一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域:
⑴33
y x =
+-
⑵y =
⑶01(21)111
y x x =
+-++-
(4) f(x)=
2
32--x x ;
(5)
(6)f(x)=1+x -x
x
-2; (7
)0y =
(8
)223
y x x =+-
2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2
的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为
________;
3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数1(2)f x
+的定义域为 。
4、f(x)的定义域为[0,1],求f(x +1)的定义域。
5、已知f(x-1)的定义域为[-1,0],求f(x+1)的定义域。 二、求函数的值域
5、求下列函数的值域: ⑴2
23y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈
⑶31
1x y x -=
+ ⑷311
x y x -=+ (5)x ≥
(5
)y x =
(6)求函数y =-x 2+4x -1 ,x ∈[-1,3) 的值域 三、求函数的解析式
1、已知函数
2
(1)4f x x x -=-,求函数()f x ,(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数,且
2
(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、已知f(2x+1)=3x-2,求函数f(x)的解析式。(配凑法或换元法)
5、已知函数f(x)满足1()2()f x f x x
-=,求函数f(x)的解析式。(消去法) 6、已知()1f x x =+,求函数f(x)的解析式。
7、已知 2
2
11()11x x f x x --=++,求函数f(x)的解析式。 8、已知2
211()f x x x x
+=+,求函数f(x)的解析式。
9、已知()2()1f x f x x +-=-,求函数f(x)的解析式。
10、求下列函数的单调区间: ⑴
2
23y x x =++ 11、函数
236x
y x -=
+的递减区间是
复合函数定义域和值域练习题
答 案
一、函数定义域:
1、(1){|536}x x x x ≥≤-≠-或或 (2){|0}x x ≥ (3)1
{|220,,1}2
x x x x x -≤≤≠≠
≠且 2、[1,1]-; [4,9] 3、5[0,];2 11(,][,)32
-∞-+∞U 4、11m -≤≤ 二、函数值域:
5、(1){|4}y y ≥- (2)[0,5]y ∈ (3){|3}y y ≠ (4)7[,3)3
y ∈ (5)[3,2)y ∈- (6)1{|5}2
y y y ≠≠且 (7){|4}y y ≥ (8)y R ∈ (9)[0,3]y ∈ (10)[1,4]y ∈ (11)1{|}2
y y ≤ 6、2,2a b =±= 三、函数解析式:
1、2()23f x x x =-- ; 2(21)44f x x +=-
2、2
()21f x x x =-- 3、4()33
f x x =+
4
、()(1f x x =-
;(10)
()(10)
x x f x x x ?≥?=?? 5、21()1f x x =- 2()1x g x x =-
四、单调区间:
6、(1)增区间:[1,)-+∞ 减区间:(,1]-∞- (2)增区间:[1,1]- 减区间:[1,3] (3)增区间:[3,0],[3,)-+∞ 减区间:[0,3],(,3]-∞-
7、[0,1]
8、(,2),(2,)-∞--+∞ (2,2]-
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解:要使函数有意义,则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ,k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分,得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4, ] (0,] 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域。 (2)其解法是:已知f (x)的定义域是]a , b ]求f [g(x)]的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为[—2, 2],求f (x 2 3 x 3,故函数的定义域是{x | x (2)已知f [g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知f [g(x)]的定义域是]a , b ],求f(x)定义域的方法是:由 a x b ,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为]1,2],求f(x)的定义域。 解:因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是{x 13 x 5}。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立,由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解:令 2 x 2 1 2 ,得 1 x 2 3,即 0 x 2 3,因此0 | x | 3,从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 {x |x
解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f
幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ;
过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1).
函数的定义域及函数的解析式 因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型,它重要而且基本,不仅是数学研究的重要对象,也是数学中常用的一种数学思想,所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础,即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理 解充分体现.下面,针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨. 一、函数的定义域 [例1]求下列函数的定义域 (1)y=-22 1x +1 (2)y=4 22--x x (3)x x y +=1 (4)y=241+-+-x x (5)y=3 142-+-x x (6)y=)13(1 13-+--x x x (7)y= x 1 11 11++ (8)y=3-ax (a为常数) 分析:当函数是用解析法给出,并且没有指出定义域,则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域. 解:(1)x∈R (2)要使函数有意义,必须使x2-4≠0得原函数定义域为{x|x≠2且x≠-2} (3)要使函数有意义,必须使x+|x|≠0得原函数定义域为{x|x>0} (4)要使函数有意义,必须使? ??≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为{x|1≤x≤4}
(5)要使函数有意义,必须使?????≠-≥-0 3042x x 得原函数定义域为{x|-2≤x≤2} (6)要使函数有意义,必须使???≠-≠-0 1301x x 得原函数的定义域为{x|x≠31且x≠1} (7)要使函数有意义,必须使??????? ????????≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得 原函数的定义域为{x|x<-1或x>0或- 2 1<x<0} (8)要使函数有意义,必须使ax-3≥0得当a>0时,原函数定义域为 {x|x≥a 3} 当a<0时,原函数定义域为{x|x≤a 3} 当a=0时,ax-3≥0的解集为?,故原函数定义域为? 评述:(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合,一般可通过解不等式或不等式组完成. (2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约,受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数a,须对它分类讨论. [例2](1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域. (2)已知函数f(2x+1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域. (3)已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(2x2-2)的定义域. 分析:(1)求函数定义域就是求自变量x的取值范围,求f(x2)的定义域就是求x的范围,而不是求x2的范围,这里x与x2的地位相同,所满足的条件一样. (2)应由0<x<1确定出2x+1的范围,即为函数f(x)的定义域. (3)应由-2≤x≤3确定出x+1的范围,求出函数f(x)的定义域进而再求 f(2x2-2)的定义域.它是(1)与(2)的综合应用. 解:(1)∵f(x)的定义域为(0,1) ∴要使f(x2)有意义,须使0<x2x<0或0<x
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--