第23讲 三角函数的图象与性质
普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座23）—三角函数的图象与性质
一．课标要求：
1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性；
2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；
3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin（w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响。
二．命题走向
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
预测07年高考对本讲内容的考察为：
1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；
2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换；三．要点精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2．三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是?????
?
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，
递减区间是??
?
??
?+
+
2322
2πππ
πk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，
递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，
x y tan =的递增区间是??? ?
?
+-22ππππk k ，)(Z k ∈，
3．函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA
最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω
π
2=
T ，频率是π
ω
2=
f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2
Z k k x ∈+
=+π
π?ω，凡是该图象与
直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点
的横坐标变为原来的
ω
1
倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω
1
倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0)
或向右(?＜0＝平移
ω
?|
|个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋?)的图象求其函数式：
给出图象确定解析式y =A sin （ωx +?）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ω
?
，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．
第一个零点的位置。 6．对称轴与对称中心：
sin y x =的对称轴为2
x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)
k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴
与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；
8．求三角函数的周期的常用方法：
经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y =A sin （ωx +?）的简图：
五点取法是设x =ωx +?，由x 取0、2π、π、2
π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
四．典例解析
题型1：三角函数的图象
例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）
解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，
2
π
）时，y ＝－xc os x ＜0。答案为D 。 例2．（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）
解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］为非奇非偶函数。选
项A 、D 为奇函数，B 为偶函数，C 为非奇非偶函数。
点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。 题型2：三角函数图象的变换
例3．试述如何由y =31sin （2x +3π
）的图象得到y =sin x 的图象。
解析：y =31sin （2x +3
π
）
）
（纵坐标不变倍
横坐标扩大为原来的3
πsin 312+=?????????→?x y x y sin 3
1π
=????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移
x y sin 3=?????????→?横坐标不变
倍
纵坐标扩大到原来的
另法答案：
（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =31
sin2x 的图象；
（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =3
1
sin x
的图象；
（3）再将y =3
1
sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得
到y =sin x 的图象。
例4．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2
π
个单位，再沿
y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ） A ．（1－y ）sin x +2y －3=0 B ．（y －1）sin x +2y －3=0 C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0
解析：将原方程整理为：y =
x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π
个
单位和1个单位，因此可得y =
)
2
cos(21
π
-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.
点评：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）c os （x －2
π
）+2（y +1）－1=0，即得C 选项。
题型3：三角函数图象的应用
例5．已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ω?=+。 （１）右图是sin()I A t ω?=+（ω＞0，||2
π
?<
）
在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ω?=+ 的解析式；
（２）如果t 在任意一段
1
150
秒的时间内，电流sin()I A t ω?=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最
小正整数值是多少？
解析:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．
（１）由图可知 A ＝300。
设t 1＝－1900，t 2＝1180
， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝1
75
。
∴ ω＝2T π
＝150π。
又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1
180
＋?）＝0，
而||2
π
?<
， ∴ ?＝
6
π
。 故所求的解析式为300sin(150)6
I t π
π=+
。
（２）依题意，周期T ≤
1150，即2πω≤1150
，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *
，
故最小正整数ω＝943。
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
例6．（1）（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +?）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =
3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A =2，T =27π－（－2
π
）=4π，
∴ω=
21，∴y =2sin （2
x
+?）， 又由图象可得相位移为－
2
π，∴－2
1?
=－
2π，∴?=
4π.即y =2sin （21x +4
π）。 根据条件3=2sin
（421π+x ），∴421π+x =2k π+3π(k ∈Z )或4
21π+x =2k π+32
π（k ∈Z ），
∴x =4k π+
6
π
（k ∈Z ）或x =4k π+
6
5
π（k ∈Z ）。 ∴所有交点坐标为（4k π+
3,6
π
）或（4k π+
3,6
5π
）（k ∈Z ）。 点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
（2）（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞c os x 成立的x 取值范围为（ ）
A ．（
4π，2
π
）∪（π，
45π） B ．（4
π，π） C ．（
4π，4
5π
） D ．（
4π，π）∪（4
5π
，
2
3π
）
解析：C ；
解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标
4
π
和
4
5π
，由图1可得C 答案。
图1 图2
解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C 。（如图2）
题型4：三角函数的定义域、值域
例7．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域； （2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。
解析：（1）0≤c os x ＜1?2k π－
2π≤x ≤2k π+2
π
，且x ≠2k π（k ∈Z ）。 ∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－
2π，2k π+2
π
］且x ≠2k π，k ∈Z }。 （2）由sin （c os x ）＞0?2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。 又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。 故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－
2π，2k π+2
π），k ∈Z }。 点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线。
例8．（2003京春，18）已知函数f （x ）=x
x x 2cos 1
cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义
域，判断它的奇偶性，并求其值域。
解析：由c os2x ≠0得2x ≠k π+
2
π，解得x ≠
4
2π
+k ，k ∈Z ，所以f （x ）的定义域
为{x |x ∈R 且x ≠
4
2π
π+k ，k ∈Z }， 因为f （x ）的定义域关于原点对称，
且f （－x ）=x
x x x x x 2cos 1
cos 5cos 6)2cos(1)(cos 5)(cos 62424+-=
-+---=f （x ）。 所以f （x ）是偶函数。 又当x ≠
4
2π
π+k （k ∈Z ）时， f （x ）=1cos 32cos )1cos 3)(1cos 2(2cos 1cos 5cos 622224-=--=+-x x
x x x x x 。
所以f （x ）的值域为{y |－1≤y <
21或2
1
题型5：三角函数的单调性 例9．求下列函数的单调区间： （1）y = 21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4 π）｜。 分析：（1）要将原函数化为y =－ 21sin （32x －4 π ）再求之。 （2）可画出y =－|sin （x +4 π ）|的图象。 解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4 π）。 故由2k π－ 2π≤32x －4π≤2k π+2 π。 ?3k π－ 8π3≤x ≤3k π+8 π9（k ∈Z ），为单调减区间； 由2k π+ 2π≤32x －4π≤2k π+2 π3。 ?3k π+ 8 π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间。 ∴递减区间为［3k π－ 8π3，3k π+8 π9］， 递增区间为［3k π+8 π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）。 （2）y =－|sin （x +4π）|的图象的增区间为［k π+4π，k π+4π3］，减区间为［k π－4 π ，k π+ 4 π ］。 例10．（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A ．［2k π－ 2π ，2k π＋ 2 π］（k ∈Z ） B ．［2k π＋2 π，2k π＋ 2 3π］（k ∈Z ） C ．［2k π－π，2k π］（k ∈Z ） D ．［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 解析：A ；函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间。 题型6：三角函数的奇偶性 例11．判断下面函数的奇偶性：f （x ）=lg （sin x +x 2sin 1+）。 分析：判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称，然后再看f （x ）与f （－x ）的关系。 解析：定义域为R ，又f （x ）+f （－x ）=lg1=0， 即f （－x ）=－f （x ），∴f （x ）为奇函数。 点评：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要（但不充分）条件。 例12．（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +?）有以下命题： ①对任意的?，f （x ）都是非奇非偶函数； ②不存在?，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使f （x ）是奇函数； ④对任意的?，f （x ）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是_____.因为当?=_____时，该命题的结论不成立。 答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①， 2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2 π +k π（k ∈Z ） 解析：当=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数。当=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数。当?=2k π+ 2π，k ∈Z 时，f （x ）=c os x ，或当?=2k π－2 π，k ∈Z 时，f （x ）=－c os x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的。无论?为何值都不 能使f （x ）恒等于零。所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数。①和④都是假命题。 点评：本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力，注意k ∈Z 不能不写，否则不给分，本题的答案不惟一，两个空全答对才能得分。 题型7：三角函数的周期性 例13．求函数y =sin 6x +c os 6x 的最小正周期，并求x 为何值时，y 有最大值。 分析：将原函数化成y =A sin （ωx +?）+B 的形式，即可求解。 解析：y =sin 6x +c os 6x =（sin 2x +c os 2x ）（sin 4x －sin 2xc os 2x +c os 4x ） =1－3sin 2xc os 2x =1－43sin 22x =8 3c os4x +85 。 ∴T = 2 π 。 当c os4x =1，即x = 2 π k （k ∈Z ）时，y m ax =1。 例14．设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12 ( =π f ， （1）求ω、a 、b 的值； （2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。 解析：(1) )sin()(22?ω++=x b a x f ， π=∴T ， 2=∴ω， 又 )(x f 的最大值。 4)12 ( =π f ， 224b a +=∴ ① ，且 12 2cos b 122sin a 4π+π=②， 由 ①、②解出 a =2 , b =3. (2) )3 2sin(42cos 322sin 2)(π +=+=x x x x f ， 0)()(==∴βαf f ， )3 2sin(4)3 2sin(4π βπ α+ =+ ∴， 3 223 2π βππ α+ +=+ ∴k ， 或 )3 2(23 2π βπππ α+ -+=+ k ， 即 βπα+=k (βα、 共线，故舍去) ， 或 6 π πβα+ =+k ， 3 3 )6 tan()tan(= + =+∴π πβαk )(Z k ∈。 点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函 数的周期性。 题型8：三角函数的最值 例15．（2003京春文，2）设M 和m 分别表示函数y =3 1 c os x －1的最大值和最小值，则M +m 等于（ ） A ． 32 B ．－32 C ．－3 4 D ．－2 解析：D ；因为函数g （x ）=c os x 的最大值、最小值分别为1和－1。所以y = 3 1 c os x －1的最大值、最小值为－ 32 和－3 4。因此M +m =－2。 例16．（2000京、皖春理，10）函数y ＝ x x cos sin 21 ++的最大值是（ ） A ． 2 2 －1 B ． 22 ＋1 C ．1－ 2 2 D ．－1－ 2 2 解析：B ；22 1221)4 sin(221cos sin 21+ =-≤+++++= πx x x y 。 五．思维总结 1．数形结合是数学中重要的思想方法，在中学阶段，对各类函数的研究都离不开图象，很多函数的性质都是通过观察图象而得到的。 2．作函数的图象时，首先要确定函数的定义域。 3．对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。 4．求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x 的取值范围不能发生变化。 5．求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。 6．函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。 7．判断y =－A sin （ωx +?）（ω＞0）的单调区间，只需求y =A sin （ωx +?）的相反区间即可，一般常用数形结合而求y =A sin （－ωx +?）（－ω＜0＝单调区间时，则需要 先将x 的系数变为正的，再设法求之。 第三节三角函数的图象与性质[备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象， 了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的 性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴 的交点等)，理解正切函数在区间???? － π 2， π 2内 的单调性. 1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 单调性、周期性及对称性．如2012年新课标 全国T9等． 2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的 值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如 2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域R R? ? ? x??x≠ π 2＋kπ，k ∈Z} 值域[－1,1][－1,1]R 单调性 递增区间： ? ? ? ? 2kπ－ π 2，2kπ＋ π 2(k∈Z) 递减区间： ? ? ? ? 2kπ＋ π 2，2kπ＋ 3 2 π(k∈Z) 递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z) 递增区间： ? ? ? ? kπ－ π 2，kπ＋ π 2(k∈ Z) [探究] 1.正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y ＝tan x 在每一个区间????k π－π2，k π＋π 2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)呢？ 提示：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π 2(k ∈Z )时是偶函 数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f (x )＝sin ????2x －π 2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π 2的奇函数 D ．最小正周期为π 2 的偶函数 解析：选B ∵f (x )＝sin(2x －π 2)＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 三角函数的图像与性质 1．三角函数中的值域及最值问题 a ．正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题，5分)函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π 2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 22 C.22 D ．0 答案：B 解析：∵x ∈????0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π 4，∴函数f (x )＝sin ????2x －π4在区间????0，π2上先增后减．∵f (0)＝sin ????－π4＝－22， f ????π2＝sin ????3π4＝2 2， f (0) 三角函数的图象与性质 1.(2020·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝cos ? ? ???ωx ＋π6在[－π，π]的图象大致如图，则f (x )的 最小正周期为( ) A.10π 9 B.7π6 C.4π3 D.3π2 解析 由图象知π 解析 T ＝2π 1＝2π，故①正确. 当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π 6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故②错误. y ＝sin x 的图象 y ＝sin ? ?? ?? x ＋π3的图象，故③正确.故选B. 答案 B 3.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间? ???? π4，π2单调递增的是( ) A.f (x )＝|cos 2x | B.f (x )＝|sin 2x | C.f (x )＝cos|x | D.f (x )＝sin|x | 解析 易知A ，B 项中函数的最小正周期为π 2；C 中f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，D 中f (x )＝sin|x |＝?????sin x ，x ≥0， －sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x ) 均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，排除C ，D. 又当x ∈? ????π4，π2时，2x ∈? ?? ?? π2，π， 则y ＝|cos 2x |＝－cos 2x 是增函数，y ＝|sin 2x |＝sin 2x 是减函数，因此A 项正确，B 项错误. 答案 A 4.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的 图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________. 解析 将函数y ＝3sin ? ? ???2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y ＝3sin ?????? 2? ????x －π6＋π4＝3sin ? ????2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π 24，与y 轴最近. 答案 x ＝－5π 24 5.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值 第2章第3节 三角函数的图像和性质（1） 主备人： 审核人： . 班级 姓名 . 【教学目标】 ① 了解三角函数的周期性. ② 能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]， 正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. ③ 了解三角函数 y ＝Asin (ωx＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响. 【重点难点】 1.重点：能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0， 2π]，正切函数在? ?? ??－π2，π2上的性质. 2.难点：y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 性质的熟练运用。 【教学过程】 一. 基础自测： 1. 函数13sin()24y x π=+ 的最小正周期为______________； 2．函数21sin -= x y 的定义域为 . 3．函数)4cos(2π +=x y 的单调减区间为 . 三.典型例题 例1．求下列函数的定义域： （1）tan 4y x π??=- ??? ； （2）y = 例2．求下列函数的值域 （1）2()sin 2,[ ,]63f x x x ππ=∈； （2）2()64sin cos f x x x =--； （3）2sin 1sin 2x y x += -； （4）sin cos 2sin cos 2,y x x x x x R =+++∈ 例3．已知函数sin(2)3y x π =+，求（1）周期； （2）当x 分别为何值时函数取得最大值，最小值；（3）单调增区间，单调减区间；（4）对称轴、对称中心. 例4．设函数的最小正周期为． （Ⅰ）求的值．（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移 个单位长度得到，求的单调增区间． 22()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>23 πω()y g x =()y f x =2 π()y g x = 一、选择题 1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－5 4，－1] C ．[－5 4，1] D ．[－1，5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sin x ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sin x ∈[－1,1]，y ＝t 2 ＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－5 4 ≤y ≤1，选C. 2．(2011·山东理，6)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π 3]上单调递增， 在区间[π3，π 2 ]上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性 依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2π ω， ∴2πω＝43π，∴ω＝32 . 故选C(亦利用y ＝sin x 的单调区间来求解) 3．(文)函数f (x )＝2sin x cos x 是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性． f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，最小正周期T ＝2π 2＝π， 且f (x )是奇函数． (理)对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2)上是递增的 B ．f (x )的图像关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质．f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f (－x )＝sin(－2x )＝－2sin x ，为奇函数，其图像关 于原点对称，B 正确；函数的递增区间为???? ??k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A. 4．函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图像关于直线x ＝－π 8对称，则a 的值为 ( ) 三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4πC ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1-D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数 三角函数的图象与性质 教学目标 1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质． ．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 2 重点难点 重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题． 难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度． 教学过程 三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻． 一、三角函数性质的分析 ．三角函数的定义域 1 函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ，kπ+π)(k∈Z)，这两种表示法都需要掌握．即角x不能取终边在x轴上的角． (2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同． 求下列函数的定义域： 例1 π](k∈Z) ． 形使函数定义域扩大． 到．注意不要遗漏． ． (3)满足下列条件的x的结果，要熟记(用图形更便于记住它的结果) 是 [ ] 所以选C． 2．三角函数的值域 (1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是 |cscx|≥1、|secx|≥1． (2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域． 三角函数的图象与性质 ——正弦函数、余弦函数的性质 【教学目标】 1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3．掌握正弦函数的周期及求法。(n )si y A x ω?＝＋ 【教学重点】 正、余弦函数的性质。 【教学难点】 正、余弦函数性质的理解与应用。 【教学过程】 一、讲解新课： （1）定义域： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集［或］， R (,)-∞+∞分别记作： sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R （2）值域 ，1sin 1x ≤≤--1cos 1 x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是。[ ]-1,1其中正弦函数，sin y x =x ∈R （1）当且仅当，时，取得最大值1。 x 2k 2π π=+k ∈Z （2）当且仅当，时，取得最小值。 x 2k 2π π=+k ∈Z 1- 而余弦函数，cos y x ＝x ∈R 当且仅当，时，取得最大值1，时，取得最小值。 2x k π=k ∈Z (21)x k π=+k ∈Z 1-（3）周期性 由，()知： sin(2)sin x k x π+=cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值()f x T x 时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周()()f x T f x +=T 期。 由此可知，，，…，，，…(且)都是这两个函数的周期。2π4π2π-4π-2k πk ∈Z 0k ≠对于一个周期函数 ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正()f x 数就叫做 的最小正周期。()f x 注意： 1．周期函数定义域，则必有，且若则定义域无上界；则定义域x ∈M x T M +∈0T ＞0T ＜无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数（如） ()f x ()()001f x t f x +3．往往是多值的（如，，，…，，，…都是周期）周期中最T sin y x =2π4π2π-4π-T 小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） ()f x 根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，(且)都是它的2k πk ∈Z 0k ≠周期，最小正周期是2π （4）奇偶性 由sin()sin x x -=-可知：为奇函数 ()cos x cosx -＝sin y x =为偶函数 cos y x =∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称 §1.4．1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标:1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画y＝sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象,通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法,那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题２. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示),把单位圆中1２个角的正弦线进行右移. 问题３. 通过刚才描点(x0,siｎx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5.如何作y=sinｘ,x∈R的图象（即正弦曲线）? 问题6．用诱导公式cｏsｘ＝__＿＿＿___（用正弦式表示）,y=ｃosx的图象(即余弦曲线）怎样得到? 问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1:用“五点法”画下列函数的简图 (1)ｙ=１+sｉnx ,x∈[]π2,0 (2) y=-cosx，x∈[]π2,0 思考:(１）从函数图象变换的角度出发，由y=sｉnx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ,ｘ∈[]π2,0的图像?由ｙ＝cｏsx,x∈[]π2,0的图象怎样得到ｙ＝-cosｘ， ,ｘ∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,２π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ）． A．0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、 用五点法作) y=１-cosx, x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 １、观察正弦函数的图象,以下4个命题: （1)关于原点对称（2）关于x轴对称（3)关于y轴对称(4）有无数条对称轴其中正确的是 1．函数 f (x )＝sin 2x ＋3?图象的对称轴方程可以为 ( D ) A ．x ＝ B ．x ＝ C ．x ＝ D ．x ＝ 2．函数 y ＝sin x ＋3?cos 6－x ?的最大值及最小正周期分别为 ( A ) A ．1，π B. ，π C ．1， D ．1,2π 3.函数 y ＝2sin x －4?cos 4－x ?是( C ) A ．[－1,1] B ．[－ ，－1] C ．[－ ，1] D ．[－1， ] A ．f(x)在( ， )上是递增的 B ．f(x)的图像关于原点对称 A ．k π (k ∈Z) B ．k π ＋π (k ∈Z)C ．k π ＋ (k ∈Z) D ．k π － (k ∈Z) [2k π + ,2k π + ](k ∈ z ) __________________. 高三理科数学周测十六（三角函数的图像与性质） ? π? ? ? 5π π π π 12 3 6 12 ? π? ?π ? ? ? ? ? 1 π 2 2 ? π? ?π ? ? ? ? ? A ．周期为 2π 的奇函数 B ．周期为 π 的奇函数 C ．周期为 π 的偶函数 D ．周期为 π 的非奇非偶函数 4．函数 y ＝sin2x ＋sinx －1 的值域为(C ) 5 5 5 4 4 4 5．对于函数 f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( B ) π π 4 2 C ．f(x)的最小正周期为 2π D ．f(x)的最大值为 2 6．函数 f(x)＝ 3cos(3x －θ )－sin(3x －θ )是奇函数，则 θ 等于( D ) π π 6 3 3 7. 若 f (sin x )＝3－cos2x ，则 f (cos x )＝（ C ） A 、3－cos2x 8.函数 f ( x ) = x sin( x - 5 π 2 B 、3－sin2x C 、3＋cos2x D 、3＋sin2x ) 是( B ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 9. 在 (-π , π ) 内是增函数, 且是奇函数的是( A ) . x x x A. y = sin B. y = cos C. y = - sin D. y = sin 2 x 2 2 4 1 ． 函 数 y = 2s x i - 1 n 的 定 义 域 是 _______ π 5π 6 6 2.函数 y = a + b sin x (b > 0) 的最大值是 3 ，最小值是- 1 ，则a ＝_____ 1 ， 2 2 2 1 / 2 三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx , y = tanx ; 偶函数：y= cosx. （2） -'’ 一 -‘：型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二： O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理，旨（对二話乞山（伽+洌0€丘）为奇函数O 寻炉=七兀3€2）. （ii）u'■■ ' '''「：；：：「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数 O 【本讲教育信息】 一.教学内容： 三角函数的图象与性质 二.教学目的： 了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ）， y＝A cos（ωx＋φ）的周期为。 能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、 余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和 最小值、图象与x轴的交点等）。 了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型。 三.教学重点：三角函数的性质与运用 教学难点：三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是， 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该 图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别 开这两个途径，才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的 第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法： 经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点取法是设x=ωx+，由x 取0、、π、、2π来求相应的x 值及对应 三角函数的图像与性质 一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质 二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图 象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ??-+∈??? ? 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ??++∈??? ? 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最 值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2(k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 对称性 对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点） 对称轴：x ＝k π＋π 2，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴） 最小正周期 2π 2π 三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的图象 注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(?ω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性： 将?ω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当?取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(?ω+=x A y ，当π?k =时为奇函数，当2 ππ?±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω π2=T 三角函数的图像和性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x = 图 象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最 值 当 22 x k π π=+ 时， max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-． 当2x k π=时， max 1y =；当2x k ππ=+ 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在2,22 2k k π πππ?? - + ??? ? 上是增函数； 在32,22 2k k ππππ? ?++??? ? 上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函 数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数． 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? 上是增函数． 对称 性 对称中心(),0k π 对称轴2 x k π π=+ 对称中心,02k π π??+ ?? ? 对称轴x k π= 对称中心,02k π?? ??? 无对称轴 函 数 性 质 例作下列函数的简图 (1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π] 例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 21sin )1(≥ x 21 cos )2(≤ x 3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做 ()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一 般称为周期） 正弦函数、余弦函数：ωπ= 2T 。正切函数：π ω 例求下列三角函数的周期： 1? y=sin(x+3 π ) 2? y=cos2x 3? y=3sin(2x +5π) 4? y=tan3x 例求下列函数的定义域和值域： （1）2sin y x =- （2）y =（3）lgcos y x = 三角函数的图像和性质 1．函数） 6 2sin(21π += x y 的单增区间是___________. 【答案】Z k k k ∈?? ? ?? ?+ - 6,3 πππ π 2．函数y ＝cos 24x π? ? - ?? ? 的单调递增区间是________． 【答案】388k k ππππ?? ???? - ＋，＋(k ∈Z) 3．函数3sin(2)3 y x π =+图象的对称中心是_______． 【答案】(,0)32 k π π - + 4．若函数f(x)=sin(ωx+6π)（ω>0）的最小正周期是5 π ，则ω=_________。 【答案】10 5．函数)4 tan()(π +=x x f 单调增区间为（ ） A ．Z k k k ∈+ - ),2,2(π πππ B ．Z k k k ∈+),,(πππ C ．Z k k k ∈+-),4,43(ππππ D ．Z k k k ∈+-),4 3,4(π πππ 【答案】C 6．下列函数中周期为π且为偶函数的是 （ ） A ．)22sin(π -=x y B. )22cos(π -=x y C. )2 sin(π +=x y D. )2 cos(π + =x y 【答案】A 7．设函数()sin(2)3 f x x π =+ ，则下列结论正确的是 A ．()f x 的图像关于直线3 x π =对称 B ．()f x 的图像关于点( ,0)4 π 对称 C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在[0,]12 π 上为增函数 【答案】D 8．如果函数)4 cos(ax y +=π 的图象关于直线π=x 对称，则正实数a 的最小值是( ) A ．41= a B ．21=a C ．4 3 =a D ．1=a 三角函数的图像和性质 【考点导读】 1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22 ππ - 上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】 1. 已知简谐运动()2sin( )()32f x x ππ ??=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相?=__________． 2. 三角方程2sin(2 π －x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为 ______________________． 4. 要得到函数 sin y x =的图象，只需将函数cos y x π? ?=- ?3? ?的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】 例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+． （Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象，长度为一个周期； （Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ω?+形式． 解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2 +-=+= )4 2sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21π ππ -+=-?+=x x x ． 列表，取点，描图： 6π {2,}3 x x k k Z π π=±∈ )48sin(4π+π-=x y 第3题 §1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点：运用“五点法”作图 学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移. 问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5. 如何作y=sinx,x∈R的图象（即正弦曲线）？ 问题6. 用诱导公式cosx=________（用正弦式表示），y=cosx的图象（即余弦曲线）怎样得到？问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1：用“五点法”画下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x∈[]π2,0 (2) y=-cosx， x∈[]π2,0 思考：（1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ，x∈[]π2,0的图像？由y=cosx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=-cosx，，x∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,2π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ). A. 0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、用五点法作) y=1-cosx， x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 1、观察正弦函数的图象，以下4个命题： （1）关于原点对称（2）关于x轴对称（3）关于y轴对称（4）有无数条对称轴其中正确的是 A、（1）、（2） B、（1）、（3） C、（1）、（4） D、（2）、（3）（） 第3讲 三角函数的图象与性质 一、选择题 1.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ? ????2x ＋π6，④y ＝tan ? ? ???2x －π4中， 最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ? ???? 2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ? ???? 2x －π4的最小正周期T ＝π2，因此选A. 答案 A 2.(2017·石家庄模拟)函数f (x )＝tan ? ? ???2x －π3的单调递增区间是( ) A.?????? k π2－π12，k π2 ＋5π12(k ∈Z ) B.? ???? k π2－π12，k π2 ＋5π12(k ∈Z ) C.? ?? ???k π－π12，k π＋ 5π12(k ∈Z ) D.? ? ???k π＋π6，k π＋ 2π3(k ∈Z ) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，解得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π 12(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ? ???? 2x －π3的单调递增区间是? ????k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B. 答案 B 3.(2017·成都诊断)函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2 解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1， 三角函数的图象与性质 一、知识网络 三、知识要点 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为； （ⅱ）的最小正周期为； （ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u＝，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝； ②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式； ③还原、结论：将u＝代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或 区间形成结论. （二）三角函数的图象 1、对称轴与对称中心 （1）基本三角函数图象的对称性 （ⅰ）正弦曲线y＝sinx的对称轴为；正弦曲线y＝sinx的对称中心为（，0） . （ⅱ）余弦曲线y＝cosx的对称轴为；余弦曲线y＝cosx的对称中心 （ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为；正切曲线y＝tanx无对称 轴. 认知： ①两弦函数的共性： x＝为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（x）三角函数的图像与性质
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