bx+c=0（a≠0）的两根为12,x x ，则1x +2x =- a b ，1x 2x ·= a c 。 反过来，以12,x x 为根的一元二次方程是(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程 2 ax +bx+c=0（a≠0）。 特殊的：对二次项系数为1的方程2x +px+q=0的两根为12,x x 时，那么1x +2x =-p ，1x . 2x =q 。反之，以1x ，2x 为根的一元二次方程是：(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：2x +px+q=0。 3.解分式方程的数学思想是转化为整式方程，方法为去分母法和换元法。 注意事项： 1.不等式的基本性质中 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac