同余理论在数学竞赛中的运用
同余理论在数学竞赛中的运用
卢军萍
杭州师范大学 数学与应用数学043班
摘要：这些年来，同余理论在数学竞赛中的应用越来越广泛。本文详细了同余理论的基础知识，并通过举例以便更好的理解。并重点对数学竞赛中有关同余理论的应用作了系统的划分。每一部分都有2-4个例题加以举例说明。
关键词：同余；数学竞赛
１ 引 言
数学竞赛已逐渐形成一门特殊的数学学科——竞赛数学。像IMO 竞赛等等受到越来越大的重视。而在数学竞赛中，初等数论的有关题目占得比例越来越大，尤其是同余理论在数学竞赛中有着举足轻重的地位。下面，本文重点论述一下同余理论在数学竞赛中的运用。首先，先介绍一下同余的一些基本知识。
２ 同余的性质及几个重要的定理
２.１同余的定义、性质
[定义１] 给定正整数m ，如果整数a 与b 之差被m 整除，则称a 与b 对于模m 同余，或称a 与b 同余，模m ，记为
()m b a mod ≡,
此时也称b 是a 对模m 的同余。
如果整数a 与b 之差不能被m 整除，则称a 与b 对于模m 不同余。
[定理１] 下面的三个叙述是等价的：
（ⅰ）()m b a mod ≡ ；
（ⅱ）存在正整数q ，使得qm b a +=,
（ⅲ）存在整数1q ，2q ，使得r
m q a +=1,r m q a +=2，m r <≤0.
[定理２] 同余具有下面的性质：
（ⅰ）（自反性）(mod )a a m ≡；
（ⅱ）（对称性）若(mod )a b m ≡，则(mod )b a m ≡；
（ⅲ）（传递性）若,(mod )a b b c m ≡≡，则(mod )a c m ≡；
（ⅳ）假设a,b,x,y 是整数，并且(mod ),(mod )a b m x y m ≡≡，则 (mod ),(mod )a x b y m ax by m ±≡±≡；
（ⅴ）设i a ,i b (n i ≤≤0)以及x,y 都是整数，并且)(mod m y x ≡，)(mod m b a i i ≡，n i ≤≤0，则
)(mod 0
0m y b x a n
i i
i n i i i ∑∑==≡；
（ⅵ）)(mod m b a ≡,m d ,0>d )(mod d b a ≡?;
（ⅶ）)(mod m b a ≡,)(mod ,0mk bk ak N k k ≡?∈>;
（ⅷ）若(mod )i a b m ≡，(1,2,,)i n = ，则12(mod[,,,])n a b m m m ≡ ;
(ⅸ)),(),()(mod m b m a m b a =?≡;
(ⅹ))(mod 1),(),(mod m b a m c m bc ac ≡?=≡.
下面简单介绍一下，以上同余性质的一些应用。
[例１] 求2633)46257(+被50除的余数。
解： 有性质（ⅴ）得，
2633)46257(+()()[]26162263347747-=-≡
()[]()26261647417-=--≡
()5526333=≡
()()22577373??-=-≡
()211212-=-?-≡
()50mod 29≡
即所求的余数是29。
[例２] 求777=n 的个位数。
解： 因为()10mod 17,17,37421≡-≡-≡
因此若()4mod 77r ≡
则 ()10mod 7777r n ≡= （１）
现在()4mod 31)1(777≡-≡-≡
所以由式（1）得到
()(),10mod 373773377≡-≡-≡≡=n 即n 的个位数是3。
[例３] 证明：若n 是正整数，则21234|13+++n n 。11
证明：因为n n n n n n 391643944342212?+?=?+?=+++
再有性质（ⅵ）得，
()13mod 0313393439164≡?≡?+?≡?+?n n n n n
得证。
[例４] 已知,42762|99求α和β。
解：因为99=9?11
所以,42762|9αβ （２）
,42762|11 （３）
有（２）式得：βαβα++=++++++2172426|9
βα++?3|9 （４）
有（３）式得：βαβα++=+-+-+-1372426|11
βα-+?2|11 （５）
由于9,0≤≤βα，所以由式（４）与（５）得出
15=+βα或6，9=-βα或2-，可得四个方程组
???-=-=+???=-=+???-=-=+???=-=+2159152696βαβαβαβαβαβαβαβα或或或 ，
解得42==βα，。
２.２剩余类、完全剩余系和简化剩余系
[定义２]给定正整数m ，对于每个整数i ，10-≤≤m i ,称集合
{}Z n m i n n m Ri ∈≡=),(mod |)(
是模的一个剩余类。
[定义３]设m 是正整数，从模m 的每一个剩余类中任取一个整数)10(-≤≤m i x i ，称集合{}110,,,-m x x x 是模的一个完全剩余系（或简称为完全系）。
由于i x 的选取是任意的，所以模m 的完全剩余系有无穷多个，通常称：
i.
{}；的最小非负完全剩余系是模m m 1,,2,1,0- ii. {}{})(,,1,0,1,,)(,,1,0,1,,1212122是奇数时当－或是偶数时
当m m m m
m m ----+- 剩余系。是模的绝对最小的完全
［定理３］整数集合A 是模m 的完全剩余系的充要条件是：
i. A 中含有m 个整数；
ii. A 中任何两个整数对模m 不同余。
[定理４］设m 的一个完全是模）是整数（m x x x m a b a m },,,{,1,,,121 =≥剩余系，则{}b x a b x a b x a n n +++12211,, 也是模m 的一个完全剩余系。
［定理５］设,1),(,,,21=∈∈m A Z A N m m },{},,{2121n n y y y Y x x x X == 分别是模1m 和模2m 的完全剩余系，则},|{1Y y X x y m Ax R ∈∈+=是模21,m m 的一个完全剩余系。
［推论１］若1),(,,2121=∈m m N m m ，2121m m x x 和模分别通过模和则当的完全剩余系数时，212112,m m x m x m 通过模+的完全剩余系数。
［定理６］设)1(n i N m i ≤≤∈，则当)1(n i m x i i ≤≤通过模的完全剩余系数时，n n i m m m x m m m x m m x m x x 21121321211通过模-++++=的完全剩余系数。
［定义４］设Ｒ是模m 的一个剩余类，1),(,=∈m a R a 使得若有，则称Ｒ是模m 的一个简化剩余类。
［例５］设}232{5-∈≥p a p ，是素数，，则在数列
pa a p a a a ,)1(,3,2,- （６）
中有且仅有一个数b ，满足：
p) 1(mod b ≡ (７)
若ka b =则}2,3,2{,-∈≠p k a k 。
解：因为（a ，p ）=1, 所以由定理２，式（６）中的数构成模p 的一个完全剩余类，因此，必有数b 满足试（７），设b=ka ，那么
i. )(mod 1)(mod 0,p b p pa b p k ≡≡=≠与否则；
ii. )(mod 1,2p a b a k ≡=≠否则，即p |(a+1)(a -1),因此p |a -1或p |a +1, 这矛盾与22-≤≤p a ；
iii.
显然)2a 2,1|),(mod 11,1-≤≤-≡?=≠p a p p a b k 这与即否则 矛盾； iv. )2a 2,1|),(mod 11,1-≤≤+≡?-=-≠p a p p a b k 这与即否则矛盾；
若又有)(mod ),(mod ,22,''''p ka a k p a k b p k k ≡≡-≤≤则使得，故1),(=p a 所以''|),(mod k k p p k k -≡从而是不可能的，这就证明了唯一性。
[例６]设m 是给定的整数，求证存在整数a,b 和k ，其中a,b 均不能被2整除，0≥k 使得1999991922?++=k b a m （1999年第四届冬令营试题）。
分析：这道题说难不难，说易不易，关键在于是否将上试看成一个同余的形式
)2(mod 219999919b a m +≡，
如果能找到a,b 为奇数，满足上式，则原问题可以很快解决，像0≥k 这样的限制条件实际上是障眼法。而上面所举的同余方程，要证他有解，则可利用剩余系的理论。
证明：先证明如下的引理
引理：当a 通过模19992的一个简化剩余系时，19a 亦通过19992的一个简化剩余系。 实事上，由于当12,1)2,(1999191999==）时，（a a
故引理只需要证明当a 与b 对于模19992
不同余，且a 与b 均为奇数时，19a 与19b 对于模19992也不同余。
由于))(()(18171117181919b b a b a a b a b a
++++-=- 而1817111718b b a b a a ++++ 为19个奇数之和，仍为奇数，故
b a b a -?-|2|2199919191999
下证原命题：
由于12-m 与19992互质，故由引理可知
存在)2(mod 12,1)2
,(,1999191999-≡=∈m a a Z a 且 不妨设1219- 可设Z k ∈,使199919212?+=-k a m 由于1219- 故我们找到了这样的3个整数a ，1，k ,其中a ,1均为奇数，0>k ，使 )2(mod 219999919b a m +≡ 从而原命题得证。 ２.３Euler 定理 同余理论中有一个非常著名的定理,并且它在理论和应用两个方面都是很重要的，它就是Euler 定理。 ［定理７］（Euler 定理 ） 设m 是正整数，(,)a m =1，则 ()1(mod )n a m ?≡. ［定理８］（Fermat 定理） 设p 是素数，则对于任意的整数a ，有 (mod )p a a p ≡. ［定理９］（Wilson 定理） 设p 为素数，则(1)!1(mod )p p -≡-. ［定理１０］（孙子定理） 设2n ≥，12,,,n m m m 是两两互素的正整数，记12n M m m m = ，i i M M m =(1,2,,)i n = ，同余方程组 11(mod )x c m ≡， 22(mod )x c m ≡， …… (mod )n n x c m ≡ 的一切解为'1(mod )n i i i i x M M c M =≡∑，其中'1(mod )i i i M M m ≡，1,2,,i n = . 下面列举一下这些定理的运用。 [例７]设do m a ,1),(=是使)(mod 1m a d ≡成立的最小正整数，则 （１）)(|m do φ （２）对于任意的不同余对于模与有m a a j i do j i j i j i ,,1,0,,≠-≤≤。 解：（１）由Euler 定理，)(m do φ≤，因此，由带余数除法，有： do r q Z q r qdo m <≤>∈+=0,0,,)(φ 因此，由上式及do 的定义，利用定理１，我们得到 )(mod 1)(m a a a r r qdo m ≡≡≡+φ 即整数r 满足do r m a r <≤≡0)(mod 1 有do 的定义可知必是r ＝０，即)(|m do φ。 （２）假设存在,,1,0,,j i do j i j i ≠-≤≤)(mod m a a j i ≡ 不妨设do j i m a m a j i j i <-<≡=>-0),(mod 0,1),,所以因为（这与do 的定义矛盾，则假设不成立。 得证。 [例８]设n 是正整数，记)(mod 22,122n F n F F n n ≡+=则 解：容易验证，当4≤n 时，n F 是素数，所以由Fermat 定理可知结论显然成立。 当5≥n 时，有n n n n 212|2,21+<+ 记：， 1222+=n k n ) 12(Q )12(2P ]1)2(2[)12(2)12(222 2222k 2122Fn 1122+=-=-=-=-=-=-+++n n n n n n k 则其中Ｐ和Ｑ都是整数，上式即是)(mod 22n F F n ≡ 证毕。 [例９]求整数，它被3，5，7除的余数分别是1，2，3。 解：n 是同余方程组?? ???≡≡≡)7(mod 3)5(mod 2)3(mod 1n n n 的解，在孙子定理中， 取 ,7,5,3321===m m m 105321=??=m m m m ， 15,21,35321===M M M 则2'),3(mod 1'2),3(mod 1'35111=≡≡M M M 得； 1'),5(mod 1'),5(mod 1'21212=≡≡M M M 得； 1'),7(mod 1'),7(mod 1'15333=≡≡M M M 得； 所以)105(mod 52157115312122351≡≡??+??+??≡n 。 因此，所求的整数n ＝52+105t ，Z t ∈。 ３同余理论在数学竞赛中的运用 ３.１同余理论用于处理有关整数的进制问题 [例１０]一个四位数，它的个位数字与百位数字相同，如果把这个四位数的数字顺序颠倒一下（即千位数字与个位数字互换，百位数字与十位数字互换），所得的新数减去原数得7812，求原来得四位数。（1979年云南省竞赛题） 解：设该数的千位，百位，十位数分别为x,y,z,则 原数为 y z y x +++10101023， （８） 颠倒后的新数为x y z y +++10101023， （９） （９）-（８）得：7812=999（y -x ）+90(z -y ) 即：868=111（y -x ）+10(z -y )= )()(10)(102x y x z x y -+-+- 则???=-=-6 8x z x y 原数千位数字x 不能为0，则98,1≥+=≥x y x ， 又显见百位数字9≤y ，所以y =9，则x =1，z =7，故所求四位数为1979。 [例１１]N 是整数，它的b 进制表示是777。求最小的正整数b ，使得N 为十进制的四次方。（第9届加拿大竞赛题） 证明：由题意是求最小的正整数b ，使得方程42777x b b =++（１０）对x 有整数解。 而)7(mod 0),7(mod 07774 2≡≡++x b b 则 又因为7是素数，所以)7(mod 0≡x ，为此不妨设k x 7= 则（１０）式化为43271k b b =++ 最小b 的出现在k 最小的时候 取k =1，此时有34312=++b b 03422=-+b b 即0)19)(18(=+-b b 解得正整数 18=b ，即有10418)7()777(= ３．2同余理论用于处理有关整除的问题 整数与求余是密切相关的，若能把同余理论在整除问题中灵活运用，可方便快速的解决许多问题。 [例１２]证明（１）没有正整数能让被7整除 （２）求出所有正数使能被7整除。（第六届IMO 试题） 解：（１）依题意，即求得21(mod7)n ≡的所有正整数n ， 通过计算我们有 122(mod7)≡，224(mod7)≡，321(mod7)≡， 332(2)1(mod7)k k k ≡≡ （１１） 当n 不是3的倍数时，有两种情况： １31n k =+而31322(2)2(mod7)k k +≡?≡ （１２） ２32n k =+而32324(2)4(mod7)k k +≡?≡ （１３） 故只有当n 是3的倍数时，21n -能被7整除. （２） 由（１１）（１２）（１３）式有： 3212(mod7)k +≡， 31213(mod7)k ++≡， 32215(mod7)k ++≡， 故没有正整数n 能让21n +被7整除. [例１３] 证明：正整数A 是完全平方数的充分必要条件是对于任意整数n ， A n A A A A A -+-+-+222)(,,)2(,)1( 中至少有一项可以被n 整除。 （第51届捷克和斯洛伐克奥林匹克题） 证明：充分性：若2d A =，则 ))(()()(222222j d d j d d d j d A j A +-+-=-+=-+ 由于n j j d d ,,2,12 =+-对于是连续的个正整数， 所以，一定有某个j 使得A j A -+2)(可以被n 整除。 必要性：假设A 不是完全平方数，则A 中一定有一个素因子，其指数为奇数次幂，即存 在k ，使得 )(mod 012-≡k p A ，且k p 2不整除A 取k p n 2=，对于k p j 2,,2,1 =，一定存在一项j ， 使得)(mod 0)(22k p A j A ≡-+ 又因为k p 2不整除A ，所以k p 2不整除2)(j A + 但是由)(mod 0)(22k p A j A ≡-+且)(mod 012-≡k p A 可得)(mod 0)(122-≡+k p j A 由于2)(j A +是完全平方数，则一定有)(mod 0)(22k p j A ≡+，矛盾 所以假设不成立，A 是完全平方数。 证毕 ３.３同余理论应用于解决有关数列问题 [例１４]数列{}n p 定义如下：）（为1 1,2111>+=-n p p p p n n 的最大质因子。问：11是否在此数列中出现。 解：若存在+∈N n ，使11=n p ，则由,4,7,3,2321≥===n p p p 可知 并且1211-+n p p p 与2，3，7互质，于是， 设1,0,115≥≥?βαβα （14） 对（14）两边模4，应有)4(mod )1()1(11ββα-≡-?≡-，故β为奇数。 对（14）两边模3，应有)3(mod )1()1()1(1βαβα+-≡-?-≡，故α为奇数。 对（14）两边模7，应有)7(mod 22)4()2(12βαβα?-≡?-≡，故 )7(mod 622≡+βα这与对任意+∈N n ，)7(mod 4,2,12≡n 矛盾 所以11不在{}n p 中出现。 [例１５] 设{},{}n n a b 定义如下： 01111,1,2n n n a a a a a +-===+， 01111,7,23n n n b b b b b +-===+ （1,2,n = ） ， 证明：除“1”外这两个数列没有其他相同的项. 分析：这两个数的前n 项分别是： :1,1,3,5,11,21,43,85n a :1,7,17,55,161,487,1457,4357,n b 欲证3n ≥时，{},{}n n a b 没有相同的项，直接论证有一定的困难，我们转而考察被某个正整数除后所得的余数，逐次用2，3，…去除n a ，n b 前面各项，可以发现 21223(mod8),5(mod8)n n a a ++≡≡， 21221(mod8),7(mod8)n n b b ++≡≡。 即数列{(mod8)}n a 是由3，5组成的周期为2的数列，数列{(mod8)}n b 是以1，7组成的周期为2的数列，以下用数学归纳发给以严格论证。 初值已验证。假设 21223(mod8),5(mod8)k k a a ++≡≡ 21221(mod8),7(mod8)k k b b ++≡≡ 则 2(1)12322212523113(mod8)k k k k a a a a +++++==+≡+?=≡， 2(1)22423222325113(mod8)k k k k a a a a +++++==+≡+?=≡， 2(1)1232221232731135(mod8)k k k k b b b b +++++==+≡?+?=≡， 2(1)224232223213713(mod8)k k k k b b b b +++++==+≡?+?=≡。 因此，1n k =+时上述猜想是正确的，从而一切不小于3的自然数n 猜想正确，所以原命题成立。 ３.４同余理论用于求解不定方程 [例１６]确定方程15991414=∑=i i x 的全部非负整数解),,,(1421x x x ，不记排列的 次序。（第八届IMO 试题） 解：当x 为偶数时，显然)16(mod 04≡x 当x 为奇数时，显然)16(mod 14≡x 这样，任意整数的四次方对于模16只有0，1两个可能值， 从而∑=1414i i x 对于模16的所有可能值是0，1，2，…，14 但15(mod16)1599≡，因此原方程无解 注意：对于不定方程的问题，如果直接求解有困难，不妨从方面考虑一下，看能否证明其无解。此题注意到整数4 ,x x 具有16k 和16k +1的形式，从而考虑模16来证明方程无整数解。 [例１７] 试证：（１）如果正整数n 及方程3233x xy y n -+=有一组整数解(,)x y ，那么这个方程至少有三组整数解。 （２）当n =2891时，上述方程无整数解。 （第二十三届IMO 试题） 证明：（１）可证明若(,)x y 是原方程的一组整数解，则可找到另外两组不同的整数解： (,);(,)y x x y x y ----. （２）用反证法，假设有整数解(,)x y 使得： 32332891x xy y -+=， （１５） 则 332(mod3)x y +≡， 于是： （ⅰ）若0(mod3)x ≡，则2(mod3)y ≡ ； （ⅱ）若1(mod3)x ≡，则1(mod3)y ≡ ； （ⅲ）若2(mod3)x ≡，则0(mod3)y ≡. 对于第一种情况，3,32x k y t ==+，代入（１５）得： 323(3)3(3)(32)(32)2891k k t t ++++=， 左边3 2(mod9)≡，右边2(mod9)≡，矛盾； 对于第二种情况，上述另一组解(,)(,)u v y x x =--将导致： 0(mod3)u y x =-≡，2(mod3)v x =-≡，这也就是第一种情况，已证； 对于第三种情况：32,3x k y t =+=，代入（１５）得： 323(32)3(32)(3)(3)2891k k t t +-++=， 左边3 2(mod9)≡，右边2(mod9)≡，矛盾。 综上所述，方程32332891x xy y -+=无整数解。 ３.５同余理论应用于解决有关染色问题 [例１８]设{}2004,3,2,1 =S ，求证：必定可以对Ｓ中的数进行４中颜色的染色， 使得Ｓ中任意７个构成等差数列的数不同色。 证明：由于3 7620582004?=<，故可将Ｓ的每一个数表示成７进制中的４位数7(dcba)(当位数不够在前面添０)。 记 {}4,3,2,1,,,,)(|7=≠≠≠=∈=i i c i b i a dcba x S x A i 则4321A A A A S =，事实上，对{}4321i ,)(S 7，，，有，小∈=∈?dcab x ，使得{}i A x c b a i ∈?则,,,，将)(\),(\,\,3214213121A A A A A A A A A A 中的数对应染上第一，二，三，四种颜色，下证这种染色方法满足要求。 只需证明中)41(≤≤i A i 无７项构成等差数列。 反证法，假设)6,,2,1,0( =+j jd a 均在j A ， 若７不整除d ，则)6,,2,1,0( =+j jd a 的７进制的末位数字通过了60,1,2, 从而存在j 使得jd a +的末位数字为i A jd a i ∈+∈即},4,3,2,1{。 若)7(mod 0≡d ，而)7(mod 02≠d 则)6,,2,1,0( =+j jd a 的７进制的倒数第 二位数字通过了60,1,2, ，故也存在j 使i A jd a ?+，又矛盾。 若)7(mod 02≡d ，而)7(mod 03≠d 则)6,,2,1,0( =+j jd a 的７进制的倒数第三位数字类似地导出矛盾。 若S d a d a d ?+>?+≥+≡6,20047616),7(mod 033则，矛盾。 综上，假设不成立，从而结论得证。 [例１９] 给集合{1,2,,1}(3)M n n =-≥ 中每个数染色，若 ① 对,i M i ∈与n i -同色， ② 存在(,)1k n =，使对任意i M ∈，i k ≠，i 与||i k -同色， 求证M 只有一个色。 分析：设k M ∈，且(,)1k n =，则0,1,,(1)k k k n ??- 是n 的完系。 再令l l k l q n r ?=?+，其中01l r n ≤≤-。 那么，()l r kl n ≡，且011,,,n r r r - 也是n 的一完系，由于01l r n ≤≤-，所以它是n 的最小非负完系0,1,,1n - 的一个排列，但00r =，从而11,,n r r - 是1,,1n - 的一个排列。 欲证M 同色，只需证l r (1,2,,1)l n =- 同色，现用数学归纳法证明。 证明：（１）当3n =时，{1,2}M =，由题设①知，M 同色，命题为真. （２）假设当12l n ≤≤-时，l r 同色，现欲证l r 与1l r +也同色. 若l r n k <-，由于(1)()()l l l l k l q n r k q n r k +=?++=?++，并注意到 0l r k n <+<，所以l r k +是(1)k l +被n 除所得的余数，即1l l r r k +=+，由题设条件②可知，1l r +与1l r k +-同色，即1l r +与r 同色. 若l r n k >-，由于(1)(1)()l l l l k l q n r k q n r k n +=?++=+++-，并注意到， 0l r k n n <+-<， 所以l r k n +-是(1)k l +被n 除所得的余数，即1l r +与1l k r +-同色. 又由题设条件①，l r 与l n r -同色，故1l r +与l r . 若l r n k =-，则产生矛盾，事实上，这时有 (1)()(1)l l l l k l kl k q n r k q n n k k q n +=+=?++=?+-+=+ 这说明|(1)n k l +，于是10l r +=，但这与只有0l r =相矛盾. ３.６利用构造剩余系解同余问题 通过构造完全剩余系，简化剩余系可以巧妙地解决一些同余问题。 [例２０]试确定具有下述性质的所有正整数n ，集合 {}5,4,3,2,1,+++++=n n n n n n M 可以分成两个不相交的非空子集，使得一个子集中所有元素的积，等于另一个子集的所有元素之积。 解：在Ｍ中加进数65,4,3,2,1,,6+++++++n n n n n n n n ，则是模７的一个完全剩余系。 假定有满足题设条件的n 存在，分两种情况讨论： （１）７不整除n ＋６，则有)7(mod 0,≡∈i i a M a 使 设两个子集的元素的积为m ，则)7(mod 0≡m 。因为７是质数，故Ｍ中必 有一个)7(mod 0,≡≠i j i a a a 使这不成立。 （２）７整除n ＋６，则令Ｍ分成的两个子集的元素的乘积为m ，便有： )7(mod 1654321)5)(4)(3)(2)(1(2-≡?????≡+++++=n n n n n n m 而)7(mod 12-≡x 无解，事实上： )7(mod 16,45,24,23,42,11222222≡≡≡≡≡≡ 所以满足条件的m 不存在 综上所述，满足题设条件的n 不存在。 [例２１] 设+∈N n m ,，且m 为奇数，1)12,(=-n m 。 证明：和数n n n m +++ 21 是m 的倍数。 证明：因为１，２，…，m 是模m 的完全剩余系， 所以m ??2,,22,2 也是完全剩余系。 则)(mod ) 2(1 1m k k m k n m k n ∑∑==≡ )(mod 0)12(1 m k m k n n ≡-?∑= 即1)12,(,) 12(|1=--∑=n m k n n m k m 而 故∑=m k n k m 1|，得证。 ３.７同余理论用于证明有关重要定理 [例２２]用同余理论证明著名的Euler 定理。 证明：设12(),,m a a a ? 是模m 的一个简化剩余系，因为(,)1a m =， 所以 12(),,m aa aa aa ? 也是模m 的一个简化剩余系，对于同一个剩余类，上述两个剩余系各有一数是其中的元素，因此，这两个数应同余，不妨设i a 与i k aa 同余，(1,2,,())i m ?= ，其中12(),,m k k k ? 是1,2,,()m ? 的一个排列，即有 (mod )i i k a a a m ≡?， 1,2,,()i m ?= 。 累乘得 12()()12()(mod )m m m k k k a a a a a a a m ??????≡???? ， 又 (,)1i a m =，所以12()(,)1m a a a m ????= 。 因此，可约去 12()m a a a ???? 得 ()1(mod )m a m ?≡。 证毕。 [例２３]用同余理论证明Fermat 定理。 证明： 若(,)1a p =，则由欧拉定理得到 11(mod )(mod )p p a p a a p -≡?≡. 若(,)1a p >，则|p a ，所以 0(mod )p a a p ≡≡. 证毕. ３.８同余理论用于其他方面 [例２４]欧拉的一个猜想在1960年被美国的数学家推翻，他们证实了存在正实数n ，使得5 55552784110133n =+++，求n 的值。（第七届美国数学邀请赛） 解：分三步来解这个问题 ⒈ 先对n 进行初步估值 因为127.0,184.0,1010.1,1033.15555<<<< 5555522227.084.010.133.1<<+++ 所以 133〈 n 〈 200。 ⒉ 求出n 的个位数 由)10)(mod ()(5a R a R ≡可知： )10(mod 4740327841101335555≡+++≡+++ ∴个位数为4。 ⒊ 求n 的十位数 根据余数判别法可知： )3(mod 027841101335555≡+++ 所以)3(mod 05 ≡n 即：3∣n ，n=144或174 仍根据余数判别法可知： )7(mod 227841101335555≡+++ )7(mod 25≡n 所以n=144。 [例２５]数1978n 与1978m 的最后三位数相等，试求出正整数m 和n ，使得m n +取最小值这里1n m >≥。 分析：因为数1978n 与1978m 的最后三位数相等，所以19781978(mod1000)n m ≡， 而 10008125=?， 故 19781978(mod8)n m ≡ （１６） 19781978(mod125)n m ≡ （１７） 由于 197819762=+2(mod8)≡22(mod8)n m ?≡ （１８） 又由于1n m >≥，显然1,2m =时，（１８）式不成立，所以3m ≥，再由（１７）式得 3(5,1978)1n =， 19781978(mod125)n m ≡19781(mod125)n m -?≡ （１９） 而1978的各次幂的个位树只能取8，4，2，6循环，所以只有当n m -为4的倍数时，（１９）才能成立.不妨设4n m k -=， 注意到4441978(19753)31(mod5)=+≡≡，419781(mod25)≠。 可令4 197851t =+， 则 42(1)019781(51)1(5)5(mod125)2k k k k t t k t -≡-=+-≡ ?+?。 于是k 应含有25作为因子，其最小为25.因此425100n m -=?=最小。 而 ()2,0,20m n n m m n m m +=-+->>， 所以当n m -和2m 均最小时， m n +最小，此时 10023n m +=+?， 其中3,103m n ==。 以上是同余理论在数学竞赛中的有关应用的分类与举例，而鉴于同余理论在数论中的特殊地位，若要灵活地掌握和应用它，还需加强对数论知识的系统、有效的学习。 参考文献： [1]. 李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995:66-95 [2]. 于秀源，瞿维建.初等数论[M].济南：山东教育出版社，2001:1-72 [3]. 李胜宏，李名德.高中数学竞赛培优教程(专题讲座)[M].杭州：浙江大学出版社，2003:1-52 [4]. 林永伟，叶立军.数学史与数学教育[M]. 浙江大学出版社，2004.4 [5]. 冷岗松，沈文选，唐立华.奥赛经典[M].湖南：湖南师范大学出版社，2006.3 [6]. 熊斌、冯志刚.数学竞赛之窗[J]. 数学通讯，2004，(11): 43-44 [7]. 陈晓辉.关于同余理论在中学奥赛中的应用[J]. 数学通讯，2001年第5期：43-45 [8]. 林晓燕.谈同余理论在初等数学中的几点应用[J].怀师专学报.1995年4月第14卷第一期：102-104 欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式： 塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（Gergonne）点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（Simson）线： 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线。 【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set） 1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality）6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法(放缩法) 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法 初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020 初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理：三角形两边的和大于第三边 16 推论：三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 18 推论1：直角三角形的两个锐角互余 19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 欧拉小定理：同一三角形的垂心、重心、外心，九点圆圆心四点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半，九点圆圆心到垂心与重心距离相等。 欧拉大定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr 九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点：已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。 海伦公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝ 21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝ ))()((c p b p a p p --- 塞瓦定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则 1=??FB AF EA CE DC BD 密格尔定理：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚定理:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西姆松定理：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。 笛沙格定理：已知在△ ABC 与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O ，BC 与B'C'、CA 与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线 摩莱三角形：在已知△ABC 三内角的三等分线中，分别与BC 、CA 、AB 相邻的每两线相 全国高中数学联赛竞赛大纲（修订稿） 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学日的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()() αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，<2x 设12 π ≥ ≥≥z y x ，且2 π = ++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。 重 心 定义：重心是三角形三边中线的交点， 可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 已知：△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 中点，AD 与BE 交于O ，CO 延长线交AB 于F 。求证：F 为AB 中点。 证明：根据燕尾定理， S △AOB=S △AOC ， 又S △AOB=S △BOC ， ∴S △AOC=S △BOC ， 再应用燕尾定理即得AF=BF ，命题得证。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、三角形到三边距离之积最大的点。 5、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((321x x x ++)/3,(321y y y ++)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(321x x x ++)/3 纵坐标：(321y y y ++)/3 竖坐标：（321z z z ++）/3 外 心 定义：外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。 外心性质：三角形的外心是三边中垂线的交点,且这点到三角形三顶点的距离相等。 设1d ,2d ,3d 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的数量积 1c =2d 3d ，2c =1d 3d ，3c =1d 2d ；c=1c +2c +3c 重心坐标：( (32c c +）/2c ，(31c c +)/2c ，(21c c +)/2c ) 垂 心 定义：三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 性质： 锐角三角形垂心在三角形部 直角三角形垂心在三角形直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部 高中数学竞赛基本知识集锦 广州市育才中学数学科 邓军民 整理 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 精品文档 初中数学竞赛专题选讲 勾股定理 一、内容提要 1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠?a 2＋b 2=c 2 2. 勾股定理及逆定理的应用 ① 作已知线段a 的2，3， 5……倍 ② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。 3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做 一组勾股数. 4. 勾股数的推算公式 ① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。 ② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,2 12+k 是一组勾股数。 ③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-??? ??K ,122+?? ? ??K 是一组勾股数。 ④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。 5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5， 12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。 二、例题 例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5 a 求作线段5a a 分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a ∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二：5a ＝2492 a a - ∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略） 例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60ο，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2 求对角线AC 的长 解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30ο 金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》 《数学选修4-5：不等式选讲》 《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社 2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社 3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽 4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚） 5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠 6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本） 7、《概率与期望》单樽 8、《同中学生谈排列组合》苏淳 9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版 10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版 11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 12、《圆锥曲线的几何性质》 13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几 1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星） 2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》 不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神 10、《重要不等式》中科大出版社 11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》 数论 （9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题） 12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》 13、奥林匹克小丛书《数论》 14、命题人讲座《初等数论》冯志刚 组合 15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》 16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》 17、命题人讲座刘培杰《组合问题》 18、《构造法解题》余红兵 19、《从特殊性看问题》中科大出版社 20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦 《近代欧式几何学》 《近代的三角形的几何学》 《不等式的秘密》范建熊、隋振林 《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选 《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军 《初等数论难题集》 命题人讲座《图论》 奥林匹克小丛书第二版《图论》 《走向IMO》 欧拉（ Euler ）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形 的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的 一半。 费尔马点： 已知 P 为锐角△ ABC内一点，当∠APB＝∠ BPC＝∠ CPA＝120°时， PA ＋P B＋PC的值最小，这个点 P 称为△ ABC的费尔马点。 海伦（ Heron）公式： 塞瓦（ Ceva）定理： 在△ ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P 的直线，分别 交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA) ·(AF/FB) ＝1；其逆亦真。密格尔（ Miquel ）点： 若 AE、 AF、ED、 FB四条直线相交于 A、B、C、 D、E、F 六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△ AED、△ BCE、△ DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（ Gergonne）点 : △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则 AE、 BF、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松（ Simson）线： 已知 P 为△ ABC外接圆周上任意一点， PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段 (AB) 分成两条线段，使其中较大的线段 (AC)是原线段(AB) 与较小线段 (BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯（ Pappus）定理： 已知点 A 、A 、A 在直线 l 1上，已知点 B 、B 、B 在直线 l 2 上， 123123 且 A1 B2与 A2 B 1交于点 X，A1B3与 A3B1交于点 Y，A2 B 3于 A3 B2交于 点 Z，则 X、Y、Z 三点共线。 高中数学竞赛讲义（八） ──平面向量 一、基础知识 定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f 定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。 定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos 初中数学勾股定理知识点-+典型题及答案 一、选择题 1．如图，已知ABC 中，4AB AC ==，6BC =，在BC 边上取一点P （点P 不与点B 、C 重合），使得ABP △成为等腰三角形，则这样的点P 共有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．如图，已知45∠=MON ，点A B 、在边ON 上，3OA =，点C 是边OM 上一个动点，若ABC ?周长的最小值是6，则AB 的长是（ ） A ． 1 2 B ． 34 C ． 56 D ．1 5．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是( ) A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1 6．一个直角三角形两边长分别是12和5，则第三边的长是（） A．13B．13或15C．13或119D．15 7．下列命题中，是假命题的是( ) A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形 C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形 D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（） A．1 B．2021 C．2020 D．2019 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（） A．24 5 B．5 C．6 D．8 10．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（） 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-). 初中数学竞赛勾股定理与应用 勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2． 勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系： a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形． 早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法．关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法1是欧几里得证法． 证法1 如图2-16所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．因为 AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG， 所以△ACE≌△AGB(SAS)．而 所以 S AEML=b2．① 同理可证 S BLMD=a2．② ①+②得 S ABDE=S AEML+S BLMD=b2+a2， 即 c2=a2+b2． 证法2 如图2-17所示．将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知 △ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC， 所以 AG=GH=HB=AB=c， ∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°， 因此，AGHB为边长是c的正方形．显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即 化简得 a2+b2=c2． 证法3 如图2-18．在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB 延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等： △AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB． 设五边形ACKDE的面积为S，一方面 S=S ABDE+2S△ABC，① 另一方面 S=S ACGF+S HGKD+2S△ABC．② 由①，② 所以 c2=a2+b2． 关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名． 利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论． 定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍． 九年级基础知识竞赛 班级 姓名 学号 1. 小数是无理数 2.2a = a m .a n = (a m ) n = a 0 = a p -= 3. 一个单项式中，所有字母的指数的 叫做这个单项式的次数。 4.因式分解的常用方法（1）提公因式法：ab-bc = （2）运用公式法： a 2 - b 2 = a 2-2ab+b 2 = 5、分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变。 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分式的值不变。 6.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：x= 7.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中根的判别式，通常用“?”来表示，即?= 8. 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么x 1+x 2= x 1x 2= 9.、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向 、不等式两边 都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 、不等式两边都乘以（或除以）同一个负 数，不等号的方向 。 10.在一组数据,,,,21n x x x 这组数据的方差。通常用“2s ”表示，即2s = 11.点P(x,y)到x 轴的距离等于 ,点P(x,y)到y 轴的距离等于 ,点P(x,y)到原点的距离 等于 12.一般地，如果y= ，那么y 叫做x 的一次函数。y= ，y 叫做x 的正 比例函数。一次函数的图像都是 .一次函数有下列性质：（1）当k>0时，y 随x 的增 大而 （2）当k<0时，y 随x 的增大而 13、反比例函数中反比例系数的几何意义，过反比例函数)0(≠=k x k y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S= 。 14二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y= （2）顶点式：y= （3）交点式：y= 15如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即 当x= 时y= 。 16一元二次方程中的ac 4b 2-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当?>0时， 图像与x 轴有 交点；当?=0时，图像与x 轴有 交点；当?<0时，图像与x 轴 交点。 17、线段垂直平分线上的点和这条线段 相等。和一条线段 相 等的点，在这条线段的垂直平分线上。 18.角平分线上的点到这个角的 相等。到一个角的 相等的点在这个角 的平分线上。 19过一点 一条直线与已知直线垂直. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短。 一般定理及公式 1、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180° 2、推论任意多边的外角和等于360° 3、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等 4、等腰梯形的两条对角线相等 5、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 6、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 7、比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 8、合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 9、等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a 10、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 11、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 12、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 13、如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 14、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 15、从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 16、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 17、①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r) 18、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 19、定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 20、正三角形面积√3a／4 ，a表示边长 21、弧长计算公式：L=nπR／180 22、扇形面积公式：S扇形=nπR2／360=LR／2 23、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 三角函数定理及公式两角和公式sin(A+B)=sin A·cos B+cos A·sin Bsin(A-B)=sin A·cos B-sin B·cos Acos(A+B)=cos A·cos B-sin A·sin Bcos(A-B)=cos A·cos B+sin A·sin Btan(A+B)=(tan A+tan B)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tan A-tan B)/(1+tan A·tan B) cot(A+B)=(cot A·cotB-1)/(cot B+cot A) cot(A-B)=(cot A·cot B+1)/(cot B-cot A) 倍角公式 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；初中数学竞赛定理大全
【高中数学(竞赛)知识点提纲】
初中数学竞赛常用公式
数学竞赛定理
全国高中数学联赛竞赛大纲(修订稿)
高中数学竞赛基本知识集锦
高中数学竞赛定理
高中数学竞赛基础知识讲解
2018初中数学竞赛勾股定理讲解学习
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