向量数量积的坐标运算和度量公式

复习提问提问1：如何用向量的长度、夹角

反映数量积？又如何用数量积、长

度来反映夹角？向量的运算律有哪

些？

由学生口答，教师板书向量数量积的定

义及向量的运算律公式

为数

量积

的坐

标运

算及

度量

公式

的推

导证

明打

好理

论基

础

练习2：已知|a|=1，|b|=2，(1)

若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹

角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b

与a垂直，求a与b的夹角.

练习3：设i，j为正交单位向量，

则

① _______②

____________

③ ________ ④

____________

学生板书，教师分析，引导学生复习

前课重点……两个向量的数量积的运

算性质

引入新课及公式推导向量的坐标表示，为我们解决向量

的加、减、数乘向量带来了极大的

方便，那么向量的坐标表示，对数

量积的表达方式会带来哪些变化

呢？

问题1

如果已知，

怎样用、的坐标表示

呢？

推广1：设)

,

(y

x

a

，则

学生独立进行每个公式的证明，教师

个别指导

教师小结：

（1）两个向量的数量积等于它们对应

坐标的乘积的和

在充

分复

习的

基础

上，培

养学

生用

旧知

解决

新问

题的

能力，

独立

思考

探索

的意

识

2

22||y x a +=

或

22||y x a +=

(长度公式)

推广2：设

、

则(距离

公式)

推广3： co s

=|

|||b a b

a ??

2

2

222

1

2

12121y x y x y y x x +++=（πθ≤≤0）(夹角公式)

即b a

?2121y y x x +=

(2) 向量的长度、距离和夹角公式

问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？

b a ⊥ ?02121=+y y x x

教师小结：向量垂直的充要条件

设

)

,(11y x a =

，

)

,(22y x b =

，

则

b

a ⊥ ?02121=+y y x x

应用举例

例1 设a

= (3, 1)，b = (1,

2)，求a b ，b a b a ,,,

教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。 巩固向量数量

积的坐

标运算和度量公式的基本应用

例2 已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2,

5)，

求证：△ABC是直角三角形（1）教师引导，师生共同完成。

(2)教师提问：该题还有其他证明

方法吗？

（提示可计算、、

，然后用勾股定理验证）

运用向

量垂直

的坐标

表示的

充要条

件解决

问题；培

养学生

灵活运

用所学

公式解

决问题

的能力

例3 已知A（1，2），B（3，4），C （5，0），求∠BAC的值。教师引导，师生共同完成。应用夹

角的坐

标公式，

揭示向

量与三

角的联

系,训练

学生的

运算能

力

例4 已知，求与垂直

的单位向量

教师讲解，学生归纳方法

课堂练习练习A 1（1），（2）学生独立完成，教师指导巩固新

知

归纳小结1、向量垂直的坐标表示的充要条件，

及向量的长度、距离和夹角公式

（1）用坐标表示的数量积公式，常

用来计算两向量的夹角.

（2）两向量垂直时，在表达方式上

有一定技巧，如

师生共同完成使学生

养成归

纳总结

的习惯，

主动独

立思考

问题的

能力

与总是垂

直的。

2、平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用。

布置作业练习A 1（3）（4）,2,3

练习B 1

学生独立完成巩固新

知

.

向量的坐标及向量积

龙文教育一对一个性化辅导教案 学生伍靖雯学校第四十一中年级高一次数第 8次 科目数学 教师林泽钦日期2016-4-16时段 10：00-12： 00 课题向量的坐标运算及向量积 教学重点1.平面向量的坐标运算 2.平面向量的夹角公式 教学 难点 1.平面向量与三角函数结合 教学目标1.掌握平面向量的坐标运算 2.掌握向量积公式的应用及与三角函数的综合型问题 教学步骤及教学内容一、错题回顾： 已知() P4,1,F -为抛物线28 y x =的焦点，M为此抛物线上的点，求|MP|+|MF|的值最小，并求此时M点的坐标. 二、内容讲解： 主要知识点1:平面向量的坐标运算 主要知识点2:平面向量的积运算 主要知识点3:平面向量与三角函数结合 三、课堂总结： 1、平面向量的坐标运算 2、平面向量的积运算 四、作业布置： 见讲义

一.错题回顾 已知()P 4,1,F -为抛物线28y x =的焦点，M 为此抛物线上的点，求|MP|+|MF|的值最小，并求此时M 点的坐标. 二、内容讲解 （一）平面向量的坐标运算 (1)已知向量 和实数λ，那么 . (2)已知 则 ，即一个向 量的坐标等于该向量的_______的坐标减去________的坐标. 例1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 例2．若a =(2,1),b =(1,0)，则3a +2b 的坐标是 A.(5，3) B.(4，3) C.(8，3) D.(0，-1) 管理人员签字： 日期： 年 月 日 作业布置 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 备注： 2、本次课后作业： 课堂小结 小结 家长签字： 日期： 年 月 日

高中数学人教A版必修四第二章 6平面向量数量积的坐标表示 Word练习题含答案

§6 平面向量数量积的坐标表示 , ) 1．问题导航 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？ (2)向量有几种表示方法？由于表示方法的不同，计算数量积的方法有什么不同？ (3)由向量夹角余弦值的计算公式可知，两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有什么关系？ 2．例题导读 P 96例1.通过本例学习，学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值． 试一试：教材P 99练习T 1你会吗？ P 98例2，P 99例3.通过此二例学习，体会向量在解析几何中的应用，学会利用平面向量的数量积求曲线的方程． 试一试：教材P 100习题2－6B 组T 6你会吗？ P 99例4.通过本例学习，学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角． 试一试：教材P 100习题2－6A 组T 6你会吗？ 1．向量数量积的坐标表示 向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．简记为“对应相乘计算和”． 2．两个向量垂直的坐标表示 向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量． 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线x ＋2y －1＝0的方向向量为(1，2)．( ) (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a ，b 的夹角θ满足cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21x 22＋y 2 2 .( ) (3)若A (1，0)，B (0，－1)，则|AB → |＝ 2.( ) 解析：(1)错误．直线x ＋2y －1＝0的方向向量为(1，－1 2 )．

最新25平面向量数量积的坐标表示汇总

25平面向量数量积的 坐标表示

平面向量数量积的坐标表示（1） 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式。 ⑶能用所学知识解决有关综合问题。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与ｂ，作?Skip Record If...?＝a，?Skip Record If...?＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫a与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cosθ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。 C 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1）e?a = a?e =|a|cosθ；2）a⊥b?a?b = 0 3）当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或?Skip Record If...? 4）cosθ =?Skip Record If...?；5）|a?b| ≤ |a||b|

5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(?Skip Record If...?a )?b =?Skip Record If...?(a ?b ) = a ?(?Skip Record If...?b ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，试用 ?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的坐标表示?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，?Skip Record If...?是?Skip Record If...?轴上的单位向量，那么 ?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 又?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 所以?Skip Record If...??Skip Record If...? 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 即?Skip Record If...??Skip Record If...? 2.平面内两点间的距离公式 （1）设?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?或?Skip Record If...?。 （2）如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段的起点和终点的坐标分别为?Skip Record If...?、?Skip Record If...?，那么?Skip Record If...?(平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 1)

平面向量内积的坐标运算

课 题：平面向量数量积的坐标表示 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤ π）叫a 与b 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是 θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |c os θ， （０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ；2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||

4?c os θ =| |||b a b a ? ；5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式 （1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或 ||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x

苏教版数学高一《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》精品教案

§2.4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或 a a a ?=|| 4? cos θ = | |||b a b a ? ；5?|a ? b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ?. C

最新向量数量积的坐标运算

向量数量积的坐标运 算

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 《向量的数量积的坐标运算与度量公式》预习案 【学习目标】： （1）灵活运用向量数量积的坐标运算公式，夹角余弦的坐标表达式； （2）体会公式中体现的数形结合的思想 【学习重难点】 重点：向量数量积的坐标运算与度量公式 难点：灵活运用公式解决有关问题 【知识链接】 1.两向量数量积定义：?Skip Record If...? 2.向量数量积的性质： 【知识重现】 1. 已知?Skip Record If...?，?Skip Record If...?在?Skip Record If...?方向 上的正射影的数量是3，则?Skip Record If...? 2. 在?Skip Record If...? 中，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? 【知识点梳理】 1.数量积的坐标表达式 ?Skip Record If...? 2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： （2）与向量?Skip Record If...?垂直的向量可以写成 。

3、向量的长度、距离和夹角公式推导 向量的长度公式： ?Skip Record If...? 距离公式：?Skip Record If...? 两向量夹角余弦公式的坐标表达式： ?Skip Record If...? 自学课本P113--P114例1—例4，完成自学检测 【自学检测】 1.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? 2.已知?Skip Record If...?则?Skip Record If...? 3.判断下面各对向量是否垂直 （1）?Skip Record If...?（2）?Skip Record If...? 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢5

向量积的运算公式及度量公式

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！ 张喜林制 2.3.2 向量数量积的运算律 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 考点知识清单 1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律： (3)数乘向量结合律： 2．常用结论： 3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=?b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则 对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直． 5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b 6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB 要点核心解读 1．向量数量积的运算律 a b b a ?=?)1(（交换律） ； )()())(2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律） ； c b c a c b a ?+?=?+))(3(（分配律） ． 2．向量数量积的运算律的证明 a b b a ?=?)1(（交换律） 证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ?>=<>=<=? )()()()2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律） 证明：.,cos ||||)(><=?b a b a b a λλ① 当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ 当0=λ时，,00)0()(=?=?=?b b a b a λ

平面向量坐标运算及其数量积习题

平面向量坐标及数量积练习 1. 已知e 1→,e 2→是一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A. e 1→, e 1→+e 2→ B. e 1→—2e 2→, e 2→—2e 1→ C. e 1→—2e 2→, 4e 2→—2e 1→ D. e 1→+e 2→, e 1→—e 2→ 2. 若a →,b →不共线且λa →+μb →=0→(λ , μ ∈ R), 则 ( ) A. a →=0→,b →=0→ B. λ=μ=0 C. λ=0, b →=0 D. a →=0→, μ=0 3. 如图1，ΔABC 中，M, N, P 顺次是AB 的四等分点, CB →=e 1→, CA →=e 2→, 则下列正确的是( ) A. CN →=12e 1→+12e 2→, CM →=14e 1→+34e 2→ B. AB →=e 1→—e 2→, CP →=14e 1→+34 e 2→ C. CP →=34e 1→+14e 2→, AM →=14(e 1→+e 2→) D. AM →=14 (e 1→—e 2→), AB →=e 1→+e 2→ 4. 若|a →|=1,|b →|=2,c →=a →+b →且c →⊥a →, 则向量a →与b →的夹角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知单位向量i →与j →的夹角为60°,则2j →—i →与i →的关系为 ( ) A. 相等 B. 垂直 C. 平行 D. 共线 6 下列命题中真命题的个数为 ( ) ①|a →·b →|=|a →|·|b →|；②a →·b →=0 ? a →=0→或b →=0; ③ |λa →|=|λ|·|a →|; ④ λa →=0→ ? λ=0或a →=0→ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设a →,b →,c →是单位向量，且a →·b →=0，则(a →—c →)·(b →—c →)的最小值为 ( ) A. —2 B. 2—2 C. —1 D. 1— 2 8. 若点A 的坐标是(x 1, y 1)，向量AB →的坐标为(x 2, y 2)，则点B 的坐标为 ( ) A ．(x 1—x 2, y 1—y 2) B ．(x 2—x 1, y 2—y 1) C ．(x 1+x 2, y 1+y 2) D ．(x 2—x 1, y 1—y 2) 9. 已知M(3，—2), N(—5,—1)，且MP →=2MN →, 则MP → = ( ) A ．(—8，1) B ．(—4, 12) C ．（—16, 2） D ．(8, —1) 10 与a →=(3,4)垂直的单位向量是 ( ) A. (45, 35) B. (—45, —35) C. (45, —35)或(—45, 35) D. (45, 35)或(—45, —35) 11. A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ΔABC 为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 12.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为 ( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形 13.已知a →=(—3,4),b →=(5,2),c →=(1,—1), 则(a →·b →)·c →等于 ( ) A. —14 B. —7 C. (7,—7) D. (—7,7) 14.已知A(—1,1),B(1,2),C(3, 12) , 则AB →·AC →等于 ( ) A. 52 B. 152 C. —52 D. —152 15已知|m →|=6 ,n →=(cos θ,sin θ), m →·n →=9, 则m →, n →的夹角为 ( ) A.150o B.120 o C.60 o D.30 o 16.若a →=(—2,1)与b →=(—1,—m 5 )互相垂直，则m 的值为 ( ) A. —6 B.8 C. —10 D. 10 17. 已知M(3, —2), N(—5,—1)，且MP → = 12 MN →，则P 点的坐标 ( ) A ．(—4, 12) B ．(—1, —32 ) C ．(—1, 32 ) D ．(8, —1) 18. 已知a → = (3, —1), b → = (—1, 2), c → = 2a → + b →, 则 c → = ( ) A ．（6，—2） B ．（5，0） C ．（—5，0） D ．（0，5） 19. 已知a →=(—6, y ), b →=(—2, 1), 且a →与b →共线，则x = ( ) A ．—6 B ．6 C ．3 D ．—3 20. 已知A(2,—1),B(3,1), 与AB →方向相反的向量a →是 ( ) A ．a →=(1, 12) B ．a →=(—6,—3) C ．a →=(—1,2) D ．a → =(—4,—8)

平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示模夹角 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) [基础·初探] 教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a| 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝ 4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a|·|b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．()

(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )， 且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A ．1 2 B ．－12 C ．32 D ．－32 (2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________. 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解． 解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，

高一数学优质课比赛 平面向量数量积的坐标表示教案

平面向量数量积的坐标表示 一、本教学设计主要思考的几个问题： 1、 教材的地位和作用是什么？ 2、 学生在学习中会遇到什么困难？ 3、 如何根据新课程理念，设计教学过程？ 4、 如何结合教学内容，指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力？ 二、教材分析： 1、 向量是近代数学中最重要的概念之一； 2、 向量的几何形式与代数形式的“双重身份”以及它的一套优良的运算系统使它成为“重要工具” 和“桥梁”； 3、 数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便； 4、 有助于理解和掌握 数形结合的思想方法； 5、 为学习物理等其他学科解决实际问题作准备； 三、教学目标分析： ⒈知识目标：(1)掌握数量积和模的坐标； (2)掌握两向量垂直的充要条件(等价条件)、夹角公式． ⒉能力目标：(1)领悟数形结合的思想方法； (2)培养学生自主学习及提出、分析、解决问题的能力． ⒊情感目标：体验探索的乐趣认识世间事物的联系与转化． 四、教学的重点、难点分析： 重点：数量积坐标表示的推理过程． 难点：公式的建立与应用． 五、学生分析： 知识上：学习过向量加减法坐标运算和数量积定义性质运算等； 方法上：研究过向量加减法坐标运算的推理过程； 思维上：由经验型抽象思维逐渐过渡理论性严谨抽象思维； 能力上：主动迁移、主动重组整合的能力较弱. 六、教学方法和教学手段分析： 1、建构主义学习理论认为：学生的认知结构是通过同化和顺化而不断发展，学习不是对教师所授予的 知识被动接受，而是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动的建构过程。学生真正获得知识的消化，是把新的学习内容正确纳入已有的认知结构，使其成为整个认知结构的有机组成部分，所以在教学中，以向量为载体，按照“直观感知----操作确认-----思辩论证”的认识过程展开。通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生学习的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。同时采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益； 2、 运用“导学探究式” 教学方法； 3、 本节课的基调定为，自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价； 4、多媒体信息技术教学手段整合教学过程. 七、学法指导： 1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营 造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力； 2、 紧紧围绕数形结合这条主线； 认知主体

2020高考数学专题复习《平面向量的坐标运算》

平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y 使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝ (0,0)．3．平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. [小问题·大思维] 1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．

2.已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量． 4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变． 5 x1 y1 ．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有＝成立？ x2 y2 x1 y1 提示：不一定．由于＝的意义与x1y2－x2y1＝0 的意义不同，前者不 x2 y2 允许x2和y2为零，而后者允许，当x1＝x2＝0，或y1＝y2＝0 或x2＝y2＝0 时，a∥b x1 y1 但＝不成立． x2 y2 二、典例精析 例1、如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分别是AB，AC，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F，求DF 的 坐标．

平面向量数量积的坐标表示教案

平面向量数量积的坐标表示（1课时） 编写：王大毛 审核：数学组 时间2011 寄语：困境只会让强者更强大 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. （2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 [展示投影]引入： 请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】 平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？ 1. 推导坐标公式：设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0. ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 2.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =2 2y x + ②若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则?→ ?AB =2 21221)()(y y x x -+- ③co s θ = | |||b a b a ??2 2 222 1 2 12121y x y x y y x x +++=

高中数学学案平面向量的坐标运算(教＼学案)

2. 3.3平面向量的坐标运算 【教学目标】 1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力； 2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】 教学重点: 平面向量的坐标运算． 教学难点: 对平面向量坐标运算的理解． 【教学过程】 一、〖创设情境〗 以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。 二、〖新知探究〗 思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？ a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？ a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2); a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2); λa ＝(λx 1，λy 1). 两个向量和与差的坐标运算法则： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量的坐标如何？

平面向量数量积的坐标表示

§5.7平面向量数量积的坐标表示 教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。 教学重点：平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式 教学难点：向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用 教学方法; 启发式 教学过程： 一、复习引入 1．两平面向量垂直的充要条件。2．两向量共线的坐标表示： 二、新课讲解： 1．x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0 2．设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2) 则 ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2.从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 3．长度、夹角、垂直的坐标表示 1?长度：a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | =22y x + 2?两点间的距离公式：若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则=221221)()(y y x x -+- 3? 夹角：co s θ =||||b a b a ??222221212 121y x y x y y x x +++= 4?垂直的充要条件：∵a ⊥b ? a ?b =0即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示的区别） 4、阅读课本120页例1与例2.完成课本121页练习。 三、例与练习 例1、如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90?， 求点B 和向量的坐标。

北师大版《平面向量数量积的坐标表示》word教案

2.6平面向量数量积的坐标表示 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. （2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 [展示投影]引入： 请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】 平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？ 1. 推导坐标公式：设a = (x 1, y 1)，b = (x 2, y 2)，x 轴上单位向量i ，y 轴上单位向量j ，则：i ?i = 1，j ?j = 1，i ?j = j ?i = 0. ∵a = x 1i + y 1j , b = x 2i + y 2j ∴a ?b = (x 1i + y 1j )(x 2i + y 2j ) = x 1x 2i 2 + x 1y 1i ?j + x 2y 1i ?j + y 1y 2j 2 = x 1x 2 + y 1y 2 从而获得公式：a ?b = x 1x 2 + y 1y 2 2.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x , y ) ? |a|2 = x 2 + y 2 ? |a | = 22y x + ②若A = (x 1, y 1)，B = (x 2, y 2)，则?→ ?AB =2 212 21)()(y y x x -+- ③co s θ = | |||b a b a ??2 2 222 1 2 12121y x y x y y x x +++= ④∵a ⊥b ? a ?b = 0 即x 1x 2 + y 1y 2 = 0（注意与向量共线的坐标表示） 【巩固深化，发展思维】 1.设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ?b

平面向量数量积运算专题(附答案解析)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ， DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF → ＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB → 的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋2 C.－4＋2 2 D.－3＋22 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB → ＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹 角的余弦值等于( ) B.－1 26 D.－112 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC → )，则 AB →与AC → 的夹角为________.

题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2 .若平面向量b 满足 b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 高考题型精练 1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD → 等于( ) A.－32 a 2 B.－34 a 2 a 2 a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝? ?? ?? x ，x ≥y ， y ，x

第八讲向量的坐标表示及其运算

第八讲向量的坐标表示及其运算 一、知识点 （一）向量及其表示： 1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念 （1）基本单位向量 （2）位置向量 （3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设 ),(),(),(),,(112 1212211y x a y y x x b a y x b y x a λλλλ=±±=±?∈==ρρρρρ ，， 4.向量的摸：22y x a += ρ （二）向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ?b =λa （a ≠0）. 2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ?1221y x y x = （三）定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比 分点的坐标公式??? ??? ? ++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式 二、典型例题 例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量？哪些是标量？ （1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量

向量数量积的坐标运算与度量公式

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B] 第二章 平面向量 2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式 教学目标： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 教学重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式 教学过程 一、复习引入： 1．平面向量数量积（内积）的定义 2．向量的数量积的几何意义 3．两个向量的数量积的性质 4． 平面向量数量积的运算律 二、讲解新课： 1、平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ，试用a ρ和b ρ的坐标表示b a ???设i ρ是x 轴上的单位向量，j ρ 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a ??ρ11+=，j y i x b ρρρ22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ρρρρρρ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x ρρρρρρ+?+?+= 又1=?i i ρρ，1=?j j ρρ，0=?=?i j j i ρ ρρρ 所以b a ?ρ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即b a ?ρ?2121y y x x += 2、向量垂直的判定 设),(11y x a =ρ，),(22y x b =ρ，则b a ?ρ⊥ ?02121=+y y x x 3. 向量的长度、距离和夹角公式 （1）设),(y x a =?，则222||y x a +=ρ或||a =ρ长度公式)