《正切函数的性质与图象》教案及说明
1.4.3正切函数的性质与图象
教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书?数学（A版）》必修4
课题：143正切函数的性质与图象
一、教学目标
1.利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象。
2.借助单位圆中的三角函数线能画出），= tanx的图象，借助图象理解正切函数在（-工,
二）上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），并能解决
2 2
一些简单问题。
3.让学生亲身经历数学研窕的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点
1.教学重点：
（1）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，
（2）根据性质探究正切函数的图象。
rr
2.教学难点：画正切函数的简图，体会与x釉的交点以及渐近线x = —+ 在确定
2
图象形状时所起的关键作用。
三、课前准备
教师准备：教学课件
四、教学过程
一、提出学习课题，明确学习目标
?■ y^sin x HW R
2.正弦函数的两个代数性质：sin（x + 24）=sin x,sin（-x） = -sin x反映了正弦函数图象的什么几何特征？
明晰：
1、定义域：x w R周期性：T = 2兀奇偶性：奇函数
单调性：在「_2+ 2攵4，江+ 2立]是单调递增的：
2 2 .
在+ 2k兀.—+ 2a]是单调递减的
.2 2 _
值域：y e [-1,1]
2、sin（x + 2/r） = sinx反映了函数的周期性，sin（—x） = —sinx反映了函数的奇偶性
3、函数图象的每一个几何特征也都是函数性质的直观反映，函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征：所以可借助于函数的图象来研究函数的性质：也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课就是从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象。
二、探索正切函数的性质（进入新课）
提问：类比研究正弦和余弦函数的方法，从前面的学过的有关正切函数的知识中你认为有那些性质？
明晰：
1.正切函数的定义域：定义域为入工工太4+ 2, 2
2.正切函数的周期性：
由tan（x + 4）= tanx,可知正切函数是周期函数，最小正周期：丁 =万
3.正切函数的奇偶性：
由tan（—x） = -tanx,可知正切函数是奇函数
4.正切函数的单调性
（1）给出在（_￡，）内的一些特殊角，进行计算、观察、归纳，猜想。
2 2
（2）借助多媒体，动态演示单位圆中的正切线的变化规律可以得出：正切函数在（-
￡.￡）
2 2 内是增函数，又由正切函数的周期性可知：正切函数在开区间（-上+版?，巳+ A/r）.AeZ内都
2 2
是增函数。
教师要重点强调正切函数只有增区间没有减区间。
5.正切函数的值域
用多媒体展示单位圆中的正切线的变化规律，得到：正切函数的值域是实数集R
三、自主探究正切函数图象（应用新知）
提问：你能根据我们得出的正切函数的性质，画出它的图象吗？试一试。
展示：教师借助实物投影展示学生的成果并讲评。
明晰：
1、教师针对正弦函数的性质明晰其相应的几何特征。
2、同学之间相互合作，自主探究正切函数图象特征。
3、多媒体演示演示正切函数y=tanx （-J, J）图象几何作法。
2 2
4、根据正切函数的周期性，把上述图象向左L右扩展，得到正切函数y = tanx xeR, 且+ "?伏
e z）的图象，称''正切曲线”
y
四、正切函数性质的初步应用
例1求函数），= ian（gx +'的定义域、周期和单调区间。
（分别请三位同学板演，其余同学在练习本上完成）
评析：1.明确解题步骤。
2 ,采用类比方法得到正切函数周期的简便运算方法/ =2
GJ
例2 比较tan[-竽)与(@十个]的大小。
(学生练习本上完成)
评析：1 .解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研窕。
五、练习巩固，加深理解
1：比较大小：
(1)tan 138°tan 1430
(2)tan 281 0 tan 305°
19 73
(3)tan( -- 4) _____ tan( -- 〃)
7 8
2：指出满足条件的x 的范围：(1)tanx > 0;(2)1 + tanx < 0;(3)tan > V3
六、小结与布置作业
(一)小结：
1、正切函数的性质
2、函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征；函数图象的每一个几何特征都是函数性质的直观反映。所以可借助于函数的图象来研究函数的性质：也可借助于函数的性质研究函数的图象。
3、本课蕴含着数形结合、类比、归纳、猜想等数学思想方法。
(二)布置作业：
教材P$3习题1.4第6、7、8、9题。
关于“正切函数的性质与图象”的教案说明一、关于教学内
容
我们生活在一个不断变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在不停的做着周期变化运动，因此研究周期变化规律是我们必须直面的问题。而三角函数本身就是最基本的周期函数，是描述周期现象的一个重要工具，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述。
本章内容是继函数学习后学生所接触到的第二个基本初等函数，三角函数的学习即是对函数概念的深化，也是对函数学习的一个延续。本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点，有着承前启后的作用。
本节课是一节概念教学课，主要学习任务是根据正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后根据性质研究正切函数的图象。对函数的学习一般按照定义域，值域，图象，性质等这样的顺序进行。对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从数的角度对性质作出严格表述。但本节课，教科书却采取了与以往不同的学习方式，即先探究性质，然后再根据性质研究图象。这样处理，不仅给学生提供研究数学问题更多的视角，而且在性质的指导下可以更加有效地作图，研究图象。既加强了理性思考的成分，又使数形结合的思想体现得更加全面。
另外，由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，而对于周期函数，我们只要认清楚它在一个周期区间上的性质，通过其周期性，函数在整个定义域上的性质也就完全清楚了。
鉴于以上认识，确定本节课的教学目标为：
1.利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象.
2.借助单位圆中的三角函数线能画出）=⑶u的图象，借助图象理解正切函数在等）上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），并能解决一些简单问题。
3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、学习本内容的基础
在学习本章知识前学生已经具备了学习函数的一些基本知识和基本技能，能通过观察函数图象，描述其图象特征，并能用数学符号的语言定义函数性质。更为重要的是通过函数的学习，让学生体会到了数形结合这种重要的数学思想方法在解决函数问题中的重要作用。
本节课是本章第四小节中一课，在此之前学生也已经学习任意角的三角函数、三角函数的诱导公式、正弦函数、余弦函数的图象与性质等知识，了解了正切函数的定义，知道对于周期函数
性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质, 就可以得到它在整个定义域内的性质，另外数形结合的思想方法也贯穿了本节内容的始终。这些都为学习本节课内容奠定了基础；也为学习本节课内容作了方法上的铺垫。
特别是教科书在正弦函数、余弦函数的图象与性质这部分内容的最后设置了一个“探究与发现”，要求利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。这既是对利用三角函数的图象研究其性质的一个补充，也为本节课的学习指明了方向。
在新课程标准中，三角函数作为函数占据了主导地位，这是一个实质性的变化，三角函数作为研究周期函数的基本模型在数学、科学以及其它领域中都具有十分重要的作用。三角函数的学习与其他内容学习有密切联系（例如与向量，与三角运算）；三角函数以及与其相关的数学内容在物理等其他领域也有广泛的作用，如交流电，震动的叠加等。
三、教学诊断分析
我校是在03年是由银川二中合并原十一中学组建而成的，正处在发展阶段，我校的生源还不够理想，入学前的分数相差很大，基础相对薄弱。学生对函数及其相关知识掌握还有待加强，本节课想让学生自己探究出正切函数的性质是有一定难度的，主要问题是学生不知该从哪儿入手，所以设计了两个问题引入课题，问题1是预想学生对所要研究的性质有一个系统性的回顾，体会数与形的密切联系；问题2预想通过这两个诱导公式给学生提供研究问题的方向。
学生对正切函数的定义域以及奇偶性探究较为顺利，但对于周期性却存在歧义，借助不同的诱导公式tan（x 4- 2/r） = tan x,T = 2^, tan（x +万）=tan x?T =%得到不同的最小正周期，这需要教师明晰。
学生对正切函数的单调性和值域的探究是一个重点，教学中设计了两个小的教学环节对问题加以解决。
（1）给出在一9.？）内的一些特殊角，通过观察归纳，得出猜想。
（2）借助多媒体，动态演示单位圆中的正切线的变化规律。
而在已有性质的基础上探究正切函数的图象，画出正切函数的简图是本节课的教学难点，教学时教师首先针对正弦函数的性质和图象，利用性质对图象的特征作出诠释，并请学生自主探究，画出正切函数图象的简图，其次利用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，最后借助图象特征反馈正切函数的性质。
例题是教材所设置例题，学生对周期性的解决还不是很熟悉，个别学生仍不知如何解决，教师在此也要重点强调解题过程，明晰格式。而对于补充例题，部分学生对诱导公式也存在应用不熟练问题。
四、关于教法
新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，
我采用引导教学法、讲授教学法等诸多方法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下儿个特点：
（1）重视学生的主体参与，对正切函数性质的探究、图象的形成、知识的应用等环节的教学，都应通过学生自主、合作、探究的学习过程来完成。
（2）教学中充分重视数形结合的作用，通过多媒体演示单位圆中正切线的变化规律，让学生在观察、分析中获得大量的感性认识，进而达到对函数性质的理性认识。
（3）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。当学生接触新知一周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思、多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，使知识深化。
高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案
推理与证明 一、核心知识 1.合情推理 （1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。 （2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明 直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法 （1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正
2.2.1直接证明教案
课题 2.2.1 直接证明 1．结合已经学过的数学实例，理解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 2．感受和体会直接证明的思维方法——分析法和综合法； (一)自学质疑：A 类问题： 仔细阅读课本79-81页的内容，完成下列问题 问题1、直接证明的一般形式 问题2、分析法的概念及推理过程 问题3、综合法的概念及推理过程 B 级问题） 例1、已知0,0a b >>，求证：22 b a a b a b +≥+ 例2、已知1,1a b <<，证明： 11a b ab +<+
※ 当堂检测 （40分） 1、（A ）下列条件：(1)0,(2)0,(3)0,0,(4)0,0ab ab a b a b ><>><<，其中能使2b a a b +≥成立的条件有 个 2、（B ）设222,,(1)lg(1)0,(2)2(1)a b R a a b a b ∈+>+≥--22,(3)32a ab b +>1,(4)1 a a b b +<+以上4个不等式中，恒成立的序号是 3、（B ）设,a b 都是正实数，且满足191a b +=，若a b m +≥恒成立，则m 的取值范围为 4、（B ）设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则A 与B 的大小关系为 5、（B ）在ABC ?中，三个内角,,A B C 对应边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列 求证：ABC ?是正三角形 6、（B 级）已知：(),()f x x R ∈满足121212()()2()()22 x x x x f x f x f f +-+=，且()0f x ≠ 求证：()f x 是偶函数 ※学生完成本节导学案的情况统计.
推理与证明(教案)
富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程
直接证明和间接证明(4个课时)教案
直接证明和间接证明(4个课时)教案
2．2直接证明与间接证明 教学目标： （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义； （2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式； （3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法； （4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议： 1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用） 2．重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； ②综合性问题证明方法的选择． （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立． （2）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法． 由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”． 其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的． 变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等 式成立，这种证明方法通常叫做综合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是： （已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析
直接证明和间接证明4个课时教案
2．2直接证明与间接证明 教学目标： （1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义； （2）掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式； （3）能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法； （4）通过不等式证明，培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议： 1．知识结构:（不等式证明三种方法的理解）==〉（简单应用）==〉（综合应用） 2．重点、难点分析 重点：不等式证明的主要方法的意义和应用； 难点：①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的； ②综合性问题证明方法的选择． （1）不等式证明的意义 不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立（或都不成立），而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立． （2）比较法证明不等式的分析 ①在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法． ②证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径．
由于a>b<==>a-b>0，因此，证明a>b，可转化为证明与之等价的a-b>0．这种证法就是求差比较法． 由于当b>0时,a>b<==>(a／b)>1，因此，证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a／b)>1(b>0)．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件． ③求差比较法的基本步骤是：“作差→变形→断号”． 其中，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的． 变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可. ④作商比较法的基本步骤是：“作商→变形→判断商式与1的大小关系”，需要注意的是，作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式．（3）综合法证明不等式的分析 ①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法． ②综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式出发，通过一系列已知条件推导变换，推导出求证的不等式． ③综合法证明不等式的逻辑关系是： （已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要条件）==〉（结论）（4）分析法证明不等式的分析
2018届一轮复习北师大版第六章不等式推理与证明第五节合情推理与演绎推理教案
第五节合情推理与演绎推理 ☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆ 自|主|排|查 1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。
②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理。 (2)类比推理 ①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。 ②特点：是由特殊到特殊的推理。 2．演绎推理 (1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情况。 ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。 微点提醒 1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明。 2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误。
3．应用三段论解决问题时，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的。若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的。 小|题|快|练 一、走进教材 1．(选修2－2P77练习T1改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an －1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( ) A．an＝3n－1 B．an＝4n－3 C．an＝n2 D．an＝3n－1 【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2。故选C。 【答案】 C 2．(选修2－2P84A组T5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立。类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________。 【解析】根据类比推理的特点可知：等比数列和等差数列类比，在等差数列中是和，在等比数列中是积，故有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*)。 【答案】b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，且n∈N*) 二、双基查验 1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
苏教版数学高二-北京市房山区房山中学高二数学(理)b层《直接证明--综合法与分析法》教案
1．教学目标： 知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 6．教学过程: 学生探究过程：证明的方法 （1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 （2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2． 证明：(用分析法思路书写) 要证a3+b3＞a2b+ab2成立， 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立， 即需证(a-b)2＞0成立。 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。 (以下用综合法思路书写) ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab
由题设条件知，a+b ＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证 例2、若实数1≠x ，求证： .)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++ =3 242422221333x x x x x x x ------++ =)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x = ].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++ 例3、已知 ,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0 ≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。
推理与证明教案
推理与证明合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ②归纳推理的几个特点; 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤： ⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶检验猜想。
归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：2221342,13593,13579164 +==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？ ② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n n a a n a += =+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构 造新数列）
人教版数学高三-9.2直接证明与间接证明一轮教案蒋玉清
9.2 直接证明与间接证明 【知识网络】 1、了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2、了解反证法是间接证明的一种基本方法,了解反证法的思考过程和特点； 3、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单命题。 【典型例题】 例1：（1）已知0,,≠∈b a R b a 且，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ； ③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是 （ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案：C 。解析：①③④恒成立。 （2）利用数学归纳法证明 “* ),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1 32++k k 答案：C 。 （3）命题“关于x 的方程)0(0≠=a ax 的解是唯一的”的结论的否定是 （ ） A 、无解 B 、两解 C 、至少两解 D 、无解或至少两解 答案：D 。解析：“否定”必须包括所有的反面情形。 （4）定义运算 () ()a a b a b b a b ≤?*=? >? ，例如，121*=，则函数 2()(1)f x x x =*-的最大值为 _________________． 答案： 2 。 （5）若c b a >>，* N n ∈，且 c a n c b b a -≥ -+-11恒成立，则n 的最大值是 。 答案：4。 解析：因c b a >>，* N n ∈，所以 c a n c b b a -≥-+-11同解于n c b c a b a c a ≥--+-- 又 42≥--+--+=--+-+--+-=--+--c b b a b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a 所以4≤n 。
推理与证明教学设计范本(高中数学)
教学设计说明 一、本节课数学内容的本质、地位和作用的分析 推理是根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式. 数学、哲学和心理学等学科对其都有研究，它更是人类思维的基本形式. 人们在日常活动和科学研究中经常使用的推理有合情推理和演绎推理. 合情推理是人 类发现新知的一个重要途径. 它既有猜测和发现结论的作用，又有探索和启发思路的作用. 本节课所学习的归纳推理是合情推理的一种. 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的思维过程，通过归纳推理可以发现新知识，获得新结论. 推理与证明的内容属于数学思维方法的范畴，贯穿数学教学的始终，遍布数学知识的每个领域. 旧教材将其渗透在具体的数学内容中分散处理，如：综合法和分析法放在“不等式”一章，“反证法”作为“简易逻辑”的一部分，“合情推理”更是很少涉及. 新课程将其统一纳入教材，集中讲授，我认为这对学生系统掌握其方法是很有必要的. 尤其是“合情推理”这一新加入内容，有助于学生从单纯的解答现成的问题，扩展到能够独立的提出一些问题. 很多大数学家（比如拉格朗日，波利亚）都强调合情推理是他们发现新问题的重要手段，波利亚更是在其名著《数学与猜想》中拿出很多章节对合情推理的模式进行一一总结. 如果学生掌握了这些方法，并能够在今后有意识的使用它们，不仅能培养其言之有据，论证有理的思维习惯，而且对开发学生创新性思维，为社会培养创新型人才都有很强的现实意义. 二、教学目标分析 新课程中，合情推理分为归纳推理和类比推理两讲，本节课是第一部分，对它是初步了解. 所以我把教学重点放在对归纳推理的概念理解和应用上.而提高学生从特 殊到一般的归纳能力则是本节课的教学难点，教学的关键是引导学生自己探索、观察、发现、归纳. 归纳推理作为发现新知的一种途径，有时探索的过程是漫长而曲折的，课堂上设置了有一定难度的“汉诺塔问题”，正是希望学生通过一番“辛苦”的努力才能得到结论. 这样的安排有利于提高学生的数学素养和锻炼学生的意志品质. 根据以上想法，结合我校学生的实际情况，我制定了如下教学目标： (1)了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单
高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教案 文 新人教A版选修1-2
湖南省蓝山二中2014年高中数学《2.2直接证明与间接证明(三)》教 案 文 新人教A 版选修1-2 教学任务分析： （1）在以前的学习中，学生已经能应用分析法证明数学命题，但学生对分析法的内涵和特点不一定非常清楚.本节结合学生已学过的数学知识，通过实例引导学生分析，再总结这类证法的特点：要证明结论成立，逐步寻求退证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. （2）“逆推证法”或“执果索引法”，是分析法的两种形象说法.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法.教学中，应强调分析过程和思考过程，让学生明白为什么要采用分析法，以及运用分析法进行证明的书写格式. 教学重点： （1） 了解分析法的思考过程和特点； （2）运用分析法证明数学问题. 教学难点：对分析法的思考过程和特点的概括. 教学过程 ).0,0(≥2 >>+b a ab b a 证明： 分 析 法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的成分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显的成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.这种证明的方法叫做分析法. 例1. . 5273 <+求证：
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