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高中数学函数的基本性质知识梳理

函数的基本性质

【考纲要求】

1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解．

2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．

3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．【知识网络】

【考点梳理】

1．单调性

（1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值

12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，

那么就说函数在区间D 上单调递减。

（2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。

（3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像定义法：

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差)()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的正负符号；⑤根据定义下结论。

复合函数分析法

设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

()u g x =

()y f u =

[()]y f g x =

增增增增减减减增减减

减

增

函数的基本性质奇偶性

单调性

周期性

导数证明法：

设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）

；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数），则'()0('()0)f x f x ≥≤。

图像法：

一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义:

如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数.

理解：

(Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件.

(Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化

①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ?

)

()

(x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ?

)

()

(x f x f -=1 (f(x)≠0) (2)延伸

(Ⅰ) 设函数f(x)是定义域关于原点对称的任意一个函数,则有 f(x)=

2)()(x f x f -++ 2

)

()(x f x f --=g(x)+p(x)

其中,g(x)=

2)()(x f x f -+为偶函数,p(x)= 2

)

()(x f x f --为奇函数.

即对于定义域关于原点对称的任何一个函数f(x), f(x)总可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

(Ⅱ)若f(x)为奇函数且零属于f(x)的定义域,则f(0)=0. (3)奇(偶)函数图像的特征 (Ⅰ)奇函数图像关于原点对称; (Ⅱ)偶函数图像关于y 轴对称. (4)奇偶性与单调性的联系

当函数f(x)既具奇偶性,又在某区间上单调时,我们可利用奇、偶函数的定义导出以下命题: 设G,G ＇为函数ｆ（ｘ）的定义域的子区间，并且区间Ｇ与Ｇ＇关于原点对称，则有 (Ⅰ)当ｆ（ｘ）为奇函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相同； (Ⅱ)当ｆ（ｘ）为偶函数时，ｆ（ｘ）在区间Ｇ和区间Ｇ＇上的单调性相反．这一命题又可凝练为八个字：区间对称，奇同偶反．【典型例题】

类型一、求（判断）函数的单调区间例1.证明函数()(0)a

f x x a x

=+>在区间(,)a +∞是增函数。解：设21x x a <<，

111

2112212)()(x x ax x x ax x x x a x x a x x f x f --+=--+=- 2

1211221121221)

)(()()(x x a x x x x x x x x a x x x x --=---=

21x x a << 012>-∴x x

a x x >21 0)()(12>-∴x f x f

∴函数()(0)a f x x a x

=+>在区间(,)a +∞是增函数。

举一反三：

【变式】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)121y x =-； (3)21

y x

=. 解：(1)??

?-<---≥+=)

1x (1x )

1x (1x y 画出函数图象，

∴函数的减区间为(]1,-∞-，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为u 1y ,1x 2u ,2121,=

-=??

? ??+∞???? ??∞-，设，其中u=2x-1为增函数，u

y 1

=在(-∞，0)

与(0，+∞)为减函数，则??

??+∞??? ??∞--=

,21,21,121在x y 上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，2x

y =

单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型二、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例2. 已知二次函数f(x)=x 2

-(a-1)x+5在区间1

(,1)2

上是增函数，

求：(1)实数a 的取值范围；(2)f(2)的取值范围.

解：(1)∵对称轴-1

a x =是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需

-11

222

a a ≤∴≤； (2)∵f(2)=22

-2(a-1)+5=-2a+11又∵a ≤2，∴-2a ≥-4 ∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7

[)f(2)7,+∴∈∞.

举一反三：

【变式】已知函数32

()(1),2x f x x x x ?≥?=??-

，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的

取值范围是________.

解：2

()(2)f x x x

≥单调递减且值域(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，由图象知，若()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.

类型三、判断函数的奇偶性例3. 判断下列函数的奇偶性：

(1)()(f x x =+

(2)()f x =(3)f(x)=x 2

-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)()|2|-2

f x x =+

(6)22-(0)

()(0)

x x x f x x x x ?+≥?=?+

解析：(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域[)1+∞，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数； (3)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2

-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2

-4|x|+3为偶函数； (4)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(5)[)(]2-1x 1

1-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤?≥?∴∴∈??

?≠≠≠±??且

()(2)-2f x x x

∴==

(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数；

(6)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(7)

(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22

f x

g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.

举一反三：

【变式】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶

函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则

F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

类型四、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

例4．设()(0)x x

e a

f x a a e =

+>是偶函数．（1）求a 的值;

（2）证明：()f x 在(0,)+∞上为增函数．解析：

（1）方法一：

∵()(0)x x e a

f x a a e =

+>是偶函数且其定义域为x R ∈，∴()()-=f x f x ∵1()x x x x e a f x ae a e ae ---=

+=+，∴1x x

x x e a ae ae a e

+=+ ∴

=a a

，解得1a =或1a =- ∵0a >， ∴1a =

方法二：∵()(0)x x e a

f x a a e

+>是偶函数且其定义域为x R ∈，∴()()-=f x f x ∴当1x =时(1)(1)-=f f 即1e a ae ae a e

+=+ ∴

=a a

，解得1a =或1a =- ∵0a > ∴1a =

（2）方法一：定义法由（1）知：1()=+

f x e e 设120>x x >，则1

111()=+

x x f x e

，2

21()=+x x f x e e 121

212

1122

12111()()x

x x x x x x x x x e e f x f x e e e e e e e e --=+-+-?（）（）=（）

∵120x x >> ∴121>>x x

e e

∴12

0->x

x e e

，1210x x e e >>，1210x x e e ->

∴12()()0->f x f x 即12()()>f x f x 故()f x 在(0,)+∞上为增函数。方法二：导数法

由（1）知：1()=+

x f x e e ，∴1()'=-

f x e e ∵(0,)∈+∞x 时11,01><

x e e

∴(0,)∈+∞x 时1()0'=->x

x f x e e

故()f x 在(0,)+∞上为增函数。

点评：偶函数()(0)x x

e a

f x a a e =

+>在其定义域x R ∈内()()-=f x f x 恒成立，因此可以应用恒等式的相关方法进行处理。在利用定义法证明单调性的时候，必须注意书写格式的规范。

举一反三：

【变式】已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(2

)=－1,当且仅当0

x ++1),试证明： (1)f(x)为奇函数；

(2)f(x)在(－1，1)上单调递减【答案】

(1)证明：由f(x)+f(y)=f(xy

x ++1),

令x=y=0,得f(0)=0,

令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(

1x x

x --)=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x)，∴f(x)为奇函数

(2)证明：先证f(x)在(0，1)上单调递减

令0

21x x x x --)

∵00,1－x 1x 2>0，∴

21x x x x -->0,

又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0<

21x x x x --<1,

由题意知f(

21x x x x --)<0，即f(x 2)

∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 ∴f(x)在(－1，1)上为减函数。

类型五：分段函数的基本性质

例5．已知函数223(0)()3(10)4(1)?+>?

=-+-≤≤??<-?

x x f x x x x x ，求：

（1）[(2)]f f -的值；（2）()y f x =的定义域、值域。解析：

（1）∵21-<-， ∴2

(2)4(2)16f -=?-=

∴[(2)](16)216335f f f -==?+= （2）()y f x =的定义域为(,1)

[1,0](0,)x ∈-∞--+∞，即(,)x ∈-∞+∞

当0>x 时，()(3,)f x ∈+∞；当10-≤≤x 时，()[3,4]f x ∈；当1<-x 时，()(4,)f x ∈+∞；

综上可得()y f x =的值域为()[3,)f x ∈+∞。点评：分段函数分段讨论，先局部后整体；结果应当要并。举一反三：

【变式】设2310()0x x f x x x +≥?=?

x x g x x ≤?-=?>?，则[(3)]f g = ，1[()]2g f -= .

【答案】：31

。解析：(3)2g =，[(3)](2)7f g f ==；

11()24f -=，11131[()]()2241616

g f g -==-=.

例6. （2016年高考天津卷理）已知函数f （x ）=2(4,0,

log (1)13,03)a

x a x a x x x ?+0,且a ≠1）在R 上

单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）（A ）（0，23] （B ）[23，34

] （C ）[13，2

{

}（D ）[13，2

3）

{

} 【答案】C

解析：由()f x 在R 上递减可知34013

31,013

4a a a a -≥??≤≤?≥<

的实数解，可知132,

12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵3

a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123

[,]{}334

，故选C.

【总结升华】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结（1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点（5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值

③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

高中数学函数常用函数图形及其基本性质

高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见函数性质汇总常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候周期性：无补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k

补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0