平面向量基本概念与运算法则及相对应练习题(含答案)

平面向量1

一、向量的基本概念

思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？

向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

回答下列问题：

(1).数量与向量有何区别？

(2).如何表示向量？

(3).有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

(4).长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

1.数量和向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母a 、b(黑体)等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。

3.有向线段：

具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。

向量与有向线段的区别：

⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。

4.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0。

②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

5.满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？

相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ；

⑵零向量与零向量相等；

⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

6.平行向量的定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行。

说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；

⑵向量c b a 、、平行，记作c b a ////。 二、向量的运算法则

1.向量的加法

问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？

①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；

②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和；

③某人从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和。

⑴向量的加法：

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

⑵三角形法则：

⑶四边形法则： 练习：化简

CD BC AB ++）（ 2.向量的减法

探究：1.向量是否有减法？

2.向量的减法是否与数的减法有类似的法则？

⑴相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

①a a =--)(；

②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：0)()(=+-=-+a a a a ；

③如果b a ，是互为相反的向量，则：0,,=+-=-=b a a b b a 。 ⑵向量的减法：

向量a 加上b 的相反向量，叫做a 和b 的差。即)(b a b a -+=-

向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。 注意：①起点相同；②指向被减向量的终点。

例1.平行四边形ABCD 中，b AB a AD ==,，用a 、b 表示向量DB AC ,。

例2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，试用向量a 、b 、c 表示OD 。

3.向量的数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： ⑴||||||a a λλ=；

⑵当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；特别的，当λ=0或a =0时，λa =0。

注意：实数λ与向量a ，可以做积，但不可以做加减法，即λ+a ，λ-a 是无意义的。

实数与向量的积的运算律： 设a 、b 为任意向量，μλ，为任意实数，则有：

①a a )()(λμμλ=；

②a a a μλμλ+=+)( ③b a b a λλλ+=+)(

例1.计算

a 4)3).(1(?-； a

b a b a ---+)(2)(3).2(； )23()32).(3(

c b a c b a +---+

例2.计算

(1).);2(2)(3b a b a +--

(2).)243(3)362(2c b a c b a -+---+

结论：向量b 与非零向量a 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，是的b =λa 。

例3.向量212122,e e b e e a +-=-=是否共线？

例4.平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==,,你能用b a ,表示MD MC MB MA ,,,吗？

二、向量运算法则的应用

向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数21μμλ、、，恒有

b a b a 2121)(λμλμμμλ+=+。

1.有关向量共线问题

例1.已知向量b a 、满足)23(5

1253b a b a b a +=--+，求证：向量b a 和共线。

例2.已知BC DE AB AD 3,3==,试判断AE AC 与是否共线？

定理的应用：

(1).有关向量共线问题；

(2).证明三点共线：C B A BC BC AB 、、→≠=)0(λ三点共线；

(3).证明两直线平行问题。

例3.已知任意两个非零向量b a 、，试作b a OC b a OB b a OA 3,2,+=+=+=，你能判断C B A 、、三点间的位置关系吗？为什么？

例4 .在四边形ABCD 中，b a CD b a BC b a AB 35,4,2--=--=+=，求证：四边形ABCD 为梯形。

同步练习

（一）

1.下列命题中，正确的是（ ）

A ．若//,//，则//

B ．对于任意向量,b a b a +≥+

C b a ==或-=

D ．对于任意向量,b a b a -≥+

2．（2007理)已知O 是ABC △所在平面一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，

那么（ ）

Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =

3．(2008理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F. 若a AC =, b BD =,则=AF （ ）

A ．1142a b + B. 2133a b + C. 1124a b + D. 1233

a b + （二）

1.(2006理)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）

（A ）→--AB ＝→--DC ； （B ）→--AD ＋→--AB ＝→--AC ；

（C ）→--AB －→--AD ＝→--BD ； （D ）→--AD ＋→--CB ＝→0． 2．（2007文）若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）

A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D. EF OF OE =--

3．（2003）已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=AP （ ）

A ．)1,0(),(∈+λλ

B ．)22,0(),(∈+λλ

C ．)1,0(),(∈-λλ

D ．)2

2,0(),(∈-λλBC AB 4.(2008理)已知O ，A ，B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=,则OC =（ ） A ．2OA OB - B ．2OA OB -+

C ．2133OA OB -

D ．1233

OA OB -+ 5．（2003；文、理）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足

[)(),0,,AB AC OP OA P AB AC λλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的( ) （A ）外心 （B ）心 （C ）重心 （D ）垂心

6．（2005全国卷Ⅱ理、文）已知点3,1)A ，(0,0)B ，3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于( )

（A ）２ （B ）12 （C ）－３ （D ）－13

7．设,是两个不共线的非零向量，若向量b a k 2+与b k a +8的方向相反，则k=__________.

8.（2007理）．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n

的值

为 ．

A B

D

9．（2005全国卷Ⅰ理）ABC ?的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 10.（2007文、理）如图，平面有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA ＝OB ＝1，OC ＝22.若OC ＝

μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .

（三）

11、（2006全国Ⅰ卷理）设平面向量1a 、

2a 、3a 的和1230a a a ++=。如果向量

1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ） A ．1230b b b -++= B ．1230b b b -+= C ．1230b b b +-= D ．1230b b b ++=

12. （2006理）如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 的取值围是 ; 当12

x =-时,y 的取值围是 .

A O M P

B

平面向量的基本概念及线性运算知识点

平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

平面向量及其加减运算(教师版)

【知识结构】 【要点点拨】 一.平面向量 1.有向线段 规定了方向的线段叫做有向线段。 2.向量 既有大小又有方向的量叫做向量。 向量的大小也叫做向量的长度。（或向量的模） 3.向量的表示 （1）向量可以用有向线段直观表示 ①有向线段的长度表示向量的长度； ②有向线段的方向表示向量的方向。 （2）常见的表示方法 ①向量AB u u u r ，长度记为AB u u u r ； ②向量a r 、b r 、c r ，长度记为a r 、b r 、c r 。 4.相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。 5.相反的向量 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。 6.平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。 例1:判断下列语句是否正确： （1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。 （2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相 同。 （3）向量AB u u u r 与向量BA uu u r 是同一个向量。 （4）相等向量一定是平行向量。 （5）互为相反的向量不一定是平行向量。 （6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。 解：（1）√ （2）× （3）× （4）√ （5）× （6）× 例2:在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD ，//DE AB ，点E 在BC 上，如果把图中线段都画成有向 平面向量的减法 平面向量的加法 平面向量的概念平面向量

线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。 （1）所有与AB u u u r 相等的向量。 （2）所有与AB u u u r 互为相反的向量。 （3）所有与AD u u u r 平行的向量。 解：（1）DE AB =u u u r u u u r ； （2）与AB u u u r 互为相反的向量：BA uu u r 、ED u u u r ； （3）所有与AD u u u r 平行的向量为：DA u u u r ，BE uuu r ，EB uu u r ，EC uuu r ，CE u u u r ，BC uuu r ，CB u u u r 。 二.平面向量的加法 1.向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。 2.零向量 长度为零的向量叫做零向量，记作0r 。规定0r 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r 。 因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-=r r r 。 对于任意向量，都有0a a +=r r r ，0a a +=r r r 。 3.向量的加法满足交换律：a b b a +=+r r r r 。 4.向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r u u r 。 5.向量加法的三角形法则 求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以 第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。 6.向量加法的多边形法则 几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。 例1 如图，已知向量a r 与b r ，求作a b +r r 。 略 例2 计算：（1）AB BC +u u u r u u u r AC u u u r ；OE EF +u u u r u u u r OF u u u r . （2）AE FC EF ++=u u u r u u u r u u u r AC u u u r 。 （3）AB BC CD DE EF ++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF u u u r 。 三、平面向量的减法 1.向量的减法

云计算的概念和特点

云计算的概念和特点 “云计算”面世以来，在IT产业界和学术界掀起了巨大的波澜，不少企业及专家都将云计算看作是未来IT产业的发展方向，并开始全力投入其中。从政策层面来看，云计算己经进入我国中央政府的中长期发展规划，国务院发布了《关于加快培育和发展战略性新兴产业的决定》，确定我国现阶段将重点培育和发展节能环保、新一代信息技术、生物、高端装备制造、新能源、新材料、新能源汽车这七大战略性新型产业，作为新一代信息技术的重点发展领域，云计算将成为新一代信息技术产业中的支柱领域之一。可以说，良好的政策环境将保证云计算技术能够获得持续的政策利好和充足、稳定的资本投入，具有诱人的发展前景。 通俗的来讲，云计算就是让计算变成像水、电、煤气一样的基础设施，人们可以像购买水、电、煤气一样购买计算服务，因此可以说云计算重新定义了IT软硬件资源的设计和购买的方式，从而可能引发IT产业的大规模变革。 云计算主要分为四类：公共云、私有云、社区云及混合云。公共云是利用互联网，面向公众提供云计算服务;私有云是利用企业内网和专网，面向单一企业或组织提供云计算服务，这些服务是不提供于公众使用的;社区云是利用内网、专网及VPN，为多家关联部门提供云计算服务;混合云是上述两种或三种云的组合

云计算的服务模式有三种：(1)软件即是服务(Soft as a Service，简称SaaS)，对应的用户主要是直接使用应用软件的终端用户，提供的服务是终端用户所需要的应用软件，终端用户不用购买和部署这些应用软件，而是通过向SaaS提供商支付软件使用或租赁费的方式来 使用部署在云端的应用软件。(2)平台即是服务(Platform as a Service，简称PaaS)，对应的用户主要是使用开发工具的应用软件 开发商，提供的服务是开发商所需要的部署在云端的开发平台及针对该平台的技术支持服务。(3)基础设施即是服务(Infrastructure as a Service简称IaaS)，对应的用户主要是使用需要虚拟机或存储资源 的应用开发商或IT系统管理部门;提供的服务是开发商或IT系统管 理部门能直接使用的云基础设施，包括计算资源、存储资源等部署在云端的虚拟化硬件资源。 云计算的特点和好处主要有以下几点： 1.低成本 云计算将建设成本转化为运营成本，用户不需要为峰值业务购置设施，不需要大量的软硬件购置和维运成本就可以享用各种IT应用 和服务。 2.灵活性 云计算可以快速灵活的构建基础信息设施，并可以根据需求灵活的扩容IT资源。云计算提供给用户短期使用IT资源的灵活性(例如：

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

云计算的定义、发展及组成

云计算的定义、组成及其发展综述 摘要：由于互联网技术的飞速发展,信息量与数据量快速增长,导致计算机的计算能力和数据的存储能力满足不了人们的需求。在这种情况下,云计算技术应运而生。云计算作为一种新型的计算模式，利用高速互联网的传输能力将数据的处理过程从个人计算机或服务器转移到互联网上的计算机集群中，带给用户前所未有的计算能力。自从云计算的概念提出来以后,立刻引起业内各方极大的关注,现在已成为信息领域的研究热点之一。本文主要从云计算的定义、云计算的四个发展阶段、云计算组成的六层结构和云计算的发展前景进行了探讨。 关键字：云计算、发展阶段、组成、发展现状 一、什么是云计算？ 云计算是由分布式计算、并行处理、网络计算发展来的，是一种新兴的商业计算模型。目前，对于云计算的认识在不断的发展变化，云计算仍没有普遍一致的定义。关于云计算的定义有以下几种： [1]维基百科给云计算下的定义： 云计算将IT相关的能力以服务的方式提供给用户，允许用户在不了解提供服务的技术、没有相关知识以及设备操作能力的情况下，通过Internet获取需要服务。 [2]中国云计算网将云定义为： 云计算是分布式计算（Distributed Computing）、并行计算（Parallel Computing）和网格计算（Grid Computing）的发展，或者说是这些科学概念的商业实现。 [3]中国网格计算、云计算专家刘鹏定义云计算为： 云计算将计算任务发布在大量计算机构成的资源池上，使各种应用系统能够根据需要获取计算力、存储空间和各种软件服务。 [4]美国国家实验室的资深科学家、Globus项目的领导人Tan Foster： 云计算是由规模经济拖动，为互联网上的外部用户提供一组抽象的、虚拟化的、动态可扩展的、可管理的计算资源能力、存储能力、平台和服务的一种大规模分布式计算的聚合体。 [5]百度百科： 云计算（cloud computing）是基于互联网的相关服务的增加、使用和交付模式，通常涉及通过互联网来提供动态易扩展且经常是虚拟化的资源。狭义云计算指IT基础设施的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需资源；广义云计算指服务的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需服务。这种服务可以是IT和软件、互联网相关，也可是其他服务。它意味着计算能力也可作为一种商品通过互联网进行流通。 其实简单地说,云计算是一种基于互联网的超级计算模式,它将计算机资源汇集起来,进行统一的管理和协同合作,以便提供更好的数据存储和网络计算服务。 二、云计算的特点 （1）具有高可靠性。云计算提供了安全的数据存储方式,能够保证数据的可靠性,用户无需担心软件的升级更新、漏洞修补、病毒的攻击和数据丢失等问题,从而为用户提供可靠的信息服务。 （2）具有高扩展性。云计算能够无缝地扩展到大规模的集群之上,甚至包含数

平面向量线性运算教案

向量的加法；向量的减法；向量的数乘. 教学目标 通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 并能作出已知两向量的和向量。 通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。 教学重点 向量的加减法的运算。 〔 _____________ ! 教学难点 教学过程 」、导入 高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题， 一般难度不 大，属于简单题 二、知识讲解 I 考）向量加量加三法形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。 运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点， 则由第 一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。 0位移的合成可以看 作向量加法三角形法则的物理模型。 知识点 向量的加减法的几何意义 。 【知识导图】

（2）平行四边形法则 以同一点0为起点的两个已知向量 A.B为邻边作平行四边形，则以0为起点的对角线0C就是a与b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 由于方向反转两次仍法法原来的方向，因此a和-:互为相反向量。 于是-（-a）=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. ____________ __ 一「 4 ■+ , 4 4 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a （-a）二（-a）■ a =0。 TH 4 4 H ^4^4 所以，如果a,b是互为相反的向量，那么a二-b,b二-a,a ? b =0。 考点3实数与向量的积的运算律 设■, ^为实数，那么 ⑴，（七）=（」i）a； （2）（I 丄）a 虫；」a ； （3）（a b）八a ■ b. ■.斗、- ,4 _斗屮.4 特别地，我们有（- ’）a = ，a）二’（-a），，（a-b）二’a-'b。 ■H 屮 4 . 向量共线的等价条件是：如果a（a = 0）与b共线，那么有且只有一个实数?，使 ■I J b —■ a。 二、例题精析 类型一平面向量的坐标表示 例题知边长为1的正方形ABCD 中, AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 uuiv uuv AB与AD的坐标.

《基本概念与运算法则》读书笔记

《基本概念与运算法则》读书笔记 在朱老师的推荐下，我有幸借阅了图书室中《基本概念与运算法则》这本书，这本书于我就像一扇通向提升专业素养的门，给我带来无限的启迪和很大的影响。随着阅读的越多，我能从中汲取的便越多，而想要学习提升的变更多。 小学数学所涉及的内容，无论是基础概念，还是基本法则，都是最基础的、最本质的，要把这些本质的东西讲述清楚往往比较困难。而《基本概念与运算法则》一书结构简洁，通俗易懂。主要讲述小学数学教学内容中的一些核心问题，在理解内容的基础上，探讨实现“四基”课程目标、适合小学生认知规律的教学方法。分为三个部分：“问题篇”、“话题篇”和“案例篇”。“问题篇”包括30个问题，大部分问题来自数学教育工作者和教学一线的数学教师，本书尝试以回答问题的方式进行讲述，读者能够通过对这些问题的理解把握小学数学的核心。“话题篇”设定了30个话题，拓展对教学核心问题的理解。“案例篇”呈现了20个教学设计，每一个案例，都有详细的教学设计以及对设计的分析，特别的实用，可供教师在设计自己的教学活动时参考。 《基本概念与运算法则》一书有这样一段话，令我有着深思：“我们在前面的30个问题中反复强调，要在数学教学的过程中引导学生学会从头思考问题，要知道自己思考问题的开始是什么。可以知道，这样强调的目的就是让小学生从小养成良好的思维习惯，一个人的思维习惯是从小养成的。”可见，数学思考对于数学教学的重要性。如

何培养学生独立思考，体会数学的基本思想和思维方式？值得我们每一位数学老师认真思考与研究。传统的数学教学往往追求标准的答案，从而忽视解决问题的过程。而恰恰是解决问题的过程，才是培养学生独立思考，发展数学思维的时机。数学教学中让学生“说”，表面上是语言的交流，其实是思维过程的展示，学生说对概念的理解、思考的困惑等等，使教师的引导、讲解更具针对性和实效性。在“说”的过程中，教师和学生都可以对叙述者进行进一步的追问，以发现问题的不同表达形式、解决的方法和出现的错误，所有学习者之间相互启发，促进全体学习者在叙述过程中的共同成长。 对于教学经验匮乏的我而言，这本书的内容和理念都对我今后的教学工作会大有帮助。小学数学的教学，一定要围绕现实问题开展，让孩子从对现实问题的处理中找寻数学学习的乐趣以及学习的价值,从而促进学生思维发展。

对数的基本概念及运算

第十讲 对数的基本概念及运算 一：问题思考 问题1：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 （1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺? (1)为同学们熟悉的指数函数的模型,易得 (2)可设取x 次,则有 二:新知引入 1. 对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对 数，记作： ，其中叫做对数的底数， 叫做真数。 注意：①是否是所有的实数都有对数呢？ 负数和零没有对数 ②底数的限制:a>0且a ≠1。 思考：为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？ 对数的书写格式 2、对数式与指数式的互化 N x N a a x log =?= 幂底数 ← a → 对数底数 指数（指数函数的自变量） ← b → 对数 幂（指数函数的函数值） ← N → 真数

3、对数的形式 ①常用对数：以10为底的对数 ,简记为: lgN ②自然对数：以无理数e=2.71828…为底的对数的对数 简记为: lnN . (在科学技术中,常常使用以e 为底的对数) ③一般对数：（含有常用对数和自然对数） 注意：对数的书写 课堂练习 1 将下列指数式写成对数式： （1） （2） （3） （4） 2 将下列对数式写成指数式： （1） （2） （3） 3 求下列各式的值： （1） （2） 2. 对数运算 （1） 基本性质 ①0和负数没有对数，即N>0 ②1的对数是0，即01log =a ③底数的对数等于1，即1log =a a ④对数恒等式：N a N a =log （2） 运算法则 如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N M a a a log log log -=； 3 ） ∈=n M n M a n a (log log R ）。（例题 p111，例 4 ，计

平面向量的运算法则

平面向量运算法则 （1）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有： 1）结合律：a a )()(λμμλ=。 2）分配律：a a μλμλ+=+)(，b a b a λλλ+=+)(。 （2）向量的数量积运算法则： 1）a b b a ??=。 2）)()()(b a b a b a b a λλλλ===???。 3）c b c a c b a ???+=+)(。 （3）平面向量的基本定理。 21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a ，有且仅有一对实数21,λλ，满足2211e e a λλ+=。 （4）a 与b 的数量积的计算公式及几何意义：θcos ||||b a b a =?，数量积b a ?等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。 （5）平面向量的运算法则。 1）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a +b ＝1212(,)x x y y ++。 2）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a -b ＝1212(,)x x y y --。 3）设点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--。 4）设a ＝(,),x y λ∈R ，则a λ＝(,)x y λλ。 5）设a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ，则a ?b ＝1212()x x y y +。 （6）两向量的夹角公式： cos θ=（a ＝11(,)x y ，b ＝22(,)x y ）。 （7）平面两点间的距离公式：

云计算与信息安全

云计算与信息安全给信息安全提供了信息安全是当前计算机科学的一个研究热点；云计算是一个新的技术， 通过云计算用户以及云计算服介绍了云计算的基本概念、云计算的安全问题，挑战和机遇。务提供商两方面分析了云计算中确保信息安全的方法。论文关键词：云计算，网格计算，信息安全，云安全 0 引言 信息作为一种资源，它的普遍性、共享性、增值性、可处理性和多效用性，使其对于人类具有特别重要的意义。信息安全的实质就是要保护信息系统或信息网络中的信息资源免受各种类型的威胁、干扰和破坏，即保证信息的安全性。信息安全服务至少应该包括支持信息网络安全服务的基本理论，以及基于新一代信息网络体系结构的网络安全服务体系结构。 1 云计算简介 何为云(cloud)？云实际上就是互联网(Internet)的别称，其实是指分布在Internet中的形形色色的计算中心,包含成千上万甚至几十万、几百万台计算机或服务器。用户不再购买高性能的硬件,也不再购买或开发各种功能的软件,而是使用任何可上网的设备,连接'云' ,利用'云'提供的 软件或服务,直接在'云'上处理并存储数据。云计算的概念最早可以追溯到图灵奖得主Jone McCarthy 在60年代发表的观点：“计算有可能在未来成为一种公共设施。”进入21世纪后，SaaS (Software as a Service),软件服务的概念越来越广泛的应用于业界。随后，从2007年开始，云计算开始出现，包括Google、Amazon、IBM、Microsoft等业界的领袖企业都宣布了各自的与技术项目。 简言之网格计算，云计算( cloud computing)是一种基于Internet的计算。在云计算中,存储和运算将不再运行在本地计算机或服务器中,而是运行在分布于Internet上的大量计算机上,也就是说,云计算通过把原来由个人计算机和私有数据中心执行的任务转移给分布在Internet上由全体用户共享的大型计算中心来完成,实现了计算机硬件、软件等计算资源及对这些计算资源进行安装、配置与维护等服务资源的充分共享论文服务。 但是云计算远远不止这些。云计算目前的主要架构是基于一个新一代的数据中心，提供虚拟的计算和存储资源。而这些资源的消费和使用，可以按照事先规定的可以计量的标准进行收费。 2 云计算的安全问题 尽管很多研究机构认为云计算提供了最可靠、最安全的数据存储中心,但安全问题是云计算存在的主要问题之一。． 表面上看,云计算好像是安全的,但如果仔细分析, '云'对外部来讲其实是不透明的。云计算的服务提供商并没有对用户给出许多细节的具体说明,如其所在地、员工情况、所采用的技术以及运作方式等等。当计算服务是由一系列的服务商来提供(即计算服务可能被依次外包)时,每一家接受外包的服务商基本上是以不可见的方式为上一家服务商提供计算处理或数据存储的服务, 这样,每家服务商使用的技术其实是不可控的, 甚至有可能某家服务商会以用户未知的方式越权访问 用户数据。 总的说来, 由云计算带来的信息安全问题有以下几个方面：

平面向量基本运算小题专练

1．已知=（3，4），=（5，12），则与夹角的余弦为（）A．B．C．D． 2．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D． 3．设O是△ABC的内心，AB=c，AC=b，若，则（）A． B．C．D． 4．已知平面向量=（1，2），=（﹣3，x），若∥，则x等于（）A．2 B．﹣3 C．6 D．﹣6 5．设向量=（x﹣2，2），=（4，y），=（x，y），x，y∈R，若⊥，则||的最小值是（） A．B．C．2 D． 6．已知，则=（） A．9 B．3 C．1 D．2 7．在△ABC中，+=2，||=1，点P在AM上且满足=2，则?（+）等于（） A．B．C．﹣D．﹣ 8．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则λ+μ的值为（） A．B．C．D．1 9．已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（） A．λ+μ=2B．λ﹣μ=1C．λμ=﹣1 D．λμ=1 10．△ABC中，AB=5，BC=3，CA=7，若点D满足，则△ABD的面积为（）

A．B．C．D．5 11．在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若=﹣2+λ，则λ=（）A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（） A．B．C．1 D．3 13．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为（） A．1 B．2 C．D． 14．已知向量=（2，1），=（x，﹣2），若∥，则+等于（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，1） 15．已知两个单位向量的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A．方向上的投影为cosθB． C．D． 16．设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（） A．1 B．C．2 D．2 17．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且，则的值为（） A． B．C．D． 18．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且（2﹣3）⊥，则实

小学数学基本概念与运算法则

小学数学基本概念与运算法则 小学数学法则知识归类 （一）笔算两位数加法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位加起； 3、个位满10向十位进1。 （二）笔算两位数减法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、个位不够减从十位退1，在个位加10再减。 （三）混合运算计算法则 1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算； 2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减； 3、算式里有括号的要先算括号里面的。 （四）四位数的读法 1、从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推； 2、中间有一个0或两个0只读一个“零”； 3、末位不管有几个0都不读。 （五）四位数写法 1、从高位起，按照顺序写； 2、几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一 个也没有，就在哪一位上写“0”。 （六）四位数减法也要注意三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。

（七）一位数乘多位数乘法法则 1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数； 2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。 （八）除数是一位数的除法法则 1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数； 2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。 （九）一个因数是两位数的乘法法则 1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐； 2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐； 3、然后把两次乘得的数加起来。 （十）除数是两位数的除法法则 1、从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小， 2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。 （十一）万级数的读法法则 1、先读万级，再读个级； 2、万级的数要按个级的读法来读，再在后面加上一个“万”字； 3、每级末位不管有几个0都不读，其它数位有一个0或连续几个零都只读一个“零”。 （十二）多位数的读法法则 1、从高位起，一级一级往下读； 2、读亿级或万级时，要按照个级数的读法来读，再往后面加上“亿”或“万”字； 3、每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0都只读一个零。 （十三）小数大小的比较 比较两个小数的大小，先看它们整数部分，整数部分大的那个数就大，整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大，十分位数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次类推。

云计算概念讲课教案

云计算 百科名片 狭义云计算指IT基础设施的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需资源；广义云计算指服务的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需服务。这种服务可以是IT和软件、互联网相关，也可是其他服务。云计算（Cloud Computing）是网格计算（Grid Computing ）、分布式计算（DistributedComputing）、并行计算（Parallel Computing）、效用计算（Utility Computing）、网络存储（Network Storage Technologies）、虚拟化（Virtualization）、负载均衡（Load Balance）等传统计算机和网络技术发展融合的产物。目录 新创核心 新创原理 云营销 模式 1、IaaS(Infrastructure-as-a- Service) 2、PaaS(Platform-as-a- Service) 3、SaaS(Software-as-a- Service) 误区 谎言1 谎言2 谎言3 谎言4 谎言5 谎言6 谎言7 谎言8 谎言9 标准 资源来自网络 伸缩能力 性价比优势 简化版 应用 游戏市场 Amazon Google Salesforce Microsoft 中国移动 Giwell 云计算与物联网 形式 SAAS（软件即服务） 实用计算（Utility Computing） 网络服务

平台即服务 MSP（管理服务提供商） 商业服务平台 互联网整合 概念与产品 60年代的麦卡锡 Amazon Google IBM 微软 云计算产业链全景图 政策 云计算或会导致无形离岸外包 国家云或是必要的自我防御 政府与通信企业合力？ 我国现状 云商务 云安全 中国的云计算---任重道远 学习资料 云计算入门资料 云计算企业资料 新创核心 新创原理 云营销 模式 1、IaaS(Infrastructure-as-a- Service) 2、PaaS(Platform-as-a- Service) 3、SaaS(Software-as-a- Service) 误区 谎言1 谎言2 谎言3 谎言4 谎言5 谎言6 谎言7 谎言8 谎言9 标准 资源来自网络 伸缩能力 性价比优势 简化版

平面向量的基本定理及坐标运算

平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无

关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。

平面向量公式

平面向量公式 1.向量三要素：起点，方向，长度 2.向量的长度=向量的模 3.零向量：? ??方向任意长度为 .20.1 4.相等向量：?? ?长度相等 方向相同 .2.1 5.向量的表示：AB ()始点指向终点 6.向量的线性加减运算法则： ()()???? ?=-=+终点指向始点 始点指向终点， CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积： ()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=? 5.a b b a ?=? 6.()()b a b a ??=?λλ 7.()c b c a c b a ?+?=?+ 注；()()c b a c b a ≠? 8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得: a b λ= 9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1?? ? ? ?+ =y x a ?y x a 22 +=

()2已知；A ()y x 11+，B () y x 22+?() ( )() ?? ???+=--=--y y x x y y x x AB AB 1212.2,.12 2 1212 ()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,= () ()?? ???+?=?±±=±?和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212 121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=01 2 2 1 =?-?y x y x (横纵交错乘积之差为0） ()5已知；已知；()y x a 11,=⊥ ()y x b 2 2 ,= 02 1 2 1 =?+??y y x x （对应坐标乘积之和为0） 10.数量积b a ?等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影θcos ?b 的乘积： θcos ??=?b a b a ()的夹角与为b a θ 变形?b a b a ?= θcos 11.线段的定比分点： 设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p 2 1,上 的任意两点；即有： p p p p 21λ=?? ? ???外在点内 在点p p p p p p 212 100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。） （1）.线段的定比分点“定比”λ=p p p p 2 1 （终点 分点分点 始点→→）

整式基本概念及加减运算.讲义学生版

< % 考试内容 A （基本要求） B （略高要求） C （较高要求） 代数式 理解用字母表示数的意义 — 会列代数式表示简单的数量关 系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义 代数式的值 了解代数式的值的概念 会求代数式的值；能根据代数式 的值或特征推断代数式反映的规 律 能根据特定的问题查阅资料，找到 所需要的公式，并会代入具体的值 进行计算；能通过代数式的适当变 形求代数式的值 整式 了解整式的概念，理解单项式的系数与次数、多项式的次数、项 与项数的概念，明确它们之间的关系 / 整式的加减运算 理解整式加、减运算的法则 会进行简单的整式加、减运算 能合理运用整式的概念及其加减 运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题 板块一 代数式、单项式、多项式 代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做 代数式. 单独的一个数或字母也是代数式. 列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”. 列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 ^ 例题精讲 中考要求 整式基本概念及加减运算

? 在列代数式时，应注意以下几点： （1） 在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （2） 字母与字母相乘时可以省略乘号； （3） 在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式； （4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代 数式括起来； （5） 代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数. 单项式： 像2-a ，2 r π，2 13 -x y ，-abc ，237x yz ，……这些代数式中，都是数字与字母的积，这样 的代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、3-. 单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式21 2 -ab c ，它的指数为1214++=，是四次 单项式.单独的一个数(零除外)，它们的次数规定为零，叫做零次单项式. } 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把4 7叫做单项式247x y 的系数. 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 多项式： 几个单项式的和叫做多项式.例如：27 319 -+x x 是多项式. 多项式的项： 其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含 字母的项叫做常数项. 多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式： 单项式和多项式统称为整式. 【例1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式 % ⑴21+x ⑵23ab ⑶0 ⑷10?n a ⑸+=+a b b a ⑹32> ⑺2πS R = ⑻347+= ⑼π 【巩固】 a ， b ， c 都是有理数，试说出下列式子的意义： ① 0a b +=； ② 0abc >； ③ 0ab ≠； ④ 1ab =-； ⑤ 2||0a b +=； ⑥ ()()()0a b b c c a ---=； ⑦ 22a b +；⑧ ()2 a b + %