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一元二次方程的解集及其根与系数的关系

丹东市教师进修学院宋润生

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式为20(0)ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项；b 是一次项系数；c 是常数项．

一、一元二次方程的解集

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．一元二次方程的解（根）的集合叫做一元二次方程的解集．

设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解集为M ，24b ac ?=-．

（1）当0?>时，M =????

．

（2）当0?=时，2b M a -??

=????

．

（3）当0?<时，M =?．

例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：

（1）22340x x +-=；（2）20(0)ax bx a +=≠；2210x bx b -++= 例2．已知关于x 的方程kx 2-2（k +1）x +k -1=0有两个不相等的实数根，（1）求k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使此方程的两个根是互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：（1）1(,0)

(0,)3

-+∞．

（2）120x x +=，所以

2(1)

0k k

+=，1k =-，不满足0?>，所以不存在实数k ，使此方程的两个根是互为相反数．

二、一元二次方程根与系数的关系

当0?>时，一元二次方程有20(0)ax bx c a ++=≠

有两个不相等的实数根

1x =

，2x ．那么

12b x x a

+=-．

12c

x x a

?===．

当0?=时，一元二次方程有20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根

122b x x a ==-

．那么12b

x x a

+=- ，21222444b ac c x x a a a ?===．如果一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x ，2x ，

那么1212b x x a c x x a ?

+=-?????=??

．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理（法国数学家弗朗索瓦·韦达（Fran?ois Viète ，1540－1603））．

韦达定理的应用

（1）不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；

例如：

①222121212()2x x x x x x +=+-． ②

1212

11x x x x x x ++=． ③2212121212()x x x x x x x x +=+．

④2211212

1212

()2x x x x x x x x x x +-+=．

⑤22121212()()4x x x x x x -=+-．

⑥22121212()()()mx n mx n m x x mn x x n ++=+++．

例3．已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．例4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是133-，12

．例5．设1x ，2x

是方程2210x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：（1）2212x x +；（2）212()x x -；（3）1221

()()x x x x +

+．例6．在Rt △ABC 中，∠C =90?，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程2770x x c -++=的两根，求AB 边上的中线长．练习题

1．下列方程，有实数根的是

A ．2210x x ++=

B ．23210x x ++=

C ．20.110x x --= D

．230x -+= 答案：C

2．设关于x 的方程x 2-（2k -1）x ＝-k 2+2k +3，当k 为何值时，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根?

答案：（1）13(,)4-

+∞；（2）13{}4-；（3）13

(,)4

-∞-． 3．已知关于x 的方程221

(3)04

x m x m --+=有两个不相等的实数根，若m ∈Z ，那么m 的

最大值是________．答案：3

m <

，m 的最大值是1． 4．已知一元二次方程2650x x k -+-=的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____．答案：3k =-，根为2和4．

5．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 A ． (1,)-+∞ B ．(1,0)(0)-+∞ C ．(,1)-∞

D ．(,0)

(01)-∞+

答案：B

6．关于x 的一元二次方程2(1)20x m x m ----= A ．没有实根

B ．有两相等实根

C ．有两不相等实根

D ．可能有实根

答案：C ，2290m m ?=++>．

7．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且方程（a 2+b 2）x 2-2cx +1＝0有两个相等的实数根．请你判断△ABC 的形状．

答案：直角三角形，0?= ，得222c a b =+．

8．关于方程2230x x ++=的两实数根是1x ，2x ，的说法正确的是 A ．122x x += B ．123x x += C ．122x x +=-

D ．以上都不对

答案：D

9．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，则它的另一个根及k 的值分别为______．答案：k 的值7-，另一个根3

-．

10．已知方程x 2

﹣2（m 2

﹣1）x +3m =0的两个实数根的倒数和等于0，则 A ．m =±1 B ．m =﹣1 C ．m =1 D ．m =0

答案：B

11．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-= A ．3 B ．6 C ．18 D ．24

答案：A

12．已知23210x x --=的两实数根是1x ，2x ，则12

x x +的值为______．答案：2-

13．若方程2220x x --=的两实数根是1x ，2x ，则1122(2)(2)x x x x -+-的值为______．答案：4

14．设1x ，2x 为关于x 的方程x 2

+2mx +m 2

+3m ﹣2=0两个实根，求21122()x x x x -+的最小值．

答案：49

．1280m ?=-+≥，2

m ≤

．22211221212()()396x x x x x x x x m m -+=+-=-+，当2

m =时取最小值49．

15．已知1x ，2x 是关于x 的方程22(21)0x a x a +-+=的两个实数根，若12(2)(2)11x x ++=，求a 的值．答案：1-．

140a ?=-≥时，122

12x x a

x x a +=-???=??．所以2121212(2)(2)2()446x x x x x x a a ++=+++=-+

因为12(2)(2)11x x ++=，所以2450a a --=，解得1a =-或5a =．当5a =时，0?≥不成立，所以1a =-．

16．设a ，b 是方程220180x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为______．答案：2017．222()2018(1)2017a a b a a a b ++=+++=+-=．

17．已知关于x 的方程22210x mx m --+=的两根的平方和等于4，求m 的值．

答案：2m =．2

1680m m ?=+-≥．2222

2121284

()24

m m x x x x x x +-+=+-=，

28200m m +-=，解得10m =-或2m =．其中10m =-使0?<．

18．若方程2x 2－(k ＋1)x ＋k ＋3＝0的两根之差是1，求k 的值．

答案：9k =．2

6230k k ?=+-≥．222

121212623

()()44

k k x x x x x x ---=+-=．令

2623

k k --=得26270k k --=，所以3k =-或9k =．其中3k =-使0?<．

19．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+mx +n =0的两根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+nx +m =0的两根，求m ，n 的值．

答案：13m n =-??=-?．12121

21211(1)(1)x x m

x x n x x n x x m

+=-??

=??+++=-??++=?，221n m n m =-??=-?，13m n =-??=-?．

1为根的一个一元二次方程为______．

答案：210x -+=．

21．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．

答案：2

225036x x -+=．因为1212253

5x x x x ?

+=-???

?=-??

，所以121212112()()3x x x x x x +-+-=-=，

121211125

()()6

x x x x -

-==

． 22．设一元二次方程2320x x --=的两实数根是1x ，2x ，以21x ，22x 为根的一个一元二次方程为________．

答案：21340x x -+=．因为12123

x x x x +=??

=-?，所以222121212()213x x x x x x +=+-=，22124x x =．

23．对于方程x 2+bx －2=0，以下说法正确的是

A ．方程有无实数根，要根据b 的取值而定

B ．无论b 取何值，方程必有一正根，一负根

C ．当b >0时，方程两根为正；b <0时，方程两根为负

D ．因为－2<0，所以方程两根肯定为负答案：B

24．一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有两异号实数根的条件是 A ．ab >0 B ．ac >0

C ．ab <0

D ．ac <0

答案：D

25．已知关于x 的方程2（k +1）x 2+4kx +3k -2=0．（1）当k 为值时，两根互为相反数；

（2）当k 为何值时，有一根为零，另一根不为零．解：

（1）28(2)0k k ?=-+->，因为方程两根互为相反数，所以120x x +=，即

201

k =+，0k =满足0?>，所以当0k =时，方程两根互为相反数．

（2）因为方程有一根为零，所以121200

x x x x +≠??

=?，得2

3k =．

26．设关于x 的方程230x x a ++=的两个实数根的倒数和等于3．（1）求a 的值；

（2）已知关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=有实数根，若k ∈N ，求代数式1

k k --的值．解：

（1）940a ?=->，因为方程两根倒数和等于3，所以

1211

3x x +=，即1212

3x x x x +=．由

韦达定理

-= 1a =-，满足0?>，所以1a =-．（2）若1k =，方程2(1)320k x x -++=有实数根23

x =-；若1k ≠，当判别式1780k ?=-≥，即17

k ≤时，方程2(1)320k x x -++=有实数根，因为k ∈N ，所以0k =或2k =．

当0k =时，

1122k k -=-；当1k =时，102k k -=-；当2k =时，

k k --不存在． 27．已知23201860x x ++=，26201830y y ++=，若1xy ≠，则

= A ．2 B ．2- C ．

12 D ．12

答案：A 解：

因为y 是方程26201830y y ++=的根，所以

是方程23201860x x ++=的根．而x 是方程23201860x x ++=的根，1xy ≠，所以x 与

方程23201860x x ++=的两个不同实数根，由韦达定理得

2x x y y

=?=． 28．已知方程组22010x y a x y ?-++=?-+=?的两组解分别为11x x y y =??=?和2

2x x y y =??

=?12()x x ≠，若222121238611x x x x a a +-=--．

（1）求a 的值；

（2）不解方程组判断方程组的两组解中的每一个数能否都为正数，为什么? 解：

（1）由22010x y a x y ?-++=?-+=?得210x x a -++=，430a ?=-->，12121

1x x x x a +=??=+?．所以

222121212123()554x x x x x x x x a +-=+-=--．

因为222121238611x x x x a a +-=--，所以2870a a --=，解得1a =或7

a =-，1a =不

满足0?>，所以78

a =-．

（2）方程组220

10x y a x y ?-++=?-+=?解得个数等于关于x 的方程210x x a -++=根的个数．

因为78a =-，关于x 的方程210x x a -++=化为2108x x -+=，因为121210

08x x x x +=>??

?=>??

，所以1200x x >??>?，112

210

10y x y x =+>??=+>?，即方程组的两组解中的每一个数都为正数．

解实系数一元二次方程

课题解实系数一元二次方程教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点．教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用．教学过程: 一、引入新课问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为二、讲授新课引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？解为：无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为：当Δ≥0时有实根；当Δ＜0时，有一对共轭的虚根．例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0

i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以解：例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值．解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6．我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？例3 求方程x 2-2ix-5=0的解．解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ．练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.

解一元二次方程(直接开方法-配方法)练习题100+道

解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x －）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x －）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程：（2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2

一元二次方程根与系数关系(附答案)

一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 · 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）》 A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．

评卷人· 得分三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． · 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值； : （3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值． 13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.

复数范围内实系数一元二次方程(19题)答案

复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总有两个根．（ √ ）） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+．解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+．由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数，设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==-

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)

? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程：（1）2225x =；（2）2 1440y -=． 2. 解下列方程：（1）2 (1)9x -=；（2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=．（4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2） 21(31)644 x +=；【（3）26(2)1x +=；（4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空（1）28x x ++（）=（x + ）2 ．（2）223 x x - +（）＝（x - ）2．（3）2b y y a -+（）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；

2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=．（ 12. 用适当的方法解方程（1）23(1)12x +=；（2）2 410y y ++=；

一元二次方程(根与系数关系)

一元二次方程（根与系数关系专题测试）一、单选题（共10题；共30分） 1.已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（） A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2－5x＋6＝0的两根分别是x1、x2，则x1＋x2等于() A. 5 B. 6 C. －5 D. －6 4.是方程的两根，的值是（） A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（） A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（） A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（） A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知，是一元二次方程的两个实数根且，则的值为（）. A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（） A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b，且则的值为（） A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题（共6题；共18分） 11.如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么x1+x2=﹣， x1x2= ，这就是一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）．利用韦达定理解决下面问题：已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根，则+ =________． 12.一元二次方程的两根为，则________

解一元二次方程配方法练习题

- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x －）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x －）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2 =b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x 2 +6x+m 2 是一个完全平方式，则m 的值是（） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：（1）3x 2 -5x=2．（2）x 2 +8x=9 （3）x 2 +12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。（1）你选的m 的值是；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值

一元二次方程根与系数之间的关系

中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的关系我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.

数学：13.6《实系数一元二次方程》教案(1)(沪教版高二下)

13.6（1）实系数一元二次方程上海市新中高级中学陶志诚一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备电脑、实物投影仪五、教学流程设计

六、教学过程设计（一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我们回顾一下：当240b ac ?=-≥ 时，方程有两个实数根：2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况：设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-，配方得

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得；于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是其中，的整数值有或当时，方程（1）为，无整数根；当时，方程（1）为，有整数根。解得：所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，