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初一下分式经典题型汇总

分式各知识点及例题

【知识精读】

分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母

依据：等式的基本性质注意：必须验根

应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠????

???-=+??????????????????

???

????????

??????

???????()()005113

（一）、分式定义及有关题型

一、分式的概念：

形如

（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子，叫做分式。概念分析：①必须形如“B

”的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；

③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。．．．

例：下列各式中，是分式的是 ①1+

x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦π

x 练习：1、下列有理式中是分式的有（）

A 、

m 1 B 、162y x - C 、xy x 7

51+- D 、57 2、下列各式中，是分式的是 ①

x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3

-x x ⑥1394y x + ⑦πy +5 1、下列各式：()x

x x x y x x x 2

225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（）个。

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

二、有理式：整式和分式统称有理式。

即：?

??????

?分式

多项式单项式整式有理式

例：把下列各有理式的序号分别填入相应的横线上

①

1x ②)(51y x + ③x -3

④0 ⑤3a ⑥c ab 12+ ⑦y x +2 整式：；分式。

①分式有意义：分母不为0（0B ≠）

②分式无意义：分母为0（0B =）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（?

??≠=00

B A ）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（??

?>>00B A 或???<<0

B A ）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（???<>00B A 或?

??><00

B A ）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） ⑧分式的值为整数：（分母为分子的约数）例:当x 时，分式

22+-x x 有意义；当x 时，2

-x 有意义。练习：1、当x 时，分式6

2+--x x x 无意义。

2．使分式

||1

x -无意义，x 的取值是（） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 3、分式

5+x x

，当______x 时有意义。 4、当a 时，分式3

+-a a 有意义．

5、当x 时，分式

+-x x 有意义。 6、当x 时，

2-x 有意义。

7、分式

1111有意义的条件是。

8、当x 时，分式

x x +-的值为1； 9．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）

A ．121x +

B ．21x x +

C ．231x x +

D ．2221

x x +

10.当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A.23x + B.212x - C.1

D. 211x +

四、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零

例1：若分式2

2+-x x 的值为0，那么x 。

例2 . 要使分式

632+--x x x 的值为0，只须（）.

（A ）3±=x （B ）3=x （C ）3-=x （D ）以上答案都不对练习：1、当x 时，分式

)

2)(2(2

---+x x x x 的值为零。 2、要使分式2

2+-x x 的值是0，则x 的值是；

3、若分式

522

+--x x

x 的值为0，则x 的值为

4、若分式224

x x x ---的值为零,则x 的值是

5、若分式24

2+-x x 的值为0，那么x 。

6、若分式3

x x --的值为零，则x =

7、如果分式

2||5

5x x x

-+的值为0，那么x 的值是（）

A ．0 B. 5 C ．－5 D ．±5

8、分式1

22++-a a a 有意义的条件是，分式的值等于零的条件是。

9、已知当2x =-时，分式

x b

x -- 无意义，4x =时，此分式的值为0，则a b +的值等于（） A ．－6 B ．－2 C ．6 D ．2

10、使分式

x 312

--的值为正的条件是 11、若分式9

2-+a a 的值为正数，求a 的取值范围

12、当x 时，分式

--23的值为负数． 13、当x 为何值时，分式

+-x x 为非负数. 14、若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是 ☆典型题：分式的值为整数：（分母为分子的约数）练习1、若分式

+x 的值为正整数，则x= 2、若分式

-x 的值为整数，则x= 3、若x 取整数，则使分式

6-+x x 的值为整数的x 值有( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个

（二）分式的基本性质及有关题型

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

1．分式的基本性质：M B M

A M

B M A B A ÷÷=

??= 2．分式的变号法则：

b a b a b a =--=+--=-- 例1： ①

ac a b = ② y

xy = 练习：1.填空：

aby a xy = ； z y z y z y x +=++2)

(3)

(6;

())0(10 53≠=a axy xy a ()

1422=-+a a ()2

2y x y x +-=

()

x -．

23x

x +=()2

3x x

+；例2：若A 、B 表示不等于0的整式，则下列各式成立的是（ D ）.

（A ）

M B M A B A ??=（M 为整式）（B ）M

B M A B A ++=（M 为整式）（

C ）22B A B A = （

D ）)

1()1(2

2++=x B x A B A 3、下列各式中，正确的是（） A ．

a m a

b m b +=+ B ．a b a b ++=0 C ．1111ab b a

c c --=-- D ．22

x y x y x y

-=-+

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

a b

a +-04.003.02.0

练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+ 1．（辨析题）不改变分式的值，使分式11

5101139x y

x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A ．10 B ．9 C ．45 D ．90

4．不改变分式

0.50.2

0.31

x y ++的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是

1、不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，

0.20.1

0.5

x x -=-- 2、不改变分式5222

x y

x y -

+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是

题型二：分式的符号变化：

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y

x y

x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。

①13232-+---a a a a = ②3

2211x x x x ++--= ③1

123+---a a a = 2．（探究题）下列等式：①

()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b

c c

-++=-

; ④

m n m n

m m

---=-

中,成立的是（） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④

3．（探究题）不改变分式23

23523

x x

x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332

523

x x x x ---+

题型三：分式的倍数变化： 1、如果把分式

x x

232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值

2、.如果把分式

63x

x y

-中的x,y 都扩大10倍,那么分式的值 3、把分式

22x y

x y

+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（）

A ．不变

B ．扩大2倍

C ．扩大4倍

D ．缩小2倍 4、把分式

a b

a +中的a 、

b 都扩大2倍，则分式的值（ C ）. （A ）扩大2倍（B ）扩大4倍（C ）缩小2倍（D ）不变. 7、若把分式xy

x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（）

A 、扩大3倍

B 、不变

C 、缩小3倍

D 、缩小6倍

2、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A 、y x 23

B 、223y x

C 、y x 232

D 、2

23y

x （三）分式的运算

4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习

时应注意以下几个问题：

（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；

（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

一、分式的约分：

先将分子、分母分解因式，再找出分子分母的公因式，最后把公因式约去（注意：这里找公因式的方法和提公因式中找公因式的方法相同）最简分式：分子、分母中不含公因式。分式运算的结果必须化为最简分式

1、约分

（1） 2912x xy (2) a b b a --22 (3) 96922+--x x x (4) ab

a b a +-22

例2．计算：

)3(3

34422

+?+-÷++-a a a a a a 例5．计算：

22223223y

x y

x y x y x y x y x --+-+--+． 2 、约分

（1）22

x x x ++-= ；（2）882422+++x x x = ； 3、化简2

293m

m --的结果是（） A 、

3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、m

-3 4．（辨析题）分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

5、分式

a b 8，b a b a +-，22y x y x --，2

2y x y

x +-中，最简分式有（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

6、下列公式中是最简分式的是（）

A ．21227b a

B ．22()a b b a --

C ．22x y x y ++

D ．22

x y x y

7、约分：

（1）22699x x x ++-；（2）22

32m m m m

-+-．（3）2

222b

ab a ab

a +++ 例：将下列各式约分，化为最简分式

①=z

xy y

x 2

264 ②=+++4422

x x x ③ =+--+44622x x x x

8、计算：22696x x x x -+--÷229

310

x x x ---·3210x x +-．

9. 已知：52-==+ab b a ，，则a

b a +的值等于（） A. 5

B. 5

14-

C. 5

19- D. 524

10、已知x+1x ＝3，求2

421

x x x ++的值．

九、最简公分母

1．确定最简公分母的方法：

①如果分母是多项式，要先将各个分母分解因式，分解因式后的括号看做一个整体； ②最简公分母的系数：取各分母系数的最小公倍数； ③最简公分母的字母（因式）：取各分母中所有字母（因式）的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

例：⑴分式

231x 和xy 125的最简公分母是 ⑵分式

x x +21和x

x -2

的最简公分母是题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）c

b a

c a b ab c 225,3,2--；（2）a b b b a a 22,--；（3）2

21,

222--+--x x x x x

x x ；（4）a

a -+21

1．在解分式方程：

412--x x ＋2＝x

x 21

2+的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母是

___________________.

2、分式,21x xy

y 51

,212-

的最简公分母为。 3．计算：

----x x x x ．十、分式通分的方法：

①先找出要通分的几个分式的最简公分母；②运用分式的基本性质把它们变形成同分母的分式。例：⑴

ax 1，bx 1的最简公分母是，通分后=ax 1 ，bx

= 。 ⑵51+zx ，25422-x 的最简公分母是，通分后51+zx = ，25

422-x = 。十一、分式的乘法：

分子相乘，积作分子；分母相乘，积作分母；如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。题型二：约分

【例】约分：（1）

22016xy y x -；（3）n m m n --2

2；（3）6

222---+x x x x .

1、计算222

a ab

a b

+-＝． 2、已知a+b ＝3，ab ＝1，则

a b +b

的值等于． ⑴nx my mx ny ?= ⑵2

221x x x x x +?-= 十二、分式的除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

例：⑴2256103x y x y ÷= ⑵x

x x x x x +-÷-+-22

112= 九、零指数幂与负整指数幂 ★n

m n

a +=?a ★()

mn n

a a =

★()n n n b b a a = ★n

m n

a -=÷a （0≠a ）

★n n b a b a =??

? ??n

★n a 1=-n

a （0≠a ）

★10

=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m ，n 均为整数。

十、科学记数法

a ×10-n ，其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10.

如0.000000125=-7

101.25?

10、负指数幂与科学记数法 1．直接写出计算结果：

（1）（-3）-2 ；（2）32-= ；

（3）33

()2

-= ；（4）0(13)-= ．

2、用科学记数法表示0.000 501= ．

3、一种细菌半径是1.21×10-5米,用小数表示为米。

24、|1|2004125.02)2

(032-++?---

十三、分式的乘方：分子、分母分别乘方。

例：⑴ 22??? ??-x y = ⑵ 3

22??

??-c a =

十四、同分母的分式相加减：分母不变，只把分子相加减，再把结果化成最简分式。例：⑴

ab ab 610- = ⑵b

a b b a a +++= 十五、异分母的分式相加减：先通分成同分母的分式，在进行加减。例：⑴

a b b b a a -+-= ⑵1

11++-x x = 十六、分式的计算：

1、x

y y y x x 222-+

- 2、112

---a a a 【例】计算：

（1）4

2232)()()(a bc ab c c b a ÷-?-；

（2）2

2233)()()3(

y x y y x y x a +-÷-?+；（3）m

n m

n m n m n n m ---+-+22；

（4）11

---a a a ；

（5）8

4321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)

5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ； 7个0

（7）)12()2

1444

(22

2+-?--+--x x x x x x x

÷．

，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．

3，其中0|3|)2(2

=-+-y x 4)

1(232)1(2)1(2+-++a a a a ；

（2）a

b ab

b b a a ---

-222；

（3）b a c c b a c b c b a c b a c b a ---+

+-+---++-232；（4）b

a b b a ++-2

2；

（5）)4)(4(b

a ab

b a b a ab b a +-+-+-；（6）

1111x x x ++

++-

（7）、b

a a

b a +-

-2

（8）、)1(111112-??

??-++-x x x

（9）、111122----÷-a a a a a a （10）、?

?? ??---÷--225262x x x x

5、先化简，再求值：2111

x x

x x ---+，其中x =2．

6、先化简，再求值：11

1222---++x x

x x x ，其中x =12-

7、先化简，再求值：11112

-÷??

? ??

-+x x x ，其中：x=－2。

十七、分式的化简：

1、计算b a b b a ++-2

2等于。

2、化简分式

ab c c ab 35123522÷?的结果是 3、计算

x y

x y y x y x x --

--+-22的结果是 4、计算1

1--

+a a

a 的结果是 5、计算y

x x

x y x y x +?+÷+2

)(的结果是 6、化简

a b

a b a b

-+等于 7、分式:①223a a ++,②22

a b a b --,③412()

a a

b -,④12x -中,最简分式有 . 8、计算42

22x x x x x x ?

-÷ ?-+-??的结果是 9、计算??

? ??-+÷??? ??-+

1x 111x 112的结果是十八、化简分式求代数式的值： 1、若

32=b a ，则b

b a +2的值是。 2．先化简后求值

（1）1

12421222-÷+--?+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(

x y x y x xy y x ÷-?+÷-的值. 3、111

0,()()()a b c b c c a a b a b c

++=+++++已知求

的值（） A 、-2 B 、-3 C 、-4 D 、-5

4、若1

11312-+

+=--x N x M x x ，试求N M ,的值.

5、已知：2

222y x y xy y x y x y x M --=+---，则M =______ ___． 6、若已知

2112-+=-++x x x B x A （其中A 、B 为常数），则A=__________，B=__________；

【例】已知：21=-

x x ，求221

x +的值. 【例】若(|1|++-y x

1、已知

411=-b a 2．（2005．杭州市）当m

3．（妙法巧解题）已知1x -4、已知a 2

－3a+1=04、已知a M ab +=

=11,1N 的关系为( ) A.M >N B.M =N

题型四：化简求值题

【例】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]1

21()144[(4

122

x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z

y x ==，求2

2232z y x xz yz xy ++-+的值；

（3）已知：0132=+-a a ，试求)1

)(1

2a a a a --

的值.

1、若4x=5y ，则2

2y y x -的值等于（）

41 B 51- C 169

D 259- 2、已知n m n m -=+111，则=-

m n 。

【例】已知：

311=+y

x ，求y xy x y

xy x +++-2232的值.

提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出

x 1

1+.

2．已知：31

=+x x ，求1

242++x x x 的值.

3．已知：

311=-b a ，求

ab b b

ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值.

5．如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---. 的值。

求已知y

xy x y

xy x y x +++-=+2232,511.1

2、当1

x x x ---

--112

2= 。

3、当x 时，

2-=+-x x 。

4、若3x=2y,则2

94x

y 的值等于 5、若x 等于本身的倒数，则63

3622-++÷---x x x x x x 的值是

6、当=x 时，

+-x x 的值是1； 7、若

3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是 8、若2

2,2b a b ab a b a ++-=则

= 9、如果b

a b a +=+1

11，则=+b a a b .

10、已知23=-+y x y x ，那么xy

y x 2

2+= . 11、已知3a

m =，则2

a -= ，213a -=＝，27a -=

12、若

36,92m n ==，则2413m n -+的值为

（四）、整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）3132)()(---?bc a

（2）2322123)5()3(z xy z y x ---?

（3）24

53])

()

()()([

b a b a b a b a +--+--

（4）6223)(])()[(--+?-?+y x y x y x

题型二：化简求值题

【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值. 题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）223)102.8()103(--???；（2）3223)102()104(--?÷?. 练习：

的22

﹣20120

+（﹣6）÷3；

1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|3

1|)51()5131(?-+-+-÷?--

（2）322231)()3(-----?n m n m

（3）2

3232222)()3()()2(--??ab b a b a ab

（4）

1222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x

2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值.

3．已知x+

1x =3，则x 2+21

x = ________ ． 4、已知0543≠==c b a ，求分式c

b a c

b a ++-+323的值。

第二讲分式方程

【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;

2.分式方程产生增根的原因

3.分式方程的应用题

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 16.3 分式方程

①化分式为整式②解方程③验根（4）写出解

1、学完分式运算后，老师出了一道题“化简：

23224

x x

x x +-++-”

小明的做法是：原式222222

(3)(2)2628

4444

x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222

x x x x x x x x x x +-++-=

-=-==++-+++．其中正确的是（）

A ．小明

B ．小亮

C ．小芳

D ．没有正确的

2. 已知

x A x x x +-=--1322

，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4

3. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（） A.

S a b

+ B.

S av b - C. S av

a b

-+ D.

a b

（一）分式方程题型分析

题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程（1）

x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11

4112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程（1）

4441=+++x x x x ；（2）5

9108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，6

167++=++x x x . 【例3】解下列方程组 ??????

???=+=+=+)

3(4

111)2(3111)1(21

11x z z y y x 题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x 的分式方程

132--=-x m

x 有增根，求m 的值.

【例5】若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：03

2>-=

x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 1、已知关于x 的方程

2=-+x m

x 的解是正数，则m 的取值范围为 . 2．指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并求出正确的答案．题目：当x 为何值，分式

有意义？

解：

= ，

由x ﹣2≠0，得x≠2．所以当x≠2时，分式有意义．

题型四：解含有字母系数的方程

【例】解关于x 的方程 )0(≠+=--d c d

x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题

练习：

1．解下列方程：（1）

021211=-++-x

x x ；（2）3

423-=--x x x ；（3）22

22=--+x x x ；

（4）1

7137222

2--+

=--

+x x x x x

（5）21

23524245--+=--x x x x

（6）

1215111+++=+++x x x x （7）

11792--+-+=--+-x x x x x x x x 2．解关于x 的方程：（1）

b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x

b b x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程

22-=+-x x

x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时，关于x 的方程

2)(1(23++-=++x x k

x x 的解为非负数.

5．已知关于x 的分式方程

a x a =++1

2无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法

解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：

一、交叉相乘法

例1．解方程：

1+=

x x 二、化归法

例2．解方程：

012112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程：

871

78=----x

x x 四、分子对等法

例4．解方程：

)(11b a x

b b x a a ≠+=+

五、观察比较法

例5．解方程：

417

425254=

-+-x x x x 六、分离常数法

例6．解方程：

329821+++

++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法

例7．解方程：4

315121+++=+++x x x x

（三）分式方程求待定字母值的方法

例1．若分式方程

x x -=--221无解，求m 的值。例2．若关于x 的方程1

1122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。例3．若关于x 分式方程43

2212

-=++-x x k x 有增根，求k 的值。例4．若关于x 的方程

151

221--=+-+-x k x

x k x

x 有增根1=x ，求k 的值。

9.若m 等于它的倒数，求分式224

4422

2-+÷-++m m

m m m m 的值；

2. 已知x 2+4y 2-4x+4y+5=0，求2

42y

xy x y x -+-·22y xy y

x --÷(y y x 22+)2的值.

练习

1. 若

432z y x ==,求2

22z y x zx yz xy ++++的值. 19．已知且y≠0，则

= _________ ．

十九、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。例：下列方程中式分式方程的有

①1025=+x ②104=-πx ③1012

=-+y

y ④102=+x x x 二十、“可化为一元一次方程的分式方程”的解法：

①去分母：先看方程中有几个分母，找出它们的最简公分母，在方程的左右两边都乘以它们的最简公分母，约去分母，将分式方程化成一元一次方程。 ②解方程：解去分母得到的这个一元一次方程。

③验根：将解一元一次方程得到的解带入最简公分母中计算：如果最简公分母的值为0，则这个解是方

0，则这个解就是原分式方程的解。例：解下列分式方程（步骤参照教材上的例题） ⑴114=-x ⑵3

513+=+x x

5、中考题解：例1．若解分式方程x

x x x m x x 1

112+=++-+产生增根，则m 的值是（） A. 21--或

B. 21或-

C. 21或

D. 21-或

11、分式方程

1．若1044m x

x x

--=--无解，则m 的值是（）

A. —2

B. 2

C. 3

D. —3

2．解方程：（1）325+x ＝13-x （2）416222--+-x x x ＝1 （3）2

321-=---x x x 。

3．在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时v 1千米，下坡时的速度为每小时v 2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（）

千米

4．一辆汽车往返于相距akm 的甲、乙两地，去时每小时行mkm ，?返回时每小时行nkm ，则往返一次所用的时间是_____________．

13、分式方程应用题

1、甲打字员打9000个字所用的时间与乙打字员打7200个字所用的时间相同，已知甲、乙两人每小时

共打5400个字，问甲、乙两个打字员每小时各打多少个字？

2、一名同学计划步行30千米参观博物馆，因情况变化改骑自行车，且骑车的速度是步行速度的1.5倍，

才能按要求提前2小时到达，求这位同学骑自行车的速度。

3．列方程解应用题

从甲地到乙地的路程是15千米，A 骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B 乘车从甲地出发，结果同时到达。已知B 乘车速度是A 骑车速度的3倍，求两车的速度。

4．小张和小王同时从学校出发去距离15千米的一书店买书，小张比小王每小时多走1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x 千米，则可列出的的方程是（）

A 、

2115115=-+x x B 、21

11515=+-x x C 、

2115115=--x x D 、2

11515=--x x 5、赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21

分式经典题型分类练习题49496

第一讲分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正；（2）当x 为何值时，分式2 ) 1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4 |1|5+--x x （2） 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式（1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求y xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 1 1+. 【例4】已知：21=- x x ，求2 21 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求 y x 241 -的值. 练习： 1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1） y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10 141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1 242 ++x x x 的值. 3．已知： 311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值. 5．如果21<

分式方程应用题含答案(经典)

分式方程应用题专题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 3、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（）Ａ．6天Ｂ．4天Ｃ．3天Ｄ．2天 4、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 5、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 6.（2008西宁）“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（） A ．12012045x x -=+ B ．12012045 x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045 x x -=-

八年级数学经典练习题(分式及分式方程)汇总

一、选择题 1. （广东珠海）若分式 b a a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ．是原来的10 1 倍 D ．不变 2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（） A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（）Ａ． a 22 B ． a 2 C ． 2 2b a + D ． 2 22ab a - 5.（丽江）计算10 ()(12 -+= ． 6. （江苏徐州）0132--= ． 7. （江苏镇江常州）计算：－(－ 12)＝；︱－12︱＝； 01()2-= ；11 ()2 --= ． 8. （云南保山）计算101 ()(12 -+= . 9. （北京）计算：?-++?--)2(2730cos 2)2 1(1π． 10. 计算：|-3|+20110×2-1． 11. （重庆江津区）下列式子是分式的是（） A 、 2 x B 、 1x x + C 、2x y + D 、x π 12. （四川眉山）化简m m n m n -÷-2)(的结果是（） A ．﹣m ﹣1 B ．﹣m+1 C ．﹣mn+m D ．﹣mn ﹣n 13．（南充）若分式1 2 x x -+的值为零，则x 的值是（） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2

14. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（）Ａ． b a a 232 B ． a a a 32- C ． 2 2b a b a ++ D ． 2 22b a ab a -- 15. （浙江丽水）计算111 a a a - --的结果为（） A 、 1 1 a a +- B 、1 a a - C 、﹣1 D 、2 17. （天津）若分式21 1 x x -+的值为0，则x 的值等于． 18. （郴州）当x= 时，分式的值为0． 20. （北京）若分式 x 的值为0，则x 的值等于． 21. （福建省漳州市）分式方程 2 11 x =+的解是（） A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、3 2 22. （黑龙江省黑河）分式方程 11x x --= ()() 12m x x -+有增根，则m 的值为（） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 23. （新疆建设兵团）方程2x ＋1 1－x ＝4的解为． 24. （天水）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与 22 35 x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等．则x = ． 25. （海南）方程 2 +x x ＝3的解是．（2）解分式方程一定注意要验根． 26. （湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）化简)2()24 2( 2+÷-+-m m m m 的结果是 A ．0 B ．1 C ．—1 D ．（m ＋2）2

分式的典型练习题(打印版)

分式的典型练习题 1、若分式4 242--x x 的值为零，则x 等于。若分式961|2|2+---x x x 的值为0，则x = 。 2、若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是；分式5 12++x x 的值为负，则x 应满足。 3、分式方程3-x x +1=3-x m 有增根，则m= ； 4、若关于x 的分式方程3232 -=--x m x x 无解，则m 的值为。 5、已知a=25,25-=+b ,求2++b a a b 得值为_________。 6、若将分式a+b ab (a 、b 均为正数）中的字母a 、b 的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值为（） A ．扩大为原来的2倍 B ．缩小为原来的12 C ．不变 D ．缩小为原来的14 7、把分式0.122 0.30.25x x -+的x 系数化为整数，那么0.122 0.30.25x x -+= ． 8、不改变分式的值，使231 72x x x -+-+-的分子和分母中x 的最高次项的系数都是正数，应该是（） A. 231 72x x x ++- B. 231 72x x x --- C. 23172x x x +-+ D. 231 72x x x --+ 9、若分式212()() x x x +--的值为0，则x 的取值范围为（） (A) 21x x =-=或 (B) 1x = (C) 2x ≠± (D) 2x ≠ 10、▲不论x 取何值，分式m x x +-21 2总有意义，求m 的取值范围。 11、（1）已知0132=+-x x ，求① 221x x +的值。 ② 求441 x x +的值（2）已知31 =+x x ，求1242 ++x x x 的值。 12、▲若112323,2x xy y x y x xy y +--=--则分式=___ 13、已知21)2)(1(43-+-=---x B x A x x x 是恒等式，求A 和B 的值。

分式的基本性质-经典例题及答案

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期：【考纲说明】掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。【趣味链接】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。【知识梳理】分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.

3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式有理式的分类：有理式分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0）约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D．【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

分式及分式方程精典练习题分析

分式及分式方程精典练习题一、填空题： ⒈当x 时，分式1 223+-x x 有意义；当x 时，分式x x --112的值等于零. ⒉分式ab c 32、bc a 3、ac b 25的最简公分母是； ⒊化简：2 42--x x ＝ . ⒋当x 、y 满足关系式________时， )(2)(5y x x y --=－25 ⒌化简=-+-a b b b a a . ⒍分式方程3 13-=+-x m x x 有增根，则m ＝ . ⒎若121-x 与)4(3 1+x 互为倒数，则x= . ⒏某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了小时完成任务 9、已知关于x 的方程32 2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为_____________．二、选择题： ⒈下列约分正确的是( ) A 、326x x x = B 、0=++y x y x C 、x xy x y x 12=++ D 、2 14222=y x xy ⒉用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= ⒊下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++122 C 、1)()(22 -=+-b a b a D 、x y y x xy y x -=---1222 ⒋下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) A 、y x y x y x y x ---=--+- B 、y x y x y x y x +-=--+-

初中数学分式方程典型例题讲解

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?= ,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

《分式》典型练习题

分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义 1、下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 2、下列分式中，最简分式有（） 32222 2222222 212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b -++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式： 2b a -，x x 3+，πy +5，() 14 32 +x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义（1） 4 4+-x x （2） 2 32+x x （3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x -84 为正；（2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式 3 2+-x x 为非负数. （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 13132 21+- （2） b a b a +-04.003.02.0 （3）b a b a 10 141534.0-+ 题型二：分数的系数变号 2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

培优专题分式方程培优提高经典例题

分式方程专题例1：去分母法解分式方程 1、 ()()113116=---+x x x 2、2 2416222-+=--+-x x x x x 3、22412212362x x x x x x x -+++=++--- 4、64534275--+--=--+--x x x x x x x x 例2：整体换元与倒数型换元： 1、用换元法解分式方程：（1） 6151=+++x x x x （2）12221--=+--x x x x 变式练习：（11上海）用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x -=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（） A ．230y y +-= B ．2310y y -+= C ．2310y y -+= D ．2310y y --= 例3：分式方程的（增）根的意义 1、若分式方程： 024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。 2、关于x 的分式方程131=---x x a x 无解，则a=_________。变式练习：当m 为时，分式方程 ()01163=-+--+x x m x x x 有根。

例4一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t ；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t ．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍； ⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t 付运费20元计算) 课堂总练习 1关于x 的分式方程 1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是 2．关于x 的方程 223242mx x x x +=--+会产生增根，则m 为____________ 3．若关于x 的方程 2111 x m x x ++=--产生增根，则 m ＝____________； 4．k 取何值时，方程x x k x x x x +=+-+211 2会产生增根？ 5.当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解？

分式方程典型例题

三人行教育陈老师教案——分式方程典型例题题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须检验. 例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 11 4 112=---+x x x 专练一、解分式方程（1）14-x ＝1；（2）3 5 13+=+x x ；（3） 30120021200=--x x （4）255 522-++x x x =1 (5) 2124111x x x +=+--. (6) 222746 1x x x x x +=+-- （7）11322x x x -+=--- (8)512552x x x =--- 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根. 例2、若方程x x x --=+-34 731有增根,则增根为 . 例3．若关于x 的方程3 1 3292-=++-x x x m 有增根, 则增根是多少?产生增根的m 值又是多少? 专练习二： 1.若方程 33 23-+=-x x x 有增根,则增根为 . 2.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?

题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解. 例4、若方程x m x x -=--223无解,求m 的值. 思考:已知关于x 的方程 m x m x =-+3 无解,求m 的值. 题型四:解含有字母的分式方程时,注意字母的限制. 例5、.若关于x 的方程 81=+x ax 的解为41 =x ,则a = 例6、.关于x 的方程 12 -=-+x m x 的解大于零, 求m 的取值范围. 注:解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解 ①若解为正???>去掉增根正的解0x ;②若解为负? ??<去掉增根负的解0 x 解：专练三： 1.若分式方程 5 2 )1()(2-=--x a a x 的解为3=x ,则a = . 3.已知关于x 的方程3 23-=--x m x x 解为正数,求m 的取值范围. 4.若方程k x x +=+233有负数根,求k 的取值范围. .

分式的化简求值经典练习题(带答案)

分式的化简一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项交换外项同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? ( 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个个 n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数】知识点睛中考要求

分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= ，分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值【例1】先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州）【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】已知：22 21()111 a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】22 222 1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷ ?=-=--++- 【答案】4- 【例3】！【例4】先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷ --，其中1a =- 【考点】分式的化简求值例题精讲

分式方程典型易错点及典型例题分析

分式方程典型易错点及典型例题分析一、错用分式得基本性质例１化简错解:原式分析:分式得基本性质就是“分式得分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零得整式,分式得值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式得基本性质. 正解:原式二、错在颠倒运算顺序例2计算错解:原式分析:乘除就是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误、正解:原式三、错在约分例1 当为何值时,分式有意义? ［错解]原式。由得、 ∴时,分式有意义、［解析］上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母得公因式,扩大了未知数得取值范围,而导致错误。［正解］由得且。 ∴当且,分式有意义、四、错在以偏概全例2 为何值时,分式有意义? ［错解]当,得、 ∴当,原分式有意义. ［解析］上述解法中只考虑得分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全得错误。［正解］,得, 由,得. ∴当且时,原分式有意义、五、错在计算去分母例3 计算、 [错解]原式 =。［解析］上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算就是等值代换,不能去分母,、[正解］原式。六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时,分式得值为零. ［错解］由,得。 ∴当或时,原分式得值为零。［解析］当时,分式得分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错得原因就是忽视了分母不能为零得条件。

［正解］由由,得. 由,得且。 ∴当时,原分式得值为零. 典例分析类型一:分式及其基本性质? 1、当x为任意实数时,下列分式一定有意义得就是()? A、Ｂ、C、Ｄ. ２。若分式得值等于零,则ｘ=＿___＿__;3 ?、求分式得最简公分母。【变式１】(１)已知分式得值就是零,那么x得值就是( ) A。-1B、0 C.1D、±１?(2)当x_＿______时,分式没有意义、?【变式２】下列各式从左到右得变形正确得就是()? A、 B. C. D. 类型二:分式得运算技巧 (一) 通分约分４、化简分式: 【变式１】顺次相加法计算: 【变式2】整体通分法计算: (二)裂项或拆项或分组运算?５。巧用裂项法计算: 【变式1】分组通分法计算: 【变式2】巧用拆项法计算: 类型三:条件分式求值得常用技巧 6.参数法已知,.?【变式1】整体代入法已知,求得值. 【变式2】倒数法:在求代数式得值时,有时出现条件或所求分式不易变形,但当分式得分子、分母颠倒后,变形就非常得容易,这样得问题适合通常采用倒数法.?已知:,求得值.?【变式3】主元法:当已知条件为两个三元一次方程,而所求得分式得分子与分母就是齐次式时,通常我们把三元瞧作两元,即把其中一元瞧作已知数来表示其它两元,代入分式求出分式得值、?已知:,求得值. 类型四:解分式方程得方法解分式方程得基本思想就是去分母,课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母得去分母得方法,现再介绍几种灵活去分母得技巧. (一)与异分母相关得分式方程7 ?、解方程=?【变式１】换元法解方程: 8。解方程 (二)与同分母相关得分式方程? 【变式1】解方程【变式２】解方程?类型五:分式(方程)得应用９.甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖。甲进货得策略就是:每次买１000元钱得糖;乙进货得策略就是每次买100０斤糖,最近她俩同去买进了两次价格不同得糖,问两人中谁得平均价格低一些? 【变式１】甲开汽车,乙骑自行车,从相距18０千米得A地同时出发到B、若汽车得速度

分式加减法经典习题

分式的加减法分式的加减法：（1）23+34=34?+ 34 ?= （2）ab ab 610-= （3）1a +1b =ab +ab = （4）b a 21+21ab = 因为最简公分母是___________，所以 b a 21+2 1ab = ＝_____________________ ＝_____________________ ＝_____________________-. 提示：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.例如第（1）小题中的两个分式b a 21和21ab ，它们的最简公分母是（5）y x -1+y x +1 因为最简公分母是___________，所以 y x -1+y x +1 = （6）1()x x y -+y x +1 因为最简公分母是___________，所以 1()x x y -+y x +1 = 练习A ：（1） a a 21+= （2） b c a c -= （3）a c b a c b ++- （4）b a b b a a +++=

（5）a b b b a a －+-= （6）x x -++1111 =

（7）231x ＋x 43；因为最简公分母是_____，所以 231x ＋x 43 ＝2134x ?＋34 x ＝ + ＝（8）221y x -+xy x +21 因为 x 2－y 2＝（x+y ）( ), x 2＋xy ＝x( ), 所以221y x -与xy x +21的最简公分母为＿＿＿＿＿，因此221y x -+xy x +21 ＝1()x y +＋1 x ＝+ （9）231x +xy 125；因为最简公分母是___________ = （10） 24a b a b -；

《分式》典型例题分析

《分式》复习提纲考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4, 23,822++-+---中，分式的个数是（） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个考点2. 分式的意义分式：B A (A ，B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式32 -x 有意义，则x__________ 2、要使分式 ) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3 -或x ≠5 3、当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21 a a + 4、分式 3 24 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 5 2++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零；当x 时，分式 x x -+22 的值是零考点3、最简公分母、最简分式 1、分式 ac b bc a ab c 3,2,2 --的最简公分母是；分式1 3x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（） A. 2 2 2) (y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。（1）y x y x 213221-+；（2）b a b a -+2.05.03.0

分式方程(经典题型)

分式方程应用题分类解析分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．一、营销类应用性问题例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg 少3元，比乙种原料0.5kg 多1元，问混合后的单价0.5kg 是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为二、工程类应用性问题例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的 3 2 ，厂家需付甲、丙两队共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组．步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ④列表为 ⑤列方程为三、行程中的应用性问题例3 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为四、轮船顺逆水应用问题例4 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即顺水航行速度千米30=逆水航行速度千米 20．设船在静水中的速度为x 千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．步骤：①这个问题涉及到的量有 ②等量关系是 ③设 ⑤列方程为

分式经典题型分类练习题教案资料

分式经典题型分类练习题

分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1） 4 4 +-x x （2） 2 32+x x （3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1） 3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84为正；（2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式 3 2+-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4 | 1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 3．解下列不等式（1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252>+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=--

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1） y x y x --+- （2）b a a --- （3）b a --- 题型三：化简求值题【例3】已知：511=+ y x ，求 y xy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11 + . 【例4】已知：21=-x x ，求221 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 练习： 1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10 141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1 242 ++x x x 的值. 3．已知：311=-b a ，求 a ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b a b a 532+-的值. 5．如果21<

解分式方程及增根-无解的典型问题含答案

（分式方程 1. 解分式方程的思路是：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。（2）解这个整式方程。（3）把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。（4）写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程 214111 x x x +-=-- ）例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 — 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 . 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠-

初一下分式经典题型汇总

初一下分式经典题型汇总 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

分式各知识点及例题【知识精读】分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+?????????????????? ??? ???????? ?????? ? ???????() ()005113 （一）、分式定义及有关题型一、分式的概念：形如 B A （A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子，叫做分式。概念分析：①必须形如“B A ”的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制； ③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。．．．例：下列各式中，是分式的是 ①1+ x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πx 练习：1、下列有理式中是分式的有（） A 、 m 1 B 、162y x - C 、xy x 7 151+- D 、57 2、下列各式中，是分式的是 ①x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πy +5 1、下列各式：()x x x x y x x x 2 225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（）个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5

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