苏教版九年级一元二次方程复习专题

一元二次方程

一、本章知识结构框图

二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）让学生明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如n x =2

或)0()(2

≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的

一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2

的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0

（3）公式法：一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根a

ac b b x 242-±-=

当042

>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当042

=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a

b x x 221-

==； 当042

<-ac b 时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42

-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042

≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） （4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一

个为0，即：若0=ab ，则00==b a 或； ②因式分解法的一般步骤：

将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

（5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 （三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）?=ac b 42

-

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ）

①当??

?≥?≠时

00

a ?方程有实数根；

（当???>?≠时00a ?方程有两个不相等的实数根；当???=?≠时

00

a ?方程有两个相等的实

数根；） ②当??

?

00

a ?方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.

例：求证：方程0)4(2)1(2

2

2

=++-+a ax x a 无实数根。

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 （四）、一元二次方程的应用

1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（x ），变化的次数（n ），变化后的基数（b ）,这四者之间的关系可以用公式b x a n =+)1(表示。

4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题

例1.有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

例2.读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？

例 3.已知：c b a ,,分别是ABC ?的三边长，当0>m 时，关于x 的一元二次方程02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根，求证：ABC ?是直角三角形。

例4.已知：c b a ,,分别是ABC ?的三边长，求证：方程0)(2

2

2

2

2

2

=+-++c x a c b x b 没有实数根。

例 5.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442

=+-x mx 与

0544422=--+-m m mx x 的根都是整数？

例6.已知关于x 的方程0221

2222

=-+-++m

x x m x x ，其中m 为实数，（1）当m 为何值时，

方程没有实数根？（2）当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。

例7．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2.

(1)求实数k 的取值范围；

(2)是否存在k 使得x 1x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．

例8．(2013·威海)要在一块长52 m ，宽48 m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．

小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m ，剩余的四块绿地面积共2300平方米． 小颖设计的方案如图②所示，BC ＝HE ＝x ，AB ∥CD ，HG ∥EF ，AB ⊥EF ，∠1＝60°. (1)求小亮设计方案中甬路的宽度x ；

(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x 与小亮设计方案中的x 取值相同)

人教版九年级上册数学一元二次方程知识点归纳及练习(供参考)

一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项 系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。 当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。 当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。

5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21，a c x x =21。 练习 一、选择题。（每小题5分，共30分） 1、方程2x －9＝0的解是 （ ） A 、x =3 B 、 x = -2 C 、x =4.5 D 、 3x =± 2、方程24x x =的解是（ ） Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x = D 、0x = 3、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A 、238x x =- B 、2510x x +=- C 、271470x x -+= D 、2753x x x -=-+ 4、用换元法解方程2221x x x x ????+-+= ? ?? ???，若设2y x x =+，则原方程可化为（ ） A 、210y y -+= B 、210y y ++= C 、210y y +-= D 、210y y --= 5、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、2009 6、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，

(完整版)一元二次方程知识点总结和例题——复习

知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x= +2) (的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x+是b的平方根，当0 ≥ b时，b a x± = +，b a x± - =，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 2 2 2) ( 2b a b ab a+ = + ±，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有 2 2 2) ( 2b x b bx x± = + ±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p ±√q；如果q＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的求根公式： )0 4 ( 2 4 2 2 ≥ - - ± - =ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax中，ac b4 2-叫做一元二次方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b4 2- = ? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax的两个实数根是 2 1 x x，，那么a b x x- = + 2 1 ， a c x x= 2 1 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程

一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习（一） 直接开平方法→配方法 要点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种 解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为 的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 类型一、用配方法解一元二次方程 1.用配方法解方程x 2-7x-1＝0． 【答案与解析】 将方程变形为x 2-7x ＝1，两边加一次项的系数的一半的平方 ，得 x 2 -7x+ ＝1+，所以有＝1+． 直接开平方，得x-＝或x-＝-． 所以原方程的根为x ＝+或x ＝-． 【总结升华】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行： (1)把形如ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)的方程中二次项的系数化为1； (2)把常数项移到方程的右边； 2 2 2 2()a ab b a b ±+=±

(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2＝n(n ≥0)的方程； (4)用直接开平方的方法解此题． 举一反三： 【变式】用配方法解方程. (1)x 2-4x-2＝0； (2)x 2+6x+8＝0. 要点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，一定要学好． 类型二、配方法在代数中的应用 2．若代数式，，则的值（ ） A ．一定是负数 B ．一定是正数 C ．一定不是负数 D ．一定不是正数 【答案】B ； 【解析】（作差法） ．故选Ｂ． 【总结升华】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方， 使此差大于零而比较出大小. 221078M a b a =+-+2251N a b a =+++M N -2222 1078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>

一元二次方程专题复习资料解析

一元二次方程专题复习 知识盘点 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的 平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3.一元二次方程的根的判别式 . （1）ac b 42->0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根, 即-----=-----=2,1x x （2）ac b 42-=0?一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x , （3）ac b 42-<0?一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。 4. 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ， 则12x x += ，12x x = 提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

九年级上册数学一元二次方程专题知识点总结

一元二次方程知识点复习 知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是_____方程（2）只有___个未知数（一元）（3）未知数的最高次数是____（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习A ：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3= 1x ；④x 2-y=0； ④（x+1）2=x 2-1．一元二次方程的个数是. 2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k 是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______． 知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念 一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项，______为二次项系数，_______是一次项，_______为一次项系数，______为常数项。 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数 a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式 练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x -- 2、已知1a a +=求1a a -的值. 3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m=， 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是。 若942++kx x 是完全平方式，则k =。 知识点4．整体运算 练习D:1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解 练习E ：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_______________． 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程。

一元二次方程复习提纲

一元二次方程复习 一、知识系统：概念——解法——实际应用——根的判别式、根系关系——二次函数 1、概念：)0(02≠=++a c bx ax 叫一元二次方程。理解：???≠=02a x 的最高次数 2 1） 2） 配方法：02=++c bx ax （适用所有方程，但方程易化成022 =++C kx x 的形式） | 3） 公式法：02 =++c bx ax 有根的前提△≥0，a ac b b x 2422,1-±-= 4） 因式分解法：能用公式法（完全平方公式、平方差公式）、十字相乘法对左边c bx ax ++2 分解 成：()()21x x x x a -- 3、实际应用（与二次函数最值联系）：面积、增长率、销售等 % 4、根的判别式、根系关系：)0(02≠=++a c bx ax ￥ 根系关系：a b a b b a b a b x x -=?--?+-=?--+?+-=+22221,

()a c a ac b b a b a b a b x x =--=?--=?--??+-=?22222221444)()(22 5、二次函数c bx ax y ++=2，令y=0变为一元二次方程02=++c bx ax ，抛物线与x 轴的两交点 横坐标21,x x 则为方程02=++c bx ax 的两根。 二、例题： 1、若032)1(12=+--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求这个方程的根。 % 2、用适当方法解下列方程：①61232=+x x ②x x 210)5(32 -=- ③0222=--x x \ 3、已知关于x 的方程：0362=++x x ,不解方程求下列式子的值：①21x x + ②21x x ? ③2 221x x + ④ 1 221x x x x + ⑤3231x x + ⑥222316122x x x ++- $ 4、已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x ，①求证：无论m 取什么实数，方程总有两个不同的实数根。②若这个方程的两个实数根21,x x 满足,221+=x x 求m 的值及相应的两根。 5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快

一元二次方程专题能力培优含答案

第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0，求m 的值． 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 －2013x+1=0的解，求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点： 1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根. 温馨提示： 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧： 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领

九年级上册数学一元二次方程单元测试卷

九年级上册一元二次方程单元测试卷1 一、填空题（★写批注）姓名：日期： 1．（3分）一元二次方程2x2﹣13=7x的二次项系数为：，一次项系数为：．2．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于． 3．（3分）已知方程（x+a）（x﹣3）=0和方程x2﹣2x﹣3=0的解相同，则a=． 4．（3分）一元二次方程x2﹣x+4=0的解是． 5．（3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为．6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．7．（3分）关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=． 8．（3分）已知实数x满足=0，那么的值为． 9．（3分）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，则由题意可列方程为． 10．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为．11．（3分）已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为． 12．（3分）方程：y（y﹣5）=y﹣5的解为：． 13．（3分）在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）﹡1=0的解为． 二、选择题（★写批注） 14．（3分）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．7 15．（3分）若的值为0，则x的值是（）

A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．2 D．﹣3 16．（3分）一元二次方程x2﹣1=0的根为（） A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1 17．（3分）将方程2x2﹣4x﹣3=0配方后所得的方程正确的是（） A．（2x﹣1）2=0 B．（2x﹣1）2=4 C．2（x﹣1）2=1 D．2（x﹣1）2=5 18．（3分）关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0第22题图 19．（3分）若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（） A．﹣1或B．1或C．1或D．1或 20．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1 21．（3分）如果方程x2+2x+m=0有两个同号的实数根，m的取值范围是（） A．m＜1 B．0＜m≤1C．0≤m＜1 D．m＞0 22．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m ﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 23．（3分）若方程（m﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m=0 B．m≠1C．m≥0且m≠1D．m为任意实数 24．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE 的长度为（）

初中数学一元二次方程总复习知识点梳理

一元二次方程总复习 考点1：一元二次方程的概念 一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程． 一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。 考点2：一元二次方程的解法 1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 X+a=± b ∴1x =-a+b 2x =-a-b 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二 次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 5．一元二次方程的注意事项：

数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围； ()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值． 【答案】（1）134k ≤ ；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥， 解得134 k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-， () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134 k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系． 2．已知：关于的方程 有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．

一元二次方程复习资料

一元二次方程复习资料 一元二次方程?? ? ??*?韦达定理根的判别解与解法 只含有一个未知数．．．．．．．．，并且② 未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．．就是一元二次方程。 )0(02 ≠=++a c bx “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 021 12=-+x x C 02 =++c bx ax D 122 2 +=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程322 2 +=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132= +++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 ★1、方程782 =x 的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程()021 =--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112 =?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2 =0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） =n=2 =2,n=1 C.n=2,m=1 =n=1 例1、已知322 -+y y 的值为2，则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2 =-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042 =+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582 =+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102 =-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022 =-+kx x 的一个解与方程31 1 =-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 ★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 ★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 ★★5、方程()()02 =-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - ★★★6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。

2020届中考数学专题复习《一元二次方程》专题训练

一元二次方程 A级基础题 1．一元二次方程x2－3x＝0的根是( ) A．x1＝0，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．(2017浙江舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( ) A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 3．(2017年江苏南京改编)解方程(x－5)2＝19，用以下哪种方法最恰当( ) A．配方法 B．直接开平方法 C．因式分解法 D．公式法 4．(2018年湖南娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( ) A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 5．(2018年湖南湘潭)若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是( ) A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 6．如图2-1-4，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) 图2-1-4 A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m 7．(2018年吉林)若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________． 8．一元二次方程x2－2x＝0的解是____________． 9．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为____________． 10．已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

(完整word版)初中数学一元二次方程复习专题

一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）222 121212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则12 0x x ?>?? ??? --

九年级数学上册小专题(一) 一元二次方程的解法

编号：954555300022221782598333158 学校：战神市白虎镇禳灾村小学* 教师：战虎禳* 班级：战神参班* 专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0. 3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0； (3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x －3)2＝x 2－9； (3)t 2－ 22t ＋18 ＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12 . 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝±5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13 .∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516 .直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12 ，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3 ＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.x ＝－3±412×4 ＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418. (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224.

初中数学一元二次方程复习专题教案资料

一元二次方程专题复习 【中考考点】①利用一元二次方程的意义解决问题； ②用整体思想对复杂的高次方程或分式方程进行变形（换元法）； ③考查配方法（主要结合函数的顶点式来研究）； ④一元二次方程的解法； ⑤一元二次方程根的近似值； ⑥建立一元二次方程模型解决问题； ⑦利用根的判别式求方程中字母系数的值和利用根与系数关系求代数式的值； ⑧与一元二次方程相关的探索或说理题； ⑨与其他知识结合，综合解决问题。 一元二次方程的定义与解法 ? 【要点、考点聚焦】 1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式2 0(0)ax bx c a ++=≠； 2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要） ? 【典型例题解析】 1、关于x 的一元二次方程2 (1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围. 2、已知：关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的值。

3、用配方法解方程:2 210x x --= 【考点训练】 1、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A. 1 B.1- C.1或1- D. 12 2、解方程23(121)4(121)x x -=-的最适当的方法（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法 3、若0a b c -+=，则一元二次方程2 0ax bx c ++=有一根是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 4、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程. 5、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________. 6、解下列方程： （1）2(1)4x -=; (2)2230x x --= (3)22740t t --=（用配方法） 一元二次方程根的判别式 ? 【要点、考点聚焦】 1.一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠根的情况与?的关系；6 2.一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围． ? 【典型考题】 1.已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时： (1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根. 2.已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程222222 ()0b x b c a x c ++-+=没有实数根. 切记：不要忽略a ≠0

一元二次方程专题复习

一元二次方程专题复习 一、选择题 1、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )． A．－4 B．－1 C． 1 D． 0 2、设方程x2－4x－1=0的两个根为x1与x2，则x1x2的值是( )． A．－4 B．－1 C． 1 D． 0 3、方程组的解是（） A．B． … C．Ｄ． 4、若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和l），则a 的取值范围是（） A． B． C． D． 5、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（） A．1 B．2 C．1或2 D．0 6、方程的根是( ) A．B．C． D． 7、已知代数式的值为9，则的值为（）

A．18 B．12 C．9 D．7 8、关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．无法确定 9、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于 A．1 B．2 C．1或2 D．0 10、已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（） A． B． C．D． ' 11、一元二次方程x一2x=0的解是( ) A．0 B．2 C．0，一2 D．0，2 12、设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（） A．B． C．D． 13、三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（） 或13 14、关于的一元二次方程的解为( )．

A.=1，=－1 B.==1 C. ==－1 D.无解 15、将方程x2+4x+1=0配方后，原方程变形为 ( ) A．(x+2)2=3 B．(x+4)2=3 C．(x+2)2=-3 D. (x+2)2=-5 16、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为 ( ) A.－1或 B.－1 C. D.不存在 17、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（） A．1 B．12 C．13 D．25 & 二、填空题 18、设一元二次方程的两个实数根分别为和，则 ， ． 19、已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ． 20、已知一元二次方程的一个根为，则． 21、方程的较大根为，方程的较小根为，则 。

初中数学 九年级上一元二次方程教案

22．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2． 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2． 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm ，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： 问题2．一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多2m ， 苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2 中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x 2-36=0的解，问题2中，x=10是x 2+2x-120=0的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 108

一元二次方程拔高训练题及复习资料

一元二次方程拔高题精选 一、学科内综合题（每小题8分，共48分） 1．随着城市人口的不断增加，美化城市、改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，?某城市到2006?年要将该城市的绿地面积在2004?年的基础上增加44%，同时，要求该城市到2006年人均绿地的占有量在2004年基础上增加21%，?为保证实验这个目标，这两年该城市人口的平均增长率应控制在多少以内？（精确1%） 2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=10cm，点P?从点B?出发沿BC?以1cm/s 的速度向点C移动，问：经过多少秒后，点P到点A的距离的平方比点P到点B?的距离的8倍大1？ 3．已知关于x的方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0有实数根． （1）求a的取值范围； （2）设x1，x2是方程（a－1）x2－（2a－3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值． 4．设m为整数，且4

6．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500?千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，?日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天赢利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ O C B A 7．如图，AO=OB=50cm ，OC 是一条射线，OC ⊥AB ，一只蚂蚁由A 以2cm/s 速度向B 爬行，同时另一只蚂蚁由O 点以3cm/s 的速度沿OC 方向爬行，几秒钟后，?两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450cm 2？ 三、应用题（每小题10分，共20分） 8．在等腰△ABC 中，a=3，b ，c 是x 2+mx+2－12 m=0的两个根，试求△ABC 的周长． 9．一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，?往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼） 10．问题：构造 ax 2+bx+c=0解题，已知：21a +1a －1=0，b 4+b 2－1=0，且1a ≠b 2，求21ab a 的值．