换底公式的课后经典练习

2.2.1.3

一、选择题

1．下列各式中不正确的是( )

[答案] D

[解析] 根据对数的运算性质可知：

2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[答案] C

[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8

lg2

＝3，故选C.

3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－a

D.a ＋2b 1－a

[答案] C

[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b

1－a ，故选C.

4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.p

p ＋q

D.pq 1＋pq

[答案] B

[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝p

q

变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝p

p ＋q ，故选B.

5．设x ＝ ，则x ∈( )

A ．(－2，－1)

B ．(1,2)

C ．(－3，－2)

D ．(2,3)

[答案] D

[解析] x ＝

＝log 310∈(2,3)，故选D.

6．设a 、b 、c ∈R ＋

，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( )

A.1c ＝1a ＋1

b B.2

c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b

D.2c ＝1a ＋2b

[答案] B

[解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ， ∴a ＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1

c ＝log m 6， 又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋1

2b ，即

2c ＝2a ＋1

b

，故选B. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103

D ．－4

[答案] C

[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3

那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2

a

lg a lg b

＝(lg a ＋lg b )2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3

＝－103，故选C.

8．已知函数f (x )＝2

x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f (－1)≈1.62，则f (1)≈( )

A ．2.62

B ．2.38

C ．1.62

D ．0.38

[答案] B

[解析] f (－1)＝2＋lg(2－1)，f (1)＝2＋lg(2＋1) 因此f (－1)＋f (1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4， ∴f (1)＝4－f (－1)≈2.38，故选B. 二、填空题

9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]

2

2＋3ab

[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a

2，

又∵log 35＝lg5

lg3＝b ，

∴lg3lg2×lg5lg3＝3

2ab ， ∴

1－lg2lg2＝3

2

ab ， ∴lg2＝22＋3ab

.

10．已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，那么式子log abc x ＝________. [答案] 1

[解析] log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋1

6＝1，

∴log abc x ＝1.

11．若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______. [答案] 1

[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：

lg(ab )

lg a lg b

·lg c ＝0，∵c ≠1，∴lg c ≠0∴ab ＝1， ∴ab ＋c －abc ＝1＋c －c ＝1.

12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的1

3以下，至少要

这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．

[答案] 11

[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n 块玻璃板后的强度为(1－

110

)n

.由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得n lg(1－110)

3，所以n >－lg32lg3－1＝0.47710.0458

≈10.42 故至少需要11块玻璃板． 三、解答题

13．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9.

14．计算(lg 1

2

＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.

[解析] (lg 1

2＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log 210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log 210

＝

－1＋10

2

×12＝54. 15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ， 则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .

∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，

又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴

15a ＋13b ＝1

2c

. 16．设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2

b ＝1，求m 的值．

[解析] a ＝log 4m ，b ＝log 5m .

∴1a ＋2

b

＝log m 4＋2log m 5＝log m 100＝1，∴m ＝100. 17．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值是3，求a 的值． [解析] ∵f (x )的最大值等于3

∴????

?

lg a <016lg 2a －44lg a

＝3，∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0

∵lg a <0，∴lg a ＝－14

，∴a ＝10－

1

4.

高一数学换底公式练习题

指数函数和对数函数·换底公式·例题 例1-6-38log34·log48·log8m=log416，则m 为 [ ] 解 B 由已知有 [ ] A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0 解 A 由已知不等式得 故选A．

[ ] 故选A． [ ] A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，2) 2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，

[ ] A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞n 例1-6-43 (1)若log a c+log b c=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)． 但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1． 例1-6-44函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是____． 由题设有0≤lg(x2-1)≤1，所以1≤x2-1≤10．解之即得．

例1-6-45已知log1227=a，求log616的值． 例1-6-46比较下列各组中两个式子的大小： 例1-6-47已知常数a＞0且a≠1，变数x，y满足

3log x a+log a x-log x y=3 (1)若x=a t(t≠0)，试以a，t表示y； (2)若t∈{t|t2-4t+3≤0}时，y有最小值8，求a和x的值． 解 (1)由换底公式，得 即 log a y=(log a x)2-3log a x+3 当x=a t时，log a y=t2-3t+3，所以 y=a r2-3t+3 (2)由t2-4t+3≤0，得1≤t≤3． 值，所以当t=3时，u max=3．即a3=8，所以a=2，与0＜a＜1矛盾．此时满足条件的a值不存在．

换底公式

教材： 换底公式 目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。 过程： 一、复习：对数的运算法则 导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：a N N m m a log log log = ( a > 0 , a ≠ 1 ) 证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以 m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N N m m a log log log = 两个较为常用的推论： 1? 1log log =?a b b a 2? b m n b a n a m log log = （ a , b > 0且均不为1） 证：1? 1lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a 2? b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、例一、计算：1? 3log 12.05- 2? 42 1432log 3log ? 解：1? 原式 = 153 15 5 5 553 1log 3 log 5 2.0== = 2? 原式 = 2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示） 解：∵ log 18 9 = a ∴a =-=2log 12 18 log 1818 ∴log 18 2 = 1 - a

对数的换底公式及其推论含答案

对数的换底公式及其推论 含答案 The pony was revised in January 2021

对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a1，m>0,m1,N>0) 证明：设a log N=x,则x a =N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ，log log log =??a c b c b a ②b m n b a n a m log log =（a,b>0且均不为1）

证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1已知2log 3=a ，3log 7=b,用a,b 表示42log 56 解：因为2log 3=a ，则 2log 13=a ,又∵3log 7=b, ∴1 312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+==b ab ab 例2计算：①3log 12.05 -②2194log 2log 3log -?解：①原式=3 15555531log 3log 52.0=== ②原式=2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1求证z y x 1211=+；2比较z y x 6,4,3的大小

对数的换底公式及其推论(含答案)

精心整理 对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a ?1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a ?1，m>0,m ?1,N>0) 证明 2.① ②②例1∴1 12log 7log 42log 56 log 33333342++=++==b ab 例2计算：①3log 12.05-②2 194log 2log 3log -?解：①原式=3 15555531log 3log 52.0===

②原式=2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1?求证z y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6 lg lg k z = ∴x 1+2?x 3∴x 3又：4∴y 4∴例4由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a ?=log a c ?= 解法二： 由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log 由对数定义知： b a c x =a c x ?=∴ 解法三： 四、课堂练习： ①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45

解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 1218log 1818 ∴18log 2=1?a ∵b 18=5∴18log 5=b ∴a b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5 解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ?p 33log 2=?p 312log 3= 又∵1证法1则：x =∴(p a =∵0≠q 证法22．已知求证：证明：由换底公式λ====n n a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ== )lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n

(完整版)换底公式的说课稿

3.4.2 “换底公式”说课稿 瀛湖中学李善斌 教材分析 本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用. 教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力. 学情分析： 对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的. 教学目标 一、知识与技能 1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明. 2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答. 二、过程与方法 1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想. 2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力. 3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用. 三、情感态度与价值观 1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神. 2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.

对数的换底公式及其推论含参考答案

精心整理 对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a ≠1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a ≠1，m>0,m ≠1,N>0) 2.① ②②例1∴1 12log 7log 42log 33333342++++b ab 例2计算：①3log 12.05-②2 194log 2log 3log -?解：①原式=3 155555 31log 3log 52.0=== ②原式=2 45412log 452log 213log 21232=+=+?

例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1?求证z y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小证明1?：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6 lg lg k z = ∴ x 12?x 3∴x 3又：∴y 4∴例b 解法二： 由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a =log 由对数定义知： b a c x =a c x ?=∴ 解法三： 四、课堂练习： ①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45 解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 1218log 1818∴18log 2=1-a

∵b 18=5∴18log 5=b ∴a b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836 ②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5 解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ?p 33log 2=?p 312log 3= 1证法1则：x =∴(p a =∵0≠q 证法22．已知求证：n n a a a lg lg lg 2211λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121ΛΛ∴λ=) lg()lg(2121n n a a a b b b ΛΛ ∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n ΛΛΛΛ

换底公式及其应用

对数与对数运算 第三课时 换底公式及其应用 复习巩固： 1.对数运算有哪三个常用结论？ ____)3(___,log )2(___,log )1(log 1 ===N a a a a a 2.对数运算有哪三条基本性质？ 如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）()______________log =MN a （对数的加法） （2）_____________log =N M a （对数的减法） （3）()R n b n a m ∈=_________log （对数的数乘） 讲授新课： 问题：同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？ 思考1：b b a c b c a a c c y x log log ,log ,,表示用已知== 结论：,0(log log log >=a a c b c b a 且0,1>≠c a 且)0;1>≠b c 思考2：该公式有什么特征？ 思考3：若c b =，有什么结论？ 思考4：证明b b a c a c log log log =? 例1、 求值 ())4)(log 9(log 132 ())2log )(log 3log 3(log 292 384++

())9)(log 4)(log 25(log 3532 例2、12log ,,3lg ,2lg 5表示试用已知b a b a == 练习：45 36918log ,,518,log 表示试用已知b a a b == 例3、的值求若x x x -+=44,14log 3 例4、的值。，求设b a b a 1 2 3643+== 练习：z y x z y x 1 111632=+≠==，求证设 课堂练习： 1、32 2798log log ?=______ 2、)log log (log )log log (log 8 12542525582541252++?++=_____ 3、4.1log ,35log 75表示用已知m m =

对数的换底公式及其推论(含答案)

对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = （ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =?= ?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则2log 1 3=a , 又∵3log 7 = b, ∴1 3 12log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+== b ab ab

对数换底公式

换底公式四 一．课题：对数（4）——换底公式 二．教学目标：1. 要求学生会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 三．教学重、难点：1．会推导并掌握对数的换底公式； 2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。 四．教学过程： （一）复习：对数的运算法则。 导入新课：对数的运算性质的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ （二）新课讲解： 1．换底公式：log log log m a m N N a = ( a > 0 , a 1 ；0,1m m >≠) 证明：设log a N x =，则x a N =， 两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log = ， ∴ a N N m m a log log log =． 说明：两个较为常用的推论： （1）log log 1a b b a ?= ； （2）log log m n a a n b b m = （a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n n a m a b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析： 例1．计算：（1） 0.21log 35 -； （2）4492log 3log 2log 32?+． 解：（1）原式 = 0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+?． 例2．已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）． 解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12 18log 1818 ， ∴18log 21a =-， 又∵185b =，

换底公式

§4.2换底公式 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算， 求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的换底公式. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与换底公式的应用 难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 新授内容： 已知对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48. 问题1：对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 264＝6，log 28＝3, log 864＝log 264log 28. 问题2：对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 464＝3, log 48＝32， log 864＝log 464log 48. 问题3：经过问题1,2你能得出什么结论？ 提示：log a b ＝log M b log M a (a ，M >0，a ，M ≠1，b >0)．

对数的换底公式及其推论

课 题：2.7.3 对数的换底公式及其推论 教学目的： 1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力； 教学重点：换底公式及推论 教学难点：换底公式的证明和灵活应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：对数的运算法则 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有： ) ()() (3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴ a N m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ， 1log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a

②m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1 已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56 解：因为2log 3 = a ，则 2log 13=a , 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+== b ab ab 例2计算：①3log 12.05- ② 421 9432log 2log 3log -? 解：①原式 = 3 155555 31log 3log 52.0=== ②原式 = 2 45412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1? 求证 z y x 1211=+ ； 2? 比较z y x 6,4,3的大小 证明1?：设k z y x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x = ， 4lg lg k y =， 6 lg lg k z = ∴z k k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2? k y x lg )4 lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164 lg lg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<

角函数公式大全及其推导方法

三角函数公式大全及其推导 1. 三角函数的定义 由此，我们定义： 如Figure I, 在ΔABC 中 sin ( ) cos () tan ()1 1 cot ()tan 11 sec ()cos 11 csc ()sin b c a c b a a b b a c a a c c b b c θθθθθθθθθθθθθθθ ∠=∠= ∠= ∠= ==∠= ==∠= ==对边 的正弦值：斜边邻边的余弦值：斜边对边的正切值：邻边 邻边的余切值：对边斜边的正割值：邻边斜边的余割值：对边 备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写∠符号，但用三个子母表 A c b θ Figure I

示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin 、cos 、tan 。 2. 额外的定义 222222sin (sin )cos (cos )tan (tan )θθθθθθ=== 3. 简便计算公式 22sin cos cos(90)cos sin sin(90) 111 tan tan tan(90) sin cos 1b A c c A b b a a A b θθθθθθθθ= ==-∠===-∠==== -∠+=o o o 证明： 222 22 22222901sin sin 1sin cos 1 ABC ABC a b c a b c c B A θθ?∠=∴+=∴+=∴+=∴+=o Q 在中, 证完

222 222sin tan cos sin cos 1tan 1cos cos cos b b c a a c θθθ θθθθθθ === +=+= 4. 任意三角形的面积公式 如Figure II , C a b h Figure II

换底公式的课后经典练习

2.2.1.3 一、选择题 1．下列各式中不正确的是( ) [答案] D [解析] 根据对数的运算性质可知： 2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8 lg2 ＝3，故选C. 3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b 1－a [答案] C [解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b 1－a ，故选C. 4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.p p ＋q D.pq 1＋pq

[答案] B [解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝p q 变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝p p ＋q ，故选B. 5．设x ＝ ，则x ∈( ) A ．(－2，－1) B ．(1,2) C ．(－3，－2) D ．(2,3) [答案] D [解析] x ＝ ＝log 310∈(2,3)，故选D. 6．设a 、b 、c ∈R ＋ ，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( ) A.1c ＝1a ＋1 b B.2 c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b D.2c ＝1a ＋2b [答案] B [解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ， ∴a ＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1 c ＝log m 6， 又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋1 2b ，即 2c ＝2a ＋1 b ，故选B. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103 D ．－4 [答案] C [解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3 那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2 a lg a lg b

《换底公式》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】

《换底公式》 本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对 数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常 用对数或自然对数来计算； 在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用 换底公式。另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产 中的重要作用。 教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中 应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实 例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力。 【知识与能力目标】 理解从特殊类比推导对数的换底公式并掌握换底公式。 能够灵活地将换底公式与对数的运算性质结合起来进行较复杂的对数运算与实际运用。 通过阅读材料，了解对数的发展历史及对简化运算的作用，了解指数换底公式。 【过程与方法目标】 通过设置问题串的方式，让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换 底公式的过程，培养学生分析、综合解决问题的能力。在换底公式的应用的过程中，引导学 生自己思考发现规律，提高学生的探索发现并总结问题的能力。 【情感态度价值观目标】 让学生探索研究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质，感受 对数的广泛应用，增强学习的积极性。培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度。 【教学重点】 换底公式得出的过程及其应用。 【教学难点】 推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。换底公式的灵活应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 1、复习对数的定义及运算性质 2、思考: 我们能否直接求出2log 16、lg15、ln 2、2log 15的值呢？借助科学计算器呢?这样如果能将其他底的对数转化成以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数。那么，如何转换呢?引出课题换底公式。 二、研探新知，建构概念 提出问题 阅读教材，回答以下问题。(通过投影仪提出问题， 提供5分钟时间让学生自学探究，适时引导)。 问题1、如何使用科学计算器计算2log 15? 问题2、如果0a >且1a ≠，你能用以a 为底的对数式来表示2log 15吗？ 问题3、 更一般地，log log (,0,,1,0)log a b a N N a b a b N b =>≠>成立吗？如何证明？ 问题4、你能用自己的话概括出换底公式吗？ 问题5、换底公式的意义是什么?有什么作用? 活动:学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的自学能力与创造性思维能力。对于问题1，考虑利用对数的定义，转化成指数方程，再两边取常用对数或自然对数来求解; 对于问题2，考虑参考问题1的思路和结果的形式借助对数的定义可以表示;对于问题3，借助问题1、2的思路，利用对数的定义来证明；问题4抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式;问题5换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了。 探究结果 探究1、设2log 15x =，根据对数的定义，写成指数式，得215x = ①

对数的换底公式及其推论含答案修订版

对数的换底公式及其推论含答案修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-

对数的换底公式及其推论 一、复习引入：对数的运算法则 如果a>0，a?1，M>0，N>0有： 二、新授内容： 1.对数换底公式： a N N m m a log log log =(a>0,a?1，m>0,m?1,N>0) 证明：设a log N=x,则x a =N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =?= 从而得：a N x m m log log = ∴a N m m a log log = 2.两个常用的推论: ①1log log =?a b b a ，log log log =??a c b c b a ②b m n b a n a m log log =（a,b>0且均不为1）

证：①lg lg lg lg log log =?=?b a a b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例： 例1已知2log 3=a ，3log 7=b,用a,b 表示42log 56 解：因为2log 3=a ，则 2log 13=a ,又∵3log 7=b, ∴1 312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++?+==b ab ab 例2计算：①3log 12.05- ②2194log 2log 3log -?解：①原式=3 15555531log 3log 52.0=== ②原式=2 345412log 452log 213log 21232=+=+? 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643== 1?求证z y x 1211=+；2?比较z y x 6,4,3的大小

对数换底公式的应用-练习题【基础】

换底公式的应用（一） 1．（2014秋?雅安校级期末）已知2a=5b=M，且+=2，则M的值是（） A．20 B．2C．±2D．400 【考点】换底公式的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出． 【解答】解：∵2a=5b=M＞0， ∴a=log2M=，． ∵+=2， ∴=， ∴M2=20． ∴=2． 故选：B． 【点评】本题考查了把指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题． 2．（2014秋?瑞安市校级期中）已知lg3=a，lg7=b，则lg的值为（） A．a﹣b2B．a﹣2b C．D． 【考点】换底公式的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用对数的运算性质得答案． 【解答】解：∵lg3=a，lg7=b， ∴lg=lg3﹣lg49=lg3﹣2lg7=2﹣2b． 故选：B． 【点评】本题考查了对数的运算性质，是基础的会考题型． 3．（2012秋?香坊区校级期中）下列等式中一定正确的是（） A．B． C．D． 【考点】换底公式的应用． 【专题】证明题． 【分析】利用对数和指数幂的运算性质即可判断出答案． 【解答】解：A．取x=2，y=1，则左边==，右边==+1，∴左边≠右边，故不成立；

B．log89×log2732===．故正确； C．∵有意义，∴﹣a≥0，∴a≤0． ∴====≠（a≠0），故C不正确； D.=log a|x|≠log a x．（x≠1） 【点评】熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键． 4．已知lg2=m，lg3=n，则log83用m，n来表示的式子是（） A．B．C．D． 【考点】换底公式的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用换底公式化简求解即可． 【解答】解：lg2=m，lg3=n， 则log83==． 故选：B． 【点评】本题考查换底公式的应用，基本知识的考查． 5．（2014?苏州校级学业考试）化简可得（） A．log34 B．C．3 D．4 【考点】换底公式的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用换底公式化简求解即可． 【解答】解：=log28=log223=3． 故选：C． 【点评】本题考查换底公式的应用，基本知识的考查． 6．（2012秋?浏阳市校级期中）若lg5=a，lg7=b，则log57=（） A．a+b B．b﹣a C．D． 【考点】换底公式的应用． 【分析】利用对数的换底公式即可求得答案． 【解答】解：∵lg5=a，lg7=b， ∴log57==．

高一数学换底公式练习题

指数函数和对数函数?换底公式?例题 例1-6-38 log 34 ? log 48 ?log s m=log4l6 , 贝U m 为[ ] 9 A. - B. 9 C. 18 D. 27 2 解 B 由已知有 lg4 lg8 lgm lgl6 例1-6-39若lce l(72-l)+log b(^+l)<>则下列各式中正确的是 [ ] A. b>a> 1 B. 1 > a> b> 0 C. a>b> 1 D. 1 > b> a> 0 解 A 由已知不等式得 呃(Qj) 0,所以1砂〉妝?又lg耳〉0, lgb〉0,所以b〉』〉l?lga lgb

故选A. 2 例1-6-40若log t-

2X -X 2>0 得 O v x v 2.又 t=2x-x 2=-（x-1） 2+1 在[1 , +^）上是减函数, 例 1-6-42 已知r>b>￡>h 如杲log.b = m, log 汕=山 iogb~=p ，1略;=q ，则下式正确的是 a b [ ] A. m >p >n >q B. n >p >m >q C. m >n >p >q D. m >q >p >n 3 解C 令尸2, b 二2卿知. 例 1-6-43 （1）若 log a c+log b C=O （c 丰 0），则 ab+c-abc= ⑵log s 9=a , log 35=b ,则 log 代2= __ （用 a , b 表示）. 但 C M 1,所以 lga+lgb=0，所以 ab=1，所以 ab+c-abc=1. 例1-6-44 函数y=f(x)的定义域为［0 , 1］，则函数f ［lg(x 2-1)］ 的定义域